BILANGAN KOMPLEKS

Dengan memiliki sistem bilangan real ℝ saja kita

tidak dapat menyelesaikan persamaan x2 +1=0.

Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan

jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan

bilangan imajiner atau bilangan kompleks.

1

BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA

Definisi 1Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i2 = –1.

NotasiBilangan kompleks dinyatakan dengan huruf z, sedang huruf x dan y menyatakan bilangan real. Jika z = x + iy menyatakan sembarang bilangan kompleks, maka x dinamakan bagian real dan y bagian imajiner dari z. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks z biasanya dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).

2

OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS

DEFINISI 2

Bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan bilangan kompleks z2=x2+iy2 dikatakan sama, z1=z2, jika dan hanya jika x1=x2 dan y1=y2.

DEFINISI 3

Untuk bilangan kompleks z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2 jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb:

z1+z2 = (x1+x2) + i(y1+y2)

z1 • z2 = (x1x2 –y1y2) + i(x1y2+x2y1)3

4

Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi ℂJadi ℂ = { z | z = x + iy, x∈ℝ, y∈ℝ }.

Jika Im(z)=0 maka bilangan kompleks z menjadi

bilangan real x, sehingga bilangan real adalah keadaan

khusus dari bilangan kompleks, sehingga ℝ⊂ℂ . Jika

Re(z)=0 dan Im(z)≠0, maka z menjadi iy dan

dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner

murni dengan y=0, yakni bilanga i, dinamakan satuan

imajiner.

5

Sifat-sifat lapangan bilangan kompleksHimpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (ℂ ,+,•) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan yang berlaku pada bilangan kompleks z1,z2 dan z3 adalah sebagai berikut:1. z1+z2∈ℂ dan z1•z2∈ℂ . (sifat tertutup)

2. z1+z2= z2+z1 dan z1•z2= z2•z1 (sifat komutatif)3. (z1+z2)+z3= z1+(z2+z3) dan (z1•z2) •z3= z1•(z2•z3) (sifat assosiatif)4. z1•(z2+z3)=(z1•z2)+(z1•z3) (sifat distribtif)5. Ada 0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan)

6

6. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z•1=z (1elemen netral perkalian7. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy) sehingga z+(–z)=0 8. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehingga z•z-1=1.

Tugas: Buktikan sifat-sifat 1 – 8 menggunakan definsi yang telah diberikan.

7

Contoh soal:

1. Jika z1=x1+iy1 dan z2=x2+iy2,

buktikan bahwa: z1 – z2= (x1 – x2)+i(y1 – y2)

2. Diketahui: z1=2+3i dan z2=5–i.

tentukan z1 + z2, z1 – z2 , z1z2, dan 2

1zz

8

Kompleks Sekawan

Jika z = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z ditulis , didefinisikan sebagai = (x,–y) = x – iy.

Contoh:

sekawan dari 3 + 2i adalah 3 – 2i , dan sekawan dari 5i adalah –5i.

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut :

z

9

Teorema 1 :

a. Jika z bilangan kompleks, maka :

22 ImRe 4.

Im2 3.

Re2 2.

1.

zz

zz

zz

zz

10

b. Jika z1, z2 bilangan kompleks , maka :

0dengan ,z

z 4.

3.

2.

1.

2

2

1

2

1

2121

2121

2121

zz

z

zzzz

zzzz

zzzz

11

Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks

Karena z = x + iy dapat dinyatakan sebagai z= (x,y), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka z dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (x,y). Pemberian nama untuk sumbu x diubah menjadi sumbu Real dan sumbu y diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang z. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (x,y), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks z = x+iy = (x,y) dapat dipandang sebagai vektor z. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.

12

Re

Im

)y,x(z

O

ArganBidangz

13

Im

Re

2z

1z

O

21 zz

14

Re

Im

2z

2z

1z

21 zz

O

15

Tugas :

Diketahui z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. Gambarkan pada

bidang kompleks (bidang argand), z1, z2, z1+ z2, z1- z2,

212121 zz,zz,z,z

16

Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks

Definisi 4 :

Jika z = x+iy = (x,y) bilangan kompleks, maka modulus

dari z, ditulis z = x+iy =

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari

titik O(0,0) ke z = (x,y). Akibatnya, jarak antara dua

bilangan kompleks z1 =x1+iy1 dan z2 = x2+iy2 adalah

22 yx

221

221 )yy()xx(

17

Selanjutnya apabila z1 =x1+iy1 dan r real positif,

maka z – z1 = r merupakan lingkaran yang berpusat di

titik z1 dengan jari-jari r.

Bagaimanakah dengan z – z1 < r dan z – z1 > r

Gambarkanlah pada bidang z.

18

Teorema 2 :

A. Jika z bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

2.

3.

4.

5.

)zIm()zIm(z

)zRe()zRe(z

zzz

zz

)zIm()zRe(z

2

222

19

B. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka berlaku :

1.

2.

3.4.

5.

Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan z

= x+iy, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga

teorema B !

2121

2121

2121

2

1

2

1

2121

zzzz

zzzz

zzzz

zz

zz

zzzz

20

1. Bukti: 2121 zzzz )iyx()iyx(zz 221121

)yxyx(i)yyxx( 12212121

212121

22

22

212121

22

21

22

21 yyxx2yxyxyyxx2yyxx

21221

22121 )yxyx()yyxx(

)yx()yx( 22

22

21

21

)yx()yx( 22

22

21

21

21 zz

2121 zzzz

21

2. Bukti:

22

22

22

11

2

1iyxiyx

iyxiyx

zz

22

22

211222

22

2121

yxyxyx

iyx

yyxx

2

22

22

21122

22

22

2121

yxyxyx

yxyyxx

222

22

212122

21

21

222121

22

21

22

21

)yx(yyxx2yxyxyyxx2yyxx

)yx()yx()yx()yx(

22

22

22

22

22

22

21

21

.terbuktizz

yx

yx

2

122

22

21

21

22

3. Bukti:

2121 zzzz

21221 )yxyx(0

212121

22

22

21 yyxx2yxyx0

21

22

22

212121 yxyxyyxx2

21

22

22

21

22

21

22

212121

22

21

22

21 yxyxyyxxyyxx2yyxx

)yx)(yx()yyxx( 22

22

21

21

22121

)yx)(yx(2)yyxx(2 22

22

21

212121

2221

21

2221

21 yyy2yxxx2x

22

22

22

22

21

21

21

21 yx)yx)(yx(2yx

222

22

21

21

221

221 yxyx)yy()xx(

22

22

21

21

221

221 yxyx)yy()xx(

terbukti

zzzz 2121

23

4. Bukti:

2121 zzzz

2121

2121

221

2211

zzzz

zzzz

zzz

zzzz

24

Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan

Kompleks

Selain dinyatakan dalam bentuk z = x+iy = (x,y), bilangan kompleks z dapat dinyatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, yaitu z = (r,).

Im

Re

),r()y,x(z

rz

O

25

Adapun hubungan antara keduanya, dan

adalah :

x = r cos , y = r sin,

sehingga = arc tan

adalah sudut antara sumbu x positif dengan oz

didapat juga

Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks z adalah

z = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis . dan sekawan dari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ).

xy

zyxr 22

)y,x( ),r(

26

Definisi 5 :

Pada bilangan kompleks z = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari z, ditulis arg z. Sudut dengan 0 < 2 atau - < disebut argument utama dari z, ditulis = Arg z. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja.

Definisi 6 :

Dua bilangan kompleks z1 = r1(cos 1 + i sin 1) dan z2 =

r2(cos 2 + i sin 2) dikatakan sama, jika r1 = r2, dan 1 = 2.

27

Selain penulisan bilangan kompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis , maka anda dapat menuliskan z dalam rumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dan sekawannya adalah re-i.

Tugas: Buktikan bahwa ei = cos + i sin , dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos , sin dan et dengan mengganti t = i.

28

Contoh :

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

29

Contoh :

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

Jawab :

z = 1 + i, r = , tan = 1, sehingga = 45⁰= Jadi z = (cos + i sin ) = cis = 2 4

141 2 4

1 2 i4e

2 41

30

Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks

Perkalian dan Pemangkatan

Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ).Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka

kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut :

z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +

i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)]

z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)]

31

Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:

arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2

Pertanyaan :

Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan

z z z z … z = zn ?

32

Jika diketahui:

z1 = r1(cos 1 + i sin 1)

z2 = r2(cos 2 + i sin 2)

zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli,

maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian z1 z2 … zn = r1 r2 …rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] .

Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). . . . . . . . . . .1

Khusus untuk r = 1, disebut Dalil De-Moivre

(cos + i sin )n = cos n + i sin n, n asli.

33

Pembagian:

Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai

berikut:

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan

sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka

diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)]

Dari rumus di atas diperoleh:

arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

)sini(cosr)sini(cosr

zz

222

111

2

1

2

1

2

1rr

zz

2

1zz

34

Akibat lain jika z = r(cos + i sin ),

maka:

Untuk: .

Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan

penyebut, maka didapat :

. . . . . . . 2

nsinincosr1

z1

)sin(i)cos(r1

z1

nn

)nsin(i)ncos(r1

z1

nn

35

Dari 1 dan 2 diperoleh:

, Dalil De-Moivre

berlaku untuk semua n bilangan bulat.

)nsin(i)ncos(rz nn

36

Contoh:

Hitunglah :

Jawab :

Misalkan maka

karena z di kuadran IV, maka dipilih

jadi

31tan

213zr

,i3z

6

6

oo66

oo

2

)01(2

180sini180cos2i3

30sini30cos2i3

o30

6i3