CNH3C3

Persamaan Diferensial

Parsial

(The art of Modeling PDEs)DR. PUTU HARRY GUNAWAN

Partial Differential Equations

1. Review

2. Part I: Derivation of PDE in Transport

Phenomena

Review

INTRODUCTION TO PDES

Review

Apa beda ODE/PDB dengan PDE/PDP?

Berikan contoh ODE dan PDE?

Apa solusi dari ODE ini

Apa solusi dari PDE ini

Cari Solusi dari PDE ini

Berikan contoh-contoh aplikasi dari PDE!

𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡= 0

𝜕𝑦(𝑡, 𝑥)

𝜕𝑡= 0

𝜕𝑦(𝑡, 𝑥)

𝜕𝑡= 𝑡2 + 2𝑥3 + 10𝑥𝑡

PART IDERIVATION OF PDE IN TRANSPORT PHENOMENA

Mathematical formulation

Misalkan sebuah pipa berbentuk u-tube yang dialiri air bersih seperti

pada gambar di bawah ini

Mathematical formulation

Jika tiba-tiba terdapat benda asing dalam tabung

Mathematical formulation

Maka benda tersebut akan bergerak menelusuri pipa

Mathematical formulation

Maka benda tersebut akan bergerak menelusuri pipa

Mathematical formulation

Maka benda tersebut akan bergerak menelusuri pipa

Mathematical formulation

Maka benda tersebut akan bergerak menelusuri pipa

Mathematical formulation

Maka benda tersebut akan bergerak menelusuri pipa

Mathematical formulation

Maka benda tersebut akan bergerak menelusuri pipa

Dan seterusnya….

Dari fenomena tersebut, maka kita akan mecoba membahas model

matematikanya.

Mathematical formulationBeda yang memiliki

konsentrasi tertentu

pada posisi 𝑥 dan

waktu 𝑡 di notasikan

dengan 𝑈(𝑥, 𝑡)

Kita amati pada

selang tertentu di

titik 𝑥 = 𝑥0

𝑥0

Mathematical formulation

𝑥

𝑈(𝑥, 𝑡)

Beda yang memiliki

konsentrasi tertentu

pada posisi 𝑥 dan

waktu 𝑡 di notasikan

dengan 𝑈(𝑥, 𝑡)

Kita amati pada

selang tertentu di

titik 𝑥 = 𝑥0

𝑥0

𝑥0

𝑡 = 0

Dalam

grafik

Mathematical formulation

𝑥

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑈(𝑥, 𝑡) bergerak

pada selang waktu

Δ𝑡

Bergerak ke posisi

baru 𝑥 = 𝑥0 + Δ𝑥

𝑥0 + Δx

𝑥0 + Δ𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0

Δ𝑥

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

Kita tambahkan

dimensi waktu

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

GARIS

KARAKTERISTIK

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

GARIS

KARAKTERISTIK

Δ𝑡

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

GARIS

KARAKTERISTIK

Δ𝑡

Δ𝑥

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

GARIS

KARAKTERISTIK

Δ𝑡

Δ𝑥

Memiliki

kemiringan garisΔ𝑥

Δ𝑡

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

GARIS

KARAKTERISTIK

Δ𝑡

Δ𝑥

Memiliki

kemiringan garis

𝑈(𝑥0 + Δ𝑥, Δ𝑡)

Δ𝑥

Δ𝑡

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

GARIS

KARAKTERISTIK

Δ𝑡

Δ𝑥

Misalkan Maka

𝑈(𝑥0 + Δ𝑥, Δ𝑡)

Δ𝑥

Δ𝑡= 𝑐 Δ𝑥 = 𝑐Δ𝑡

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

Δ𝑡

Δ𝑥

Misalkan Maka

𝑈(𝑥0 + cΔ𝑡, Δ𝑡)

Δ𝑥

Δ𝑡= 𝑐 Δ𝑥 = 𝑐Δ𝑡

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

Δ𝑡

Δ𝑥

Misalkan Maka

𝑈(𝑥0 + c𝑡, 𝑡)

Δ𝑥

Δ𝑡= 𝑐 Δ𝑥 = 𝑐Δ𝑡

𝑡 = Δ𝑡

inconvenience

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

Δ𝑡

Δ𝑥

𝑈(𝑥0 + c𝑡, 𝑡)

Δ𝑥

Δ𝑡= 𝑐

𝑑

𝑑𝑡𝑈(𝑥0 + c𝑡, 𝑡) = 0

Konsentrasi

tidak berubah

terhadap

waktu.

𝑡 global 𝑡 local

Gunakan

aturan rantai!

Mathematical formulation

𝑈(𝑥, 𝑡)

𝑥0

𝑡 = 0

𝑡

𝑥

𝑡 = Δ𝑡

𝑥0 + Δ𝑥𝑥0

Δ𝑡

Δ𝑥

𝑈(𝑥0 + c𝑡, 𝑡)

Δ𝑥

Δ𝑡= 𝑐

𝑑

𝑑𝑡𝑈(𝑥0 + c𝑡, 𝑡) = 0

𝜕𝑈

𝜕𝑡

𝑑 𝑡

𝑑𝑡+𝜕𝑈

𝜕𝑥

𝑑 𝑥0 + 𝑐𝑡

𝑑𝑡= 0

𝜕𝑈

𝜕𝑡+ 𝑐

𝜕𝑈

𝜕𝑥= 0

Gunakan

aturan rantai!

Summary PART I

Fenomena transport sudah dipaparkan

PDP dari masalah transport sudah diturunkan sehingga

mendapatkan persamaan umum transport/convection

𝜕𝑈

𝜕𝑡+ 𝑐

𝜕𝑈

𝜕𝑥= 0

End of Presentation