MAKALAH

FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS

(Bilangan Kompleks dan Modulus Bilangan Kompleks)

Dosen Pembimbing :

Syarifatul Maf’ulah, S.Pd., M.Pd

Disusun oleh :

Kelompok 1

1. Laili Rizkiyah (105 777)

2. Dwi Santoso (105 556)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

JOMBANG

2013

2

KATA PENGANTAR

―Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha

Penyayang‖.Puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena

rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul

Bilangan Kompleks dan Modulus Bilangan Kompleks

Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas mata kuliah fungsi variable

kompleks di Prodi Pend. Matematika, STKIP PGRI Jombang.

Dalam pelaksanaan tugas makalah ini banyak pihak yang telah membantu

persiapan, pelaksanaan hingga selesainya tugas makalah ini, untuk itu kami

mengucapkan terima kasih kepada :

1. Syarifatul maf’ulah, S.Pd, M.pd selaku dosen mata kuliah fungsi variable

kompleks yang telah banyak memberikan pengarahan dan bimbingan

kepada penyusun.

2. Seluruh pihak yang telah membantu penyusun hingga terselesaikannya

makalah ini, khususnya rekan-rekan mahasiswa prodi pendidikan

Matematika 2010 D STKIP PGRI Jombang.

Meskipun sudah berusaha dengan baik, tetapi kami menyadari kalau

makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh sebab itu, kami sangat menghargai

setiap kritik dan saran untuk perbaikan lebih lanjut.

Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat baik bagi

penyusun maupun semua pihak yang membacanya.

Jombang, 27 Mei 2013

Penyusun

3

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .......................................................................................... 1

KATA PENGANTAR ....................................................................................... 2

DAFTAR ISI ...................................................................................................... 3

I. Bilangan Kompleks .......................................................................... 4

II. Modulus Bilangan Kompleks ........................................................... 11

DAFTAR PUSTAKA

4

I. BILANGAN KOMPLEKS

1. Definisi Bilangan Kompleks

Definisi 1

Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:

a + bi atau a + ib dapat ditulis (a,b). a dan b bilangan real dan i2 = –1.

Notasi

Selanjutnya, kita mendefinisikan himpunan bilangan kompleks

sebagai

C = { + : R}.

Untuk kemudahan penulisan notasi, kita akan sering menggunakan

notasi z = ( ) untuk z = + , Misalkan z = + C, kita menyebut sebagai bagian real dari z,

dinotasikan dengan Re(z), dan b kita sebut bagian imajiner dari z,

dinotasikan dengan Im (z). Jika bagian imajiner suatu bilangan

kompleks adalah nol, maka kita peroleh suatu bilangan real. Dengan

demikian kita memandang sistem bilangan real sebagai subhimpunan

di sistem bilangan kompleks.

Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi bi dan dinamakan

bilangan imajiner murni.

2. Operasi Dasar pada Bilangan Kompleks

Jika z1= atau z 1= ) dan z 2= atau z 2= )

maka

A. Penjumlahan

z 1 + z 2 =( )+( ) =( )+( =( , )

atau

z 1 + z 2 =( + )

=( , )

=( )+(

5

B. Pengurangan

z 1 - z 2 =( )— ) = =( )+( ) =( )+( =[( , )]

C. Perkalian

z1×z2 =( )×( ) = + = + 2

= + =( =

D. Pembagian

=

=

=

=

3. Aksioma Dasar Bilangan Kompleks

Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan

dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun

sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3

adalah sebagai berikut:

Dimana z 1= , z 2= , dan z 3=

6

1. Bersifat tertutup pada penjumlahan

z1 + z2 C

Bukti :

z1 + z2 =(a1 + b1i) + (a2 + b2i)

= (a1 + b1i) + (b2i+ a2)

= a1 + ( b1i + b2i)+ a2

=(a1+ a2) + ( b1i + b2i)

=(a1+ a2) + ( b1 + b2)i C

2. Bersifat Komutatif pada penjumlahan

z1 + z2 = z2 + z1

Bukti :

z1 + z2 =(a1 + b1i) + (a2 + b2i)

= (a1+ a2) + ( b1 + b2) i

= (a2+ a1) + ( b2 + b1) i

=(a2+ a1) + ( b2i + b1i)

= (a2 + b2i) + (a1 + b1i)

= z2 + z1

3. Bersifat Assosiatif pada Penjumlahan

(z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )

Bukti:

(z1 + z2 ) + z3 =((a1 + b1i) + (a2 + b2i) ) + (a3 + b3i)

=((a1 + a2)+ (b1i+ b2i) ) + (a3 + b3i)

= (a1 + a2) + ((b1i+ b2i) + a3 ) + b3i

= (a1 + a2) + (a3 + (b1i+ b2i) + b3i

= ((a1 + a2) + a3 )+((b1i+ b2i) + b3i)

= (a1 + (a2 + a3 )+(b1i+ (b2i + b3i))

= a1 + ((a2 + a3)+ b1i) + ( b2i + b3i)

7

= a1 + (b1i + (a2 + a3)) + ( b2i + b3i)

= (a1 + b1i) + ((a2 + a3)) + ( b2i + b3i)

= (a1 + b1i) + ( a2 +( a3+ b2i) + b3i)

= (a1 + b1i) + ( a2 +( b2i + a3) + b3i)

= (a1 + b1i) + ((a2 + b2i) + (a3 + b3i))

= z1+ ( z2 + z3 )

4. 0 Elemen netral penjumlahan, 0 = 0 + 0 i C, sehingga z + 0 = z

Bukti:

z + 0 = ( a + b i ) + ( 0 + 0 i )

= a + ( b i + 0 ) + 0 i

= a + ( 0 + b i ) + 0 i

= ( a + 0 ) + ( b i + 0 i )

= a + b i

= z

5. z = a + b i C, -z = -a – b i

Sehingga z + (-z) = 0

Bukti:

z + (-z) = ( a + b i ) + ( -a - bi )

= ( a + b i ) + (-a +(-b i))

= a +( b i + (-a )) +( -b i)

= a +((-a ) + b i) + ( -b i)

= (a + (-a )) + ( b i + ( -b i ) )

= 0 + 0 = 0

8

6. Bersifat tertutup pada perkalian

z1 z2 C

Bukti :

z1 z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i)

= a1a2 + a1 b2 i+ a2 b1i + b1i b2i

= a1a2 + ( a1 b2 i+ a2 b1i ) + b1i b2i

= ( a1a2 + b1b2 ) +( a1 b2+ a2 b1) i C

7. Bersifat Komutatif pada perkalian

Bukti :

z1 z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i)

= (a1 a2 – b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1) i

= (a1 a2 + b1i b2 i) + (a1 b2i + a2 b1i)

= (a1 a2 + b1i b2 i) + (a2 b1i + a1 b2i )

= a1 a2 +( b1i b2 i + a2 b1i) + a1 b2i

= a1 a2 +( a2 b1i + b1i b2 i ) + a1 b2i

= (a1 a2 + a2 b1i) + ( b1i b2 i + a1 b2i)

= (a2 (a1 + b1i) + b2 i (b1i + a1 )

= (a2 + b2i) (a1 + b1i)

= z2 z1

8. Bersifat assosiatif terhadap perkalian

( z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3)

Bukti:

( z1 z2 ) z3 = ((a1 + b1i) (a2 + b2i) ) (a3 + b3i)

= ((a1 a2 – b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1) i) (a3 + b3i)

= ((a1 a2 – b1 b2) a3) + ((a1 b2- a2 b1) b3i )

+ (a3 (a1 a2 + b1 b2) i ) + ((a1 b2 - a2 b1) i b3i )

= [((a1 a2 – b1 b2) a3)- ((a1 b2 - a2 b1) b3)]

+[((a1 a2 – b1 b2) b3)+ (a3 (a1 b2 - a2 b1))] i

9

=[(a1 a2a3 – b1 b2a3)- (a1 b2b3 - a2 b1b3)]

+[(a1 a2b3 – b1 b2b3)+ (a3 a1 b2- a3 a2 b1)] i

= a1 a2a3 – b1i b2 ia3- a1 b2 ib3 i - a2 b1 ib3 i

+a1 a2b3 i – b1 i b2 ib3 i+ a3 a1 b2i- a3 a2 b1i

= a1 a2a3+ a3 a1 b2i + a1 b2 ib3 i + a2 b1 ib3 i

+ a3 a1 b2i + b1i b2 ia3+a1 b2 ib3 i + b1 i b2 ib3i

= (a1 + b1i) (a2 + a3) + (a1 + b1i) (a2 + b3i)

+ (a1 + b1i) (a3 + b2i) + (a1 + b1i) (b2i + b3i)

= (a1 + b1i) (a2 a3 + a2b3i + a3 b2i + b2ib3i )

= (a1 + b1i) ((a2 a3 - b2b3 ) + (a2b3 + a3 b2)i)

=(a1 + b1i) ((a2 + b2i) (a3 + b3i))

= z1 (z2 z3)

9. z1 (z2 z3) = (z1 z2) + (z1 z3) Sifat Distributif

Bukti :

z1 (z2 z3) = (a1 + b1i) ((a2 + b2i)+ (a3 + b3i))

= (a1 + b1i) ((a2 + a3) +(b2 + b3) i )

= (a1( a2+a3)) +(a1(b2+b3) i) + ((a2 + a3) b1i)

+ ( b1i (b2+b3 ) i )

= (a1 a2+ a2a3) + (a1 b2 i + a1 b3 i) + (a2 b1i+ a3 b1i )

+ ( (b1 +b2 ) i + (b1 +b3)i

= a1 a2+ a1 a3 + a1 b2 i + a1 b3 i + a1 b1 i + a3 bi

+ (b1 b2)i + (b1 b3) i

=( a1 a2+ a1 b1i+ a2 b1i + (b1 b2)i ) + (a1 a3 + a1 b3 i)

+ a3 b1 i+ (b1 +b3) i )

= ((a1 + b1i) (a2 + b2i) ) + ((a1 + b1i) (a3 + b3i))

= (z1 z2) + (z1 z3)

10

10. 1 adalah Elemen netral pada perkalian 1 = 1+ 0 i C, sehingga z 1 = z

Bukti :

z 1 = ( a + b i ) (1 + 0 i )

= a 1 + a 0 i + 1 b i + b i 0 i

= a + 0 + b i + 0

= a + b i = z

11. z = a + b i C, z-1 , Sehingga z z-1 = 1

Bukti :

z z-1 = 1

z z-1 = 1 + 0 i

z z-1 =( a + b i ) ( a1 + b1i )

= a a1 + a b 1i + b i b i

= (a a1 – b b1 ) + ( a b1 + a1 b ) i

(a a1 – b b1 ) + ( a b1 + a1 b ) i = 1 + 0 i

Maka

a a1 – b b1 = 1

a b1 + a1 b = 0

Eliminasi b1

a a1 – b b1 = 1 xa a2 a1 – a b b1 – b1 = a

a b1 + a1 b = 0 xb b2 a1 + a b b1 = 0

a2 a1 + b2 a1 = a

(a2 + b2) a1 = a

a1 =

Subtitusi a1

a a1 – b b1 = 1

a ( ) - b b1 = 1

- b b1 = 1

- b b1 = 1-

11

- b b1 =

b1 = : -b

b1 = X

b1 =

b1 = -

maka z1 = a1 + b1i

= + (-

)i ada.

II. MODULUS DARI BILANGAN KOMPLEKS

1. Definisi Modulus Bilangan Kompleks

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks

Definisi 2 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z,

ditulis z = x+iy = √ =√

Jika salah satu dari Re (z) atau Im (z) bernilai nol, misalnya Re(z) = 0, maka kita peroleh :

|z| = √ = |Im (z)|

Yaitu harga mutlak dari bagian imajinernya.

Sedangkan jika Im (z) = 0 maka,

|z| = √ = | Re (z) |

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik

O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks

z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah 221

221 )()( yyxx

12

2. Teorema Modulus Bilangan Kompleks

A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

2.

3.

4.

5.

Pembuktian

1. |z|2= (Re (z) )2+ (Im(z))2

Bukti:

|z|2 = (√ )2

=(√ )2 =(Re (z) )2

+(Im(z))2

2. |z| = | ̅|

Bukti : |z| = | ̅| | a + b i | = | a-b i | | a + b i | = | a + (-b)2 √ = √ √ = √

3. | z |2 = z ̅Bukti: | z |2 = z ̅| a + b i |2 = (a + b i) (a - b i) (√ )2

= a2 – a b i + a b i - b 2i2 a2 + b2 = a2 + b2

4. | z | ≥ |Re (z)| ≥ Re (z)

Bukti:

Re (z) = , |Re (z)| = | |, z = √ (i). Apakah | |

Ya, | | | |

(ii). Apakah | | √

Ya, | | √

)Im()Im(

)Re()Re(

)Im()Re(

2

222

zzz

zzz

zzz

zz

zzz

13

| | √

Dari (i) dan (ii) maka berlaku | | √ | | | | = | z | ≥ |Re (z)| ≥ Re (z)

5. | z | ≥ | | ≥ Im (z) = , |Im (z)| = | |, z = √ Dengan cara seperti diatas akan di dapat | z | ≥ | | ≥

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

2.

3.

4.

5.

Pembuktian

1. Bukti:

2. Bukti:

2121

2121

2121

2

1

2

1

2121

zzzz

zzzz

zzzz

z

z

z

z

zzzz

2121 zzzz )()( 221121 iyxiyxzz

)()( 12212121 yxyxiyyxx 2

12212

2121 )()( yxyxyyxx 2121

21

22

22

212121

22

21

22

21 22 yyxxyxyxyyxxyyxx

)()( 22

22

21

21 yxyx

)()( 22

22

21

21 yxyx

21 zz 2121 zzzz

22

22

22

11

2

1

iyx

iyx

iyx

iyx

z

z

22

22

211222

22

2121

yx

yxyxi

yx

yyxx

14

3. Bukti:

4. Bukti:

2

22

22

2112

2

22

22

2121

yx

yxyx

yx

yyxx

.2

1

22

22

21

21 terbukti

z

z

yx

yx

)()(

)()(22

22

22

22

22

22

21

21

yxyx

yxyx

222

22

212122

21

21

222121

22

21

22

21

)(

22

yx

yyxxyxyxyyxxyyxx

2121 zzzz 2

1221 )(0 yxyx 2121

21

22

22

21 20 yyxxyxyx

21

22

22

2121212 yxyxyyxx

21

22

22

21

22

21

22

212121

22

21

22

21 2 yxyxyyxxyyxxyyxx

))(()( 22

22

21

21

22121 yxyxyyxx

))((2)(2 22

22

21

212121 yxyxyyxx

2221

21

2221

21 22 yyyyxxxx

22

22

22

22

21

21

21

21 ))((2 yxyxyxyx

222

22

21

21

221

221 )()( yxyxyyxx

22

22

21

21

221

221 )()( yxyxyyxx

terbukti

zzzz 2121

2121 zzzz

2121

2121

221

2211

zzzz

zzzz

zzz

zzzz

15

DAFTAR PUSTAKA

Moesono, Joko.1985.Buku Materi Pokok Kalkulus. Jakarta:Karunika Bara S., Toto’.Analisa Variabel Kompleks (totobara@fkip.unej.ac.id) Hoseana, Jonathan.Pengantar Bilangan Kompleks.