1 ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: Drs. Toto Bara Setiawan, M.Si. (Email :totobara@fkip.unej.ac.id) 2 BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real saja kita tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks. 3 BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi 1 Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = 1. Notasi Bilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z). 4 OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS DEFINISI 2 Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2. DEFINISI 3 Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 danz2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2) z1 z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2+x2y1) 5 Himpunan semua bilangan kompleksdiberi notasi Jadi = { z | z = x + iy, x, y }. Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadibilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaankhusus dari bilangan kompleks, sehingga . JikaRe(z)=0 dan Im(z)0, maka z menjadi iy dandinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajinermurni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuanimajiner. 6 Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian ( ,+,) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut: 1. z1+z2dan z1z2 . (sifat tertutup) 2. z1+z2= z2+z1 dan z1z2= z2z1 (sifat komutatif) 3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1z2) z3= z1(z2z3) (sifat assosiatif) 4. z1(z2+z3)=(z1z2)+(z1z3) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0 , sehingga z+0=z(0 elemen netralpenjumlahan) 7 6. Ada 1=1+i0 , sehingga z1=z (1elemen netralperkalian 7. Untuk setiap z=x+iye, ada z=xiy) sehingga z+(z)=08. Untuk setiap z=x+iye, ada z-1=sehingga zz-1=1. Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 8 menggunakan definsi yang telah diberikan. 8 Contoh soal: 1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,buktikan bahwa: z1 z2= (x1 x2)+i(y1 y2) 2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5i. tentukan z1 + z2, z1 z2 , z1z2, dan21zz9 Kompleks SekawanJika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,y) = x iy. Contoh: sekawan dari 3 + 2i adalah 3 2i , dan sekawan dari 5iadalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :z10 Teorema 1 : a. Jika z bilangan kompleks, maka : 1. 2. 3. 4. | | | |2 2) z Im( ) z Re( z z) z Im( 2 z z) z Re( 2 z zz z+ = = = +=11 b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka : 1. 2. 3. 4., dengan z20. 2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z = 2 1 2 1z z z z = 2121zzzz=|.|

\|2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z = 2 1 2 1z z z z = 2 1 2 1z z z z + = +2 1 2 1z z z z = 12 Interpretasi Geometris Bilangan KompleksKarena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut. 13 ReIm) y , x ( z -OArgan Bidangz14

ImRe2z1zO2 1z z +15 ReIm2z2z 1z2 1z z O16 Tugas : Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2, 2 1 2 1 2 1z z , z z , z , z +17 Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan KompleksDefinisi 4 : Jikaz=x+iy=(x,y)bilangankompleks,maka modulus dari z, ditulis ,z, = ,x+iy, =Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah2 2y x +22 122 1) y y ( ) x x ( + 18 Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif, maka ,z z1, = r merupakan lingkaran yang berpusat di titik z1 dengan jari-jari r. Bagaimanakah dengan ,z z1, < r dan ,z z1, > r Gambarkanlah pada bidang z. 19 Teorema 2 :A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :1. 2. 3. 4. 5. ( ) ( )) z Im( ) z Im( z) z Re( ) z Re( zz z zz z) z Im( ) z Re( z22 2 2> >> > ==+ =20 B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku : 1. 2. 3. 4. 5. Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z = x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B !2 1 2 12 1 2 12 1 2 121212 1 2 1z z z zz z z zz z z zzzzzz z z z > > + s += = 21 1. Bukti:2 1 2 1z z z z = ) iy x ( ) iy x ( z z2 2 1 1 2 1+ + = ) y x y x ( i ) y y x x (1 2 2 1 2 1 2 1+ + =2 1 2 121222221 2 1 2 122212221y y x x 2 y x y x y y x x 2 y y x x + + + + =21 2 2 122 1 2 1) y x y x ( ) y y x x ( + + =) y x ( ) y x (22222121+ + =) y x ( ) y x (22222121+ + =2 1z z =2 1 2 1z z z z = 22 2. Bukti:2 22 22 21 121iy xiy xiy xiy xzz++=22222 1 1 222222 1 2 1y xy x y xiy xy y x x++++=222222 1 1 2222222 1 2 1y xy x y xy xy y x x||.|

\|++||.|

\|++=2 22222 1 2 122212122 2 1 2 122212221) y x (y y x x 2 y x y x y y x x 2 y y x x+ + + + +=) y x ( ) y x () y x ( ) y x (2222222222222121+ ++ +=. terbuktizzy xy x2122222121=++=23 3. Bukti:

2 1 2 1z z z z + s +21 2 2 1) y x y x ( 0 s2 1 2 121222221y y x x 2 y x y x 0 + s21222221 2 1 2 1y x y x y y x x 2 + s2122222122212221 2 1 2 122212221y x y x y y x x y y x x 2 y y x x + + + s + +) y x )( y x ( ) y y x x (2222212122 1 2 1+ + s +) y x )( y x ( 2 ) y y x x ( 222222121 2 1 2 1+ + s +s + + + + +22 2 12122 2 121y y y 2 y x x x 2 x2222222221212121y x ) y x )( y x ( 2 y x + + + + + +( )22222212122 122 1y x y x ) y y ( ) x x ( + + + s + + +2222212122 122 1y x y x ) y y ( ) x x ( + + + s + + +terbuktiz z z z2 1 2 1+ s +24 4. Bukti:

2 1 2 1z z z z > 2 1 2 12 1 2 12 2 12 2 1 1z z z zz z z zz z zz z z z > s + s+ =25 Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan KompleksSelaindinyatakandalambentukz=x+iy=(x,y), bilangankomplekszdapatdinyatakanpuladalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,u). ImRe) , r ( ) y , x ( z u = =ur z =O26 Adapun hubungan antara keduanya,dan adalah : x = r cosu , y = r sinu,sehingga u = arc tanu adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz didapat jugaJadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalahz = (r, u) = r(cos u +i sin u) = r cis u.dan sekawan dari z adalah = (r, -u) = r(cos u - i sin u). |.|

\|xyz y x r2 2= + =) y , x ( ) , r ( u27 Definisi 5 : Pada bilangan kompleks z = (r, u) = r(cos u + i sin u), sudut u disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut u dengan 0 su < 2t atau -t < us t disebut argument utama dari z, ditulis u = Arg z. Pembatasan untuk sudut u tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos u1 + i sin u1) dan z2 = r2(cos u2 + i sin u2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan u1 = u2.28 Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, u) =r(cosu+isinu)=rcisu,makaandadapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = reiu, dan sekawannya adalah re-iu. Tugas: Buktikan bahwa eiu = cos u + i sin u, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos u , sinu dan et dengan mengganti t = iu.29 Contoh : Nyatakanbilangankompleksz=1+idalambentuk polar dan eksponen ! 30 Contoh : Nyatakanbilangankompleksz=1+idalambentuk polar dan eksponen ! Jawab : z = 1 + i,r =, tan u = 1, sehingga u = 45= t Jadi z = (cos t + i sin t) =cis t =241412412i4et24131 Pangkat dan Akar dari Bilangan KompleksPerkalian dan Pemangkatan Telahkitaketahuibahwabilangankompleksdalam bentuk kutub adalah z = r(cos u + i sin u). Jika z1 = r1(cos u1 + i sin u1) & z2 = r2(cos u2 + i sin u2), makakitaperolehhasilperkaliankeduanyasebagai berikut : z1 z2 = [r1(cos u1 + i sin u1)][r2(cos u2 + i sin u2)]z1 z2 = r1 r2 [(cos u1 cos u2 - sinu1sin u2) + i (sin u1 cos u2 + cos u1sin u2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (u1 + u2 ) + i sin (u1 + u2)] 32 Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg(z1 z2) = u1 + u2 = arg z1+ arg z2 Pertanyaan :Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn danz z z z z = zn ?33 Jika diketahui: z1 = r1(cos u1 + i sin u1) z2 = r2(cos u2 + i sin u2) zn = rn(cos un + i sin un), untuk n asli, maka secara induksi matematika, diperolehrumus perkalian z1 z2 zn = r1 r2 rn[cos (u1 + u2++un) + i sin (u1 + u2++un)] . Akibatnya jika, z = r(cos u + i sin u) maka zn = rn (cos nu + i sin nu).. . . . . . . . . .1 Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre (cos u + i sin u)n = cos nu + i sin nu, n asli. 34 Pembagian: Sedangkanpembagian z1 dan z2adalah sebagai berikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitur2(cos u2 - i sin u2), maka diperoleh :[cos (u1 - u2 ) + i sin (u1 - u2)] Dari rumus di atas diperoleh:argu1-u2 = arg z1 arg z2. ) sin i (cos r) sin i (cos rzz2 2 21 1 121u + uu + u=2121rrzz ==21zz35 Akibat lain jika z = r(cos u + i sin u),maka: Untuk: . Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat : . . . . . . . 2 ( )( ) u + u=u + u =n sin i n cos r1z1) sin( i ) cos(r1z1n n( ) ) n sin( i ) n cos(r1z1n nu + u =36 Dari 1 dan 2 diperoleh: ,Dalil De-Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat. ) n sin( i ) n cos( r zn nu + u =37 Contoh: Hitunglah : Jawab : Misalkan maka karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi 31tan2 1 3 z r, i 3 z= u= + = = =( )( ) ( )66o o 66o o2) 0 1 ( 2180 sin i 180 cos 2 i 330 sin i 30 cos 2 i 3 =+ = + = + = o30 = u( )6i 338 Akar Bilangan KompleksBilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis. Jika z = (cos| +i sin|) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cosu+i sinu), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn| +i sinn|) = r(cosu+i sinu), sehinggan = r dan n|= u+2kt , k bulat. Akibatnya danJadi . . . n1w z =n1r = nk 2 t + u= |39 Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cosu+i sinu) adalah: z = [cos() + i sin ()], k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,,(n-1); 0 s < 2t, sehingga diperoleh z1,z2,z3,,zn sebagai akar ke-n dari z.n1rnk 2 t + unk 2 t + unk 2 t + u40 Contoh : Hitunglah (-81)1/4 Jawab : Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81. Tulis z = (cos| +i sin|) dan 81 = 81(cos1800+i sin1800), sehingga 4(cos4| +i sin4|) = 81(cos1800+i sin1800), diperoleh 4 = 81, atau = 3 dan. Jadi z = 3[cos( )+i sin( )]Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaanterakhir. 4k 2 t + t= |4k 2 t + t4k 2 t + t41 Latihan Soal Bab I 1. Buktikan Teorema 1 dengan memisalkan z = (x,y) = x + iy. 2. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 i. Tentukan z1 + z2, z1 - z2 , z1z2, dan z1 / z2 3. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 4. Cari bilangan kompleks z yang memenuhi sifat:a. z-1 = z dan b. 5. Buktikan untuk setiap z bilangan kompleks berlaku : z1. + .z2 = 2Re(z1.) 6. Hitung jarak antara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 i. z z =1z2z2z42 7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva yang terjadi : a. ,z 5, = 6 dan ,z 5, > 6 b. ,z + i, = ,z i,c. 1 < ,z i, < 3 8.Nyatakan bilangan kompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar dan eksponen ! 9. Hitunglah (-2+2i)15 10.Tentukan himpunan penyelesaian dari : z3- i = 0 43 BAB II FUNGSI , LIMIT DAN KEKONTINUAN Sebelum dibahas mengenai fungsi kompleks, maka perlu dipelajari konsep-konsep topologi yang akan digunakan pada fungsi kompleks. Konsep-Konsep Topologi Pada Fungsi Kompleks Himpunan pada pembahasan ini adalah koleksi atau kumpulan titik-titik pada bidang Z. Dianggap anda telah memahami operasi pada himpunan yaitu gabungan, irisan, penjumlahan dan pengurangan beserta sifat-sifatnya. 44 1. Lingkungan/persekitaran a. Persekitaran zo adalah himpunan semua titik z yang terletak di dalam lingkaran yang berpusat di zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N(zo,r) atau,z zo, < r. b. Persekitaran tanpa zo adalah himpunan semua titik z=zo yang terletak di dalam lingkaran yang berpusatdi zo, berjari-jari r, r > 0. Ditulis N*(zo,r) atau 0< ,z zo, < r. 45 Contoh : a. N(i,1) atau,z i , < 1, lihat pada gambar 1 b. N*(O,a) atau 0< ,z O, < a, lihat pada gambar 2 ImRe-ii 2 -O1 gambarReImO2 gambara46 2. Komplemen Andaikan S suatu himpunan. Komplemen dari S ditulis Sc,merupakan himpunan semua titik pada bidang Z yang tidak termasuk di S. Contoh : Gambarkan ! A = { z | Im z< 1}, maka Ac = { z | Im z> 1}. B ={ z | 2 1}. B ={ z | 2 0, maka terdapat , sehingga untuk z = 2, diperoleh Jadi apabila Terbukti c = o < = += o < 0 demikian sehingga lingkaran |z zo| = o hanya melingkari titik singular lainnya. Jika o seperti itutidak ada, maka z = zo disebut titik singular tidakterisolasi.126 2. Titik Pole (titik kutub) Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku .Jika n = 1, zo disebut sebagai titik pole sederhana. 3. Titik CabangDari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular. 4. Titik Singular dapat dihapuskanTitik singular zo disebut titik singular dapat dihapuskandari f(z) jika f(z) ada. 0 A ) z ( f ) z z ( limnoz zo= = o zlim127 5. Titik Singular EssensialTitik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial. 6. Titik Singular tak hinggaJika f(z) mempunyai titik singular di z = , maka sama dengan menyatakan f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0. 128 Contoh 3.6.1 g(z) = berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z) h(z) = |z|2tidak merupakan titik singular k(z) = ln (z2 + z 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 = 2karena(z2 + z 2) = (z 1) (z + 2) = 02) 1 z (1129 3.7 Fungsi Harmonik f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R , ux = vy dan uy = vx Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = vxdiderivatifkanparsial terhadapx dan ymaka (x,y) eD berlaku uxx + uyy = 0 vxx = vyy = 0130 Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial Laplace dalam 2 dimensi. u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z) harmonik pada domain tersebut. Dua fungsi u dan v sedemikian sehinggaf(z) = u(x,y) + iv(x,y)analitik dalam suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain itu. 0y x2222=c c+c c131 Contoh 3.7.1 Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat dengan u = 4xy3 12x3y,(x,y) e Jawab :Misal diklaim konjugatnya adalah v(x,y)jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada sedemikian sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx

ux = 4y3 12x2yvy = 4y3 12x2y uy= 12xy2 4x3v= y4 6x2y2 + g(x) karena vx = uymaka 12xy2 + g(x) = 12xy2 + 4x3 sehingga g(x) = 4x3 diperoleh g(x) = x4 + C Jadi v = y4 6x2y2 + x4 + C 132 Cara Milne Thomson Cara yang lebih praktis menentukan fungsi harmonik konjugat atau dari fungsi harmonik u diberikan u(x,y) harmonik pada D andaikan v(x,y) sehinggaf(z) = u(x,y)+ iv(x,y) analitik pada Df(z) = ux(x,y) + ivx(x,y) sesuai persamaan C-R : f(z) = ux(x,y) iuy(x,y) z = x + iydan = x iy sehingga diperoleh zi 2z zy dan2z zx=+=|.|

\| +i 2z z,2z z|.|

\| +i 2z z,2z zf(z) = ux iuy 133 Suatu identitas dalam z dan, jika diambil = z maka f(z) = ux(z,0) iuy(z,0) Jadi f(z) adalah fungsi yang derivatifnyaux(z,0) iuy(z,0) kemudian didapat v(x,y) z z134 Contoh 3.7.2 Dari Contoh 3.7.1 dengan u= 4xy3 4x3y, (x,y) e , jika diselesaikan dengan menggunakan cara Milne Thomson. Jawab : ux = 4y3 12x2y uy= 12xy2 4x3 f(z) = ux(z,0) iuy(z,0) = i( 4z3) = 4iz3 sehingga f(z) = iz4 + A f(z) = i(x + iy)4 + A = 4xy3 4x3y + i(x4 6x2y2 + y4) + A