BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Aljabar linier adalah salah satu cabang ilmu matematika, yang sangat

bermanfaat atau diperlukan di dalam perkembangan teknologi maupun ilmu

pengetahuan. Sebagai contoh, aljabar linier dapat digunakan untuk memecahkan

masalah masalah dalam mekanika untuk penyelidikan dan sebagainya. Sebuah

garis lurus dalam bidang xy secara aljabar linier dapat dinyatakan oleh persamaan

yang berbentuk :

a1x + a2y = b

Persamaan semacam ini kita namakan persamaan linier dalam peubah

(variabel) x dan peubah y. Secara lebih umum kita mendefinisikan persamaan

linier dalam n peubah x1, x2, , xn sebagai persamaan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk:

a1x1 + a2x2 + + anxn = b

di mana a1, a2, , an dan b adalah konstanta konstanta riil. Penerapan aljabar

linier ini lebih ditekankan pada masalah ruang vektor dari momentum sudut.

Vektor dalam matematika merupakan besaran dengan arah tertentu. Vektor

dapat dideskripsikan dengan sejumlah komponen tertentu tergantung dari sistem

Universitas Sumatera Utara

yang digunakan . Maksud dari bergantung pada arah adalah bahwa nila dari

besaran tadi dapat berubah pada arah yang berbeda. Arah, dalam operasi vektor

didefinisikan lebih khusus adalah sudut yang dibentuk terhadap sumbu x positif.

Misalkan vektor V adalah sebarang himpunan benda yang didefinisikan dua

operasi yakni penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Yang kita

artikan dalam penjumlahan adalah sebuah kaidah untuk mengasosiasikan dengan

setiap pasangan benda U dan V, dan yang diartikan sebagai perkalian skalar

adalah sebuah kaidah mengasosiasikan dengan setiap skalar k dan benda U di

dalam V sebuah elemen k u yang dinamakan kelipatan skalar dari U oleh k. Jika

aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w di dalam V dan oleh semua

skalar k dan l, maka kita menamakan V sebuah ruang vektor . Sebuah sub

himpunan dari S di mana sebuah sub ruang dari V, jika S itu adalah sebuah ruang

vektor di bawah penambahan dan perkalian skalar yang didefinisikan dalam V.

Jika S adalah sebuah himpunan dari satu atau lebih vektor dari sebuah ruang

vektor V maka S adalah sebuah sub ruang dari V jika dan hanya jika kondisi

kondisi berikut :

S1 : untuk sebarang x di dalam S, maka x + y di dalam S

S2 : untuk sebarang x dan sebarang bilangan riil x di dalam S

Vektor v dan w di dalam Rn dikatakan orthogonal jika v.w = 0. Sesuai

dengan definisi di atas, maka vektor nol adalah orthogonal terhadap setiap vektor

di dalam Rn. Keorthogonalan secara umum adalah suatu arah tegak lurus yang

terjadi di dalam geometri 2 dan 3 demensi. Hubungan dengan konsep geometri

adalah saling orthogonal.

Universitas Sumatera Utara

1.2 Tujuan Penelitian

1. Memahami operasi aljabar linier dalam ruang vektor.

2. Memahami sifat orthogonal dan orthonormal dalam ruang vektor.

3. Mengetahui aplikasi linier dalam fisik

1.3 Batasan Masalah

Adapun batasan masalah dalam penulisan tugas akhir ini adalah :

1. Ruang vektor linier dibatasi hanya dalam matriks 33.

2. Ruang vektor yang digunakan adalh riil.

3. Hanya digunakan untuk sistem persamaan linier bukan untuk

pertidaksamaan.

4. Aplikasi dalam fisika hanya dalm bentuk ruang vektor momentum

anguler.

1.4 Metodologi Penelitian

1. Menjelaskan aljabar linier dalam vektor.

2. Memaparkan keorthogonalan ruang vektor.

3. Menjelaskan teori persaman linier.

Universitas Sumatera Utara