CNH3C3

Persamaan Diferensial

ParsialWeek 8 (Continue to Discrete)DR. PUTU HARRY GUNAWAN

Partial Differential Equations

Content

1. Part I: Fungsi kontinu dan diskrit

2. Part II: Pengenalan MATLAB /Octave

3. Part III: Plot fungsi solusi PDP

PART II

CONTINUE TO DISCRETE

Fungsi kontinu ke fungsi diskrit

Tanpa melalui definisi formal epsilon-delta, akan diberikan contoh

suatu sembarang fungsi kontinu 𝑓(𝑥) pada selang 𝑥 ∈ [0,1]

𝑥

𝑓(𝑥)

0 𝐿

Fungsi kontinu ke fungsi diskrit

Misalkan kita memiliki nilai 𝑥 = 𝑥0 = 𝐿/2 maka, letak 𝑓(𝑥0) pada

selang 𝑥 ∈ [0,1] adalah

𝑥

𝑓(𝑥)

0 𝐿𝐿/2

𝑓(𝑥0)

Fungsi kontinu ke fungsi diskrit

Artinya kita membagi fungsi 𝑓(𝑥) menjadi dua (2) daerah dengan

jarak Δ𝑥 = 𝐿/2 yang memiliki tiga (3 )titik diskrit (termasuk batas).

𝑥

𝑓(𝑥)

0 𝐿𝐿/2

𝑓(𝑥0)

Δ𝑥 Δ𝑥

Titik 1 Titik 2 Titik 3

Bentuk Diksrit

Jika diperumum yakni fungsi 𝑓(𝑥) dibagi menjadi 𝑁 partisi/daerah

dengan jarak Δ𝑥 = 𝐿/𝑁 yang artinnya memiliki 𝑁 + 1titik diskrit.

𝑥

𝑓(𝑥)

Δ𝑥

Titik 1 Titik 𝑁 + 1

Δ𝑥

Bentuk Diksrit

Jika diperbesar

𝑥

𝑓(𝑥)

Δ𝑥

Titik 1

Titik 𝑁 + 1

Δ𝑥

Titik (𝑖 − 1)

Titik 𝑖Titik (𝑖 + 1)

Dengan 𝑖 ∈ {2,3,⋯ ,𝑁}

Bentuk Diksrit

Jika diperbesar

𝑥

Δ𝑥

Titik 1

Titik 𝑁 + 1

Δ𝑥

Titik (𝑖 − 1)

Titik 𝑖Titik (𝑖 + 1)

, 𝑖 ∈ {1,2,3,⋯ ,𝑁 + 1}

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥𝑖) Dengan 𝑥𝑖 = (𝑖 − 1)Δ𝑥

Bentuk Diksrit

Contoh

𝑥

Δ𝑥

Titik 1

Titik 𝑁 + 1

Δ𝑥

Titik (𝑖 − 1)

Titik 𝑖Titik (𝑖 + 1)

, 𝑖 ∈ {1,2,3,⋯ ,𝑁 + 1}

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥𝑖) Dengan 𝑥𝑖 = (𝑖 − 1)Δ𝑥

0𝑥1 = 1 − 1 Δ𝑥 = 𝐿 = 𝑁 + 1 − 1 Δ𝑥 = 𝑁Δ𝑥 = 𝑥𝑁+1

Bentuk Diksrit

Contoh

𝑥

Δ𝑥

Titik 1

Titik 𝑁 + 1

Δ𝑥

Titik (𝑖 − 1)

Titik 𝑖Titik (𝑖 + 1)

𝑓(𝑥) 𝑓(𝑥𝑖)

𝑥1 = 1 − 1 Δ𝑥 = 0𝑥2 = 2 − 1 Δ𝑥 = Δ𝑥𝑥3 = 3 − 1 Δ𝑥 = 2Δ𝑥

⋮𝑥𝑖 = 𝑖 − 1 Δ𝑥 = (𝑖 − 1)Δ𝑥

⋮𝑥𝑁+1 = 𝑁 + 1 − 1 Δ𝑥 = 𝑁Δ𝑥 = 𝐿

0𝑥1 = 1 − 1 Δ𝑥 = 𝐿 = 𝑁 + 1 − 1 Δ𝑥 = 𝑁Δ𝑥 = 𝑥𝑁+1

Bentuk Diksrit

Contoh

𝑥

Δ𝑥

Titik 1

Titik 𝑁 + 1

Δ𝑥

Titik (𝑖 − 1)

Titik 𝑖Titik (𝑖 + 1)

𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖2 + 5𝑥𝑖 + 1

0𝑥1 = 1 − 1 Δ𝑥 = 𝐿 = 𝑁 + 1 − 1 Δ𝑥 = 𝑁Δ𝑥 = 𝑥𝑁+1

𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1

Part IIMatlab and Octave

MATLAB vs Octave

MATLAB vs Octave

Silakan mencoba menggunakan perangkat MATLAB atau Octave

dengan melakukan perhitungan perhitungan sederhana melalui

command prompt.

Contoh: Operasi aritmatika untk scalar, operasi aritmatika untuk

vector, Operasi Matrix, Plot vector dll

MATLAB vs Octave

Part IIIPlot fungsi solusi PDP

Demo

Selanjutnya bagaimana cara mendefinisikan 𝑥 dan fungsi 𝑓(𝑥)seperti pada slide sebelumnya, yaitu 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 1, pada

domain [-5,5] dengan sebanyak 20 bagian atau 20+1 titik.

𝑥

Δ𝑥

Titik 1

Titik 𝑁 + 1

Δ𝑥

Titik (𝑖 − 1)

Titik 𝑖Titik (𝑖 + 1)

𝑓(𝑥) 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖2 + 5𝑥𝑖 + 1

0

Demo week8pdp1.m

M-file

N=20;

L=5-(-5);

dx=L/N;

x=-5:dx:5;

fx=x.^2 + 5*x +1;

plot(x,fx)

X(1)=-5

.

.

.

X(21)=5

𝑓 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖2 + 5𝑥𝑖 + 1

Demo cara lain week8pdp1.m

M-fileN=20;

L=5-(-5);

dx=L/N;

x=-5:dx:5;

for i=1:N+1

fx(i)=x(i)^2 + 5*x(i) +1;

end

plot(x,fx)

X(1)=-5

.

.

.

X(21)=5

𝑓 𝑥𝑖 = 𝑥𝑖2 + 5𝑥𝑖 + 1

Plot

PDP Transport

𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0

𝑢 𝑥, 𝑡 = sin(𝑥 − 𝑐𝑡)

Salah satu solusinya

Bukti

𝜕𝑥𝑢 𝑥, 𝑡 = cos(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝜕𝑡𝑢 𝑥, 𝑡 = −𝑐 cos(𝑥 − 𝑐𝑡)

Tugas: Plot solusi PDP transport

𝑢𝑡 + 𝑐𝑢𝑥 = 0

𝑢 𝑥, 𝑡 = sin(𝑥 − 𝑐𝑡)

𝑥 ∈ −5: 5 , 𝑡 ∈ [0,10]

𝑐 = 1, 𝑁 = 30, Δ𝑡 = 0.1Dengan

Program week8pdp2.m

𝑐

Panjang domain

Banyaknya iterasi

waktu

Langkah spasial

Program week8pdp2.m

Looping waktu

Looping spasial

Program week8pdp2.mx(1)=-5

.

.

.

x(31)=5

t(1)=0

t(2)=0.1

.

.

t(101)=5

𝑢 𝑥, 𝑡 = sin(𝑥 − 𝑐𝑡)

Hasil

Exercise: week8PDP3.m

𝜇 = 1 Δ𝑡 = 0.0001

Exercise: Hasil yang diinginkan

Homework: Plot solusi PDP panas

Plot untuk waktu:

t=0

t=0.01

t=0.1

Δ𝑡 = 0.0001

Cara pengerjaan Homework

Tulis tangan menggunakan double folio

dengan detil.

Tulis dengan detil problem, cara

mendapatkan solusi, membawa ke

codingan Matlab/Octave

Gambar hasil Matlab/Octave diprint, lalu

tempel pada kertas double folio tugas.

End of Presentation