CATATAN PERKULIAHAN TRANSFORMASI KOORDINAT...
Transcript of CATATAN PERKULIAHAN TRANSFORMASI KOORDINAT...
0
CATATAN PERKULIAHAN
TRANSFORMASI KOORDINAT
(TRANSFORMASI LINEAR DAN ORTOGONAL)
OLEH:
NURHIDAYAH, S.Pd., M.Sc.
PROGRAM STUDI FISIKA
JURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS JAMBI
2016
1
Transformasi Koordinat
1. Pendahuluan
Salah satu tugas utama untuk menyelesaikan permasalahan fisik adalah
dengan memilih koordinat yang cocok dengan sistem. Cara lain untuk
mengekspresikannya adalah dengan memilih sekelompok variabel. Kemudian
dapat mencakup integral banyak untuk volume, momentum, dan kerja yang lebih
mudah di buat dalam sistem koordinat yang benar. Dalam penyelesaian
persamaan diferensial, kita sering merubah variabel untuk membuat permasalahan
menjadi mudah.
Untuk setiap pekerjaan dalam cakupan fisik, akan lebih mudah dengan
menggunakan matriks. Untuk menunjukkan hasil kali dari dua matriks, dapat
dituliskan,
πΆ = π΄π΅ atau πΆππ = β π΄πππ π΅ππ ........(1.1)
Kemudian dapat di cari transpos dari hasil kali dari dua matriks. Dengan π΄πππ =
π΄ππ, maka
(π΄π΅)πππ = (π΄)ππ = β π΄πππ π΅ππ = β π΄ππ
π π΅πππ
π = β π΅ππππ΄ππ
ππ = (π΅ππ΄π)ππ
Sehingga,
(π΄π΅)π = π΅ππ΄π ........(1.2)
Bentuk transpos hasil kali antara dua matriks sama dengan transpos masing-
masing matriks.
Selanjutnya kita ingin membuktikan hasil yang sama untuk invers dari hasil kali,
(π΄π΅)β1 = π΅β1π΄β1 ........(1.3)
Dengan mendefinisikan invers, πΆβ1πΆ = πΌ dimana πΌ adalah matriks satuan. Oleh
karena
(π΅β1π΄β1)(π΄π΅) = π΅β1(π΄β1π΄)π΅ = π΅β1π΅ = πΌ
maka, π΅β1π΄β1 adalah invers dari π΄π΅ seperti pada persamaan (1.3).
Soal :
1. Gunakan persamaan (1.2) dan (1.3) untuk menyederhanakan (π΄π΅ππΆ)π,
(πΆβ1ππΆ)β1!
2. Tunjukkan bahwa π΄π΄π merupakan matriks simetrik !
2
2. Transormasi Linear
Transformasi linear adalah satu dari setiap variabel baru yang merupakan
kombinasi linear dari beberapa variabel lama. Dalam dua dimensi, persamaan
transformasi linear adalah
π = ππ₯ + ππ¦
π = ππ₯ + ππ¦ ...............(2.1)
Dimana a, b, c, d adalah konstan
π = 5π₯ + 2π¦
π = β2π₯ + 2π¦ ...............(2.2)
Persamaan ini dapat di interpretasi geometris dengan dua cara.
Cara pertama. Andaikan R dan r menjadi vektor.
π = π₯π + π¦π
π = ππ + ππ
Gambar 2.1
Persamaan (2.1) dan (2.2) merupakan cara untuk memperoleh vektor R ketika
diberikan r. Persamaan (2.1) yang dapat di tuliskan dalam notasi matriks sebagai
(ππ) = (
π ππ π
) (π₯π¦) ππ‘ππ’ πΉ = ππ ..............(2.3)
Dimana, R, M dan r berbentuk matriks. Matriks M disebut βmatriks
transformasiβ .
Cara Kedua menginterpretasikan Persamaan 1.1 dan 1.2
Kita buat variabel baru π₯β², π¦β² pada X, Y. Kemudian persamaan menjadi :
π₯β² = ππ₯ + ππ¦ , π¦β² = ππ₯ + ππ¦ ..............(2.4)
y
x
(x, y)
(X, Y)
r
R
3
Gambar 2.2
Ditinjau dua himpunan sumbu koordinat (x, y) dan (xβ, yβ), dan satu
vektor r = rβ dengan koordinat relatif untuk setiap himpunan sumbu
π = π₯π + π¦π = πβ² = π₯β²πβ² + π¦β²πβ² ..............(2.5)
dimana πβ²πππ πβ² adalah vektor satuan sepanjang sumbu π₯β²πππ π¦β². Matriks
transformasi M merupakan cara untuk memperoleh komponen dari vektor r =
rβ relatif terhadap sumbu π₯β²πππ π¦β² yang mana komponennya juga relatif
terhadap sumbu x dan y.
3. Transformasi Ortogonal
Secara umum, sumbu π₯β²πππ π¦β² pada persamaan (2.4) dan gambar 1.2
adalah tidak sejajar. Persamaan (2.4) adalah persamaan rotasi dan a, b, c, d
dapat dituliskan dalam sudut rotasi π sehingga persamaan menjadi:
π₯ β² = π₯ πππ π + π¦ π ππ π atau (π₯β²
π¦β²) = (
cos π π ππ πβπ ππ π πππ π
) (π₯π¦)
π¦ β² = βπ₯ sin π + π¦ cos π ..............(3.1)
Kasus khusus dari transformasi linear, yang mana disebut sebagai
transformasi ortogonal. Dengan definisi, sebuah transformasi ortogonal adalah
transformasi linear dari x, y ke xβ, yβ, sehingga
π₯2 + π¦2 = π₯β²2 + π¦β²
2 ..............(3.2)
Atau, pada gambar 2.1 persamaan (2.1) mewakili sebuah transformasi
ortogonal jika
π₯2 + π¦2 = π2 + π2 ..............(3.3)
Dapat dilihat dari gambar untuk persamaan (3.1) dan (3.2) bahwa panjang
vektor a tidak berubah oleh sebuah transformasi ortogonal. Matriks M dari
transformasi ortogonal di sebut sebuah matriks ortogonal.
r = rβ xβ
yβ
y
y
yβ
x x
xβ
4
Syarat
ππ = πβ1(π πππ‘ππππππ)
Dari persamaan (3.1) dan (2.4) diperoleh
π₯ β²2 + π¦ β²2 = (ππ₯ + ππ¦)2 + (ππ₯ + ππ¦)2
= (π2 + π2)π₯2 + 2(ππ + ππ)π₯π¦ + (π2 + π2)π¦2
= π₯2 + π¦2
dengan syarat
π2 + π2 = 1, ππ + ππ = 0, π2 + π2 = 1
Maka
πππ = (π ππ π
) (π ππ π
) = (π2 + π2 ππ + ππππ + ππ π2 + π2)
= (1 00 1
) matriks identitas
Sedemikian rupa sehingga
[ππ][π] = [πΌ]
Maka dapat dikatakan πππ matriks satuan, sehingga ππ dan M merupakan
invers dari matriks terbukti.
4. Nilai Eigen dan Vektor Eigen, matriks Pendiagonalan
Kita dapat memberikan gambaran fisik dari gambar 2.1 dan persamaan
2.1 atau 2.3. Ditinjau bidang (x, y) yang ditutupi oleh membran elastik yang dapat
di putar atau ditarik (dengan titk asal tetap). Kemudian ada titik ( x, y ) dibagi
beberapa titik ( X, Y ) setelah deformasi, dan dapat dikatakan bahwa matriks M
menggambarkan deformasi, nilai (x, y) dan vector r dan sama untuk R. Andaikan
ada vector yang tidak berubah arah oleh deformasi, sedemikian rupa sehingga R =
Β΅r dimana Β΅= konstan. Vektor tersebut dikatakan vektor eigen ( vektor-vektor
karakteristik vektor) transformasi, dan nilai dari Β΅ adalah nilai eigen (nilai-nilai
karakteristik) dari matriks transformasi M.
Nilai Eigen
Gambaran untuk menentukan nilai eigen, dapat digunakan persamaan (2.2)
dengan matriks:
5
(ππ) = ( 5 β2
β2 2 ) (π₯
π¦) (4.1)
Bentuk vektor eigen, R = Β΅r yang dalam notasi matriks:
(π
π) = (
5 β 2
β2 2 ) (
π₯
π¦) = Β΅ (
π₯
π¦) = (
Β΅π₯
Β΅π¦)
Atau
5x β 2y = Β΅π₯ or ( 5 - Β΅ )x β 2y = 0 ( 4. 2 )
-2x + 2y = Β΅π¦ -2x + ( 2 - Β΅ )y = 0
Jika kita mencoba untuk memecahkan suatu persamaan homogen
dengan determinan, kita akan memperoleh x = 0, y = 0 (karena konstanta
pada ruas kanan adalah nol) kecuali determinan dari koefisien yang sama
dengan nol. Dalam kasus persamaan yang terakhir akan bergantung dan
akan memperoleh himpunan tak berhingga dari solusi tersebut. Kondisi
tersebut dijadikan solusi dari (4.2) selain x = y = 0, yakni:
( 4.3 )
|5 β Β΅ β2β2 2 β Β΅
| = 0
Persamaan tersebut diatas dapat dikatakan persamaan karakteristik dari
matriks M.
Untuk memperoleh persamaan karakteristik dari matriks M, kita
kurangi Β΅ dari elemen pada diagonal utama M, kemudian kita atur
determinan dari matriks yang dihasilkan sama dengan nol.
Untuk menentukan nilai karakteristik Β΅ dari M:
( 5 - Β΅ )( 2 - Β΅ ) β 4 = Β΅2 - 7 Β΅ + 6 = 0 ( 4.4 )
Β΅=1 Β΅=6 ( nilai eigen ).
Vektor Eigen
Substitusi nilai Β΅ dari persamaan( 4.4 ) ke persamaan ( 4.2 ), diperoleh:
2x β y = 0 dari persamaan ( 4.2 ) ketika Β΅ = 1;
x + 2y = 0 dari persamaan ( 4.2 ) ketika Β΅ = 6; (4.5)
jadi vector eigen adalah:
r i= ix+iy
6
sementara komponen matriksnya adalah
οΏ½ΜοΏ½π =οΏ½βοΏ½ π|οΏ½βοΏ½ π|
Contoh
Carilah nilai Eigen dan vektor Eigen dari matriks di bawah ini.
(2 0 20 2 02 0 β1
)
Penyelesaian :
(πππ) = (
2 0 20 2 02 0 β1
)(π₯π¦π§) = π (
π₯π¦π§) = (
ππ₯ππ¦ππ§
)
Dapat di tuliskan;
2π₯ β 2π§ = ππ₯ ; (2 β π)π₯ β 2π§ = 0
2π¦ = ππ¦ ; (2 β π)π¦ = 0
2π₯ β π§ = ππ§ ; 2π₯ β (1 + π)π§ = 0
Matriks nya dapat di tuliskan;
(
(2 β π) 0 20 (2 β π) 02 0 β(1 + π)
)
Untuk mencari nilai Eigen dan vektor Eigen maka, matriks di atas harus di
determinankan,
Note :
Determinan untuk matriks orde 3 adalah,
Det (π π ππ π ππ β π
) = |π (π πβ π
) β π (π ππ π
) + π (π ππ β
)|
= π(ππ β πβ) β π(ππ β ππ) + π(πβ β ππ)
Jadi,
7
Det M = [(2 β π)π₯((2 β π)π₯(β1 β π) β 0.0) β 0(0π₯(β1 β π) β 0π₯2) +
2(0π₯0 β (2 β π)π₯2)]
= [((2 β π)π₯(β2 β 2π + π + π2 β 0)) β (0) + 2(0 β (4 β 2π))]
= [((2 β π)π₯(β2 β π + π2)) + 2(β4 β 2π)]
= [(β4 β 2π + 2π2 + 2π + π2 β π3) + (β8 + 4π)]
= [(βπ3 + 2π2 + π2 β 2π + 2π + 4π β 4 β 8)]
= [(βπ3 + 3π2 + 4π β 12)]
Kemudian dapat di tentukan nilai Eigen dengan cara mencari akar-akar dari
persamaan diatas ;
βπ3 + 3π2 + 4π β 12 = 0
Cara sederhana mencari akar-akarnya adalah:
1. Bagi persamaan menjadi dua bagian sesuai dengan banyaknya orde (3 dan
2, 1 dan 0)
(βπ3 + 3π2) (4π β 12)
2. Cari faktor dari masing-masing persamaan
βπ2(π β 3) 4(π β 3)
3. Karena faktor persamaannya telah sama, maka dapat dituliskan;
(βπ2 + 4)(π β 3)
Jika di kali pelangi maka, hasinya akan sama seperti persamaan awal.
4. Sehingga dapat ditentukan akar-akarnya
(βπ + 2) (π + 2) (π β 3)
β π = β2 π = β2 π = 3
π = 2 π = β2 π = 3
5. Jadi, diketahui akar-akarnya yaitu , π = β2 , π = 2 , π = 3. Dan sekaligus
diketahui nilai Eigennya.
(2 β π)π₯ β 2π§ = 0
(2 β π)π¦ = 0
2π₯ β (1 + π)π§ = 0
8
π = β2
(2 β (β2))π₯ β 2π§ = 0
4π₯ β 2π§ = 0
2π₯ β π§ = 0
(2 β (β2))π¦ = 0
4π¦ = 0
2π₯ β (1 + (β2))π§ = 0
2π₯ β 1π§ = 0
π = 2
(2 β 2)π₯ β 2π§ = 0
β2π§ = 0
(2 β (2))π¦ = 0
0π¦ = 0
2π₯ β (1 + 2)π§ = 0
2π₯ β 3π§ = 0
π = 3
(2 β 3))π₯ β 2π§ = 0
βπ₯ β 2π§ = 0
(2 β 3)π¦ = 0
βπ¦ = 0
2π₯ β (1 + 3)π§ = 0
2π₯ + 4π§ = 0
Maka, vektor Eigennya adalah
ππ = π₯π + π¦π
πβ2 = π₯π + π¦π + π§π
πβ2 = π β 2π
π2 = π₯π + π¦π + π§π
π2 = 0
π₯ = 1
π¦ = 0
π§ = β2
π₯ = 0
π¦ = 0
π§ = 0
π₯ = 2
π¦ = 0
π§ = 1
π3 = π₯π + π¦π + π§π
π3 = 2π + π
9
Soal:
1. Tentukan invers dari transformasi, tentukan x,y dalam bentuk xβ, yβ, dan
apakah transformasi ini disebut ortogonal?
yxy
yxx
'
,32'
2. Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
02
23
5. APLIKASI DIAGONALISASI
Kita mengambil beberapa contoh sederhana, dengan menggunakan proses
pendiagonalan. Bagian pusat kerucut di titik asal memiliki persamaan :
π΄π₯2 + 2π»π₯π¦ + π΅π¦2 = πΎ (5.1)
Dimana A,B,H dan K adalah konstanta. Dalam matriks dapat ditulis
dengan persamaan :
(π₯ π¦) (π΄ π»π» π΅
) (π₯π¦) = πΎ Atau (π₯ π¦)π (
π₯π¦) = πΎ (5.2)
Jadi kita tulis dengan persamaan :
(π΄ π»π» π΅
) = π
Misalkan sumbu (xβ, yβ) diputar oleh sudut π dari titik (x,y). Maka koordinat
(x,y) dan (xβ,yβ) adalah
(π₯π¦) = (
πππ π βπ ππππ ππ π πππ π
) (π₯β²π¦β²
) ππ‘ππ’ (π₯π¦) = πΆ (
π₯β²π¦β²
) (5.3)
Oleh (1.2), transpos dari persamaan (5.3) yaitu:
(π₯ π¦) = ( π₯β²π¦β²) (πππ π π πππβπ ππ π πππ π
) (5.4)
Atau (π₯ π¦) = (π₯β² π¦β²)πΆπ = (π₯β² π¦β²)πΆβ1
dimana C disebut matriks yang mendiagonalkan matriks M. Dengan mensubsitusi
(5.3) dan(5.4) ke (5.2) diperoleh :
10
(π₯β²π¦β²)πΆβ1 ππΆ (π₯β²π¦β²
) = πΎ (5.5)
Contoh:
Tinjau suatu konik
5π₯2 β 4π₯π¦ + 2π¦2 = 30 (5.6)
Dapat ditulis dalam bentuk matriks
3022
25
y
xyx (5.7)
Sehingga
22
25M
Dengan nilai eigennya telah ditentukan pada contoh sebelumnya, sehingga
60
011 DMCC
Berdasarkan persamaan (5.5), maka
30'6''
'
60
01'' 22
yx
y
xyx (5.8)
Dengan menentukan vektor eigennya, maka diperoleh sudut rotasi π dari sumbu
asal (x,y) ke sumbu (xβ,yβ)
5
1arccos (5.9)
Soal:
1. Tentukan sudut rotasi dari persamaan konik 2π₯2 + 4π₯π¦ β π¦2 = 24
2. Tentukan frekuensi karakteristik dan mode getaran karakteristik dari
sistem pegas
11
6. KOORDINAT LENGKUNG
Sebelum kita membahas tensor non-Cartesian kita perlu berbicara tentang
beberapa sifat-sifat lengkung sistem koordinat seperti koordinat bola atau
silinder.Dengan menggunakan dua familiar sistem-sistem koordinat kartesian (x,
y, z) dan koordinat silinder (R, ΞΈ, z). Unsur-unsur dari panjang busur dalam dua
sistem ini diberikan oleh:
ππ 2 = ππ₯2 + ππ¦2 + ππ§2 (6.1)
ππ 2 = ππ2 + π2ππ2 + ππ§2
sebagai contoh untuk koordinat silinder terdiri dari :
x = r cos ΞΈ,
y = r sin ΞΈ,
z = z,
maka kita peroleh
dx = cosΞΈ dr β r sinΞΈ dΞΈ,
dy = sinΞΈ dr + r cosΞΈ dΞΈ, (6.2)
dz = dz
dengan mengkuadratkan persamaan tersebut dan menjumlahkan hasilnya, maka
diperoleh
ππ 2 = ππ₯2 + ππ¦2 + ππ§2 = ππ2 + π2ππ2 + ππ§2 (6.3)
Vektor-vektor satuan dalam Koordinat lengkung
Misalkan suatu titik dalam koordinat kartesian (X,Y,Z) sebagai fungsi dari
(U1,U2,U3), maka dapat ditulis:
(6.4)
atau
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, ,
, ,
, ,
X X U U U
Y Y U U U
Z Z U U U
1 1
2 2
3 3
, ,
, ,
, ,
U U X Y Z
U U X Y Z
U U X Y Z
12
Untuk permukaan koordinat lengkung misalkan:
u1=c1 ,u2=c2 ,u3=c3
dimana c1, c2, c3, adalah konstan, sedangkan u1, u2, u3 adalah garis koordinatnya
yang tegak lurus terhadap koordinat ortogonalnya.
Misalkan titik P dalam koordinat kartesian dinyatakan dengan vektor posisi
(6.5)
Sesuai persamaan (6.4), dapat ditulis
(6.6)
Dengan U1,U2,U3 adalah garis-garis koordinat lengkung
Sebuah vektor singgung pada kurva U1 di P adalah
Dimana U2 dan U3 konstan
Maka vektor satuan pada U1 adalah
(6.7)
ΛΛ Λ , ,r xi yj zk r r x y z
1 2 3, ,r r U U U
1
r
U
11 1
1 1
1
1 1
1
22 2
2 2
2
2 2
2
33 3
3 3
3
3 3
3
Λ Λ
Λ
Λ Λ
Λ
Λ Λ
Λ
rU r r
e eU Ur
U
rh e
U
rU r r
e eU Ur
U
rh e
U
rU r r
e eU Ur
U
rh e
U
13
Karna U1 adalah sebuah vektor normal terhadap permukaan U1= U1 maka vektor
satuan dalam arah ini (dititik P) adalah
Suatu vektor A di dalam koordinat lengkung dapat dinyatakan dalam vektor
satuan
Misalnya
Elemen elemen busur dan elemen volume koordinat lengkung
1. Elemen panjang busur (ds)
Misalkan suatu titik P dalam ordinat tegak lurus (ortogonal) dinyatakan dalam
kartesian
Mengingat persamaan (6.6) titik P dalam koordinat lengkung dapat
dinyatakan secara umum
(6.8)
Maka
(6.9)
11 1 1 1
1
2 2 2
3 3 3
Λ Λ
sehingga
Λ
Λ
UE U U E
U
U U E
U U E
1 2 3
1 2 3
Λ Λ Λ, , normal terhadap permukaan-permukaan koordinat
Λ Λ Λ, , vektor satuan yang menyinggung kurva-kurva koordinat
E E E
e e e
1 2 3 1 2 3Λ Λ Λ Λ Λ Λ, , atau , ,E E E e e e
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3Λ Λ ΛΛ Λ ΛA A e A e a e a E a E a E
ΛΛ Λr xi yj zk
1 2 3, ,r r U U U
1 2 3
1 2 3
r r rdr dU dU dU
U U U
2
1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3
.
Λ Λ Λ Λ Λ Λ
ds dr dr
h e dU h e dU h e dU h e dU h e dU h e dU
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3ds h dU h dU h dU
14
2. Elemen volume (dV)
Untuk menentukan elemen volume suatu koordinat lengkung
7. Faktor skala dan Vektor Basis Untuk Sistem Ortogonal
Dalam koordinat kartesian, jika x, y, z, adalah koordinat partikel, dan x berubah
oleh dx dengan y dan z konstan, maka jarak partikel yang berpindah ds = dx.
Namun, dalam sistem silinder, jika ΞΈ berubah oleh dΞΈ dengan r dan z konstan,
jarak partikel berpindah tidak sama dengan dΞΈ, tapi ds = r dΞΈ. Faktor-faktor
seperti r di rdΞΈ yang memperbanyak turunan-turunan dari koordinat untuk
mendapatkan jarak yang dikenal sebagai faktor skala .
Dalam koordinat silinder memiliki komponen dr, rdΞΈ, dz dalam arah er, eΞΈ, ez:
ds = er dr + eΞΈ r dΞΈ + ez dz. (7.1)
Maka ππ 2 = ππ β ππ yang diberikan oleh persamaan (6.1), karena vektor e tegak
lurus dan merupakan satuan panjang.
Kita dapat menentukan hubungan antara vektor basis dari sistem koordinat
lengkung (er, eΞΈ, ez dalam koordinat silinder) dan i, j, k. Sebagai ilustrasi dengan
metode aljabar untuk menentukan hubungan antara dua himpunan vektor basis
dengan menentukannya dalam sistem koordinat silinder.
ds = i dx + j dy + k dz
3 3 3Λh e dU
2 2 2Λh e dU
1 1 1Λh e dU
1 1 1 2 2 2 3 3 3
1 2 3 1 2 3
Λ Λ Λ.dV h e dU h e dU h e dU
h h h dU dU dU
15
= i (ππ₯
ππ ππ +
ππ₯
ππ ππ) + j (
ππ¦
ππ ππ +
ππ¦
ππ ππ) + k dz. (7.2)
Dengan menggunakan x = r cos ΞΈ, y = r sin ΞΈ maka diperoleh
er = i ππ₯
ππ + j
ππ¦
ππ = i cos ΞΈ + j sin ΞΈ,
reΞΈ= i ππ₯
ππ + j
ππ¦
ππ = -ir sin ΞΈ + jr cos ΞΈ, (7.3)
ez = k
Perhatikan bahwa er sudah merupakan vektor satuan sejak sin2 ΞΈ + cos2 ΞΈ = 1, tapi
reΞΈ harus dibagi dengan faktor skala r untuk mendapatkan eΞΈ vektor satuan. Hal ini
sering digunakan untuk vektor basis yang akan kita sebut ar dan aΞΈ (yang belum
tentu satuan panjang), yang diberikan oleh koefisien dr dan dΞΈ . Sedemikian rupa
sehingga
ar= er merupakan vaktor satuan
aΞΈ= βir sin ΞΈ + j r cos ΞΈ memiliki magnitudo | aΞΈ |= r,
eΞΈ = 1
π aΞΈ = -i sin ΞΈ + j cos ΞΈ
Kita dapat menggunakan formula ini untuk menentukan kecepatan dan percepatan
partikel dalam koordinat silinder, dan formula yang sama untuk setiap sistem
koordinat. Perpindahan partikel tersebut dari titik asal pada waktu t dalam
koordinat silinder:
S = rer + zez
Maka:
ππ
ππ‘ =
ππ
ππ‘ er + r
π
ππ‘ (er) + =
ππ§
ππ‘ ez
π
ππ‘(ππ) = βπ sin π
ππ
ππ‘ er + j cos ΞΈ
ππ
ππ‘+ =eΞΈ
ππ
ππ‘
ππ
ππ‘ = rΛ er + r ΞΈΛ eΞΈ + zΛ ez
16
Soal :
1. Tunjukkan bahwa sistem koordinat silinder adalah sistem koordinat
orthogonal!
2. Tentukan ds2, faktor skala, vektor ds, dan elemen volume dari sistem
koordinat paraboloidal u, v, :
22
2
1
sin
cos
vuz
uvy
uvx