bilangan kompleks

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd

fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx

cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq

wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui

opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc

vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq



hjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzxc

vbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq



hjklzxcvbnmrtyuiopasdfghjklzxcvbn

mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwert

yuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopas

dfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklz

Bilangan Kompleks

Tugas Matematika Teknik

ISTN Desember 2012

Nurhafiz Firdaus (09310003)

Bilangan Kompleks ISTN 2012 (matematika teknik)


BILANGAN KOMPLEKS

13.1 Bilangan Kompleks dan Plan Kompleks

Fungsi kompleks (bersifat exponen, trigonometric, hiperbolic, dan fungsi

logaritmis). Ini menyamaratakan fungsi umum dari kalkulus. Solusi untuk persamaan x2

= -1

or x2

– l0x + 40 = 0. Kita dapat mengawali pengenalan bilangan kompleks dengan definisi ,

bahwa bilangan kompleks z adalah jika (x,y) dari bilangan real x dan y, dapat ditulis

z = (x,y)

dimana x adalah real dan y adalah imaginer dari z,

x = Re z, y = lm z

dari definisi dua bilangan kompleks adalah suatu persamaan jika dan hanya jika semua

persamaan real parts sama dengan imaginer part. (0,1) disebut unit imaginer dan dinotasikan

dengan i.

i = (0,1)

penjumlahan dari dua bilangan kompleks z1 = (x1,y1) dan z2 = (x2,y2) ialah

z1 + z2 = (x1,y1) + (x2,y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

Perkaliannya ialah

z1 z2 = (x1,y1) (x2,y2) = (x1 x2 - y1 y2 , x1y2 + x2y1)

Dengan ketentuan, dua definisi

(x1, 0) + (x2, 0) – (x1 + x2, 0)

Dan

(x1, 0)(x2, 0) = (x1 x2, 0)

Untuk bilangan real x1 x2 . karena bilangan kompleks “luas” maka bilangan real dapat

ditulis

(x, 0) = x dengan cara yang sama, (0, y) = iy

Karena dari definisi dari multiplication maka kita dapatkan

Iy = (0,1)y = (0,1)(y,0) = (0. y – 1 . 0, 0 . 0 + 1.y) = (0,y)

Secara bersamaan kita dapatkan penjumlahan (x,y) = (x,0) + (0, y) = x+ iy;

Secara praktis bilangan kompleks z = (x,y) dapat ditulis

z = x+ iy



Atau z = x +yi,

i2 = -1

Karena dari definisi perkalian, i2 = ii = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.

Untuk penjumlahan standar didapat

(x1 + i,y1) + (x2 + i,y2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

Untuk perkalian menggunakan notasi standar dan menggunakan i2 = -1

(x1+ iy1) (x2+ iy2) = x1x2 + ix1 y2+iy1y2+i2y1y2

= (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

Complex Plane

Ini adalah aljabar,penyajian geometris dari kompleks angka seperti titik pada naik pesawat

terbang. Ini dari kepentingan hebat praktis. Ide adalah sangat sederhana dan alami. Kita

memilih dua koordinate tegaklurus axes, poros-x horisontal. dipanggil poros nyata, dan

poros-y vertikal, dipanggil poros imajiner. Pada keduanya kampak kita pilih satuan panjang

yang sama (Ara. 315). Ini dipanggil satu sistem mengkoordinir Cartesian

Complex Conjugate Numbers

Kompleks conjugate ẑ bilangan kompleks z = x + iy di definisikan oleh

ẑ = x- iy

Ini diperoleh secara geometris dengan mencerminkan titik z pada poros nyata figure di bawah

ini untuk z = 5 + 2i dan conjugate ẑ = 5 – 2i



Hubung kompleks adalah penting sebab ini mengijinkan kita untuk menukarkan dari

kompleks ke real.dari multiplication z ẑ = x2 + y

2 dan z + ẑ = 2x, z - ẑ = 2iy kita lihat dari real

part x dan maginary part y (not iy), z = x +iy

Re z = x = 1/2 (x + ẑ), im z = y = 1/2i (z- ẑ)

Jika z adalah real z = x maka z = ẑ dari deinisi of ẑ dan conversely dengan conjugate,kita

dapat

𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧 1 + 𝑧 2 , 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧 1 + 𝑧 2

𝑧1𝑧2 = 𝑧 1𝑧 2 𝑧1

𝑧2 =

𝑧1

𝑧2

13.2 Polar Form dari Bilangan Kompleks. Powers and Roots

Kompleks plan menjadi lebih berguna dan memberikan pengertian yang mendalam

ke perhitungan operasi untuk bilangan kompleks di samping xy koordinat juga termasuk

dalam koordinat polar r, θ di definisi oleh

x= r cos θ , y= r sin θ

kita lihat z = x +iy disebut dengan polar form

z= r(cos θ + I sin θ)

r kita sebut dengan absolute value atau modulus z dan di notasikan

|z| = r = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧ẑ

Geometri |z| adalah jarak dari titik z dari figure 320,sama dengan |z1- z2| adalah jarak diantara

z1 dan z2 figur 321.



Θ adalah disebut argument z dan dinotasikan dengan arg z

θ = arg z = arctan y/x (z ≠ 0)

geometri, θ adalah sudut terarah dari positif x untuk OP d figure 320. Di sini. seperti

di kalkulus, semua sudut diukur di lingkaran dan positif yang berlawanan arah jarum jam.

Untuk z = 0 sudut θ tak tergambarkan

13.3 Multiplication and Division in Polar Form

ini membererikan”geometri”pemahaman multiplication and division ,lihat

z1= r1(cos θ1 + I sin θ1) and z2= r2(cos θ2 + I sin θ2)

multiplication dari produk ada di

z1z2 = r1r2[(cosθ1 cos θ2 - sinθ1 sin θ2) +i (sinθ1 cos θ2 - cosθ1 sin θ2)]

ketentuan penambahan untuk cosines dan sinus

z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

Mengambil nilai mutlak timbal balik ,kita melihat nilai mutlak dari satu produk

samakan produk dari nilai mutlak dari faktor,

| z1z2| =| z1||z2|

Mengambil argumen di perlihatkan tersebut argumen dari satu produk menyamakan

penjumlahan dari argumen dari factor

Arg(z1z2)= arg z1 + argz2

Division kita mempunyai z1= (z1/z2 )z2 karenanya| z2| = | (z1/z2 )z2| = | (z1/z2 )||z2| dan oleh

division |z2|

| z1/z2 | = | z1/z2 |



Derivative. Analytic Function Pembahasan kita dari fungsi kompleks akan melibatkan setelan titik pada plan

kompleks. Paling penting akan sesuatu berikut

Circles and Disks. Half-Planes

Unit circle |z| = 1 bulatan umum dari jari-jari p dan pusat a. Penyamaan ini adalah

|z – a | = ρ

Complex Function

Analisa kompleks mempunyai kaitan dengan fungsi kompleks yang adalah differentiable di

beberapa daerah. Karenanya kita harus katakan pertama apa kita berarti satu kompleks

berfungsi kemudian mendefinisikan konsep dari pembatas dan terbitan di kompleks. Bahasan

ini akan serupa dengan itu di kalkulus. Meskipun demikian ini memerlukan perhatian hebat

karena ini akan memperlihatkan dasar penarik perhatian perbedaan di antara sebenarnya dan

kalkulus kompleks.

Daya ingat dari kalkulus sebenarnya berfungsi f didefinisikan pada satu set S nomor riil

(biasanya satu interval) apakah aturan yang mendapat hak itu ke tiap-tiap x pada s satu nomor

riil f ( x), dipanggil nilai dari f di x. Sekarang di kompleks, S adalah seperangkat kompleks

angka. Dan satu fungsi f didefinisikan pada s adalah aturan yang mendapat hak itu ke z pada

S satu nomor kompleks ,dipanggil vallie dari fat z Kita tulis

W = f(z)

Disini z variable S dan di sebut variable kompleks. Set S adalah di sebut domain yang

mendefinisikan f

Contoh :

W = f(z) = z2 + 3z adalah funfsi kompleks didefinisikan untuk semua z itu adalah

domain dari S adalah plan kompleks

Setelan dari semua nilai dari satu fungsi f dipanggil jangkauan f. w adalah kompleks, dan kita

tulis w = u + iv., dimana u dan v adalah nyata dan imajiner bagian, berturut-turut. Sekarang

w bergantung kepada z= x + iy. Karenanya u jadi satu fungsi kenyataan dari x dan y. dan

demikian demikian juga v. Kita tulis

W = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Ini memperlihatkan kompleks berfungsi f ( z) pada satu pasangan dari sebenarnya berfungsi

u (x, v ) dan jengkelkan, y ), masing-masing menyesuaikan pada kedua kenyataan variabel x

dan y.

13.4 Persamaan Cauch – Riemann

Persamaan Laplace’s

Persamaan Cauch-Riemann adalah persamaan yang paling penting dalam bab ini karna

menjadi salah satu pilar dari analisis kompleks. Disini menyediakan criteria untuk analisis

fungsi kompleks.

W = f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

Secara kasar f adalah analisis domain D jika dan hanya jika turunan pertama pada u dan v

keduanya disebut persamaan Cauch-Riemann.



(1) ux = vy, uy = - vx

Dimana didalam D; ada ux = du/dx dan uy = du/dy (dan sama dengan v) dan biasa disebut

turunan parsial.

Theorm 1

Persamaan Cauch-Riemann

misalkan 𝑓 𝑧 = u(x,y) + iv(x,y) didefinisikan pada beberapa himpunan pada poin z= x+iy

dan didifferensial pada z. kemudian pada turunan parsial u dan v berada dan menjadi

persamaan Cauch-Riemann.

Karenanya jika f(z) adalah analisis pada a domain D,maka turunan parsial berada dan

masuk(1) pada semua D.

Poof dengan asumsi, turunan 𝑓 ′ 𝑧 pada z berada. Maka didapat

(2)

𝑓 ′ 𝑧 = lim∆𝑧→0

𝑓 𝑧 + ∆𝑧 − 𝑓(𝑧)

∆𝑧

Kita tulis ∆𝑧 = ∆𝑥 + 𝑖∆𝑦 kemudian 𝑧 + ∆𝑧 = 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑖(𝑦 + ∆𝑦),dan pada kondisi turunan

u dan v pada (2) didapat

(3)

𝑓 ′ 𝑧 = lim∆𝑥→0

𝑢 𝑥 + ∆𝑥,𝑦 + ∆𝑦 + 𝑥 + ∆𝑥,𝑦 + ∆𝑦 − [𝑢 𝑥,𝑦 + 𝑖𝑣 𝑥, 𝑦 ]

∆𝑥 + 𝑖∆𝑦

// 𝑓 ′ 𝑧 = lim∆𝑥→0𝑢 𝑥+ ∆𝑥 ,𝑦 − 𝑢 𝑥 ,𝑦

∆𝑥 + ilim∆𝑥→0

𝑣 𝑥+ ∆𝑥 ,𝑦 − 𝑢(𝑥 ,𝑦)

∆𝑥

Sesuai definisi, turunan parsial u dan v terhadap x. karenanya turunan 𝑓 ′ 𝑧 pada 𝑓 𝑧 dapat ditulis

(4) 𝑓 ′ 𝑧 = 𝑢𝑥 + 𝑖𝑣𝑥

Dengan cara yang sama



𝑓 ′ 𝑧 = lim∆𝑥→0𝑢 𝑥 ,𝑦+ ∆𝑦 − 𝑢(𝑥 ,𝑦)

𝑖∆𝑦 + ilim∆𝑥→0

𝑣 𝑥 ,𝑦+ ∆𝑦 − 𝑢(𝑥 ,𝑦)

𝑖∆𝑦

Sejak 𝑓 ′ 𝑧 berada, limit pada sisi kanan di berikan turunan parsial pada u dan v terhadap y;

1/i= -i demikian kita peroleh

(5) 𝑓 ′ 𝑧 = −𝑖𝑢𝑦 + 𝑣𝑦

Rumus (4) dan (5) sangat praktis untuk kalkulasi turunan 𝑓 ′ 𝑧 .

Theorm 2

Jika dua fungsi bilangan kontiu-real u (x,y) dan v(x,y) pada dua variable real xdan y kontinu

turunan parsial pertama pada persamaan Cauch-Riemann dibeberapa domain D, maka

fungsi kompleks 𝑓 𝑧 = 𝑢 𝑥,𝑦 + 𝑖𝑣(𝑥,𝑦) adalah analisis di D.

Theorem 1 dan 2 sangat penting, sejak menggunakan persamaan Cauch-Riemann sekarang

kita dapat lebih mudah menyelesaikan apakah menggunakan fungsi analitik kompleks atau

tidak.

(6) (a) 𝑢𝑢𝑥 − 𝑢𝑣𝑥 = 0 (b) 𝑢𝑢𝑦 + 𝑢𝑣𝑥 = 0

(7) 𝑢𝑟 = 1

𝑟 𝑣𝜃 ,

𝑣𝑟 = −1

𝑟 𝑢𝜃

Theorm 3

Persamaan laplace

Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y) adalah analitik pada a domain D, kemudian kedua u dan v

disebut persamaan laplace

(8) ∇2𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 = 0

(𝛻2 dibaca “nabla kuadrat”) dan

(9) ∇2𝑣 = 𝑣𝑥𝑥 + 𝑣𝑦𝑦 = 0

Pada D dan memiliki turunan kedua pada D.



Proof Diferensial 𝑢𝑥 = 𝑣𝑦 terhadap x dan 𝑢𝑦 = −𝑣𝑥 terhadap y, maka kita dapat

(10) 𝑢𝑥𝑥 = 𝑣𝑦𝑥 . 𝑢𝑦𝑦 = −𝑣𝑥𝑦

13.5 Fungsi eksponensial

Kita awali dengan analisis fungsi paling penting, fungsi eksponensial kompleks

𝑒𝑧 , 𝑗𝑢𝑔𝑎 𝑑𝑖𝑡𝑢𝑙𝑖𝑠 exp 𝑧.

Definisi dari 𝑒𝑧pada fungsi real 𝑒𝑥 , cos y, dan sin y adalah

(1)

𝑒𝑧 = 𝑒𝑥(cos 𝑦 + 𝑖 sin𝑦)

Definisi ini adalah fakta bahwa 𝑒𝑧extend fungsi eksponensial real 𝑒𝑧 pada kalkulus dan

biasanya dinamakan

(a) 𝑒𝑧= 𝑒𝑧 untuk rel z = x karena cos y =1 dan sin y = 0 pada saat y = 0

(b) 𝑒𝑧 adalah analiti untuk semua z

(c) Turunan dari 𝑒𝑧 adalah 𝑒𝑧

(2)

(𝑒𝑧)′ = 𝑒𝑧

𝑒𝑧 ′ = 𝑒𝑥 cos 𝑦 𝑥 + 𝑖 𝑒𝑥 sin 𝑦 𝑥 = 𝑒𝑥 cos𝑦 + 𝑖𝑒𝑥 sin𝑦 = 𝑒𝑧

Further Properties. Suatu fungsi f(z) yang analitik untuk semua z disebut fungsi

keseluruhan. Dengan demikian, ez adalah keseluruhan. Sama halnya di kalkulus fungsi

relasi.

(3)

𝑒𝑧1+𝑧2 = 𝑒𝑧1𝑒𝑧2

Berpegang pada 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦2. bahwasanya (1),

𝑒𝑧1𝑒𝑧2 = 𝑒𝑥1 cos𝑦1 + 𝑖 sin𝑦1 𝑒𝑥2 (cos𝑦2 + 𝑖 sin𝑦2).

Sejak 𝑒𝑥1𝑒𝑥2 = 𝑒𝑧1+𝑧2 untuk fungsi real, pada aplikasi rumus penjumlahan untuk fungsi

sinus dan cosines kita bisa lihat

𝑒𝑧1𝑒𝑧2 = 𝑒𝑥1+𝑥2 [cos 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑖 sin 𝑦1 + 𝑦2 ] = 𝑒𝑧1+𝑧2

Seperti pernyataan. Satu kasus khusus dari (3 ) adalah z1 = x dan z2 = iy; maka

(4)

𝑒𝑧 = 𝑒𝑥𝑒𝑖𝑦

Untuk z =iy kita dapat dari (1) dapat disebut rumus Euler



(5)

𝑒𝑖𝑦 = cos𝑦 + 𝑖 sin𝑦.

Karennya polar form dari bilangan kompleks, z = r(cos𝜃+ I sin 𝜃), sekarang dapat ditulis

(6)

𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃

Dari (5) kita dapatkan

(7)

𝑒2𝜋𝑖 = 1

Beberapa rumus penting

(8)

𝑒𝜋𝑖/2 = 𝑖, 𝑒𝜋𝑖 = −1, 𝑒−𝜋𝑖/2 = −𝑖, 𝑒−𝜋𝑖 = −1

Beberapa konsekuensi dari (5)

(9)

𝑒𝑖𝑦 = cos𝑦 + 𝑖 sin 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠2𝑦 + 𝑠𝑖𝑛2𝑦 = 1.

Ialah untuk eksponen imaginer murni pada fungsi eksponensial adalah absolute nilai 1,

sebuah hasil disarankan mengingat (9) dan (1)

(10)

𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 karenanya arg 𝑒𝑥 = 𝑦 ± 2𝜋𝑛 𝑛 = 0,1,2,… ,

Sejak 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 lihat persamaan (1) hasil 𝑒𝑥 pada polar form

Dari 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥 ≠ 0 pada (10) didapatkan

(11) 𝑒𝑧 ≠ 0 untuk setiap z

Periodicity dari 𝒆𝒙dengan periode 2𝝅𝒊,

(12) 𝑒𝑧+2𝜋𝑖 = 𝑒𝑧 untuk setiap z

Karena semua nilai w = 𝑒𝑧 bisa diasumsikan dengan asumsi horizontal strip dengan 2𝜋

(13) -𝜋 < 𝑦 ≤ 𝜋

Lajur tanpa batas ini dikatakan wilayah fundamental dari ex



13.6 Fungsi trigonometri dan hiperbolik

𝑒𝑖𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛 𝑥, 𝑒−𝑖𝑥 = cos 𝑥 − 𝑖 sin 𝑥

Dengan penjumlahan dan pengurangan kita peroleh untuk cosines dan sinus real

cos 𝑥 = 1

2 𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥 , sin 𝑥 =

1

2𝑖 𝑒𝑖𝑥 − 𝑒−𝑖𝑥 .

Disarankan menggunakan nilai kompleks z = x + iy;

(1)

cos 𝑧 = 1

2 𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧 , sin 𝑧 =

1

2𝑖 𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧 .

(2)

tan 𝑧 = sin 𝑧

cos 𝑧 , cot 𝑧 =

cos 𝑧

sin 𝑧

Dan

(3)

sec 𝑧 =1

cos 𝑧 , csc 𝑧 =

1

sin 𝑧 .

(4)

(cos 𝑧)′ = − sin 𝑧 . (sin 𝑧)′ = cos 𝑧 . (tan 𝑧)′ = 𝑠𝑒𝑐2𝑧,

Etc. persamaan (1) jugamenunjukan Euler’s formula is valid in complex:

(5)

𝑒𝑖𝑧 = cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧

Real dan Imaginer parts. Nilai absolute, periodic

(6)

𝑎 cos 𝑧 = cos 𝑥 cosh𝑦 − 𝑖 sin 𝑥 sinh 𝑦 𝑏 sin 𝑧 = sin 𝑥 cosh𝑦 + 𝑖 cos 𝑥 sinh 𝑦

Dan

(7)

𝑎 cos 𝑧 2 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑕2𝑦

𝑏 sin 𝑧 2 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑕2𝑦

Dan diberikan beberapa aplikasi pada formula

Solusi dari (1)

Cos 𝑧 = 1

2 𝑒𝑖 𝑥+𝑖𝑦 + 𝑒−𝑖 𝑥+𝑖𝑦

= 1

2𝑒−𝑦(cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥) +

1

2𝑒𝑦(cos 𝑥 + 𝑖 sin 𝑥)

=1

2(𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦) cos 𝑥 −

1

2𝑖(𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦) sin 𝑥)



Hasil dari (6a) dapat diselesaikan denga n kalkulus

(8)

cosh𝑦 = 1

2(𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦), sinh𝑦 =

1

2 𝑒𝑦 + 𝑒−𝑦 ;

(6b) diperoleh dengan cara yang sama dari (6a) dan cosh2

y = 1 + sinh2 y kita dapatkan

cos 𝑧 2 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥 1 + 𝑠𝑖𝑛𝑕2𝑦 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑕2𝑦

Formula umum untuk fungsi kontinu trignomrtri realuntuk bilangan kompleks.harus

mengikuti definisi. Yang telah Kita sebut pada ketentuan penjumlahan.

(9)

cos 𝑧1 ± 𝑧2 = cos 𝑧1 𝑐𝑜𝑠𝑧2 ± 𝑠𝑖𝑛 𝑧1 sin 𝑧2

𝑠𝑖𝑛 𝑧1 ± 𝑧2 = 𝑠𝑖𝑛𝑧1 𝑐𝑜𝑠 𝑧2 ± sin 𝑧2 𝑐𝑜𝑠𝑧1 Dan formula

(10)

𝑐𝑜𝑠2𝑧 + 𝑠𝑖𝑛2𝑧 = 1.

Fungsi hiperbolik

Sinus dan kosinus hiperbolik kompleks biasa didefinisikan sebagai

(11)

cosh 𝑧 =1

2(𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧), sinh 𝑧 =

1

2(𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧)

Dapat diartikan dengan familiar definisi sebagai variable real [lhat (8)]. Fungsi ini secara

keseluruhan merupakan turunan

(12)

(cosh 𝑧)′ = sinh 𝑧 , (sinh 𝑧)′ = cosh 𝑧,

Sama seperti kalkulus.fungsi hiperbolik lain dapat didefinisikan sebagai

(13)

tanh 𝑧 =sinh 𝑧

cosh 𝑧 , coth 𝑧 =

cosh 𝑧

𝑐𝑖𝑛𝑕 𝑧 .

sech 𝑧 =1

cosh 𝑧 , csch 𝑧 =

1

sinh 𝑧 .

Fungsi hiperbolik dan trigonometri kompleks saling berhubungan. Jika pada (11), kita

gantikan z dengan iz dan kita gunakan (1), maka kita dapatkan



(14)

cosh 𝑖𝑧 = cos 𝑧 , sinh 𝑖𝑧 = 𝑖 sin 𝑧.

Dengan dara yang sama, jika pada (1) kita ganti z dengan iz dan menggunakan (11) kita bisa

melakukan kebalikannya.

(15)

cos 𝑖𝑧 = cosh 𝑧 , sin 𝑖𝑧 = 𝑖 sinh 𝑧.

13.7 Logaritma. General power

Logaritma natural dari z = x + iy dinotasikan dengan ln z dan didefinisikan sebagai inverse

dari fungsi eksponensial, yakni w = ln z didefinisikan untuk z ≠ 0 dengan hubungan

𝑒𝑤 = 𝑧

Jika kita set w = u + iv dan z = 𝑟𝑒𝑖𝜃 .menjadi

𝑒𝑤 = 𝑒𝑢+𝑖𝑣 = 𝑟𝑒𝑖𝜃

𝑒𝑢 = 𝑟 , 𝑣 = 𝜃

𝑒𝑢 = 𝑟 diberikan u = ln r, dimana ln r adalah familiar logaritma natural real dari nilai positif

𝑟 = 𝑧 , sehingga w = u +iv = ln z diberikan

(1)

ln 𝑧 = ln 𝑟 + 𝑖𝜃 (𝑟 = 𝑧 > 0,𝜃 = arg 𝑧)

Nilai dari ln z berkoresponden ke nilai principal arg z dinotasikan oleh Ln z (Ln dengan huruf

capital L) dan disebut nilai penting dari ln z

(2)

𝐿𝑛 𝑧 = ln 𝑧 + 𝑖 𝐴𝑟𝑔 𝑧

Sejak nilai lain dari arg z berbeda bengan perkalian integer dari 2𝜋 , nilai lain dari ln z ialah

(3)

ln 𝑧 = 𝐿𝑛 𝑧 ± 2𝑛𝜋𝑖 (𝑛 = 1,2,… )

𝐿𝑛 𝑧 = ln 𝑧 + 𝜋𝑖 (𝑧 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓)

Dari (1) dan 𝑒ln 𝑟 = 𝑟 untuk bil real positif r kita dapatkan

(4a)

𝑒ln 𝑧 = 𝑧

Seperti ekspektasi, tapi seja arg 𝑒𝑥 = 𝑧 ± 2𝑛𝜋 adalah nilai multi dari



(4b)

ln 𝑒𝑥 = 𝑧 ± 2𝑛𝜋𝑖,

Hubungan dari logaritma natural kontinu untuk nilai kompleks ialah

(5)

𝑎 ln 𝑧1𝑧2 = ln 𝑧1 + ln 𝑧2 , 𝑏 ln 𝑧1

𝑧2 = ln 𝑧1 − ln 𝑧2

Theorm 1

Analisa logaritma

Untuk setiap n = 0,±1, ±2, … formula (3) mendefinisikan sebuah fungsi, yang analitis,

kecuali pada 0 dan didepan bilangan real negative dan pada turunan

(6)

(ln 𝑧)′ =1

𝑧 (𝑧 𝑏𝑢𝑘𝑎𝑛 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏𝑖𝑙 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓)

Proof kita lihat persamaan Cauch-Riemann , dari (1) – (3) kita dapatkan

ln 𝑧 = ln 𝑟 + 𝑖 𝜃 + 𝑐 = 1

2ln 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑖 arctan

𝑦

𝑥+ 𝑐

Dimana constanta c adalah perkalian dari 2𝜋. Dengan definisi

𝑢𝑦 =𝑥

𝑥2 + 𝑦2= 𝑣𝑦 =

1

1 + (𝑦 𝑥) 2 .1

𝑥

𝑢𝑦 =𝑦

𝑥2 + 𝑦2= −𝑣𝑥 = −

1

1 + (𝑦 𝑥) 2 −𝑦

𝑥2 .

Karena berpegangan pada persamaan Cauch-Riemann maka didapat

ln 𝑧 ′ = 𝑢𝑥 + 𝑖𝑣𝑥 =𝑥

𝑥2 + 𝑦2+ 𝑖

1

1 + (𝑦 𝑥) 2 −𝑦

𝑥2 =

𝑥 − 𝑖𝑦

𝑥2 + 𝑦2=

1

𝑧

General Powers

general power dani nilai kompleks z = x + iy didefinisikan dengan rumus

(7)

𝑧𝑐 = 𝑒𝑐 ln 𝑧 (𝑐 𝑘𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑘𝑠, 𝑧 ≠ 0)

Sejak ln z memiliki nilai tanpa batas, 𝑧𝑐akan berada pada nilai multi umum. Dengan nilai

tentu



𝑧𝑐 = 𝑒𝑐 ln 𝑧

Disebut nilai tentu dari 𝑧𝑐 .

Jika c = n = 1, 2, … , kemudian 𝑧𝑛 adalah nilai tunggal dan identik dengan nth power dari z.

Jika c = -1, -2, … , situasi semula

Jika c = 1/n, dimana n = 2,3, … , maka

𝑧𝑐 = 𝑧𝑛

= 𝑒 1

𝑛 ln 𝑧

eksponen ialah determinan dari perkalian 2𝜋i / n dan kita memperoleh nilai n berbeda

dari nth pakukan, sesuai dengan hasil pada sec. 13.2. jika c = p / q, hasil bagi dari dua

bilangan bulat positif, keadaan adalah serupa, dan 𝑧𝑐 hanya memiliki nilai terbatas yang

berbeda.

Dari (7) kita lihat bahwa nilai kompleks a,

(8)

𝑎𝑧 = 𝑒𝑧 ln 𝑎

Kita sekarang memperkenalkan fungsi kompleks yang diperlukan pada pekerjaan praktis.

Diantaranya (ez, cos z, sin z. cosh z, sinh z ) semuanya di (sec. 13. 5 ), beberapa di

antaranya (tan z, cot z, tanh z. coth z ) analitik terkecuali pada titik tertentu, dan salah

satunya (ln z ) membagi ke dalam beberapa fungsi tanpa batas, masing-masing analitik

terkecuali pada 0 dan pada bil. negatif real.

bilangan kompleks

Documents

Transcript of bilangan kompleks