C.1. menurunkan dan menerapkan aturan sinus
5
1 Recreated by Heri Sudiana & Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/ C. ATURAN SINUS DAN COSINUS 1. Menurunkan dan Menerapkan Aturan Sinus Untuk menurunkan aturan sinus, perhatikan dengan seksama segitiga lancip di samping. Misalkan, h adalah garis tinggi segitiga yang ditarik dari titik C sehingga diperoleh ∆ADC dan ∆BCD. Dengan menggunakan perbandingan sinus diperoleh hal-hal berikut : Dari segitiga siku-siku ADC diperoleh A b h b h A sin . sin = ⇔ = ….(1) Dari segitiga siku-siku BCD diperoleh B a h a h B sin . sin = ⇔ = ….(1) Dari (1) dan (2), diperoleh : A b B a sin . sin . = B b A a sin sin = ⇔ = ……..(3) Jika pada ∆ABC ditarik garis tinggi dari titik B ke sisi AC, dengan cara yang sama dapat dibtuktikan bahwa A c C a sin . sin . = C c A a sin sin = ⇔ = ……..(4) Dengan menggabungkan hasil (3) dan (4), diperoleh C c B b A a sin sin sin = = ………….(5) Persamaan (5) tersebut disebut dengan aturan sinus. Aturan sinus dapat langsung digunakan untuk menentukan unsure-unsur lain dalam suatu segitiga sebarang untuk dua kasus berikut : • Dua sudut (sd) dan satu sisi (ss) diketahui (kasus sd-sd-ss atau sd-si-sd). • Dua sisi (ss) dan satu sudut di depan salah satu sisi itu diketahui (kasus si-si-sd). Untuk memahami aturan sinus, pelajarilah contoh berikut : A B C a b c D h
-
Upload
smkn-9-bandung -
Category
Documents
-
view
1.540 -
download
0
Transcript of C.1. menurunkan dan menerapkan aturan sinus
1
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
C. ATURAN SINUS DAN COSINUS
1. Menurunkan dan Menerapkan Aturan Sinus
Untuk menurunkan aturan sinus, perhatikan dengan
seksama segitiga lancip di samping. Misalkan, h adalah
garis tinggi segitiga yang ditarik dari titik C sehingga
diperoleh ∆ADC dan ∆BCD. Dengan menggunakan
perbandingan sinus diperoleh hal-hal berikut :
Dari segitiga siku-siku ADC diperoleh Abhb
hA sin.sin =⇔= ….(1)
Dari segitiga siku-siku BCD diperoleh Baha
hB sin.sin =⇔= ….(1)
Dari (1) dan (2), diperoleh :
AbBa sin.sin. =
B
b
A
a
sinsin=⇔ = ……..(3)
Jika pada ∆ABC ditarik garis tinggi dari titik B ke sisi AC, dengan cara yang sama
dapat dibtuktikan bahwa
AcCa sin.sin. =
C
c
A
a
sinsin=⇔ = ……..(4)
Dengan menggabungkan hasil (3) dan (4), diperoleh
C
c
B
b
A
a
sinsinsin== ………….(5)
Persamaan (5) tersebut disebut dengan aturan sinus.
Aturan sinus dapat langsung digunakan untuk menentukan unsure-unsur lain dalam
suatu segitiga sebarang untuk dua kasus berikut :
• Dua sudut (sd) dan satu sisi (ss) diketahui (kasus sd-sd-ss atau sd-si-sd).
• Dua sisi (ss) dan satu sudut di depan salah satu sisi itu diketahui (kasus si-si-sd).
Untuk memahami aturan sinus, pelajarilah contoh berikut :
A B
C
a b
c D
h
2
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
Contoh Soal 1
Diketahui segitiga ABC dengan sudut A = 30o, b = 4, dan a = 3. Hitunglah unsur-
unsur yang belum diketahui.
Jawab :
Dikathui A = 30o, a = 3, dan b = 4. Ini adalah kasus
si-si-sd sehingga dapat langsung diselesaikan dengan
aturan sinus.
• Menentukan besar sudut B
( ) o
o
B
B
B
B
a
AbB
A
a
B
b
8,41667,0sin
3
2sin
3
2
3
.4sin
3
30sin.4sin
sin.sin
sinsin
1
1
21
==⇔
=⇔
==⇔
=⇔
=⇔
=
−
−
Oleh karena sinus bernilai positif berada di kuadran I dan kuadran II, maka sudut lain
yang memenuhi adalah (180o – 41,8o) = 138,2o.
• Menentukan besar sudut C
Diketahui jumlah sudur-sudut dalam segitiga adalah 180o. Oleh karena itu berlaku
A + B + C = 180o
C = 180o – (A + B)
Untuk B = 41,8o, maka C = 180o – (30o + 41,8o) = 108,2o
Untuk B = 138,2o, maka C = 180o – (30o + 138,2o) = 11,8o.
A B
C
4 3
30o
3
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
• Menentukan panjang sisi C
Untuk besar sudut C = 108,2o
7,5
)95.0.(6
)95,0.(3
30sin
2,108sin.3
sin
sin.sinsin
21
=⇔=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=
c
c
c
c
A
Cac
A
a
C
c
o
o
Contoh Soal 2
Pada segitiga ABC diketahui AB = 6, A = 37o, dan C = 120o. Jika diketahui sin 37o =
0,6, tentukan unsur lain dalam segitiga ABC.
Jawab :
Dari gambar tersebut, tampak bahwa masalah tersebut
termasuk kasus sd-sd-si. Dengan demikian, unsur-
unsur lainnya dapat langsung dihitung dengan aturan
sinus.
Oleh karena jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o, sudut B dapat ditentukan.
A + B + C = 180o
B = 180o – (A + C)
B = 180o – (37 + 120)o= 23o
Panjang sisi a ditentukan sebagai berikut :
o
o
a
C
Aca
C
c
A
a
120sin
37sin.6
sin
sin.sinsin
=⇔
=⇔
=
Untuk besar sudut C = 11,8o
224,1
)204,0.(3
30sin
8,11sin.3
sin
sin.sinsin
21
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=
c
c
c
A
Cac
A
a
C
c
o
o
A B
C
b a
c = 6
37o
120o
4
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
34,2
3
3)6,0(12
3
3.
3
)6,0.(12
3
)6,0.(12
3
)6,0.(6120sin
37sin.6
21
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
a
a
a
a
a
ao
o
Panjang sisi b ditentukan sebagai berikut :
3
)391,0.(12
3
)391,0.(6120sin
23sin.6
sin
sin.sinsin
21
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=
b
b
b
C
Bcb
C
c
B
b
o
o
Contoh Soal 3
Pada segitiga ABC diketahui AB = 10, A = 53o (sin 53o = 0,8), dan B = 45o. Tentukan
unsur lain dalam segitiga ABC tersebut.
Jawab :
Tampak pada gambar bahwa masalah tersebut
termasuk kasus sd-si-sd. Dengan demikian,
unsure lainnya dapat langsung dihitung dengan
aturan sinus.
3564,1
3
3)391,0.(12
3
3.
3
)391,0.(12
=⇔
=⇔
=⇔
b
b
b
A B
C
b a
c = 10
53o 45
o
5
Recreated by Heri Sudiana &
Published on http://www.matematika-pariwisata.moodlehub.com/
Oleh karena jumlah sudut dalam suatu segitiga 180o, sudut C dapat ditentukan.
A + B + C = 180o
C = 180o – (A + B)
C = 180o – (53 + 45)o= 82o
Panjang sisi a ditentukan sebagai berikut :
08,8
99,0
)8,0.(1082sin
53sin.10
sin
sin.sinsin
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=
a
a
a
C
Aca
C
c
A
a
o
o
Panjang sisi b ditentukan sebagai berikut :
205,5
99,0
25
99,0
2.10
82sin
45sin.10
sin
sin.sinsin
21
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=⇔
=
b
b
b
b
C
Bcb
C
c
B
b
o
o
