OLEH

Budi Irwansyah087021054

Sekolah Pasca Sarjana Matematika Edukator

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Sumatera Utara

2009

DEFINISI FORMAL LIMIT

Sejak dari SMU kita sudah belajar konsep limit. Secara intuitif notasi

mempunyai arti apa yang terjadi dengan nilai kalau kita buat mendekati . Jika

juga mendekati suatu nilai tertentu, katakan maka kita katakan .

Lebih tepatnya notasi ini mempunyai arti bahwa nilai dapat kita buat sedekat mungkin dengan asalakan cukup dekat dengan (tanpa membuat ). Untuk membuat formal konsep ini kita harus memperjelas apa yang kita maksud dengan "dapat di buat sedekat mungkin" dan "cukup dekat". Konsep dapat dibuat sedekat mungkin dapat diformalisasi dengan mengatakan bahwa

untuk setiap .

Lengakapnya sebagai berikut : berarti bahwa untuk setiap ada

sedemikan sehinnga jika maka .

Contoh

Buktikan bahwa . Diberikan sebarang . Kita bekerja secara terbalik. Tujuan kita adalah membuat

dengan mengambil suatu tertentu. Perhatikan bahwa

ekivalen dengan . Perhatikan bahwa . JIka

kita misalkan maka dan akibatnya . Sekarang untuk

membuat maka kita cukup mengambil .

Ok sekarang bukti formalnya kita tulis sebagai berikut.

Diberikan . Ambil . Jika maka

. Dari sini kita peroleh

and we are done!

Definisi :

Dikatakan , adalah bahwa untuk setiap > 0 yang diberikan

berapapun kecilya, terdapat > 0 yang berpadanan sedemikian hingga |f(x) – L | < untuk setiap 0 < | x – c| < .

Dengan menggunakan definisi limit di atas dapat dibuktikan teorema-teorema pokok tentang limit suatu fungsi sebagai berikut :

1. , jika k suatu konstanta.

2.

3.

4.

5.

6. Hukum substitusi :

Jika

7.

8.

9. Teorema Apit :Misalkan f(x) g(x) h(x) pada setiap interval yang memuat c dan dipenuhi :

Bukti-bukti dari teorema-teorema limit utama di atas adalah :

1. Buktikan

Bukti : Untuk setiap bilangan positip > 0 berapapun kecilnya akan didapat > 0 sedemikian untuk setiap x pada |x – c| < dipenuhi |k – k| < . Dari |k – k| = 0, maka berapapun nilai > 0 yang diambil yang menyebabkan |x – c| < akan berakibat |k – k| < .

2. Buktikan

Bukti : Untuk membuktikan teorema ini, berarti jika diberikan suatu > 0 betapapun kecilnya, akan ditemukan > 0 sedemikian hingga 0 < |x – c| < |(ax + b) – (ac + b)| < .Sekarang dari |(ax + b) – (ac +b)| = |ax – ac| = |a(x – x)| |a|x – c|.

Kelihatan bahwa = akan memenuhi persyaratan di atas.

Sehingga jika diberikan > 0 betapapun kecilnya dan dipilih = maka

0 < |x – c| < menunjukkan :

|(ax + b) – (ac – b)| = |ax – ac| = |a(x – c)| < |a||x – c| < |a| =

Dengan demikian terbuktilah teoremanya.

3. Buktikan :

Bukti :

Misalkan

Misalkan diberikan > 0, kita harus mendapatkan > 0 sedemikian hingga

0 < |x – c| < berakibat |f(x) – L| < (mengingat > 0 juga).

Sekarang dengan telah ditetapkan , kita dapat menyatakan bahwa untuk setiap x

yang terletak 0 < |x – c| < berlaku : |k f(x) – kL| = |k||f(x) – L| < |k| = .

Ini menunjukkan bahwa :

4. Buktikan

Bukti :

Andaikan .

Jika sebarang bilangan positip yang diberikan, maka adalah positip.

Karena maka terdapat suatu bilangan positip , sedemikian hingga:

0 < |x – c| < |f(x) – L| < .

Karena maka terdapat suatu bilangan positip 2 sedemikian

hingga :

0 < |x – c| < 2 |g(x) – M| < .

Pilih = min {1, 2}, yaitu pilih sebagai yang terkecil diantara 1 dan 2, maka 0 < |x – c| < menunjukkan |(f(x) + g(x)) – (L + M)| = |(f(x) – L) + (g(x) – M)| |

f(x) – L| + |g(x) – M| < + = .

Jadi

Dengan jalan yang sama akan dapat dibuktikan bahwa :

5. Buktikan :

Bukti :

Misal

Jika diberikan sembarang > 0 maka

Yang akan kita tunjukkan dengan pembuktian ini adalah jika diberikan > 0, kita harus mendapatkan bilangan > 0 sedemikian hingga untuk :

0 < |x – a| < berakibat |f(x) . g(x) – L . M| < .Untuk :|f(x) . g(x) – L . M| = |f(x) . g(x) – L . g(x) + L . g(x) – L . M| |g(x)| . |f(x) – L| + |L| g(x) – M| … (2).

Dari berarti terdapat 1 > 0 sedemikian

hingga jika 0 < |x – c| < 2 berakibat |f(x) – L| < … (3)

Dan dari , berarti terdapat 2 > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – x|

< 2 berakibat |g(x) – L| < … (4).

Selanjutnya terdapat bilangan ketiga 3 > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x – c| < 3

berakibat |g(x) – M| < 1 yang berarti |g(x)| < |M| + 1 …….(5)Sekarang kita pilih bilangan terkecil dari ketiga bilangan positip 1, 2 dan 3. Dan jika substitusi (3), (4) dan (5) ke dalam (2), akan diperoleh jika |x – c| < berakibat :|f(x) . g(x) – LM |g(x)| . |f(x0 – L| + |L| . |g(x) – M|

< (|M + 1| .

< .

Kenyataan ini berarti terbukti bahwa :

6. Buktikan jika

Bukti : Misalkan diberikan > 0, kita harus mendapatkan suatu bilangan > 0 sedemikian hingga apabila 0 < |x – a| < berakibat |f(g(x) – f(L)| < .Dari =L, terdapat 1 > 0 sedemikian hingga, untuk 0 < |y – L| < 1 akan

berakibat |f(y) – f(L)| < ………. (1).

Dan dari kita dapat memilih > 0 sedemikian hingga jika

0 < |x – c| < berakibat |g(x) – L| < 1 atau |y – L| < 1 dimana y = g(x).Dari (1) dapat kita lihat bahwa :Jika 0 < |x – c| < berakibat |f(g(x)) – f(L)| = |f(y) – f(L)| < .Kenyataan terakhir ini, menyajikan bukti tersebut.

7. Buktikan : Jika

Bukti :Misalkan diberikan > 0, kita akan menemukan > 0 sedemikian hingga, apabila

dipenuhi 0 < |x – c| < berakibat

Sekarang

Dari

Dengan definisi limit, jika diambil = . akan diperoleh 1 sedemikian hingga,

japabila 0 < |x – c| < 1 dipenuhi | L . g(x) – L2| < atau L2 - < L . g(x) < L2 +

dan jika diambil =

Dari sini berarti L . g(x) positip, sehingga kita peroleh untuk

0 < |x – c| < 1.Selanjutnya :

.

Terakhir diperoleh 2, sedemikian hingga untuk setiap x yang memenuhi

0 < |x – c| < 2 berakibat |L – g(x)| < . Jika diambil yang terkecil dari 1 dan

2 maka untuk setiap x yang memenuhi : 0 < |x – c| < berakibat :

Ini menunjukkan bukti bahwa jika L 0.

8. Buktikan :

Bukti :

9. Buktikan teorema apit, bahwa jika f(x) g(x) h(x) pada interval yang memuat

c dan dipenuhi

Bukti :Jika diberikan > 0, akan kita dapatkan 1 > 0 dan 2 > 0 sedemikian hingga :Jika 0 < |x – c| < 1 berakibat |f(x) – L| < , dan jika 0 < |x – c| < 2 berakibat |h(x) – L| . Dan jika kita pilih > 0 yang terkecil dari dua bilangan 1 dan 2

maka jika dipenuhi 0 < |x – c| < berakibat f(x) dan g(x) keduanya terletak pada interval terbuka (L - , L + ).Sehingga : L - < f(x) g(x) h(x) < L + .Jadi jika : 0 < |x – c| < berakibat |g(x) – L| < .Ini menunjukkan bahwa teorema apit telah terbukti.

Latihan Buktikan bahwa

1.

2. (here ).