DERERT FOURIER

Pendahuluan

Permasalahan yang melibatkan getaran dan osilasi sering

dijumpai didalam fisika dan teknik misalnya: vibrasi garpu

tala, pendulum, benda yang dihubungkan dengan spiral,

gelombang air, arus bolak balik dsb yang semuanya

melibatkan persamaan yang mengandung fungsi sinus dan

cosinus. Pada saat ini kita akan mempelajari apa yang

dinamakan deret Fourier yang mempunyai bentuk sinus dan

cosinus.

Teori dasar dari deret Fourier cukup rumit. Meskipun

demikian, aplikasinya sangat sederhana. Deret Fourier ini

lebih umum dibandingkan dengan deret Taylor. Hal ini

disebabkan karena dalam banyak permasalahan praktis

yang terkait dengan fungsi periodik tak kontinu dapat

diselesaikan dengan menggunakan deret ini dan tidak

ditemukan pada Deret Taylor.

Dalam matematika, Deret Fourier merupakan penguraian

fungsi periodik menjadi sejumlah fungsi-fungsi berosilasi,

yaitu fungsi sinus dan kosinus, ataupun eksponensial

kompleks. Studi deret Fourier merupakan cabang analisis

Fourier. Deret Fourier diperkenalkan oleh Joseph Fourier

(1768-1830) untuk memecahkan masalah persamaan panas

di lempeng logam.

Persamaan panas merupakan persamaan diferensial parsial.

Sebelum Fourier, pemecahan persamaan panas ini tidak

diketahui secara umum, meskipun solusi khusus diketahui

bila sumber panas berperi laku dalam cara sederhana,

terutama bila sumber panas merupakan gelombang sinus

atau kosinus. Solusi sederhana ini disebut sebagai solusi

eigen. Gagasan Fourier adalah memodelkan sumber panas

ini sebagai superposisi (atau kombinasi linear)gelombang

sinus dan kosinus sederhana, dan menuliskan

pemecahannya sebagai superposisi solusi eigen. Superposisi

kombinasi linear ini disebut sebagai deret Fourier.

Meskipun motivasi awal adalah untuk memecahkan

persamaan panas, kemudian terlihat jelas bahwa teknik

serupa dapat diterapkan untuk sejumlah besar

permasalahan fisika dan matematika. Deret Fourier saat ini

memiliki banyak penerapan di bidang teknik elektro, analisis

vibrasi, akustika, optika, pengolahan citra, mekanika

kuantum, dan lain-lain.

Deret Fourier dinamai untuk menghormati Joseph Fourier

(1768-1830), yang membuat kontribusi penting untuk

mempelajari seri trigonometri, setelah penyelidikan awal

oleh Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert, dan Daniel

Bernoulli. Ia menerapkan teknik ini untuk mencari solusi

persamaan panas, penerbitan hasil awalnya pada tahun

1807 dalam Memoire sur la propagation de la chaleur dans

les solides korps dan 1811, dan penerbitan dalam analytique

Théorie de la chaleur pada tahun 1822. Dari sudut pandang

modern, hasil Fourier agak informal, karena kurangnya

pengertian yang tepat tentang fungsi dan integral di awal

abad kesembilan belas. Kemudian, Dirichlet dan Riemann

menyajikan hasil Fourier dengan presisi dan formalitas lebih.

Sejak Fourier, pendekatan yang berbeda untuk

mendefinisikan dan pemahaman konsep deret Fourier telah

ditemukan, yang semuanya konsisten satu sama lain, tetapi

masing-masing menekankan aspek dari topik yang berbeda.

Beberapa pendekatan yang lebih kuat dan elegan

didasarkan pada ide-ide matematika dan alat-alat yang tidak

tersedia pada saat Fourier menyelesaikan pekerjaan

awalnya. Fourier awalnya untuk mendefinisikan deret Fourier

untuk fungsi real dgn. argumen yang nyata, dan

menggunakan fungsi sinus dan kosinus sebagai dasar

ditetapkan dekomposisi. Banyak hal lainnya yang

berhubungan dengan transformasi Fourier sejak

didefinisikan, memperluas ide awal untuk aplikasi lain. Hal

ini sekarang disebut analisis harmonik. Sebuah deret

Fourier, bagaimanapun, dapat digunakan hanya untuk fungsi

periodik.

Pada bagian ini, f (x) menunjukkan fungsi dari variabel real

x. Fungsi ini biasanya dianggap periodik, dengan periode 2π,

yang berarti bahwa f (x + 2π) = f (x), untuk semua bilangan

real x. Kita akan mulai dengan menggunakan jumlah tak

terbatas fungsi sinus dan kosinus pada interval [-π, π],

seperti Fourier lakukan , dan kita kemudian akan membahas

formulasi yang berbeda dan umum.

Rumus Fourier untuk fungsi 2π-periodik

menggunakan sinus dan cosinus

Untuk fungsi periodik f (x) yang terintegrasikan pada [-π, π],

dapat dinyatakan sebagai jumlah tak hingga dari

gelombang-gelombang sinusoida, dan dapat dinyatakan

dalam bentu deret Fourier sebagai berikut:

Dengan , , dinamakan koefisien Fourier dari f

Atau

dan

Deret Fourier tidak selalu menyatu, dan bahkan ketika ia

konvergen untuk nilai tertentu dari x, jumlah deret di

mungkin berbeda dari nilai fungsi f ( ). Ini adalah salah satu

pertanyaan utama dalam analisa harmonik untuk

memutuskan kapan deret Fourier konvergen, dan ketika

jumlahnya sama dengan fungsi semula. Jika fungsi sebuah

persegi terintegrasikan pada interval [-π, π], maka deret

Fourier konvergen untuk fungsi hampir di setiap titik. Dalam

aplikasi engineering, deret Fourier umumnya dianggap

konvergen di mana-mana kecuali pada diskontinuitas,

karena fungsi yang dihadapi dalam rekayasa lebih

berperilaku baik. Secara khusus, deret Fourier menyatu

mutlak dan seragam untuk f (x) setiap kali turunan dari f (x)

adalah persegi terintegrasikan.

Contoh 1:

Kembangkan dalam fungsi f(x) deret Fourier untuk gambar

di bawah. Gambar ini menggambarkan pulsa tegangan

periodic, bentuk ini berhubungan dengan frekuensi a-c yang

berbeda yang dikombinasikan dalam tegangan gelombang

persegi, dan besaran koefisien Fourier menyatakan

hubungan penting dari berbagai frekuensi.

Ingat bahwa f(x) berperioda 2π.

Untuk mencari fungsi deret Fourier kita cari dulu

koefisiennya ( , , ) dahulu.

Jadi dan

1

0π-π-2π 2π

Masukkan semua nilai koefisien ini ke persamaan deret

Fourier, sehingga kita dapatkan;

SYARAT DIRICLET

Andaikan bahwa:

1. f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal kecuali munglin di

sejumlah berhingga titik pada (-L,L).

2. f(x) periodik di luar (-L,L) dengan perioda 2L.

3. f(x) dan f’(x) kontinu bagian demi bagian pada (-L,L).

Maka deret 1.dengan koefisien 2 atau 3 konvergen ke;

(a). f(x), bilamana x adalah suatu titik kekontinuannya.

(b). bilamana x adalah suatu titik

ketakkontinuannya

Pada kali ini f(x+0) dan f(x-0) berturut-turut adalha limit kiri

dan limit kanan dari f(x) di x dan menyatakan dan

di sini >0. Ini sering kali dituliskan dan

untuk menyatakan bahwa dari arah nilai-nilai

positif.

Syarat 1, 2, dan 3 yang dinyatakan pada f(x) adalah syarat

cukup tetapi bukan syarat perlu, dan secara umum dalam

prakteknya dipenuhi. Sekarang ini tidak diketahui syarat

perlu dan cukup untuk kekonvergenan deret Fourier. Hal

yang menarik adalah bahwa kekontinuan f(x) tidak sendirian

menjamin kekonvergenan suatu deret Fourier.

Contoh 2: serangkaian Fourier sederhana

Plot dari fungsi gelombang identitas periodik-a gigi gergaji

Plot animasi dari lima deret pertama Fourier parsial

Kita menggunakan rumus di atas untuk gelombang gigi

gergaji

Dalam kasus ini, koefisien Fourier diberikan oleh

Hal ini dapat dibuktikan bahwa deret Fourier menyatu untuk

f (x) di setiap titik x dimana f terdiferensialkan, dan karena

itu:

Ketika x = π, seri Fourier menyatu ke 0, yang merupakan

setengah jumlah batas kanan kiri-dan-dari f pada x = π. Ini

adalah contoh khusus dari teorema Dirichlet untuk deret

Fourier.

BENTUK KOMPLEKS DARI DERET FOURIER

Karena bentuk sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam

bentuk kompleks dengn rumus;

Atau

Dimana i adalah satuan imajiner, memberikan rumus

dengan koefisien deret

Contoh : Kita gunakan soal no. 1 di atas untuk mencari deret

Fourier bentuk kompleks.

Jawab: Untuk mencari deret Fourier nya kita cari dahulu

koefisien ;

Sehingga didapat

Dengan menggunakan rumus Euler didapat;

Coba bandingkan dengan hasil dari contoh satu. Hasilnya

sama tentu saja. Jadi penyelesaian deret Fourier dengan

menggunakan kedua cara tersebut haruslah memperoleh

jawaban yang sama kalaulah tidak berarti ada yang salah

dalam mengerjakannya.

INTERVAL LAIN

Selama ini kita berhubungan dengan fungsi yang

mempunyai perioda 2π. Sekarang bagaimana kalau kita

merubah periodanya katakanlah 2l misalkan dalam interval

(-l,l) atau (0,2l) . Tinggal kita ganti saja misalkan

menjadi yang juga mempunyai perioda 2l .

Karena

Demikian pula untuk cos dan eksponensial nya. Sehingga:

Dengan koefisien-koefisiennya;

Contoh soal: Diberikan persamaan

Jawab : Nyatakan f(x) dalam deret Fourier dengan perioda 2l

.

Pertama kita gambarkan dahulu f(x) dengan perioda 2l

l

0 l-l 2l 3l

Sehingga

FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJIL

Fungsi genap seperti cos x atau x² dimana grafik untuk sisi

negatifnya adalah refleksi terhadap sumbu y dari sisi

positifnya. Secara rumus nilai f(x) sama untuk setiap nilai x

yang diberikan dan juga negatifnya, ini berarti;

f(x) dikatakan suatu fungsi genap jika f(-x) = f(x).

Fungsi ganjil seperti sinx atau x dimana f(x) dan f(-x) adalah

negative satu yang lainnya. Atau apabila didefinisikan;

f(x) dikatakan suatu fungsi ganjil jika f(-x) = -f(x).

Ada hal menarik dari kedua fungsi ini, apabila kita sudah

tahu fungsi f(x) itu fungsi genapkah atau fungsi ganjil maka

akan berlaku ketentuan berikut yaitu;

Jika f(x) adalah fungsi genap maka

Kita dapat mengatakan bahwa f(x) diperluas dalam deret

cosinus

dan

Jika f(x) adalah fungsi ganjil maka

Fungsi f(x) ini diperluas dalam deret sinus.

Contoh soal; Nyatakan dalam

1. Deret Fourier sinus

2. Deret Fourier cosinus

3. Deret Fourier (bisa bentuk sinus-cosinus maupun

bentuk eksponensial tapi dengan perioda 1)

Jawab:

1. Gambarkan dahulu fungsinya, tentukan dahulu dalam

interval (o,1) kemudian kembangkan dan buat dia ganjil.

Bentuk dalam perioda 2, ini berarti l = 1.

Karena sekarang fungsinya fungsi ganjil maka dan

Sehingga deret fourier sinusnya adalah;

2. Gambar untuk kasus ini adalah

Disini l = 1, dan

0½ 1

-½

-1

0½ 1-½-1 1½

,

Sehingga

3. Sketsa fungsi pada (0,1) dan periodik dengan perioda 1.

Disini 2l = 1, dan kita dapatkan

Dengan cara yang sama

0-1 1½-½

Dari sini akan menghasilkan jawaban yang sama seperti di

atas.