DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT

TAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGA

DERET PANGKATDERET PANGKAT

Definisi deret pangkat :

( ) ( ) ( ) ( ) ...33

221

0

+−+−+−+=−∑∞

=

axcaxcaxccaxC on

nn

adalah konstantancdimana dan ax adalah variabel

Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja memilihindeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, c0, yangselanjutnya disebut suku ke-nol. Hal ini dilakukan untuk memudahkanpenulisan, terutama ketika membahas pernyataan suatu fungsi dalamderet pangkat

Beberapa contoh deret pangkat

Selang konvergensi deret pangkatSelang konvergensi deret pangkat

Deret pada contoh (a)

Selang konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan menggunakan konsep uji rasio (uji nisbah), sbb :

Menurut syarat uji nisbah suatu deret akan konvergen jika :

1<ρ

Sehingga :

12

<= xρ

atau :

2<x

atau :

22 <<− x

Jadi selang konvergensinya adalah untuk nilai x antara - 2 dan 2

PertanyaannyaPertanyaannya sekarangsekarang adalahadalah apakahapakah untukuntuk titiktitik--titiktitik ujungujungselangselang yaituyaitu padapada nilainilai x=x=--22 dandan x=x=22 deretderet konvergenkonvergen atauatau divergendivergen??????

Untuk x = -2, deret menjadi :

........11111 ++++++Deret ini akan tak hingga jumlahnya, maka untuk x = 2 deret menjadidivergen. Dengan demikian 2 tidak termasuk dalam selangkonvergensi deret (a)

Untuk x = 2, deret menjadi :

Sehingga selang konvergensi deret pangkat (a) adalah

Untuk x = 2, deret menjadi :

........11111 +−+−+−Merupakan deret bolak-balik dengan |an| = 1. karena |an+1| = |an| makaderet ini juga divergen. Dengan demikian 2 juga tidak termasuk dalamselang konvergensi deret (a)

22 <<− x

TUGASTUGAS

Tentukan selang konvergensi deret pangkat pada contoh (b), (c), dan (d)

TEOREMATEOREMA--TEOREMA PENTING TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKATTERKAIT DERET PANGKAT

TEOREMA-TEOREMA PENTING

1. Integrasi dan diferensiasi deret pangkat dapat dilakukan per suku,yaitu:

∑∑

∫ ∑ ∑∫∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

−=−

≤−∈−=−

00

0 0

)()(

,,)()(

n

nn

n

nn

q

pn n

q

p

nn

nn

dxaxCdx

daxC

dx

d

raxqpdxaxCdxaxC

Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan,sama seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya, perludiselidiki.

2. Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan diperkalikan;deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi masing-masing deret. Jadi, misalkan I1 dan I2 selang konvergensi masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang dihasilkanadalah ( lambang teori himpunan bagi irisan).

21 II ∩ ∩

== 00 nn dxdx

3. Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkanpenyebutnya tak-nol di x = a, atau nol di x = a,tetapi tercoretkan (seperti ). Selangkonvergensinya harus dicari kembali.

4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam

x

x)1ln( +

4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalamderet pangkat lainnya, asalkan selangkonvergensi deret yang disisipkan terkandungdalam deret lainnya. Jadi, misalkan I1 selangkonvergensinya I2, maka ( lambangteori himpunan bagi himpunan bagian).

21 II ⊆ ⊆

5. Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret pangkatkonvergen, adalah tunggal. Artinya ada satupernyataan deret pangkat untuk satu fungsi,sejauh variabel x berada dalam selangkonvergensi deret.konvergensi deret.

URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI

• Seperti telah diungkapkan di atas, bahwa suatu fungsif(x) yang dapat dinyatakan dalam deret pangkat.Kenyataan ini menguntungkan, karena deret pangkatsangat mudah ditangani secara analitis, ketimbangfungsi f(x) itu sendiri. Misalnya, dalam perhitunganintegral dari fungsi f(x), bila seandainya f(x) adalahsuatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapatsuatu fungsi rumit yang integralnya tak terdapatdalam tabel integral, maka penyelesaiannya akansulit. Penanganan dalam pernyataan deret dari f(x)mungkin dapat lebih mudah ditangani.

• Sebagai contoh, integral tentu berikut:

• Muncul dalam persoalan fisika, yaitu pada persoalandifraksi Fresnel gelombang cahaya oleh sebuahcelah. Integral jenis ini tak terdaftarkan dalam tabelintegral, karena hasilnya tak dapat diungkapkan

∫1

0

2sin dxx

integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkandalam pernyataan suatu fungsi primitif tertentu.Sehingga sulit diselesaikan secara analitik denganmenggunakan teknik dasar integral.

• Integral seperti ini dapat dengan mudah diselesaikandengan metode aproksimasi menggunakan metodederet pangkat.

• Misalkan kita ingin menyatakan sebuah fungsi f(x)yang diketahui dalam pernyataan deret pangkat,maka mula-mula kita tulis bentuk umum sepertiberikut :

LL +−++−+−+= nn axCaxCaxCCxf )()()()( 2

210

• Tetapan a dapat pula bernilai nol. Masalahselanjutnya adalah:

a. Menentukan nilai-nilai koefisien Cn, sebagai fungsidari n, sehingga penulisan di atas berupa suatuidentitas (berlaku bagi semua nilai x).identitas (berlaku bagi semua nilai x).

b. Menentukan selang konvergensi deret pangkatnyadalam mana identitas (a) berlaku.

• Dengan menerapkan teorema diferensiasi deretpangkat, kita peroleh:

nn

nn

nn

CCnnCaf

CnCCCaf

CCCCCaf

................................................................................

!2)0()1(1.200)("

)0()0(20)('

)0()0()0()(

22

2

11

21

02

210

=+−++++=

=+++++=

=+++++=

−

−

LL

LL

LL

nnn CnCnaf !0!000)(

................................................................................

=++++++= LL

)(!

1 )( afn

C nn =

Jadi:

• Dengan demikian,

nn axafn

axafaxafafxf

1

))((!

1

))(("!2

1))((')()( 2

−=

+−+

+−+−+=

∑∞

L

L

nn

n

axafn

xf ))((!

1)(

0

−=∑∞

=

Uraian Taylor dari fungsi f(x) disekitar x = a

Khusus untuk x = 0, uraian deret pangkat dari fungsi f(x) disebutderet McLaurin

Misalkan kita ingin menyatakan fungsi sinus xdalam deret pangkat disekitar x = 0

Bentuk umum :

Tugas kita adalah mencari a0, a1, a2, a3, .... dst

Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :Turunan pertama dari fungsi sin x terhadap x adalah :

Pada x = 0,

Jadi : a1 = 1

( ) ( ) ...03020 2321 +++= aaaCos

Turunan kedua dari fungsi sin x terhadap x adalah :

pada x = 0

Jadi : a = 0

...3.42.32sin 2432 +++=− xaxaax

( ) ( ) ...03.402.320sin 2432 +++=− aaa

Jadi : a2 = 0

Dst........lakukan proses yang sama untuk turunan ke-tiga, ke-empat, ke-lima, akan didapat :

Interval konvergensi deret sin x

Notasi umum :

( ) !12

12

−

−

n

x n

Dengan uji nisbah didapat :

( ) !12 −n

( )( )

12

121 !12

!12 −

++ −×

+==

n

n

n

nn x

n

n

x

a

aρ

( ) ( )( )( )

( )( )nn

x

x

n

nnn

xn

n

n 212

!12

122!12

2

12

12

+=−×

+−= −

+

ρ

didapat :

10 <=ρ

( )( ) 0212

lim2

=+

=∞→ nn

xn

ρ

Untuk x berapa pun, jadi selang konvergensi untuk deret sin x adalah semua nilai x. Dengan kata lain deret sin x konvergen untuk semua nilai x.

Pernyataan deret dari fungsi Selang konvergensi

...,!7!5!3

.1753

+−+−= xxxxxSin Semua nilai x

...,!6!4!2

1.2642

+−+−= xxxxCos Semua nilai x

...,1.3432

+++++= xxxxex Semua nilai x...,

!4!3!21.3 +++++= xxx

xex Semua nilai x

( ) ...,432

1ln.4432

+−+−=+ xxxxx -1 < x ≤ 1

( ) ( ) ( )( )...,

!3

21

!2

111.5

32

+−−+−++=+ xpppxpppxx p |x| < 1

Disebut deret Binomial, dengan p adalah bilangan real positif atau negatif

Teknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu fungsi

A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian deret

dengan deret

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari : ( ) xx sin1+Maka kita lakukan perkalian ( )1+x xsinDengan deret Sbb :

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari : xex cos

Maka kita lakukan perkalian deretxe xcosDengan deret Sbb :

B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu polinomial

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari : ( )xx

+1ln1

Maka kita lakukan pembagian ( )x+1ln xDengan deret Sbb :

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari :x+1

1

Maka kita lakukan pembagian 1 ( )x+1Dengan Sbb :

Contoh 3

Untuk mencari pernyataan deret dari : xtan

Maka kita lakukan pembagian deret xcosdengan deret Sbb :xsin

C. Menggunakan deret Binomial

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari :1

1

+x

Digunakan deret Binomial Sbb :

(contoh B2)

Hasilnya sama dengan contoh B2

D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel dalam deret lain

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari :2xe−

Maka kita lakukan substitusi 2x− pada variabel x dalam deret Sbb :xe

Contoh 2

Untuk mencari pernyataan deret dari : xe tankita lakukan substitusi sbb :

E. Metode Kombinasi

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret dari : xarc tanDigunakan metode Sbb :

karena

Kita tuliskan 1

Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan 21

1

t+Sebagai deret Binomial sbb :

sehingga

Soal latihan

x

ex

−1.1

xsec.2 xsec.2

∫ −=

−+ x

t

dt

x

x

0211

1ln.3

2cosh.4

xx eex

−+=

E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-Laurin

Contoh 1

Untuk mencari pernyataan deret taylor dari fungsi xlndisekitar x = 1, kita tuliskan:

Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :

( )432

+−+−=+ xxx( ) ...,432

1ln432

+−+−=+ xxxxx

Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )...,

4

1

3

1

2

1111lnln

432

+−−−+−−−=−+= xxxxxx

Contoh 2

Cari uraian Taylor dari fungsi xcos disekitar 23π=x

Kita tuliskan:

Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :

...,!7!5!3

753

+−+−= xxxxxSin

Kemudian ganti x dengan (x - 3ππππ/2), didapat :

( ) ( ) ( ) ( )...

!52

3

!32

3

23

23

53

+−

+−

−−=−=ππ

ππ xxxxSinxCos

Soal Latihan

Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian McLaurin :

11

)(.1 == adisekitarx

xf

25)(.2 == adisekitarxxf

Beberapa penggunaan deret

A. Perhitungan secara numerik

Contoh 1

hitunglah di x = 0,0015

Contoh 2

hitunglah

Lakukan diferensiasi empat kali dan masukan x=0,1, didapat :

B. Penjumlahan deret

Contoh 1

hitunglah

Mulai dengan deret :

Ambil x = 1

Jadi

69,0....4

1

3

1

2

11 =+−+−

Soal latihan

.........7

1

5

1

3

11.1 =+−+−

.........!7!5!3

.2642

=−+− πππ

Gunakan xarc tan

Gunakan x

xsin!7!5!3

( ) ( ).........

!3

3ln

!2

3ln3ln.3

32

=+++

x

Gunakan 1−xe

C. Menghitung integral tertentu

Contoh :

hitunglah

Mulai dengan deret :

Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel

....!5!3

sin106

22 −+−= xxxx

Jadi

!5!3

D. Menghitung Limit

Contoh :

hitunglah

Jawab :

Soal latihan

dtet t−∫01,0

0

.1

01,01

.22

3

3

=

−xdi

x

ex

dx

d x

13

− xdx

( )x

xx

−→

1lnlim.3

0

E. Menentukan nilai e

Gunakan pernyataan deret pangkat untukxe dengan x = 1

...,!4!3!2

1432

+++++= xxxxex

...,111

11432

+++++=e ...,!4

1

!3

1

!2

111 +++++=e

..718,2...,...017,05,02 =++++=e

F. Menentukan akar suatu bilangan

Tentukanlah niali 9 dengan deret Binomial

Kita tidak bisa menulis

Deret Binomial :

( ) ( ) ( )( )...,

!3

21

!2

111

32

+−−+−++=+ xpppxpppxx p

9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+Kita tidak bisa menulis 9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+

Karena konvergensi deret Binomial adalah 1<x

Untuk menyelesaikan ini gunakan resep berikut :

( )nn

n

b

ca

c

ba

/1

/1

= Dengan b >> c

Jadi nilai 9

( )2/12

2/1

10

29

2

109

=

( ) ( ) 2/12/12/1

2/1 64,015100

64

100

1005

100

3659 −=

−=

=

Itulah hasilnya

( ) ( ) ( )3...

8

64,0164,05,0159

22/1 =

+−−+=

Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika

Contoh 1

Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok !Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur tanjakandengan sudut kemiringan θ terhadap horizontal. Di dekat bagian bawah jalurterdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif. Muatan positif yang samaditempatkan pula di atas kereta. Jika gesekan kereta luncur dengan lintasandiabaikan dan diasumsikan percepatan gravitasi g, berapakah besar gayatolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam ditolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebut tetap diam ditempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari θ.

θ

Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika

Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :

∑ = 0F

θsinwC FF = θsinwC FF =

θsinmgFC =

++−= ....

!5!3

53 θθθmgFC

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Cari solusi PDB berikut :

xyy 2'=

Dengan metode pemisahan variabel

xydy

2= xdxdy

2=xydx

2= xdxy

2=

∫∫ = xdxy

dy2

cxy lnln 2 +=2xCey =

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :

PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :

...44

33

2210 +++++= xaxaxaxaay

...432' 34

2321 ++++= xaxaxaay 4321

xyy 2'=

PDB :

02' =− xyy

...2222 32

210 +−−−=− xaxaxaxy

...432' 34

2321 ++++= xaxaxaay

+..........................0 32 ++++= xxx

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Buat matriks seperti berikut :

2220 aaa −−−

4321 432 aaaa

320 xxxx

'y

xy2−210 2220 aaa −−−

+

( ) ( ) ( ) ( ) ....24232200 2413021 +−+−+−+−= aaaaaaa

xy2−

didapat :

001 =−a 022 02 =− aa

02 aa =023 13 =− aa013

23 == aa

24 24 aa =

021

242

4 aaa ==01 =a

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Dengan demikian :

...44

33

2210 +++++= xaxaxaxaay

....3

10

2

100 6

054

032

00 +++++++= xaxxaxxaxay32

....!3

1

!2

1 60

40

200 ++++= xaxaxaay

++++= ....

!3!21

642

0

xxxay

2

0xeay = Sama dengan hasil sebelumnya

Soal Latihan

xxyy +='.2

Cari solusi PDB Berikut dengan metode deret pangkat

yxy 23'.1 =

xyy 3sin4''.3 =+

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Cari solusi PDB berikut :

xxyy +='

Dengan metode pemisahan variabel

( )1' += yxy

( )1+= yxdy

( ) dxxdy =+( )1+= yx

dx ( ) dxxy

=+1

( ) ∫∫ =+

dxxy

dy

1

.......................................

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :

PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :

...44

33

2210 +++++= xaxaxaxaay

...432' 34

2321 ++++= xaxaxaay 4321

PDB :

...32

210 +−−−=− xaxaxaxy

...432' 34

2321 ++++= xaxaxaay

+.......................... 32 ++++= xxxx

xxyy +=' xxyy =−'

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Buat matriks seperti berikut :

0 aaa −−−

4321 432 aaaa

320 xxxx

'y

xy−2100 aaa −−−

+

( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324

213021 +−+−+−+−= xaaxaaxaaax

xy−

didapat :

001 =−a 12 02 =− aa

22

1

2

1 002

aaa +=+=01 =a

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Buat matriks seperti berikut :

0 aaa −−−

4321 432 aaaa

320 xxxx

'y

xy−2100 aaa −−−

+

( ) ( ) ( ) ( ) ....4320 324

213021 +−+−+−+−= xaaxaaxaaax

xy−

didapat :

03 13 =− aa

0131

3 == aa

04 24 =− aa

88

1

2

1 0041

241

4

aaaa +=

+== dst

Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat

Dengan demikian :

...44

33

2210 +++++= xaxaxaxaay

....088

10

22

10 540320

0 ++

+++

+++= xxa

xxa

xay8822

++++

++= ....

821....

82

42

0

42 xxa

xxy

....88

1

22

1 40200 +

++

++= xa

xa

ay