Dr. Indah Soesanti, S.T., M.T.

Jurusan Teknik Elektro dan Teknologi Informasi

FT UGM

Bentuk umum Bilangan kompleks adalah:

z = x + y i

Atau dapat juga ditulis sebagai a + bi atau a + ib,

dengan a dan b bilangan real dan i2 = –1

Bilangan kompleks yang dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

Re

Im

)y,x(z

O

ArganBidangz

Bilangan kompleks dapat ditulis juga sebagai

a+jb, karena ‘I’ digunakan untuk arus.

Gambarkan secara grafis bilangan kompleks

berikut : x = 4 + j6

4 merupakan bilangan real positif

j6 merupakan bilangan imajiner positif

Bentuk umum bilangan kompleks juga dapat

ditulis dalam BENTUK POLAR

z = x + y i = r (cos + i sin )

Dengan

r2 = x2 + y2

x = r cos , y = r sin

Jika

Maka r2 = a2 + b2

dan

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis , maka kita dapat menuliskan z dalam persamaan EULER,

z = rei = r(cos + i sin )

dan sekawannya adalah re-i.

Bilangan kompleks z = x + y i, pasangan konjugasinya adalah z* = = x - y i.

Bilangan kompleks z = r (cos + i sin ) , pasangan konjugasinya adalah z* = r (cos - i sin ).

Bilangan kompleks z = r.ei, pasangan konjugasinya adalah z* =r.e-i

z

22)Im()Re(

)Im(2

)Re(2

z

zzzz

zzz

zzz

z

Contoh untuk

Jika menggunakan notasi standar

Penjumlahan:

Perkalian:

Jika z1 = 2- j3 dan z2 = 5+ j4

Berapa z1 + z2

Jawab :

z1 + z2 = (2-j3) + (5+j4)

= (2+5) +j(-3+4)

= 7+j

Jika z1 = 8+3i dan z2 = 9- 2i

Berapa z1 + z2 dan z1 z2

Pengurangan

Pembagian ditulis dalam bentuk pecahan,

kemudian kalikan baik pembilang maupun

penyebut dengan konjugasi penyebut

sehingga penyebut akan menjadi bilangan

real selanjutnya dijadikan bentuk x + y i.

Contoh: Jika z1 =2+i dan z2 =3+i maka z1 / z2 ??

(2 + i) : (3 + i) = i 3

i 2

x

i 3

i 3

=

22

2

i 3

i i 6

=

10

i 7 =

10

7 + i

10

1

Jika z1 = 2- j3 dan z2 = 5+ j4 Berapa z1 - z2

Jawab: z1 - z2 = (2-j3) - (5+j4) = (2-5) +j(-3-4) = -3-j7

z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1

(z1+z2)+z3= z1+(z2+z3)

(z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)

z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3)

1. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1

(sifat komutatif)

2. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3)

(sifat assosiatif)

3. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3)

(sifat distributif)

Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.

tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan z1/z2

Jawab:

a. 7+2i

b. -3+4i

c. 13+13i

d. (7/26) + (17/26)i

Ubahlah bentuk (1 + i)2 dalam bentuk r.ei

Jawab:

untuk z= 1 + i maka x=1 dan y=1

Ubahlah bentuk

ke dalam bentuk x + y i.

Jawab: 0,47 – 0,17i

)20sin i 20 (cos 2

1oo

)zIm()zIm(z

)zRe()zRe(z

zzz

zz

)zIm()zRe(z

2

222

2121

2121

2121

2

1

2

1

2121

zzzz

zzzz

zzzz

z

z

zz

zzzz

Merupakan persamaan yang

mengandung bilangan kompleks

Fungsi kompleks bermanfaat

dalam pemodelan beberapa

sistem real.

Contoh:

Tentukan harga x dan y jika: (x + y i )2 = 2 i

Ruas kiri:

(x + y i )2 = x 2 + 2 xy i - y 2

= x 2 - y 2 + 2 xy i

Komponen realnya adalah x 2 - y 2

Komponen imajinernya adalah 2 xy

Ruas kanan :

2 i = 0 + 2 i

Komponen realnya adalah 0

Komponen imajinernya adalah 2

Penyelesaian:

x 2 - y 2 = 0 dan 2 xy = 2

Dari persamaan pertama diperoleh:

x 2 = y 2 jadi x = y atau x=-y

Harga-harga ini dimasukkan ke dalam

persamaan kedua.

Untuk x = y :

2 xy = 2 2 y 2 = 2 y = + 1

Jadi penyelesaian akhirnya adalah:

x = y = +1

Jika bilangan kompleks z = r.ei maka pangkat

ke n dari z adalah

dan akar ke n dari z adalah:

zn

= n i e . r = r

n. e

i n = r

n . ( cos n + i sin n)

z n

1

= n

1

i e . r = r n

1

. e n i

= n r .

nsin i

n cos

Bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah

z = r(cos + i sin )

Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1), z2 = r2(cos 2 + i sin 2),

maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai

berikut :

z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +

i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

Jika diketahui:

z1 = r1(cos 1 + i sin 1)

z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli, z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) +

i sin (1 + 2+…+n)] . Maka jika, z = r(cos + i sin ) maka

zn = rn (cos n + i sin n)

Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai

berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan

sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka

[cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]

Dari rumus di atas diperoleh:

arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

)sini(cosr)sini(cosr

zz

222

111

2

1

2

1

2

1

rr

zz

2

1

zz

jika z = r(cos + i sin ),

maka:

Untuk:

Didapatkan

Dalil De-Moivre

nsinincosr

1

z

1

)sin(i)cos(r1

z1

nn

)nsin(i)ncos(r

1

z

1nn

)nsin(i)ncos(rz nn

Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari

bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis

Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan

kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w

diperoleh:

n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r

dan n= +2k , k bulat.

Akibatnya dan

n1

wz

nr1

nk2

Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks

w = r(cos+i sin) adalah:

z = [cos( ) + i sin ( )],

Dari persamaan zn = w, ada n buah akar

berbeda yang memenuhi persamaan itu.

k = 0,1,2,3,…,(n-1)

nk2

nk2

nr1