Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation...

49

Transcript of Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation...

Page 1: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact:Dr. Putu Harry [email protected]

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3Week 4: Separasi Variabel

untuk Persamaan Panas OrdeSatu

Page 2: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

1 Persamaan Panas 1D

2 Separasi Variabel

3 Contoh

4 Latihan

5 Perhatian!

Page 3: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.

Page 4: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya.

Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.

Page 5: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Sebuah batang besi tipis dengan panjang L dipanaskan dengan apidi bagian tengah besi sedangkan ujung kiri dan kanan besidipertahankan dalam suhu dingin yakni 00C (lihat Gambar di bawahini).

Sehingga nantinya dapat diamati bahwa besarnya temperatur didaerah tengah besi akan lebih besar dibandingkan dengan daerahlainnya. Selanjutnya, pada waktu tertentu atau waktu akhirpengamatan, api dipadamkan dan pengamatan dilanjutkan denganmengukur penyebaran panas dari tengah ke bagian lainnya selamaproses pendinginan.

Page 6: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 7: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 8: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur,

Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 9: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source),

f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 10: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas,

g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 11: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary),

µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 12: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi,

x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 13: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan panas

Asumsikan sebuah batang besi memiliki panjang L = 1 m, makaformulasi matematika dari penyebaran panas dalam sebuah domainΩ = [0 : 1] adalah sebagai berikut

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2+ Q(x), t > 0, x ∈ (0, 1) (1.1)

u(0, x) = f (x , ) x ∈ [0, 1] (1.2)

u(x , t) = g(x), t ≥ 0, x ∈ 0, 1 (1.3)

dengan u(x , t) merupakan temperatur, Q(x) sumber dalam(internal source), f (x) distribusi awal panas, g(x) fungsi batas(boundary), µ koesien difusi, x and t menyatakan ruang danwaktu berurutan.

Page 14: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Untuk menyederhanakan persamaan diatas (Q(x) = 0), maka kitadapat menulis ulang persamaan (1.1-1.3) menjadi:

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (1.4)

u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, 1] (1.5)

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (1.6)

Page 15: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Page 16: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Solusi separasi adalah solusi dari persamaan (1.4-1.6) dalam bentuk

u(x , t) = X (x)T (t). (2.1)

Penting bahwa variabel bebas dinotasikan dengan huruf kecilsedangkan fungsi dengan huruf kapital. Tujuan pertama kita adalahmencari kemungkinan solusi separasi sebanyak mungkin.

Page 17: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u(x , t) = X (x)T (t). (2.2)

ke dalam

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2(2.3)

didapat

X (x)T ′(t) = µX ′′(x)T (t),

Page 18: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Substitusikan persamaan

u(x , t) = X (x)T (t). (2.2)

ke dalam

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2(2.3)

didapatX (x)T ′(t) = µX ′′(x)T (t),

Page 19: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Page 20: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x .

Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Page 21: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?

Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Page 22: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Selanjutnya kita bagi dengan µX (x)T (t), didapat

T ′(t)

µT (t)=

X ′′(x)

X (x). (2.4)

Dapat kita lihat bahwa persamaan di sebelah kiri semuanyabergantung pada t dan sebaliknya di sebelah kanan semuabergantung pada x . Bagaimana mungkin fungsi yang bergantungpada waktu, sama dengan fungsi yang bergantung pada spasial?Jika variabel x dan t merupakan sembarang variabel bebas, maka x

tidak dapat menjadi fungsi dari t dan sebaliknya.

Page 23: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4)haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

T ′(t)

µT (t)= −λ =

X ′′(x)

X (x), (2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengankonstanta separasi (the separation constant).

Tanda negatifdiberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akanbahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.

Page 24: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Maka dari itu, kita perlu mengklaim bahwa kedua sisi (2.4)haruslah sama dengan suatu konstanta yang sama, yakni

T ′(t)

µT (t)= −λ =

X ′′(x)

X (x), (2.5)

dengan λ adalah sembarang bilangan konstan yang disebut dengankonstanta separasi (the separation constant). Tanda negatifdiberikan untuk mempermudah dalam pencarian solusi, kita akanbahas selanjutnya mengapa tanda minus ini berguna.

Page 25: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabel

Dari (2.5), kita mendapatkan dua buah persamaan diferensial biasa(PDB):

X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.6)

T ′(t) + λµT (t) = 0. (2.7)

Tugas sekarang adalah mencari solusi dari PDB di atas!

Page 26: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

Misalkan λ = β2, dengan β > 0 sehingga

X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.8)

memiliki solusi,

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)

Page 27: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

Misalkan λ = β2, dengan β > 0 sehingga

X ′′(x) + λX (x) = 0, (2.8)

memiliki solusi,

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.9)

Page 28: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Page 29: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Page 30: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0.

Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Page 31: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara I

X (x) = A cos(βx) + B sin(βx). (2.10)

Akan tetapi dengan melakukan substitusi kondisi batas (nilai = 0)ke rumus (2.10) didapat:

0 = X (0) = A dan 0 = X (L) = B sin(βL).

Tentu saja kita tidak mengharapkan nilai A = B = 0 karena tidakakan menarik, sehingga yang diharapkan adalah sin(βL) = 0. Jadidapat dilakukan dengan mengubah akar fungsi sinusoidal βL = kπ,untuk k = 1, 2, · · · . Sehingga didapat

λk = β2 =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.11)

Page 32: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.6) cara II

Seperti dijelaskan sebelumnya, kita menggunakan tanda minus padaλ pada persamaan (2.5) untuk mempermudah solusi danmenetapkan bahwa konstanta yang dipilih adalah konstanta positifλ > 0, jadi persamaan (2.6) dapat dibentuk menjadi

−X ′′(x) = λX (x),

LX = λX .

Sehingga fungsi X (x) merupakan fungsi eigen, yang memiliki solusi

λk =

(kπ

L

)2

, dan Xk(x) = sin

(kπx

L

). (2.12)

(Masalah nilai eigen dapat di review kembali pada matakuliahPDB/PDA)

Page 33: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Masalah Nilai Eigen (Review)Lema 1.1

Lema

Nilai dan fungsi eigen dari masalah

−u′′(x) = f (x), x ∈ (0, L), u(0) = u(L) = 0 (2.13)

diberikan sebagai berikut

λk =

(kπ

L

)2

dan uk(x) = sin

(kπx

L

)∀k = 1, 2, · · · ,

(2.14)

Proof.

Bukti dari lema ini dapat ditemukan di buku Tveito, et al. untuklebih lengkapnya.

Page 34: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB,T ′(t) + λµT (t) = 0,

berupa

T (t) = Ae−λµt ,

dan dapat dibentuk menjadi

Tk(t) = Ake−λkµt = Ake

−( kπL

)2

µt for k = 1, 2, · · · , (2.15)

dengan Ak adalah sembarang konstan.

Page 35: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi PDB persamaan (2.7)

Solusi PDB,T ′(t) + λµT (t) = 0,

berupaT (t) = Ae−λµt ,

dan dapat dibentuk menjadi

Tk(t) = Ake−λkµt = Ake

−( kπL

)2

µt for k = 1, 2, · · · , (2.15)

dengan Ak adalah sembarang konstan.

Page 36: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasiuntuk persamaan panas (1.4-1.5),

uk(x , t) = Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

)for k = 1, 2, · · · . (2.16)

Page 37: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Pada akhirnya, terdapat tak hingga banyaknya solusi separasiuntuk persamaan panas (1.4-1.5),

uk(x , t) = Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

)for k = 1, 2, · · · . (2.16)

Page 38: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (2.18)

Page 39: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (2.18)

Page 40: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Separasi Variabel

Separasi variabelSolusi umum PDP panas

Selain itu akumulasi dari banyaknya berhingga solusi N jugamerupakan sebuah solusi yakni,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (2.17)

dengan asumsi bahwa fungsi awal f merupakan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (2.18)

Page 41: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1)

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2)

u(x , 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3)

maka solusinya adalah

u(x , t) = 3e−π2t sin(πx) + 5e−16π

2t sin(4πx). (3.4)

Page 42: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Contoh

Contoh separasi variabel

Contoh

Andaikan kita memiliki masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0 (3.1)

u(0, t) = 0, u(1, t) = 0. t ≥ 0 (3.2)

u(x , 0) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx), x ∈ [0, 1] (3.3)

maka solusinya adalah

u(x , t) = 3e−π2t sin(πx) + 5e−16π

2t sin(4πx). (3.4)

Page 43: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Contoh

Contoh separasi variabel

Solusi diatas dapat digambarkan sebagai fungsi x pada gambar dibawah ini, pada saat t = 0, 0.01 dan 0.1.

Figure : Solusi dari persamaan panas denganf (x) = 3 sin(πx) + 5 sin(4πx) untuk t = 0, 0.01 dan 0.1.

Page 44: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Latihan

Latihan separasi variabel

Latihan

Selesaikan masalah difusi sebagai berikut,

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, L), t > 0 (4.1)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (4.2)

u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, L] (4.3)

1. f (x) = 6 sin(πxL

)2. f (x) = 12 sin

(9πxL

)− 7 sin

(4πxL

)

Page 45: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Solusi umum persamaan panas,

u(x , t) =N∑

k=1

Ake−( kπ

L)2

µt sin

(kπx

L

), (5.1)

hanya untuk fungsi awal f , merupakan kombinasi linear berhinggadari fungsi eigen sin

(kπxL

),

f (x) =N∑

k=1

Ak sin

(kπx

L

). (5.2)

Page 46: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

)?

Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta

f (x) = 1. (5.3)

Page 47: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Bagaimana jika fungsi awal f , merupakan bukan kombinasi linearberhingga dari fungsi eigen sin

(kπxL

)?

Misalkan diberikan fungsi awal berupa konstanta

f (x) = 1. (5.3)

Page 48: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

Perhatian!

Perhatian!Solusi umum PDP panas

Untuk mengatasi hal ini, diperlukan jumlah tak hingga kombinasilinier dari kondisi awal, yakni

f (x) =∞∑k=1

Ak sin

(kπx

L

)= 1 (5.4)

dengan membuat N menuju tak hingga, dan kita dapatkan solusiumumnya

u(x , t) =∞∑k=1

Ake−( kπx

L)2t sin

(kπx

L

). (5.5)

Pada pertemuan berikutnya, akan dijelaskan bagaimana mencari Ak

(yaitu koesien Fourier) yang dapat dihitung dari fungsi f (x), yaknifungsi yang bukan merupakan kombinasi linier fungsi sinusoidal.

Page 49: Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 - Simulation Laboratoryphg-simulation-laboratory.com/wp-content/uploads/2016/09/CNH3C3... · Persamaan Diferensial Parsial CNH3C3 Week 4: Separasi

End of presentation!