Deret Fourier 1

2. DERET FOURIER

Fungsi Periodik Deret Fourier Trigonometri

Identitas Parseval oleh : Marwan dan Joedono Terapan Deret Fourier 2.1. Fungsi Periodik

Gambar 1 : Contoh grafik suatu fungsi periodik dengan perioda 2p

Bila 2p merupakan perioda fungsi f, maka :

f(t) = f(t+2p) = f[(t+2p)+2p] = f(t+4p).

Jadi 4p juga perioda fungsi f. Dengan cara serupa, akan diperoleh perioda-

perioda fungsi f, yaitu 4p, 6p, 8p,.... Secara umum dapat dikatakan bila 2p

adalah perioda fungsi f, maka 2np (n=1,2,3,...) juga merupakan perioda f.

Perioda terkecil suatu fungsi disebut Perioda Dasar (fundamental period).

Tidak semua fungsi periodik mempunyai perioda dasar (misalnya fungsi

konstan y=k).

Definisi 1

Suatu fungsi f disebut fungsi periodik jika terdapat bilangan real positif

2p, sehingga untuk tiap t berlaku

f(t+2p) = f(t)

Bilangan positif 2p dinamakan perioda fungsi f.

0

y

t

2p 4p 6p

Deret Fourier 2

2. g(t)=sin(ωt), dengan ω suatu bilangan real positif, maka perioda dasar

fungsi g adalah 2π/ω.

Contoh 1

1. f(t) = k , k konstan.

Setiap bilangan real positif 2p merupakan perioda fungsi f sebab :

f(t+2p) = k = f(t).

Mengingat tidak ada nilai 2p terkecil untuk f tersebut, maka fungsi f

tidak mempunyai perioda dasar.

3. h(t)=tan(t), adalah suatu fungsi periodik dengan perioda dasar π,

meskipun ( )π+π n2tan =tidak terdefinisi untuk n=1,2,3,...

4. y(x)=sin(3x)+cos(2x) adalah fungsi periodik dengan perioda dasar 2π,

sebab :

sin(3x), perioda dasar T1=2π/3

cos(2x), perioda dasar T2=π, maka

Perioda dasar sin(3x)+cos(2x), T=KPK{T1,T2}=2π

(KPK=Kelipatan Persekutuan terKecil)

Grafik fungsi y(x) dapat dilihat pada gambar berikut

Gambar 2 : Grafik y(x)=sin(3x)+cos(2x)

5. ∑∞

=

π+

π=

1n pxn sin

pxn cos )x(f , p konstan. Perioda dasar f adalah

T=KPK{2p ,2p/2 ,2p/3 ,2p/4 ,⋅⋅⋅⋅}=2p.

Untuk selanjutnya, perioda dasar disebut perioda saja.

Deret Fourier 3

2.2. Deret Fourier Trigonometri

∫∫ππ p

p-

p

p-

dxpxn

cos f(x)dandxpxn

sin f(x)

Definisi 2

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p) sedemikian hingga

integral-integral :

ada, untuk n=0,1,2,...

Deret Fourier (Trigonometri) fungsi f pada interval (-p,p) didefinisikan

oleh :

∑∞

=

π+

π+=

1nnn02

1

pxn

sin b pxn

cos aa)x(f

dengan

∫π

=p

p-n dx

pxn

cos f(x)p1

a , n=0,1,2,3,....

∫π

=p

p-n dx

pxn

sin f(x)p1

b , n=1,2,3,....

an dan bn disebut Koefisien Fourier fungsi f.

π<≤<<π−

=t0,tsin

0t,0)t(f

Contoh 2:

Diketahui f fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

Akan dicari deret fourier f

∫ ∫ ∫π

π π

π

π+⋅

π=

π=

-

0

- 0n dt nt cos t sin

1 dt nt cos0

1 dt nt cos f(t)

1a

Penyelesaian

Perioda f adalah 2p=π-(-π)=2π, jadi p=π

= π

++

+π

0n 1

t n) (1 cos

n - 1t n) - (1 cos

21

- 1

=

++

+π+π

+ππ

π n 11

n - 1

1 -

n 1)n ( cos

n - 1

)n - ( cos

21-

Deret Fourier 4

= )n - (1

n cos 12ππ+

, n≠1

untuk n=1

02

2t sin dt t cos t sin

1a

001 =

π=

π=

ππ

∫

∫∫ ∫π

π

π π π+⋅

π=

π=

0

--

0

-n dt nt sintsin

1dt nt sin0

1 dt ntsin f(t)

1b

= 0 n 1

t n) (1 sin -

n - 1t n) - (1 sin

21

1

0

=

++

π

π

, n≠1

untuk n=1

21

42t sin

- 2t

1

dt t sin 1

b00

21 =

π=

π=

ππ

∫

Jadi diperoleh deret fourier fungsi f :

( )

++++

π+

π=

π+π

++π

= ∑∞

=

... 63

8t cos

356t cos

15

4t cos

32t cos

1

- 2

t sin

1

ntcos)n - (1n cos 11

2t sin

1

tf2n

2

Gambar 3 : Grafik ekspansi fourier fungsi f pada Contoh 2, masing-

masing untuk 2 dan 3 suku pertama.

( )π

+π

=3

2t cos - 2

t sin 1tf

y=f(t)

( )2

t sin

1tf +

π=

Deret Fourier 5

a. Jika f suatu fungsi ganjil, yaitu f(-x)=-f(x), ∀x maka deret fourier fungsi

f hanya memuat suku-suku sinus saja (konstanta fourier an=0, ∀n) dan

disebut Deret Sinus.

Sifat 1

b. Jika f suatu fungsi genap, yaitu f(-x)=f(x), ∀x maka deret fourier fungsi

f hanya memuat suku-suku cosinus saja (konstanta fourier bn=0, ∀n)

dan disebut Deret Cosinus.

1. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(x)=x , -4<x<4.

Contoh 3

( ) ,3,2,1n,n8

14xn

cosnx4

4xn

sinn16

21

)parsialegral(intdx 4xn

sinx 41

dx 4xn

sin f(t) 41

b

1n4

022

4

4-

4

4-n

=π

−=

π

π−

ππ

=

π=

π=

+

∫ ∫

Penyelesaian

Karena f(-x)=-x=f(x), ∀x berarti f fungsi ganjil, maka menurut sifat di

atas konstanta fourier an=0. Jadi hanya dicari bn saja

Diperoleh

∑∞

=

+ π−π

=1n

1n

4xn

sinn)1(8

)x(f

Berikut grafik y=f(x) untuk 7 suku pertama:

Gambar 4 : Grafik fungsi f dan hasil ekspansi fourier f untuk 7 suku pertama dari Contoh 3

Deret Fourier 6

2. Akan dicari deret fourier fungsi periodik f(t)=4-t2 , -2<t<2

( ) ( ) 0n,n16

1)n(cosn16

dt 2tn

cos t-4 21

a22

1n

22

2

2-

2n ≠

π−=π

π−=

π= +∫

Penyelesaian

Karena f(-t)=4-(-t)2=4-t2=f(t), ∀t berarti f fungsi genap, maka menurut

sifat di atas konstanta fourier bn=0. Jadi hanya dicari an saja.

untuk n=0

( )3

16 dt t-4

21

a2

2-

20 == ∫

Diperoleh

+

π−

π+

π−

ππ

+= 2

t4cos

41

2t3

cos31

2t2

cos21

2t

cos16

38

)t(f2222

Hasil lain yang diperoleh dari ekspansi fourier f tersebut adalah jika

diambil t=0, maka :

4=

+−+−

π+=

2222 41

31

21

116

38

)0(f

+−+−=π

222

2

41

31

21

112

Berikut adalah teorema yang menyatakan syarat cukup kekonvergenan deret

fourier suatu fungsi.

f ′

Teorema 1

Diketahui fungsi f terdefinisi pada interval (-p,p).

Jika

(a). f periodik dengan perioda 2p

(b). f dan kontinu sepotong-sepotong (piecewise continue) pada

interval (-p,p)

maka deret fourier fungsi f akan konvergen ke :

1. f(x) , bila f kontinu di x.

2. ( ))x(f)x(f21 −+ + , bila f diskontinu di x.

Deret Fourier 7

( ) ( )hxflim)x(fdanhxflim)x(f0h0h

−=+=→

−

→

+

Keterangan

Untuk h>0, maka :

.

π<≤−π<<π−

=t0,t

0t,0)t(f

Contoh 4

Diambil ekspansi fourier dari , yaitu

( ) ∑∞

=

+

π−−

+π

=1n

2

n

ntsinn1

ntcosn

)1(14

tf .

Diperhatikan bahwa f kontinu pada interval (-π,π) kecuali di titik t=0.

Jadi f kontinu sepotong-sepotong pada interval tersebut. Berdasarkan

teorema disimpulkan bahwa deret :

∑∞

=

+

π−−

+π

1n2

n

ntsinn1

ntcosn

)1(14

konvergen ke f(t) untuk setiap t∈(-π,π)\{0} dan konvergen ke

( ) ( ) π=+π=+ −+21

21

21 0)x(f)x(f

di titik x=0, meskipun f(0) = π ≠ ½ π.

Hingga di sini fungsi yang diperderetkan ke deret fourier adalah

fungsi-fungsi yang terdefinisi pada suatu interval bentuk (-p,p).

Kenyataannya, ada fungsi-fungsi yang terdefinisi pada interval bentuk (0,p).

Untuk memperoleh ekspansi fourier fungsi semacam ini dapat dilakukan

dengan mendefinisikan fungsi f pada interval (-p,0), sehingga f terdefinisi

pada (-p,p). Ada tiga cara yang dapat dilakukan untuk tujuan ini :

1. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=f(t), jadi

diperoleh suatu fungsi genap pada interval (-p,p). Dengan demikian f

dapat diperderetkan ke Deret Cosinus

2. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(-t)=-f(t), jadi

diperoleh suatu fungsi ganjil pada interval (-p,p). Dengan demikian f

dapat diperderetkan ke Deret Sinus.

Deret Fourier 8

3. Didefinisikan fungsi f pada interval (-p,0) dengan aturan f(t)=f(t+p).

Dengan demikian f dapat diperderetkan ke deret fourier pada interval

(-p,p).

Deret cosinus atau deret sinus yang diperoleh dengan cara di atas dikenal

sebagai half-range expansions.

Contoh 5

Ekspansikan f(t)=t2 , 0<t<2 ke dalam

(a). Deret cosinus

(b). Deret sinus, dan (c). Deret Fourier lengkap

(a). Diambil f(t)=t2 , -2<t<2 yaitu f fungsi genap,

diperoleh deret

Penyelesaian

( ) ∑∞

=

π−π

+=1n

2

n

2 2tn

cosn

)1(1634

tf

(b). Diambil

<<

≤<−−=

2t0,t

0t2,t)t(f

2

2

yaitu f fungsi ganjil,

diperoleh deret :

( ) ( )∑∞

=

+ π

−−

π+

−π

=1n

n23

1n

2tn

sin1)1(n

2n)1(8

tf

(c). Diambil

<<

≤<−+=

2t0,t

0t2,)2t()t(f

2

2

,

diperoleh deret

( ) ∑∞

=

π−π

ππ+=

1n2

tnsinn1

tncosn14

34

tf

2 -2

2 -2

2 -2

2

Deret Fourier 9

2.3. Identitas Parseval

( ) ( )∑∫∞

=−

++=1n

2n

2n

202

1p

p

2p1 baadt)t(f

Teorema 2:

Bila fungsi f dapat diekspansikan ke dalam deret fourier yang

konvergen seragam (uniformly convergence) ke f(t) pada interval (-p,p),

maka :

( )

( )

( )∑

∑ ∫∫∫∫

∑

∑

∞

=

∞

= −−−−

∞

=

∞

=

++=

π+

π+=

π+

π+=

π+

π+=

1n

2n

2n

202

1

1n

p

pn

p

pn

p

p02

1p

p

2

1nnn02

12

1nnn02

1

bappa

dtptn

sin)x(fb dtptn

cos)t(fadt)t(fadt)t(f

ptn

sin)x(f b ptn

cos)t(f a)t(fa)t(f

ptn

sin b ptn

cos aa)t(f

Bukti:

terbukti.

1.

Sifat 2:

∫∫ ==π

=π p

p-

p

p-

,3,2,1n,0dxpxn

cos dxpxn

sin

2. ∫∫

=≠

=ππ

=ππ p

p-

p

p- nm,pnm,0

dxpxn

cosp

xm cosdx

pxn

sinp

xm sin

3. 0dxpxn

cosp

xm sin

p

p-

=ππ

∫

Deret Fourier 10

2.4. Terapan Deret Fourier

Ditinjau balok lurus seragam, panjang L, berbeban w(x) dan kedua

ujungnya ditumpu sederhana (perhatikan gambar 5) dengan model

matematis lendutan :

( )xwdx

ydEI

4

4

= ...................(∗)

EI adalah angka kekakuan-lentur balok (flexural rigidity).

w(x) L

x

y

Gambar 5 : Balok seragam dengan tumpuan sederhana dan

beban w(x) Mengingat kedua ujung ditumpu sederhana, maka berlaku :

1. Lendutan di titik-titik ujung balok nol, yaitu : y(0)=y(L)=0.

2. Momen (bending momen) di titik-titik ujung balok nol, yaitu :

0dx

yddx

yd

Lx2

2

0x2

2

====

Untuk mendapatkan penyelesaian persamaan (∗) dengan deret Fourier,

maka dapat diasumsikan y(x) suatu deret sinus, yaitu

( ) ∑∞

=

π

=1n

n Lxn

sinbxy .............................(∗∗)

Dengan demikian beban w(x) menjadi

( ) ∑∞

=

π

=1n

n Lxn

sinBxw , dengan ( )∫

π

=L

0

dxLxn

sinxwL2

Bn ........ (∗∗∗)

Jika persamaan (∗∗) dan (∗∗∗) disubstitusikan ke (∗), diperoleh

EIn

BLb

Lxn

sinBLxn

sinbnL

EI44n

4

n1n

n1n

n4

4

4

π=⇔

π

=

ππ ∑∑

∞

=

∞

=

.

Deret Fourier 11

SOAL-SOAL

1. Perderetkan fungsi-fungsi berikut ke dalam deret fourier

a. f(x)=x+π , -π<x<π

b. ( )

π<≤−π<<π−

=x0,x

0x,0xf

Jwb: ( ) ( )∑∞

=

+−+π=

1n

1n

nxsinn12xf a).

b). ( ) ( )∑∞

=

+

π−−

+π

=1n

2

n

nxsinn1nxcos

n11

4xf

2. Tinjau suatu balok panjang L dengan kedua ujung ditumpu sederhana.

Bila beban per satuan panjang diberikan oleh persamaan w(x)=w0x/L,

0<x<L maka diperoleh persamaan lendutan y(x), yaitu :

Lxw

dxydEI 04

4

=

a. Ekspansikan w(x) ke dalam deret sinus

b. Tentukan persamaan lendutan y(x)

JWB: ( ) ∑∞

=

+ π−π

=1n

1n0

Lxn

sinn)1(w2

xw a). b). ( ) ∑∞

=

+ π−π

=1n

5

1n

5

40

Lxnsin

n)1(

EILw2xy

3. Tentukan perioda dasar fungsi periodik berikut

a. f(x)=sin(3πx/4)

b. g(x)=sin(2πx)+3cos(5πx)

4. Diketahui fungsi periodik dengan definisi pada satu perioda

f(x)=x2 , 0<x<2

Perderetkan fungsi f ke dalam

- deret Fourier Sinus

- deret Fourier Cosinus

- deret Fourier lengkap (sinus dan cosinus)

Deret Fourier 12

5. Diketahui fungsi periodik dengan definisi satu periode :

( )

π<<<<π−

=x0,x

0x,0xf

a). Sketsalah grafik f(x) tersebut

b). Hitung f(-6)+f(6)=....

c). Andai f(x) diperderetkan ke dalam Deret Fourier, apakah akan

menghasilkan Deret Sinus, Deret Cosinus atau bukan kedua-

duanya