Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact:Dr. Putu Harry Gunawanphgunawan@telkomuniversity.ac.id

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3Week 10: Finite DierenceMethod for PDE Heat Eqs

1 Masalah Persamaan Panas 1D

2 Skema Numerik

3 Latihan

4 Algorithm

5 Next

Masalah Persamaan Panas 1D

Persamaan Panas

Persamaan pengantur dari persamaan konduksi panas pada domain[0, L] diberikan sebagai berikut:

∂u(x , t)

∂t= µ

∂2u(x , t)

∂x2, x ∈ (0, L), t > 0 (1.1)

u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, L] (1.2)

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0. t ≥ 0 (1.3)

dengan u(x , t) menyatakan nilai temperatur pada posisi x danwaktu t. Koesien konduktivitas dinotasikan sebagai suatukonstanta µ.

Skema Numerik

Discrete space

Bentuk diskrit dari persamaan panas (1.1-1.3) denganmenggunakan metode beda hingga skema eksplisit akan diberikansbb:

Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi.

Skema Numerik

Discrete space

Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkandomain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1dan domain waktu [0,T ]. Tahap pertama, diskrit dari domainspasialM = 1, 2, 3, · · · ,M − 1 dibentuk dengan membagidomain Ω menjadi M buah partisi, dengan M ∈ Z+ (lihat Gambar4).

Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi.

Skema Numerik

Discrete space

Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkandomain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1dan domain waktu [0,T ]. Tahap pertama, diskrit dari domainspasialM = 1, 2, 3, · · · ,M − 1 dibentuk dengan membagidomain Ω menjadi M buah partisi, dengan M ∈ Z+ (lihat Gambar4).

Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi.

Untuk grid batas hanya ada dua yakni 0,M, jadi diskrit domainkeseluruhan dapat ditulis sebagaiM+ 0,M.

Skema Numerik

Discrete space

Untuk mempermudah dan menyederhanakan masalah, misalkandomain spasial kita Ω = [0, 1] yaitu dengan panjang domain L = 1dan domain waktu [0,T ]. Tahap pertama, diskrit dari domainspasialM = 1, 2, 3, · · · ,M − 1 dibentuk dengan membagidomain Ω menjadi M buah partisi, dengan M ∈ Z+ (lihat Gambar4).

Figure : Partisi domain perhitungan Ω satu-dimensi.

Untuk grid batas hanya ada dua yakni 0,M, jadi diskrit domainkeseluruhan dapat ditulis sebagaiM+ 0,M.

Skema Numerik

Time space

Tahap kedua, diskrit domain waktu didenisikan sebagaiT = 0, 1, 2, 3, · · · ,Tn, dengan Tn ∈ Z+ adalah banyaknya partisiwaktu. Jika ukuran partisi/grid untuk spasial dan waktu seragam,maka ukuran grid dapat kita notasikan dengan ∆x dan ∆t

berurutan.

Figure : Bentuk jaring titik-titik diskrit domain waktu dan spasial.

Skema Numerik

Discrete space and time

Sehingga titik grid (xk , tn) dapat dipilih sebagai:

xk = k∆x , k ∈M, ∆x =1

M,

tn = n∆t, n ∈ T ∆t =

T

Tn, .

Figure : Bentuk jaring titik-titik diskrit domain waktu dan spasial.

Skema Numerik

Forward time central space (FTCS) scheme

Ganti notasi u(t, x) pada persamaan (1.1-1.3) dengan notasiv(xk , t

n) = vnkuntuk solusi numerik, sehingga diskritisasi

menggunakan beda maju (forward dierence) untuk turunanpertama terhadap waktu dan beda tengah (central dierence)untuk turunan kedua terhadap spasial diberikan sebagai berikut:

vn+1

k− vn

k

∆t= µ

vnk+1− 2vn

k+ vn

k−1

∆x2, k ∈M, n ∈ T (2.1)

v0

k= f (k∆x), k ∈M+ 0,M (2.2)

vn+1

0= 0, v

n+1

M= 0. n ∈ T (2.3)

Skema Numerik

Forward time central space (FTCS) scheme

vn+1

k= v

n

k+ r(vn

k+1− 2vn

k+ v

n

k−1), k ∈M, n ∈ T , (2.4)

dengan r =µ∆t

∆x2. Skema (2.1-2.3) dapat digambarkan berupa

stencil seperti pada Gambar 7

Figure : Stencil untuk skema explicit FTCS (Forward Time Central

Space).

Latihan

Problem 1D heatLatihan 1D heat

Contoh

(Thomas, et al., Chapter 1.2) Diberikan masalah nilai awal danbatas untuk persamaan panas seperti berikut:

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0

u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, 1]

u(0, t) = a(t), u(1, t) = b(t), t ≥ 0

dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0).

1. Tentukan nilai v(k∆x , n∆t) untuk n = 0, 1, 2, · · · 5, denganf (x) = sin(2πx), a = b = 0, M = 10, µ = 1/6, dan∆t = 0.05!

2. Sama dengan pertanyaan (a), akan tetapi gunakan ∆t = 0.01!

Latihan

Problem 1D heatLatihan 1D heat kerjakan pakai Excel

Latihan

Problem 1D heatLatihan 1D heat dt=0.05

Latihan

Problem 1D heatLatihan 1D heat dt=0.01

Algorithm

Problem 1D heatQuestion!

Bagaimana jika diminta untuk melakukan simulasi sampai n = 100?Tentu saja dengan menggunakan kalkulator akan sangat tidakesien. Sehingga diperlukan alat bantu bahasa pemrograman untukmempercepat perhitungan. Dalam hal ini dapat menggunakanbahasa pemrograman MATLAB/Octave.

Akan tetapi, sebelum menggunakan MATLAB/Octave, ada baiknyakita bahas mengenai Algoritma dari persamaan panas 1D yangsudah di bahas sebelumnya.

Algorithm

Problem 1D heatAlgorithm

Algorithm

Problem 1D heatDemo

Buatlah program dari Algoritma 1 menggunakan MATLAB/Octave! Gunakan nilai dan parameter pada masalah PDP dalam contohsebelumnya!

Algorithm

Results

Algorithm

Problem 1D heatHome Work!

Diberikan PDP dengan nilai awal dan batas seperti berikut:

∂u

∂t= µ

∂2u

∂x2, x ∈ (0, 1), t > 0

u(x , 0) = f (x), x ∈ [0, 1]

u(0, t) = a(t), u(1, t) = b(t), t ≥ 0

dengan f (0) = a(0), dan f (1) = b(0).

1. Tentukan nilai v(k∆x , n∆t) untuk n = 0, 1, 2, · · · 5, denganf (x) = sin πx

2, a = b = 0, M = 20, µ = 1, dan

∆t = 1.2× 10−3 menggunakan program komputer!

2. Sama dengan pertanyaan (a), akan tetapi gunakan∆t = 1.3× 10−3!

Next

Next

Next, QUIZ III, and then the Finite Dierence Method (FDM),explicit scheme will be given in order to approximate the solution of1D wave problem.

Good Luck

End of presentation!