MAKALAH
FUNGSI VARIABEL KOMPLEKS
(Bilangan Kompleks dan Modulus Bilangan Kompleks)
Dosen Pembimbing :
Syarifatul Maf’ulah, S.Pd., M.Pd
Disusun oleh :
Kelompok 1
1. Laili Rizkiyah (105 777)
2. Dwi Santoso (105 556)
SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA
JOMBANG
2013
2
KATA PENGANTAR
―Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha
Penyayang‖.Puja dan puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena
rahmat dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul
Bilangan Kompleks dan Modulus Bilangan Kompleks
Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas mata kuliah fungsi variable
kompleks di Prodi Pend. Matematika, STKIP PGRI Jombang.
Dalam pelaksanaan tugas makalah ini banyak pihak yang telah membantu
persiapan, pelaksanaan hingga selesainya tugas makalah ini, untuk itu kami
mengucapkan terima kasih kepada :
1. Syarifatul maf’ulah, S.Pd, M.pd selaku dosen mata kuliah fungsi variable
kompleks yang telah banyak memberikan pengarahan dan bimbingan
kepada penyusun.
2. Seluruh pihak yang telah membantu penyusun hingga terselesaikannya
makalah ini, khususnya rekan-rekan mahasiswa prodi pendidikan
Matematika 2010 D STKIP PGRI Jombang.
Meskipun sudah berusaha dengan baik, tetapi kami menyadari kalau
makalah ini masih jauh dari sempurna. Oleh sebab itu, kami sangat menghargai
setiap kritik dan saran untuk perbaikan lebih lanjut.
Akhir kata kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat baik bagi
penyusun maupun semua pihak yang membacanya.
Jombang, 27 Mei 2013
Penyusun
3
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .......................................................................................... 1
KATA PENGANTAR ....................................................................................... 2
DAFTAR ISI ...................................................................................................... 3
I. Bilangan Kompleks .......................................................................... 4
II. Modulus Bilangan Kompleks ........................................................... 11
DAFTAR PUSTAKA
4
I. BILANGAN KOMPLEKS
1. Definisi Bilangan Kompleks
Definisi 1
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi atau a + ib dapat ditulis (a,b). a dan b bilangan real dan i2 = –1.
Notasi
Selanjutnya, kita mendefinisikan himpunan bilangan kompleks
sebagai
C = { + : R}.
Untuk kemudahan penulisan notasi, kita akan sering menggunakan
notasi z = ( ) untuk z = + , Misalkan z = + C, kita menyebut sebagai bagian real dari z,
dinotasikan dengan Re(z), dan b kita sebut bagian imajiner dari z,
dinotasikan dengan Im (z). Jika bagian imajiner suatu bilangan
kompleks adalah nol, maka kita peroleh suatu bilangan real. Dengan
demikian kita memandang sistem bilangan real sebagai subhimpunan
di sistem bilangan kompleks.
Jika Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi bi dan dinamakan
bilangan imajiner murni.
2. Operasi Dasar pada Bilangan Kompleks
Jika z1= atau z 1= ) dan z 2= atau z 2= )
maka
A. Penjumlahan
z 1 + z 2 =( )+( ) =( )+( =( , )
atau
z 1 + z 2 =( + )
=( , )
=( )+(
5
B. Pengurangan
z 1 - z 2 =( )— ) = =( )+( ) =( )+( =[( , )]
C. Perkalian
z1×z2 =( )×( ) = + = + 2
= + =( =
D. Pembagian
=
=
=
=
3. Aksioma Dasar Bilangan Kompleks
Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan
dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun
sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3
adalah sebagai berikut:
Dimana z 1= , z 2= , dan z 3=
6
1. Bersifat tertutup pada penjumlahan
z1 + z2 C
Bukti :
z1 + z2 =(a1 + b1i) + (a2 + b2i)
= (a1 + b1i) + (b2i+ a2)
= a1 + ( b1i + b2i)+ a2
=(a1+ a2) + ( b1i + b2i)
=(a1+ a2) + ( b1 + b2)i C
2. Bersifat Komutatif pada penjumlahan
z1 + z2 = z2 + z1
Bukti :
z1 + z2 =(a1 + b1i) + (a2 + b2i)
= (a1+ a2) + ( b1 + b2) i
= (a2+ a1) + ( b2 + b1) i
=(a2+ a1) + ( b2i + b1i)
= (a2 + b2i) + (a1 + b1i)
= z2 + z1
3. Bersifat Assosiatif pada Penjumlahan
(z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3 )
Bukti:
(z1 + z2 ) + z3 =((a1 + b1i) + (a2 + b2i) ) + (a3 + b3i)
=((a1 + a2)+ (b1i+ b2i) ) + (a3 + b3i)
= (a1 + a2) + ((b1i+ b2i) + a3 ) + b3i
= (a1 + a2) + (a3 + (b1i+ b2i) + b3i
= ((a1 + a2) + a3 )+((b1i+ b2i) + b3i)
= (a1 + (a2 + a3 )+(b1i+ (b2i + b3i))
= a1 + ((a2 + a3)+ b1i) + ( b2i + b3i)
7
= a1 + (b1i + (a2 + a3)) + ( b2i + b3i)
= (a1 + b1i) + ((a2 + a3)) + ( b2i + b3i)
= (a1 + b1i) + ( a2 +( a3+ b2i) + b3i)
= (a1 + b1i) + ( a2 +( b2i + a3) + b3i)
= (a1 + b1i) + ((a2 + b2i) + (a3 + b3i))
= z1+ ( z2 + z3 )
4. 0 Elemen netral penjumlahan, 0 = 0 + 0 i C, sehingga z + 0 = z
Bukti:
z + 0 = ( a + b i ) + ( 0 + 0 i )
= a + ( b i + 0 ) + 0 i
= a + ( 0 + b i ) + 0 i
= ( a + 0 ) + ( b i + 0 i )
= a + b i
= z
5. z = a + b i C, -z = -a – b i
Sehingga z + (-z) = 0
Bukti:
z + (-z) = ( a + b i ) + ( -a - bi )
= ( a + b i ) + (-a +(-b i))
= a +( b i + (-a )) +( -b i)
= a +((-a ) + b i) + ( -b i)
= (a + (-a )) + ( b i + ( -b i ) )
= 0 + 0 = 0
8
6. Bersifat tertutup pada perkalian
z1 z2 C
Bukti :
z1 z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i)
= a1a2 + a1 b2 i+ a2 b1i + b1i b2i
= a1a2 + ( a1 b2 i+ a2 b1i ) + b1i b2i
= ( a1a2 + b1b2 ) +( a1 b2+ a2 b1) i C
7. Bersifat Komutatif pada perkalian
Bukti :
z1 z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i)
= (a1 a2 – b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1) i
= (a1 a2 + b1i b2 i) + (a1 b2i + a2 b1i)
= (a1 a2 + b1i b2 i) + (a2 b1i + a1 b2i )
= a1 a2 +( b1i b2 i + a2 b1i) + a1 b2i
= a1 a2 +( a2 b1i + b1i b2 i ) + a1 b2i
= (a1 a2 + a2 b1i) + ( b1i b2 i + a1 b2i)
= (a2 (a1 + b1i) + b2 i (b1i + a1 )
= (a2 + b2i) (a1 + b1i)
= z2 z1
8. Bersifat assosiatif terhadap perkalian
( z1 z2 ) z3 = z1 (z2 z3)
Bukti:
( z1 z2 ) z3 = ((a1 + b1i) (a2 + b2i) ) (a3 + b3i)
= ((a1 a2 – b1 b2) + (a1 b2 + a2 b1) i) (a3 + b3i)
= ((a1 a2 – b1 b2) a3) + ((a1 b2- a2 b1) b3i )
+ (a3 (a1 a2 + b1 b2) i ) + ((a1 b2 - a2 b1) i b3i )
= [((a1 a2 – b1 b2) a3)- ((a1 b2 - a2 b1) b3)]
+[((a1 a2 – b1 b2) b3)+ (a3 (a1 b2 - a2 b1))] i
9
=[(a1 a2a3 – b1 b2a3)- (a1 b2b3 - a2 b1b3)]
+[(a1 a2b3 – b1 b2b3)+ (a3 a1 b2- a3 a2 b1)] i
= a1 a2a3 – b1i b2 ia3- a1 b2 ib3 i - a2 b1 ib3 i
+a1 a2b3 i – b1 i b2 ib3 i+ a3 a1 b2i- a3 a2 b1i
= a1 a2a3+ a3 a1 b2i + a1 b2 ib3 i + a2 b1 ib3 i
+ a3 a1 b2i + b1i b2 ia3+a1 b2 ib3 i + b1 i b2 ib3i
= (a1 + b1i) (a2 + a3) + (a1 + b1i) (a2 + b3i)
+ (a1 + b1i) (a3 + b2i) + (a1 + b1i) (b2i + b3i)
= (a1 + b1i) (a2 a3 + a2b3i + a3 b2i + b2ib3i )
= (a1 + b1i) ((a2 a3 - b2b3 ) + (a2b3 + a3 b2)i)
=(a1 + b1i) ((a2 + b2i) (a3 + b3i))
= z1 (z2 z3)
9. z1 (z2 z3) = (z1 z2) + (z1 z3) Sifat Distributif
Bukti :
z1 (z2 z3) = (a1 + b1i) ((a2 + b2i)+ (a3 + b3i))
= (a1 + b1i) ((a2 + a3) +(b2 + b3) i )
= (a1( a2+a3)) +(a1(b2+b3) i) + ((a2 + a3) b1i)
+ ( b1i (b2+b3 ) i )
= (a1 a2+ a2a3) + (a1 b2 i + a1 b3 i) + (a2 b1i+ a3 b1i )
+ ( (b1 +b2 ) i + (b1 +b3)i
= a1 a2+ a1 a3 + a1 b2 i + a1 b3 i + a1 b1 i + a3 bi
+ (b1 b2)i + (b1 b3) i
=( a1 a2+ a1 b1i+ a2 b1i + (b1 b2)i ) + (a1 a3 + a1 b3 i)
+ a3 b1 i+ (b1 +b3) i )
= ((a1 + b1i) (a2 + b2i) ) + ((a1 + b1i) (a3 + b3i))
= (z1 z2) + (z1 z3)
10
10. 1 adalah Elemen netral pada perkalian 1 = 1+ 0 i C, sehingga z 1 = z
Bukti :
z 1 = ( a + b i ) (1 + 0 i )
= a 1 + a 0 i + 1 b i + b i 0 i
= a + 0 + b i + 0
= a + b i = z
11. z = a + b i C, z-1 , Sehingga z z-1 = 1
Bukti :
z z-1 = 1
z z-1 = 1 + 0 i
z z-1 =( a + b i ) ( a1 + b1i )
= a a1 + a b 1i + b i b i
= (a a1 – b b1 ) + ( a b1 + a1 b ) i
(a a1 – b b1 ) + ( a b1 + a1 b ) i = 1 + 0 i
Maka
a a1 – b b1 = 1
a b1 + a1 b = 0
Eliminasi b1
a a1 – b b1 = 1 xa a2 a1 – a b b1 – b1 = a
a b1 + a1 b = 0 xb b2 a1 + a b b1 = 0
a2 a1 + b2 a1 = a
(a2 + b2) a1 = a
a1 =
Subtitusi a1
a a1 – b b1 = 1
a ( ) - b b1 = 1
- b b1 = 1
- b b1 = 1-
11
- b b1 =
b1 = : -b
b1 = X
b1 =
b1 = -
maka z1 = a1 + b1i
= + (-
)i ada.
II. MODULUS DARI BILANGAN KOMPLEKS
1. Definisi Modulus Bilangan Kompleks
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks
Definisi 2 :
Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus dari z,
ditulis z = x+iy = √ =√
Jika salah satu dari Re (z) atau Im (z) bernilai nol, misalnya Re(z) = 0, maka kita peroleh :
|z| = √ = |Im (z)|
Yaitu harga mutlak dari bagian imajinernya.
Sedangkan jika Im (z) = 0 maka,
|z| = √ = | Re (z) |
Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik
O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks
z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah 221
221 )()( yyxx
12
2. Teorema Modulus Bilangan Kompleks
A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
Pembuktian
1. |z|2= (Re (z) )2+ (Im(z))2
Bukti:
|z|2 = (√ )2
=(√ )2 =(Re (z) )2
+(Im(z))2
2. |z| = | ̅|
Bukti : |z| = | ̅| | a + b i | = | a-b i | | a + b i | = | a + (-b)2 √ = √ √ = √
3. | z |2 = z ̅Bukti: | z |2 = z ̅| a + b i |2 = (a + b i) (a - b i) (√ )2
= a2 – a b i + a b i - b 2i2 a2 + b2 = a2 + b2
4. | z | ≥ |Re (z)| ≥ Re (z)
Bukti:
Re (z) = , |Re (z)| = | |, z = √ (i). Apakah | |
Ya, | | | |
(ii). Apakah | | √
Ya, | | √
)Im()Im(
)Re()Re(
)Im()Re(
2
222
zzz
zzz
zzz
zz
zzz
13
| | √
Dari (i) dan (ii) maka berlaku | | √ | | | | = | z | ≥ |Re (z)| ≥ Re (z)
5. | z | ≥ | | ≥ Im (z) = , |Im (z)| = | |, z = √ Dengan cara seperti diatas akan di dapat | z | ≥ | | ≥
B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :
1.
2.
3.
4.
5.
Pembuktian
1. Bukti:
2. Bukti:
2121
2121
2121
2
1
2
1
2121
zzzz
zzzz
zzzz
z
z
z
z
zzzz
2121 zzzz )()( 221121 iyxiyxzz
)()( 12212121 yxyxiyyxx 2
12212
2121 )()( yxyxyyxx 2121
21
22
22
212121
22
21
22
21 22 yyxxyxyxyyxxyyxx
)()( 22
22
21
21 yxyx
)()( 22
22
21
21 yxyx
21 zz 2121 zzzz
22
22
22
11
2
1
iyx
iyx
iyx
iyx
z
z
22
22
211222
22
2121
yx
yxyxi
yx
yyxx
14
3. Bukti:
4. Bukti:
2
22
22
2112
2
22
22
2121
yx
yxyx
yx
yyxx
.2
1
22
22
21
21 terbukti
z
z
yx
yx
)()(
)()(22
22
22
22
22
22
21
21
yxyx
yxyx
222
22
212122
21
21
222121
22
21
22
21
)(
22
yx
yyxxyxyxyyxxyyxx
2121 zzzz 2
1221 )(0 yxyx 2121
21
22
22
21 20 yyxxyxyx
21
22
22
2121212 yxyxyyxx
21
22
22
21
22
21
22
212121
22
21
22
21 2 yxyxyyxxyyxxyyxx
))(()( 22
22
21
21
22121 yxyxyyxx
))((2)(2 22
22
21
212121 yxyxyyxx
2221
21
2221
21 22 yyyyxxxx
22
22
22
22
21
21
21
21 ))((2 yxyxyxyx
222
22
21
21
221
221 )()( yxyxyyxx
22
22
21
21
221
221 )()( yxyxyyxx
terbukti
zzzz 2121
2121 zzzz
2121
2121
221
2211
zzzz
zzzz
zzz
zzzz
15
DAFTAR PUSTAKA
Moesono, Joko.1985.Buku Materi Pokok Kalkulus. Jakarta:Karunika Bara S., Toto’.Analisa Variabel Kompleks ([email protected]) Hoseana, Jonathan.Pengantar Bilangan Kompleks.
Top Related