Bilangan Pi Π

Rukmono Budi Utomo(30115301)

February 28, 2016

1 Asal Usul Bilangan Pi

Bilangan Pi atau dilambangkan dengan π merupakan sebuah bilangan tak berujungyang diperoleh dari rasio atau perbandingan antara keliling suatu lingkaran dengandiameternya. Bilangan π bukanlah bilangan rasional, hal ini dikarenakan bilangan πtidak dapat disajikan oleh suatu pembagian a

b dengan a dan b bilangan bulat dan bsendiri tidak boleh sama dengan nol. Sebuah ilustrasi mudah untuk memahami bilanganπ ini adalah apabila terdapat suatu lingkaran dengan diameter sebesar 1 satuan panjang(meter) maka diperlukan π meter untuk mengelilingi lingkatan tersebut.

(Gambar:https://id.wikipedia.org/wiki/Pi)

Gambar di atas merupakan sebuah lingkaran dengan diameter d dan keliling c. Niai πmerupakan rasio atas pembagian c dengan d, atau dengan kata lain π = c

d . Nilai π se-lalu bernilai konstan, artinya nilai π tersebut tak tergantung pada ukuran lingkaran.Hal ini memberi arti bahwa apabila suatu lingkaran memiliki diameter dua kali li-pat daripada lingkaran lainnya, maka lingkaran tersebut juga akan memiliki kelilingyang dua kali lipat lebih besar, sehingga nilai π nya akan selalu sama. Bilangan πtidaklah terhingga, sehingga sangat sulit atau mungkin tidak akan mungkin menuliskanπ dalam rasio dua bilangan bulat. Tiga puluh desimal pertama bilangan π adalah3, 141592653589793238462643383279.

1

2 Uaha-Usaha Pendekatan π

2.1 Pendekatan Poligon SM-Awal Masehi

Lebih dari 4000 tahun sebelum masehi, dipercayai bahwa orang-orang dari bangsa babilo-nia sudah mengenai suatu bilangan yang saat ini disebut sebagai π. Saat itu bangsa ba-bilonia menetapkan bilangan π = 3. Perkembangan yang lebih baik bagi bangsa babilo-nia ialah mulai memikirkan bahwa nilai π = 3 tidaklah akurat, maka pada tahun 1900-1600 SM bangsa babilonia menetapkan bilangan π = 3.125 atau π = 25

8 . Pada tahun 1850SM, bangsa mesir telah melakukan perhitungan luas lingkaran dengan menggunakan ni-lai π = 162

92≈ 3.1605Bangsa india menetapkan bahwa bilangan π =

√10 ≈ 3.1622 sejak

tahun 150 SM(1)

Definisi π sebagai rasio keliling lingkaran terhadap diameternya dan metode pen-dekatan yang lebih akurat dapat ditemukan dari catatan ilmuwan Yunani yakni Archimedespada tahun 250 SM. Perhitungan keliling lingkaran yang dilakukan oleh Archimedes se-bagai bentuk pendekatan (approximate) lingkaran sebagai suatu polygon, yakni bentuksegi-banyak sama sisi. Archimedes menghitung keliling lingkaran berdasarkan panjangsisi polygon segi-96 sama sisi yang digunakan sebagai perimeter dalam dan perimeter luarsuatu lingkaran, sehingga dihasilkan nilai batas bawah dan batas atas 223

71 < π < 227 .

Pendekatan polygonal Archimedes ini mendominasi metode pencarian nilai π hingga1000 tahun lebih, bahkan pendekatan nilai π = 22

7 yang sempat dikenal sebagai kon-stanta Archimedes masih digunakan hingga sekarang(2)

Pada zaman Cina kuno, sekitar tahun 1 Masehi, nilai π adalah 3,1547 dan padatahun 100, nilai π diperbaiki menjadi sekitar 3,1623. Perkembangan selanjutnya padaabad ke 3, orang menetapkan bahwa nilai π = 142

45 ≈ 3, 1556, kemudian Sekitar tahun265, matematikawan dari Kerajaan Wei, Liu Hui, menemukan algoritme iteratif berbasispoligon yang digunakan dengan 3072-gon untuk menghasilkan nilai π sebesar 3,1416.Liu kemudian menciptakan metode yang lebih cepat dan mendapatkan nilai 3,14 denganmenggunakan 96-gon. Matematikawan Cina Zu Chongzhi sekitar tahun 480 menghitungbahwa nilai π ≈ 355

113 dan dengan menggunakan algoritme Liu Hui dan menerapkannyamenggunakan 12.288-gon. Nilai yang didapatkannya adalah 3,141592920... dan akuratsebanyak tujuh digit. Nilai pendekatan ini merupakan nilai yang paling akurat selama800 tahun ke depan.

Nilai π dapat diperkirakan dengan menghitung keliling poligon dalam dan luar lingkaran

(Gambar:https://id.wikipedia.org/wiki/Pi)

2

2.2 Awal tahun 1400-1700 Masehi

Astronom Persia Jamshid al kashi menghasilkan 16 digit nilaiπ pada tahun 1424 meng-gunakan poligon bersisi 3x228. Ini kemudian menciptakan rekor untuk 180 tahun.Matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1579 mencapai 9 digit menggu-nakan poligon bersisi 3x217. Matematikawan Flandria mencapai 15 digit desimal padatahun 1593. Pada tahun 1596, matematikawan Belanda Ludolph van Ceulen mencapai20 digit, dan rekor ini dipecahkan oleh dirinya sendiri mencapai 35 digit. Ilmuwan Be-landa Willebrord Snellius mencapai 34 digit pada tahun 1621, dan astronom AustriaChristoph Grienberger mencapai 38 digit pada tahun 1630 adalah nilai terakurat yangdidapatkan secara perhitungan manual menggunakan pendekatan poligon.

2.3 Abad ke 16 dan 17

Perhitungan π direvolusi oleh berkembangnya teknik deret tak terhingga pada abad ke-16 dan 17. matematikawan Perancis Francois Viete pada tahun 1593 merumuskan suatuperkalian tak hingga untuk menghampiri nikai dari π, yakni

2

π=

√2

2

√2 +√

2

2

√2 +

√2 +√

2

2...

Pada tahun 1706, John Machin menggunakan deret Gregory-Leibniz untuk menghasilkanalgoritme yang berkonvergen lebih cepat yakni sebagai pendekatan atas bilangan π

π

4= 4 arctan

1

5− arctan

1

239

Dalam sumber yang lainnya Gregory-Leibniz merumuskan Deret tak terhingga untukmenaksi nilai π yakni

π =4

1− 4

3+

4

5− 4

7+

4

9− 4

11+

4

13− · · ·

kekonvergenan untuk deret ini sangatlah lambat, bahkan sampai dengan suku ke 500.000,deret ini hanya menghasilkan lima digit desimal yang benar untuk nilai π.

Berbeda dengan deret yang diperkenalkan oleh Gregory-Leibniz, Nilakantha padaabad ke 15 memperkenalkan sebuah deret yang lebih cepat berkonvergen untuk meng-hampiri niai π yakni

π = 3 +4

(2) (3) (4)− 4

(4) (5) (6)+

4

(6) (7) (8)− · · ·+ · · ·

Setelah lima suku, jumlah deret Gregory-Leibniz akurat dengan selisih 0,2 dari nilai nilaiπ sebenarnya, sedangkan deret yang diperkenalkan oleh Nilakantha memiliki selisihnya0,0002. Deret Nilakantha berkonvergen lebih cepat dan lebih berguna dalam perhitun-gan nilai π .

3

Perbandingan kecepatan konvergensi deret Gregory-Leibniz dan Nilakantha terhadapnilai π dijelaskan dalam tabel dibawah ini

Deret tak hingga untuk π suku 1 suku ke 2 suku ke 3 suku ke 4 suku ke 5 nilai π

Deret Gregory-Leibniz 4.0000 2.666... 3.46666... 2.8952... 3.3396... 3.1415...Deret Nilakantha 3.0000 3.1666... 3.1333... 3.1452... 3.1396... 3.1415...

Deret lainnya yang berkonvergen lebih cepat meliputi deret Machin dan deret Chud-novsky. Deret Chudnovsky mampu menghasilkan 14 digit desimal yang benar setiapsuku.

2.4 Pembuktian Dengan Komputer dan Algoritma Kreatif

Pada tahun 1999, Yasumasa Kanada dan timnya di University of Tokyo berusaha un-tuk menghitung nilai pendekatan nlai π dengan lebih dari 200 miliar angka desimalmenggunakan super komputer HITACHI SR8000/MPP. Pada Agustus 2009, DaisukeTakahashi juga menggunakan super komputer T2K Open untuk menghitung nilai π.Setelah menghitung selama 73 jam 36 menit, super komputer tersebut berhasil menghi-tung bilangan π dalam 2.576.980.377.524 angka desimal (3).Pada akhir tahun 1800 danawal 1900, matematikawan India Srinivasa Ramanujan mempublikasikan lusinan rumus-rumus baru untuk nilai π yang berkonvergen sangat cepat, salah satu rumusnya yangdidasarkan pada persamaan modular

1

π=

2√

2

9801

∞∑k=0

(4k)! (1103 + 26390k)

k!4(3964k

)Algoritma keran lainnya, algoritma ekstraksi digit BBP ditemukan pada tahun 1995 olehSimon Plouffe yang berbunyi

π =∞∑i=0

1

16i

(4

8i+ 1− 2

8i+ 4− 1

8i+ 5− 1

8i+ 6

)Perumusan deret atau algoritma untuk menghampir nilai asli π akan selalu dilakukandan dikembangkan oleh para ilmuwan untuk mendapatkan nillai yang benar-benar aku-rat. Penelitian akan pendekatan nilai π ini selain karena kebutuhan berbagai hal sepertimenghitung luas dan keliling lingkaran, volume bola, luas permukaan bola dan fungsi-fungsi trigonometri, namun penelitian akan pendekatan akurat nilai π juga dapat menam-bah khazanah keilmuan.

REFERENSI(1),(2):http://heroe.staff.telkomuniversity.ac.id/?p=133(3) www.misteri nilai pr rumus luas dan keliling lingkaranwww.wikipedia/nilai pi

4