Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1 BAB 10...

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA

Matematika Ekonomi 1

BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN

1. Pengertian matriks Matriks kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur

dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi

panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.



2. Operasi dasar matriks

Berlaku Kaidah Komutatif : A +B = B+A

Kaidah Asosiatif : A + ( B+C) = (A + B) +C = A+B+C

b. Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka

matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan

mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Contoh: 4 A



Berlaku kaidah Komutatif : kA = Ak

Kaidah Distributif : k (A+B) =kA +kB

c. Perkalian Antarmatriks

Syarat perkalian Antarmatriks adalah jumlah banyaknya kolom

pada matriks pertama sama dengan jumlah banyaknya baris

matriks kedua.

Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka

hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran

mxp dimana

Berlaku Kaidah Asosiatif : A (BC) = (AB)C = ABC

Kaidah Distributif : A( B+C) = AB + AC

(A+B)C = AC +BC



3. Transpose suatu matriks

adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua

dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari

A dan seterusnya.

3.1 Transpose Penjumlahan dan Pengurangan

Ubahan dari jumlah atau selisih beberapa matriks adalah

jumlah atau selisih matriks-matriks ubahannya

(Am x n + Bm x n + Cm x n)= At

n x m +

B

t n x m

+

C

t n x m

kaidah komutatif : (A+B)t = (B+A)

t atau A

t + B

t =B

t + A

t

kaidah Asosiatif : { A + (B+C)}t = {(A+B)+C}

t = A

t +B

t +C

t

3.2 Transpose Perkalian

Ubahan dari perkalian matriks dengan skalar adalah perkalian

scalar dengan matriks ubahannya.

(kA)t = kA

t

Ubahan dari perkalian antarmatriks adalah perkalian matriks-

matriks ubahannya dengan urutan yang terbalik

(Am x n x Bn x p x Cp x q) t= C

tq x p x B

tp x n x A

tn x m



4. Beberapa matriks dengan jenis khusus



Matriks Balikan

Matriks balikan (inverse matrix) matriks yang apabila

dikalikan dengan suatu matriks bujursangkar menghasilkan

sebuah matriks satuan. Jika A merupakan sebuah matriks

bujursangkar, maka balikannya ditulis dengan notasi A-1



Contoh:

Matriks Skalar

Suatu matriks diagonal dikatakan sebagai matriks skalar jika

semua elemen-elemen yang terletak pada diagonal utamanya

memiliki nilai yang sama, misalnya,

500

050

005

90

09

Referensi : 1. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi

Pengarang : Dumairy

Penerbit : BPFE – Yogyakarta

2. http://p4tkmatematika.org/

3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php

http://www.idomaths.com/id/matriks.php



E. TRANSFORMASI ELEMENTER DAN MATRIKS EKUIVALEN Yang dimaksud dengan transformai pada baris atau kolom suatu matriks A adalah sebagai berikut.

1. Penukaran tempat baris ke-i dan baris ke-j atau penukaran

kolom ke-i dan kolom ke-j dan ditulis Hij(A) untuk transformasi baris dan Kij(A) untuk transformasi kolom. Contoh :

a. Penukaran baris

A= H12(A) H12(A) berarti menukar baris ke-1 matriks A dengan baris ke-2

b. Penukaran kolom A= K23(A)

K13(A) berarti menukar kolom ke-2 matriks A dengan kolom ke-3

2. memperkalikan baris ke-i dengan suatu bilangan skalar h0, ditulis Hi

(h)(A) dan memperkalikan kolom ke-i dengan skalar

k0, ditulis Ki(k)

(A). Contoh : A= H2

(-2)(A)= K3

(1/2)(A)=

1 2 0

2 3 1

0 1 1

2 3 1

1 2 0

0 1 1

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 0 2

2 1 3

0 1 1

1 2 0

-4 -6 -2

0 1 1

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 2 0

2 3 1/2

0 1 1/2



3. Menambah kolom ke-i dengan k kali kolom ke-j, ditulis Kij

(k)(A) dan menambah baris ke-i dengan h kali baris ke-j,

ditulis Hij(h)

(A). Contoh : H23

(-1)(A)

A= H2 + (-1*H3)

K31(2)

(A) K3 + (2*K1)

MATRIKS EKUIVALEN

Dua buah matriks A dan B disebut ekuivalen (A~B) apabila salah satunya dapat diperoleh dari yang lain dengan transformasi-transformasi elementer terhadap baris dan kolom. Kalau transformasi elementer hanya terjadi pada baris saja disebut ELEMENTER BARIS, sedangkan jika transformasi terjadi pada kolom saja disebut ELEMENTER KOLOM. Contoh : A= dan B=

A dan B adalah ekuivalen baris karena jika kita mempertukarkan baris ke-1 dengan baris ke-2 pada matriks A atau H12(A), maka akan didapat matriks B.

K12(1)

A=

K1+(1*K2)

H12

1 2 0

2 3 1

0 1 1

1 2 0

2 2 0

0 1 1

1 2 2

2 2 5

0 1 1

2 3 1

4 1 0

4 1 0

2 3 1

3 0 2 1

4 1 3 1

3 0 2 1

5 1 3 1

3 0 2 1

5 1 3 1

5 1 3 1

3 0 2 1



F. Menghitung nilai Determinan suatu matriks



6. Matriks persegi yang mempunyai baris atau kolom nol, determinannya adalah nol.

7. Determinan dari suatu matriks persegi yang mempunyai dua

baris atau kolom yang sama adalah sama dengan nol.

8. Nilai determinan adalah nol jika semua unsurnya sama

= 8 + 8 + 8 – 8 – 8 – 8 = 0

9. Nilai determinan adalah nol jika unsur-unsur pada salah satu

baris atau kolom semuanya nol

= 0 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 0

10. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasilkali unsur-unsur diagonalnya

= 2 x 3 x 9 = 54

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 6 5

1 3 4

0 0 0

2 0 0

0 3 0

0 0 9



11. Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers)

12. Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers)

G. MINOR DAN KOFAKTOR MINOR unsur aij determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor dinotasikan dengan Mij

Contoh:

KOFAKTOR dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3332

2322

11aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A

444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

M



Contoh:

A=

112

431

112

C11 = (-1)1+1

M11 = (-1)2

11

43

= 1 (7) = 7 C22 = M22 = 0

C12 = (-1)1+2

M12 = (-1)3

12

41

= (-1) (9) = -9 C23 = - M23 = 0

C13 = (-1)4 M13 = M13 =

12

31

= 5 C31 = M31 = 7

C21 = (-1)3 M21 = - M21 = -

11

11

= 0 C32 = - M32 = - 9

C33 = M33 = 5

H. Matriks Singular dan non-singular Cara menentukan matriks tersebut Singular atau non-singular adalah :

Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan

nol, matriksnya dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers)

Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya dikatakan non-singular dan mempunyai balikan (invers)



I. Rank matriks



J. Matriks Invers Matriks invers dari suatu matriks A adalah matriks B yang

apabila dikalikan dengan matriks A memberikan satuan I AB = I

Notasi matriks invers :

Sebuah matriks yang dikalikan matriks inversenya akan menghasilkan matrik satuan:

Contoh :

Maka atau

= adj. A = kofaktor yang di transpose kan Det A Det A

K. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier

Penyelesaian system persamaan linier menggunakan matriks dapat melalui metode balikan maupun metode Cramer. 1. Metode Balikan

1A

IAA 1

dc

baA

ac

bd

bcadA

11

1A



Contoh :



2. Metode Cramer Untuk menghitung variable x, dapat dilakukan dengan cara membagi determinan-determinannya

Contoh :

Referensi : 4. Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi

Pengarang : Dumairy

Penerbit : BPFE – Yogyakarta

5. http://p4tkmatematika.org/

6. http://www.idomaths.com/id/matriks.php

Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1 BAB 10...

Documents

Transcript of Dessy Dwiyanti, S.Si, MBA Matematika Ekonomi 1 BAB 10...