Chapter I

5/10/2018 Chapter I - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/chapter-i-55a0bb8d5aaf5 1/6

1

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Perkembangan suatu teknologi sangat dipengaruhi dengan perkembangan suatu ilmu

pengetahuan. Tanpa peranan ilmu pengetahuan, bisa dipastikan teknologi akan sulit

untuk berkembang dengan cepat.

Matematika sebagai bahasa simbol yang bersifat universal sangat erat

hubungannya dengan kehidupan nyata. Kenyataan membuktikan bahwa untuk

menyelesaikan masalah-masalah kehidupan nyata dibutuhkan metode-metode

matematika.

Di dalam dunia nyata kadang terdapat masalah-masalah yang sukar

diselesaikan dalam sistemnya. Untuk menyelesaikan masalah tersebut perlu disusun

suatu pemodelan matematika yang mirip dengan keadaan sistemnya.

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang mempunyai

ciri berbeda dengan disiplin yang dimiliki oleh ilmu pengetahuan lain. Hal-hal yang

dipelajari dalam matematika terdiri atas beberapa kelompok ilmu, seperti: aljabar,

geometri, analisis, dan matematika terapan. Persamaan diferensial Parsial merupakan

salah satu cabang matematika yang termasuk dalam kelompok analisis. Salah satu

persamaan yang termasuk dalam kelompok Persamaan Diferensial Parsial adalah

Persamaan Laplace.

Persamaan Laplace merupakan bagian dari persamaan diferensial parsial yang

sangat penting dalam matematika terapan, seperti: teori perpindahan massa dan panas,



2

mekanika fluida, elastisitas, elektrostatis, dan banyak lagi di bidang mekanika juga

fisika lainnya.

Adapun bentuk – bentuk persamaan Laplace dalam koordinat tiga dimensi

adalah sebagai berikut:

a. Koordinat Cartesian:

02

2

2

2

2

22 =

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇

z

v

y

v

x

vv (1.1)

b. Koordinat tabung (Silinder): Dinyatakan dalam koordinat tabung maka

persamaan Laplace mempunyai bentuk:

011

2

2

22

22 =

∂

∂+

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=∇

z

v

r

v

r

vr

r r v

θ (1.2)

c. Koordinat Bola (Spherical): Dinyatakan dalam koordinat bola maka

persamaan Laplace mempunyai bentuk:

0sin

1sin

sin

112

2

222

22 =∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

∂

∂

∂

∂=∇

φ θ θ θ

θ θ

v

r

v

r r

vr

r r v (1.3)

Ini adalah koordinat – kordinat yang paling umum yang biasa dijumpai dalam

praktek.

Gbr.1 Koord. Kartesius



3

Gbr.2 Koord. Tabung

Gbr. 3 Koord. Bola

Akan tetapi pada tulisan ini penulis hanya membatasi pembahasan masalah

hanya pada koordinat bola (spherical) dimana persamaan Laplace yang dibahas hanya

persamaan dalam bentuk koordinat bola.

Jika persamaan Laplace diselesaikan maka akan diperoleh suatu penyelesaian

yang disebut harmonik, akan tetapi, dalam arti yang lebih terbatas istilah harmonik

dimaksud hanya untuk suatu penyelesaian persamaan Laplace dalam sistem koordinat

tertentu. Jika syarat – syarat batas suatu soal yang menyangkut persamaan Laplace

lebih sederhana dituliskan dalam sistem koordinat spherical, maka akan sangat

berguna dimiliki suatu penyelesaian umum persamaan Laplace dalam system

koordinat ini.

Sementara itu deret Fourier adalah sebuah alat matematis yang digunakan

untuk menganalisis fungsi periodik menjadi sejumlah komponen yang jauh lebih

sederhana yakni fungsi sinusoidal. Dalam tulisan ini penulis menggunakan deret

fungsi periodik. Jenis fungsi ini menarik karena ia muncul dalam berbagai persoalan



4

fisika seperti getaran mekanik, arus elektrik bolak – balik (AC), hantaran panas,

gelombang bunyi, electromagnet, dan sebagainya. Hal inilah yang melatarbelakangi

penulis untuk memilih mengekspansikan solusi umum persamaan Laplace ke dalam

deret fourier yang merupakan deret fungsi periodik.

1.2 Perumusan Masalah

Permasalahan yang dibahas dalam penelitian ini adalah

a) Menyelesaikan persamaan Laplace untuk menemukan solusi umumnya.

b) Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut adalah suatu

fungsi harmonik.c) Mengidentifikasi apakah suatu fungsi harmonik dapat diekspansikan ke

dalam deret Fourier.

d) Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat

diekspansikan ke dalam deret Fourier.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mencari syarat perlu dan cukup agar solusi

umum persamaan Laplace dapat diekspansikan ke dalam deret fourier.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian adalah membantu penyelesaian fungsi – fungsi rumit dalam

hal ini solusi umum persamaan Laplace dalam bentuk deret dimana deret yang dipilih

adalah deret fourier yang dapat dimanfaatkan oleh para fisikawan serta menambah

pengetahuan bagi penulis dan pembaca khususnya dalam menyelesaikan masalah

mekanika dan fisika.



5

1.5 Tinjauan Pustaka

Berikut ini diberikan kajian pustaka mengenai persamaan Laplace.

Dalam Matematika, persamaan Laplace adalah suatu persamaan differensial parsial.

Nama tersebut berasal dari nama penemunya yaitu, Pierre-Simon Laplace. Solusi -

solusi dari persamaan Laplace sangat penting dalan berbagai bidang dalan sains,

seperti dalam bidang elektromagnetik, astronomi, dan dinamik fluida, karena dapat

menggambarkan sifat-sifat listrik, gravitasi, dan potensial fluida. Teori umum

persamaan Laplace dikenal dengan teori potensial, dimana persamaannya dalam ruang

tiga dimensi berbentuk:

02

2

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z

v

y

v

x

v (1.4)

Banyak pilihan untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Teknik yang paling

sederhana yang dapat dipakai adalah persamaan beda hingga. Teknik yang lain adalah

metode elemen batas. Teknik ini telah dilakukan oleh Wono Setya Budhi (1997,

vol.2,hal:8-15), teknik ini khusus untuk bidang ( n = 2 ), dalam menggunakan metode

elemen batas tersebut akan berhadapan dengan operator.

( ) ( ) ( ) ( ) Ω∈= ∫ xdsg xG xv ξ ξ ξ ; (1.5)

Dengan ( ) ξ π

ξ −−= x xG ln2

1; . Operator ini disebut operator potensial layer tunggal.

Wono Setya Budhi memberikan bukti regulator dari operator dengan menggunakan

gagasan dari bukti regularitas operator Chauchy yang ada dalam syarat Dirichlet.

1.6 Metodologi Penelitian

Penelitian ini merupakan penelitian literatur. Sehingga, penulis akan melakukan studi

literatur, penelitian mandiri, pengumpulan bahan melalui buku – buku refrensi,

maupun bahan – bahan berbentuk jurnal yang diperoleh dari perpustakaan ataupun

internet (surfing) serta konsultasi dengan dosen pembimbing untuk memperoleh bahan



6

– bahan yang berhubungan dengan pokok – pokok permasalahan yang dibahas dan

juga mengikuti perkuliahan yang dengan tulisan ini dan melakukan penelitian dengan

langkah – langkah sebagai berikut:

1. Menyelesaikan persamaan Laplace untuk mendapatkan solusi

umumnya.

2. Mengidentifikasi apakah solusi dari persamaan Laplace tersebut

adalah suatu fungsi harmonik.

3. Mengidentifikasi apakah suatu fungsi harmonik dapat

diekspansikan ke dalam deret fourier.

4. Mencari syarat perlu dan cukup agar solusi umum tersebut dapat

diekspansikan ke dalam deret Fourier.

Chapter I

Documents

Transcript of Chapter I