BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Kompleksrepository.ump.ac.id/6816/3/Mella Tanu Wijaya Bab...

4

BAB II

LANDASAN TEORI

A. Sistem Bilangan Kompleks

Sistem bilangan kompleks dapat diperkenalkan secara formal dengan

menggunakan konsep “ pasangan terurut” (ordered pair) bilangan riil (a,b).

Himpunan semua pasangan itu dengan operasi-operasi tertentu yang sesuai

padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks. (Pallouras,

1975).

Definisi II. A.1

Himpunan bilangan kompleks berbentuk

a + ib atau a + bi

dengan a dan b adalah bilangan riil dan i2 = -1.

Jika z = a + ib merupakan suatu bilangan kompleks, maka a dinamakan

bagian riil (real part) dari z dan b dinamakan bagian imajiner (imaginary

part) dari z, kadang-kadang masing-masing diberi simbol R(z) dan I(z).

Lambang z, yang dapat ditempatkan untuk sesuatu dari himpunan bilangan

kompleks dinamakan peubah kompleks.

Himpunan bilangan riil sebagai bagian dari himpunan bilangan

kompleks dengan b = 0. Jika a = 0, maka bilangan kompleks 0 + bi atau bi

dinamakan bilangan imajiner sejati. (Spiegel, 1994).

Karakteristik Fungsi Gamma..., Mella Tanu Wijaya, FKIP UMP, 2013

5

B. Sifat-sifat Aljabar Bilangan Kompleks

Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua bilangan

kompleks dapat dikerjakan seperti pada operasi aljabar bilangan riil dengan

menggantikan i2 dengan -1 bila muncul.

Operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dua bilangan

kompleks adalah sebagai berikut:

(Spiegel, 1994).

Jika z1 = a1 + b1i dan z2 = a2 + b2i adalah bilangan kompleks, maka:

i. z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i

ii. z1 – z2 = (a1 + b1i) – (a2 + b2i) = (a1 – a2) + (b1 – b2)i

iii. z1z2 = (a1 + b1i) (a2 + b2i) = (a1a2 – b1b2) + (a1b1 + a2b2)i.

Pada bilangan kompleks juga terdapat suatu operasi yang disebut

kesekawanan (conjugation), yang didefinisikan sebagai berikut:

Definisi II. B. 1

Jika z = a + bi, maka bilangan kompleks sekawan dari z yang didefinisikan

𝑧 = a – bi.

Kesekawanan (conjugation) dikenakan pada satu bilangan kompleks

dan berakibat menegatifkan bagian imajinernya.

Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan

bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:


6

Teorema II. B. 2

i. Jika z bilangan kompleks, maka

1) 𝑧 = z

2) z𝑧 = [R(z)]2 + [I(z)]

2

ii. Jika z1, z2 bilangan kompleks, maka

1) 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑧1 + 𝑧2

2) 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2

3) 𝑧1

𝑧2

=

𝑧1

𝑧2 , 𝑧2 ≠ 0

Bukti:

i. Misalkan 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 , maka 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 , maka

1) 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑧.

2) 𝑧𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖

= a2 – (bi)

2

= a2 – b

2 . (-1)

= 𝑎2 + 𝑏2 = [𝑅 𝑧 ]2 + [𝐼 𝑧 ]2.

ii. Misalkan 𝑧1 = 𝑎1 + 𝑏1𝑖 dan 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑏2𝑖 , maka

1) 𝑧1 + 𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1𝑖) + (𝑎2 + 𝑏2𝑖)

= 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑏1 + 𝑏2 𝑖

= 𝑎1 + 𝑎2 − 𝑏1 + 𝑏2 𝑖

= (𝑎1 − 𝑏1𝑖) + (𝑎2 − 𝑏2𝑖)


7

= 𝑧1 + 𝑧2

2) 𝑧1𝑧2 = (𝑎1 + 𝑏1𝑖)(𝑎2 + 𝑏2𝑖)

= 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 + 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1 𝑖

= 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 − 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1 𝑖

= 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 + −𝑎1𝑏2 − 𝑎2𝑏1 𝑖

= (𝑎1 − 𝑏1𝑖)(𝑎2 − 𝑏2𝑖)

= 𝑧1 𝑧2

3) 𝑧1

𝑧2

=

𝑎1+𝑏1𝑖

𝑎2+𝑏2𝑖

= (𝑎1+𝑏1𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖)

(𝑎2+𝑏2𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖)

= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2 +(−𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)𝑖

𝑎22+𝑏2

2

= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2 − (−𝑎1𝑏2+𝑎2𝑏1)𝑖

𝑎22+𝑏2

2

= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2 +(𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1)𝑖

𝑎22+𝑏2

2

= (𝑎1−𝑏1𝑖)(𝑎2+𝑏2𝑖)

(𝑎2+𝑏2𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖)

= (𝑎1−𝑏1𝑖)

(𝑎2−𝑏2𝑖)

= 𝑧1

𝑧2


8

C. Geometri Bilangan Kompleks

Arti geometri pada bilangan kompleks dalam hal ini dapat dipahami

sebagai vektor di bidang xy, dengan sumbu x dan sumbu y secara berturut-

turut dinamakan sumbu riil dan sumbu imajiner. Bilangan kompleks a + bi

pada bidang datar xy dapat diidentifikasikan sebagai vektor berpangkal pada

titik pusat dan berujung pada titik (a,b). (Pallouras, 1975).

Gambar 1.

a. Modulus dari Bilangan Kompleks

Untuk sembarang bilangan kompleks z = a +bi, modulus (nilai

mutlak) dari bilangan kompleks yang merupakan panjang vektor z

didefinisikan sebagai berikut:

Definisi II. C. 1

Jika bilangan kompleks z = a + bi, maka modulus dari z ditulis 𝑧

didefinisikan sebagai 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑎2 + 𝑏2.

Arti geometri dari modulus z adalah merupakan jarak dari titik

O(0,0) ke z = (a,b). Akibatnya, jarak antara dua bilangan kompleks

Im(z)/y

Re(z)/x

bi

a

q

0

q

|z|

z=a +ib


9

z1 =a1+b1i dan z2 = a2+b2i ditulis |z1 – z2| dan didefinisikan

|z1 – z2| = (𝑎1 − 𝑎2)2 + (𝑏1 − 𝑏2)2.

Berikut ini terdapat teorema yang menjelaskan sifat-sifat dari

modulus atau nilai mutlak dari bilangan kompleks yaitu:

Teorema II. C. 2

i. Jika z bilangan kompleks, maka

1) 𝑧 2 = (𝑅 𝑧 )2 + (𝐼 𝑧 )2

2) 𝑧 = 𝑧

3) 𝑧 2 = 𝑧𝑧

ii. Jika z1,z2 bilangan kompleks, maka

1) 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2

2) 𝑧1

𝑧2 =

𝑧1

𝑧2 , 𝑧2 ≠ 0

Bukti:

i. Misalkan z = a + bi , maka

1) 𝑧 2 = 𝑎2 + 𝑏2 2

= 𝑎2 + 𝑏2 = (𝑅 𝑧 )2 + (𝐼 𝑧 )2.

2) 𝑧 = 𝑎 − 𝑏𝑖, sehingga 𝑧 = 𝑎2 + (−𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑧 .

3) 𝑧 2 = 𝑎2 + 𝑏2 2

= 𝑎2 + 𝑏2

= 𝑎 + 𝑏𝑖 𝑎 − 𝑏𝑖

= 𝑧𝑧

ii. Misalakan z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i bilangan kompleks, maka

1) 𝑧1𝑧2 = 𝑎1 + 𝑏1𝑖 𝑎2 + 𝑏2𝑖


10

= 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 + 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1 𝑖

= 𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 2 + 𝑎1𝑏2 + 𝑎2𝑏1 2

= 𝑎12 + 𝑏1

2 (𝑎22 + 𝑏2

2)

= 𝑎12 + 𝑏1

2 𝑎22 + 𝑏2

2

= 𝑧1 𝑧2

Jadi 𝑧1𝑧2 = 𝑧1 𝑧2

2) 𝑧1

𝑧2 =

𝑎1+𝑏1𝑖

𝑎2+𝑏2𝑖

= (𝑎1+𝑏1𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖)

(𝑎2+𝑏2𝑖)(𝑎2−𝑏2𝑖)

= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2 + 𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1 𝑖

𝑎22+𝑏2

2

= 𝑎1𝑎2+𝑏1𝑏2

𝑎22+𝑏2

2 2

+ 𝑎1𝑏2−𝑎2𝑏1

𝑎22+𝑏2

2 2

= 𝑎1

2𝑎22+𝑏1

2𝑏22+2𝑎1𝑎2𝑏1𝑏2+𝑎1

2𝑏22+𝑎2

2𝑏12−2𝑎1𝑎2𝑏1𝑏2

𝑎22+𝑏2

2 2

= 𝑎1

2+𝑏12 𝑎2

2+𝑏22

𝑎22+𝑏2

2 𝑎22+𝑏2

2

= 𝑎1

2+𝑏12

(𝑎22+𝑏2

2)

= 𝑎1

2+𝑏12

𝑎22+𝑏2

2

= 𝑧1

𝑧2


11

Jadi 𝑧1

𝑧2 =

𝑧1

𝑧2

b. Bentuk Polar dan Eksponen

Notasi z = a + bi pada bilangan kompleks dapat juga dinyatakan

dengan z = (a,b). Dalam koordinat polar, bilangan kompleks z = (a,b)

dinyatakan dalam r dan yaitu z = (r, ). Pada gambar 2 diperoleh

hubungan sebagai berikut:

a = r cos ; b = r sin , dengan:

r = 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑧

: sudut antara sumbu x positif dengan OP.

Gambar 2.

Untuk z ≠ 0, sudut dihitung dari tan = 𝑏

𝑎 dan untuk z = 0 maka

r = 0 dan dapat dipilih sebarang. Dengan demikian bilangan kompleks

z = a + bi dapat dinyatakan dalam bentuk polar, yaitu:

z = r (cos + sini).

Dari rumus Euler

𝑒𝑖𝜃 = cos + sin i,

maka bentuk polar bilangan kompleks z dapat diubah menjadi

y

b

r

P z =(a,b)

O a x


12

z = r(cos + sin i) = 𝑟𝑒𝑖𝜃 .

Penulisan z = 𝑟𝑒𝑖𝜃 merupakan bentuk eksponen dari bilangan

kompleks z. Selanjutnya biangan kompleks sekawan dari z adalah:

𝑧 = r(cos sin i)

= r(cos() + sin() i)

= 𝑟𝑒−𝑖

D. Limit Fungsi Kompleks

Secara formal definisi limit untuk fungsi kompleks f(z) ditulis sebagai

berikut:

Definisi II. D. 1

Diberikan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D, kecuali di zo (titik zo di

dalam D atau pada batas D). limit f(z) adalah wo untuk z mendekati zo, jika

untuk setiap > 0, terdapat > 0 sedemikian hingga |f(z) – wo |< , apabila

0 <|z – zo|< ,ditulis:

Contoh:

Buktikan lim𝑧→1+𝑖 4𝑧 − 5 = −1 + 4𝑖.

Jawab:

f(z) = 4z – 5, L = -1 + 4i

z0 = 1 + i

|f(z) – L| = |4z – 5 – (-1 + 4i)|

= |4z – 5 + 1 – 4i|

= |4z – 4 – 4i|

ozz

wzfo

)(lim


13

= |4z – 4(1 + i)|

= 4|z – (1 + i)|

Untuk 0 < |z – (1 + i)| < , maka 4|z – (1 + i)| < 4.

|f(z) – L | = 4|z – (1 + i)| < 4.

Untuk > 0, agar |f(z) – L| < , ambil 4 = = 휀

4.

Jadi, > 0, = 휀

4 < 0 0 < |z – (1 + i)| < , |f(z) – (-1 +4i)| < .

Teorema II. D. 1

Jika suatu fungsi mempunyai limit pada titik zo yang diberikan, maka

limitnya mempunyai nilai tunggal.

Bukti:

Misal

lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝑤1, > 0, 𝛿1 > 0 0 < |z – z0| <

|f(z) – w1| < 휀

2

lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝑤2, > 0, 𝛿2 > 0 0 < |z – z0| <

|f(z) – w2| < 휀

2

Pilih = min {1, 2}; yaitu pilih sebagai yang terkecil diantara 1 dan

2, maka untuk 0 < |z – z1| < berakibat

|w1 – w2| = |w1 – f(z) + f(z) – w2|

|w1 – f(z)| + |f(z) – w2|


14

< 휀

2 +

휀

2

= .

|w1 – w2| < , 0 |w1 – w2| maka |w1 – w2| = 0

w1 = w2.

Jadi, terbuktilah teorema di atas.

Teorema berikut menyatakan jika dua fungsi kompleks yang

diberikan masing-masing mempunyai limit, maka jumlah, selisih, perkalian

dan pembagian fungsi-fungsi itu mempunyai limit berturut-turut sama

dengan jumlah, selisih, perkalian dan pembagian masing-masing limit

diberikan.

Teorema II. D. 2

Jika lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝐴 dan lim𝑧→𝑧0

𝑔 𝑧 = 𝐵, maka

1) lim𝑧→𝑧0 𝑓 𝑧 + 𝑔 𝑧 = lim𝑧→𝑧0

𝑓 𝑧 + lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 = 𝐴 + 𝐵

2) lim𝑧→𝑧0 𝑓 𝑧 . 𝑔 𝑧 = (lim𝑧→𝑧0

𝑓 𝑧 ) . (lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 ) = 𝐴. 𝐵

3) lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧)

𝑔(𝑧)=

lim 𝑧→𝑧0 𝑓(𝑧)

lim 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧)=

𝐴

𝐵 jika B ≠ 0

Bukti:

1) Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 휀

2 adalah positif.

Karena lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝐴, maka terdapat suatu bilangan positif 1

sedemikian sehingga

0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿1 ⇒ 𝑓 𝑧 − 𝐴 <휀

2.


15

Karena lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 = 𝐵, maka terdapat suatu bilangan positif 2

sedemikian sehingga

0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿2 ⇒ 𝑔 𝑧 − 𝐵 <휀

2.

Pilih = min{1, 2}; yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara 1

dan 2, maka 0 < 𝑧 − 𝑧0 < menunjukkan

|f (z) + g(z) – (A + B)| = |( 𝑓 𝑧 − 𝐴) + (g (z) – B)|

|f (z) – A)| + |g (z) – B)|

<

2 +

2

Jadi, lim𝑧→𝑧0 𝑓 𝑧 + 𝑔 𝑧 = lim𝑧→𝑧0

𝑓 𝑧 + lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 = 𝐴 + 𝐵

2) Jika sebarang bilangan positif yang diberikan, maka 1

2

휀

𝑔(𝑧) +1 adalah

positif. Karena lim𝑧→𝑧0𝑓 𝑧 = 𝐴, maka terdapat suatu bilangan

positif 1 sedemikian sehingga

0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿1 ⇒ 𝑓 𝑧 − 𝐴 <1

2

휀

𝑔(𝑧) + 1

Karena lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 = 𝐵, maka terdapat suatu bilangan positif 2

sedemikian sehingga

0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿2 ⇒ 𝑔 𝑧 − 𝐵 <1

2

휀

𝐴 + 1.

Pilih = min{1, 2}, yaitu pilih sebagai yang terkecil di antara 1

dan 2, maka 0 <|z – z0|< menunjukkan

|f(z)g(z) – AB| = |f(z)g(z) – Ag(z) + Ag(z) – AB|

= |g(z)(f(z) – A) + A(g(z) – B)|

|g(z) 𝑓 𝑧 − 𝐴 | + |A(g(z) – B)|


16

= |g(z)||f(z) – A| + |A||g(z) – B|

< 𝑔(𝑧)

2

휀

𝑔(𝑧) +1 +

|𝐴|

2

휀

𝐴 +1

< 휀

2 +

휀

2 = .

Jadi, lim𝑧→𝑧0 𝑓 𝑧 . 𝑔 𝑧 = (lim𝑧→𝑧0

𝑓 𝑧 ) . (lim𝑧→𝑧0𝑔 𝑧 ) = 𝐴. 𝐵

3) Berdasarkan bukti 2), maka dapat ditunjukkan

lim𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧)

𝑔(𝑧)= lim

𝑧→𝑧0

𝑓(𝑧)1

𝑔(𝑧)

= lim𝑧→𝑧0𝑓(𝑧) lim𝑧→𝑧0

1

𝑔(𝑧),

dengan lim𝑧→𝑧0

1

𝑔(𝑧)=

1

lim 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧) , yaitu dengan diberikan > 0, maka

1

2|g(z)||B| > 0. Karena lim𝑧→𝑧0

𝑔 𝑧 = 𝐵, maka terdapat 1 > 0

sedemikian sehingga

|g(z) – B| < 1

2|g(z)||B| ⇒ 0< |z – z0|<1.

Dengan demikian terdapat suatu sedemikian sehingga 0 < |z – z0| <

yang menunjukkan

1

𝑔 𝑧 −

1

𝐵 =

𝐵 − 𝑔 𝑧

𝑔 𝑧 𝐵

= − 𝑔 𝑧 − 𝐵

𝑔 𝑧 𝐵

= 𝑔 𝑧 − 𝐵

𝑔 𝑧 𝐵

= 𝑔 𝑧 − 𝐵

|𝑔 𝑧 𝐵|

=1

2 𝑔 𝑧 𝐵 휀.

1

𝑔 𝑧 |𝐵|


17

= 휀

2

<

Jadi, lim𝑧→𝑧0

1

𝑔(𝑧)=

1

𝐵=

1

lim 𝑧→𝑧0 𝑔(𝑧).

Oleh karena itu,

lim𝑧→𝑧0

𝑓 𝑧

𝑔 𝑧 = lim

𝑧→𝑧0

𝑓 𝑧 1

lim𝑧→𝑧0

𝑔 𝑧

=𝐴

𝐵.

E. Fungsi Pangkat Bilangan Kompleks

Fungsi pangkat didefinisikan sebagai berikut:

𝑤 = 𝑒𝑧 = 𝑒𝑎+𝑏𝑖 = 𝑒𝑎 cos 𝑏 + 𝑖 sin 𝑏 ,

di mana e = 2,71828... adalah bilangan dasar logaritma natural (asli). Jika a

bilangan riil positif, maka didefinisikan 𝑎𝑧 = 𝑒𝑧 ln 𝑎 , dengan ln a adalah

logaritma natural (asli) dari a. Jika a = e maka 𝑎𝑧 = 𝑒𝑧 ln 𝑎 direduksikan

menjadi w. (Spiegel, 1994).

Berikut ini adalah sifat-sifat aljabar yang paling pokok untuk fungsi

pangkat dengan bilangan dasar logaritma natural, yaitu:

Theorema II. E. 1

i. Untuk setiap peubah kompleks z1 dan z2 berlaku sifat-sifat berikut:

1) 𝑒𝑧1+𝑧2 = 𝑒𝑧1𝑒𝑧2

2) 𝑒𝑧1−𝑧2 =𝑒𝑧1

𝑒𝑧2.

ii. Jika 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, maka

1) 𝑒𝑧 = 𝑒𝑧


18

2) 𝑒𝑧 = 𝑒𝑎 𝑑𝑎𝑛 arg(ez) = b.

Bukti:

i. Misalkan z1 = a1 + ib1 dan z2 = a2 + ib2, maka

𝑒𝑧1 = 𝑒𝑎1 𝑐𝑜𝑠𝑏1 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑏1 dan 𝑒𝑧2 = 𝑒𝑎2 𝑐𝑜𝑠𝑏2 + 𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑏2 .

1) 𝑒𝑧1𝑒𝑧2 = 𝑒𝑎1𝑒𝑎2 (cos b1 + i sin b1)(cos b2 + i sin b2)

= 𝑒𝑎1+𝑎2((cosb1 cosb2 – sinb1 sinb2) + i(cosb1 sinb2

+ cosb2 sinb1))

= 𝑒𝑎1+𝑎2(cos(b1 + b2) + i sin(b1 + b2))

= 𝑒𝑧1+𝑧2 .

2) z1 – z2 = (a1 – a2) + i(b1 – b2), maka

𝑒𝑧1−𝑧2 = 𝑒𝑎1−𝑎2 (cos(b1 – b2) + i sin(b1 – b2))

= 𝑒𝑎1

𝑒𝑎2((cosb1 cosb2 + sinb1 sinb2) + i(sinb1 cosb2 –

cosb1 sinb2))

= 𝑒𝑎1

𝑒𝑎2 ((cosb1 + i sinb1)cosb2 – (cosb1 + i sinb1)i

sinb2)

= 𝑒𝑎1

𝑒𝑎2 (cosb1 + i sinb1)(cosb2 – i sinb2)

= 𝑒𝑎1

𝑒𝑎2 .𝑒𝑏1𝑖 𝑒𝑏2𝑖

= 𝑒𝑎1

𝑒𝑎2 .

𝑒𝑏1𝑖

𝑒𝑏2𝑖


19

= 𝑒𝑎1+𝑏1𝑖

𝑒𝑎2+𝑏2𝑖

= 𝑒 𝑧1

𝑒 𝑧2

ii. Misalkan z = a + ib, maka ez = e

a(cosb + isinb) = e

acosb + i e

asinb,

sehingga:

1) Karena z = a + ib maka 𝑧 = a – ib, sehingga:

𝑒𝑧 = ea – ib

= ea e

–ib

= ea (cosb – i sinb)

= ea cosb – ie

a sinb

= 𝑒𝑎𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑖𝑒𝑎𝑠𝑖𝑛𝑏

= 𝑒𝑎(𝑐𝑜𝑠𝑏 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝑏)

=𝑒𝑧 .

2) 𝑒𝑧 = 𝑒𝑎(cos 𝑏 + 𝑖 sin 𝑏) = 𝑒𝑎 cos 𝑏 + sin 𝑏

= ea . 1

= ea,

Dan arg(ez) = arc tan (

𝑒𝑎 sin 𝑏

𝑒𝑎 cos 𝑏 ) = arc tan(tanb) = b.

F. Fungsi Trigonometri Bilangan Kompleks

Definisi yang diberikan cukup konsisten dengan menggunakan Rumus

Euler, yaitu untuk setiap b bilangan riil,

eib

= cosb + i sinb dan e–ib

= cosb – i sinb.


20

Dengan menjumlahkan dan mengurangkan kedua rumus tersebut

maka akan diperoleh

cosb = 𝑒 𝑖𝑏 +𝑒−𝑖𝑏

2; sinb =

𝑒 𝑖𝑏 − 𝑒−𝑖𝑏

2𝑖,

sehingga dapat didefinisikan fungsi trigonometri dengan peubah kompleks z,

sebagai berikut:

cos z = 𝑒 𝑖𝑧 +𝑒−𝑖𝑧

2 (1.1)

dan

sin z = 𝑒 𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧

2 (1.2)

(Spiegel, 1994).

G. Fungsi Hiperbolik Bilangan Kompleks

Fungsi hiperbolik didefinisikan sebagai kombinasi dari fungsi pangkat

(eksponen), sebagai berikut:

Sinus hiperbolik didefinisikan dengan

sinh z = 𝑒𝑧− 𝑒−𝑧

2 (1.3)

dan cosinus hiperbolik dengan

cosh z = 𝑒𝑧 + 𝑒−𝑧

2 (1.4)

(Spiegel, 1994).

H. Fungsi Logaritma Bilangan Kompleks

Jika z = ew , maka dapat dituliskan w = ln z , yang dinamakan logaritma

natural (asli) dari z. Jadi fungsi logaritma natural adalah invers dari fungsi

pangkat dan dapat didefinisikan sebagai berikut:


21

Jika bilangan kompleks z= a + bi, yang dalam bentuk eksponen ditulis z =

rei

, maka

w = ln z = ln(rei

) = ln r + ln ei

= ln r + i

dengan ln r adalah logaritma bilangan riil biasa dengan bilangan pokok e,

dan r adalah suatu bilangan riil positif.

I. Notasi Faktorial

Notasi faktorial dinyatakan sebagai berikut:

Definisi II. I. 1

Diberikan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (simbol n!)

didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat dari 1 hingga n.

n! = 1.2.3 ... (n – 1).n.

J. Fungsi Gamma

Definisi dari fungsi gamma adalah:

Definisi II. J. 1

Fungsi gamma pada bilangan riil dinyatakan oleh (n) didefinisikan sebagai

berikut:

(n) = 𝑒−𝑡𝑡𝑛−1∞

0𝑑𝑡; n > 0 (1.5)

dengan n dan t adalah sebarang bilangan riil.

Dari persamaan (1.5) diperoleh:

Misal n = 1, maka

(1) = 𝑒−𝑡𝑑𝑡∞

0 = −𝑒−𝑡|0

∞ = - (0 – 1) = 1,

sehingga,

(1) = 1


22

(2) = 1.(1) = 1

(3) = 2.(2) = 2.1 = 2!

(4) = 3.(3) = 3.2! = 3!

(5) = 4.(4) = 4.3! = 4!

...

(n + 1) = n(n) = n!.

Contoh 1: Hitung (6)

2(3) .

Jawab : (6)

2(3) =

5!

2(2!) =

3 .4 .5

2 = 30.

Sifat dasar fungsi gamma pada bilangan riil adalah:

i.

ii.

iii.

iv.

v.

(Silaban, 1997)

Bukti:

i. (n + 1) = 𝑥𝑛𝑒−𝑥∞

0𝑑𝑥

)( )1( nnn

! )1( nn

n

nn

)1()(

xxx

sin)1( )(

(1/2)


23

= lim𝑀→∞ 𝑥𝑛𝑒−𝑥 𝑑𝑥𝑀

0

= lim𝑀→∞ 𝑥𝑛 −𝑒−𝑥 |0𝑀 − −𝑒−𝑥 𝑛𝑥𝑛−1 𝑑𝑥

𝑀

0

= lim𝑀→∞ −𝑀𝑛𝑒−𝑀 + 𝑛 𝑥𝑛−1𝑀

0𝑒−𝑥𝑑𝑥

= lim𝑀→∞ 𝑛 𝑥𝑛−1𝑒−𝑥𝑑𝑥𝑀

0

= n(n)

ii. (n + 1) = n! , n = 1, 2, 3, ...

(1) = 𝑒−𝑥𝑀

0𝑑𝑥 = lim𝑀→∞ 𝑒−𝑥𝑀

0𝑑𝑥

= lim𝑀→∞(1 − 𝑒−𝑀) = 1

Dari (i) diperoleh n = 1, 2, 3, ..., (n + 1) = n(n)

Sehingga untuk

(2) = 1 (1) = 1

(3) = 2 (2) = 2.1 = 2!

(4) = 3 (3) = 3.2! = 3!

...

(n + 1) = n (n) = n!

iii. Dari (ii) diperoleh (n + 1) = n (n)

Maka

iv. (1

2) = 𝜋

(1

2) = 𝑡

1

2−1𝑒−𝑡∞

0𝑑𝑡

n

nn

)1()(


24

= 1

𝑡𝑒−𝑡∞

0 𝑑𝑡

t = y2 , dt = 2ydy.

(1

2) = 2

1

𝑦𝑒−𝑦2∞

0𝑦𝑑𝑦 , (

1

2) = 2

1

𝑥𝑒−𝑥2∞

0𝑥𝑑𝑥

(1

2)

2

= 4 𝑒−(𝑥2+𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦∞

0

∞

0 , 𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2, tan 𝜃 =

𝑥

𝑦

= 4 𝑒−𝑟2∞

0

𝜋/2

𝜃−0𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝜃

= 4𝜋

2

𝑒−𝑟2

−2|0𝜋

=

(1

2)

2

=

(1

2) = 𝜋 .

v. (x) (1 – x) = 𝜋

sin 𝑥 𝜋

Dari (iv) (1

2) = 𝜋 maka:

(1

2) = 𝜋 (kedua ruas dikuadratkan)

1

2

2 = π

(1

2) (

1

2) =

𝜋

1

(1

2) (1 −

1

2) =

𝜋

sin1

2 𝜋

1

2 dimisalkan x, maka:

(x) (1 – x) = 𝜋

sin 𝑥 𝜋.


25

Nilai (n) untuk 1 n 2 dapat dibaca dari tabel. Tabel berikut ini

adalah tabel beberapa nilai (n) untuk 1 n 2.

Tabel 1. Tabel Fungsi Gamma

N (n)

1

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2

1

0,9513507699

0,9181687424

0,8974706963

0,8872638175

0,8862269255

0,8935153493

0,9086387329

0,9313837710

0,9617658319

1

Nilai (n) dapat ditentukan untuk semua n > 1, dengan n sebarang bilangan

riil dengan rumus rekursif (n + 1) = n(n).

Contoh 3: Hitunglah nilai (2,4).

Jawab:

(2,4) = 1,4 . (1,4) = 1,4 . 0,8872638175 = 1.2421693.


26

Catatan: Untuk n < 1, nilai (n) dapat dihitung dengan rumus

(n) = (n+1)

𝑛.

Contoh 4: Hitunglah nilai (0,5).

Jawab:

(0,5) = (1,5)

0,5 =

0,8862269255

0,5 = 1,7724539.

Namun (n) tidak terdefinisi untuk n sama dengan nol atau bilangan bulat

negatif, sebab (0) = (1)

0 =

1

0 (tidak terdefinisi). Demikian pula (-1) =

(0)

−1,

(-2) = (−1)

−2, dan seterusnya, dan ini dinamakan sebagai sifat dasar dari

fungsi gamma pada bilangan riil (Spiegel, 1994).

Selain definisi dari fungsi gamma di atas, fungsi gamma dapat juga

didefinisikan dalam bentuk yang dikenal sebagai rumus Euler sebagai

berikut:

Definisi II. J. 2

(z) = lim𝑛→∞1.2.3 …𝑛

𝑧 𝑧+1 𝑧+2 …(𝑧+𝑛)𝑛𝑧

dimana z bilangan riil atau kompleks.


27

K. Fungsi Beta

Definisi II. K. 1

Fungsi beta adalah

𝐵 𝑚, 𝑛 = 𝑡𝑚−1(1 − 𝑡)𝑛−1

1

0

𝑑𝑡,

untuk m > 0 dan n > 0.

Hubungan fungsi beta dan fungsi gamma adalah:

𝐵 𝑚, 𝑛 = 𝑚 (𝑛)

(𝑚 + 𝑛)

(Remmert, 1996)

Bukti:

Misalkan t = x2 dapat ditulis:

(m) = 𝑡𝑚−1𝑒−𝑡𝑑𝑡∞

0= 2 𝑥2𝑚−1𝑒−𝑥2∞

0𝑑𝑥

Misalkan t = y2 dapat ditulis:

(n) = 𝑡𝑛−1𝑒−𝑡∞

0𝑑𝑡 = 2 𝑦2𝑛−1𝑒−𝑦2

𝑑𝑦∞

0

Maka (m).(n) = 4 𝑥2𝑚−1𝑒−𝑥2∞

0𝑑𝑥 𝑦2𝑛−1𝑒−𝑦2∞

0𝑑𝑦

= 4 𝑥2𝑚−1𝑦2𝑛−1𝑒− 𝑥2+𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦∞

0

∞

0

Mentransformasikan ke koordinat polar

x = r cos , y = r sin diperoleh:

(m).(n) = 4 𝑟2 𝑚+𝑛 −1𝑒−𝑟2𝑐𝑜𝑠2𝑚−1𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝑛−1𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃

∞

𝑟=0

𝜋/2

0

= 4 𝑟2 𝑚+𝑛 −1𝑒−𝑟2∞

0 𝑐𝑜𝑠2𝑚−1𝜃 𝑠𝑖𝑛2𝑛−1𝜃 𝑑𝜃

𝜋/2

0


28

= 2(m + n) 𝑐𝑜𝑠2𝑚−1𝜃 𝑠𝑖𝑛 2𝑛−1𝜃 𝑑𝜃𝜋/2

0

(m).(n) = (m + n) . B(m,n)

B(m,n) = 𝑚 (𝑛)

(𝑚+𝑛)

Contoh 5: Hitunglah nilai B(3,5).

Jawab: B(m,n) = 𝑚 (𝑛)

(𝑚+𝑛)

B(3,5) = 3 (5)

(3+5)

= 2!4!

7!

= 2 .4!

7.6.5.4!

= 1

105

Contoh 6: hitunglah 𝑥2 1 − 𝑥 8𝑑𝑥1

0

Jawab: 𝐵 𝑚, 𝑛 = 𝑡𝑚−1(1 − 𝑡)𝑛−11

0𝑑𝑡

𝐵 𝑚, 𝑛 = 𝑥2(1 − 𝑥)81

0𝑑𝑥

𝐵 𝑚, 𝑛 = 𝑥3−1(1 − 𝑥)9−11

0𝑑𝑥

B(3,9) = 3 (9)

(3+9)

= 2!8!

11!

= 2

11.10.9 =

1

495


29

Sifat-sifat dari fungsi beta pada bilangan real adalah:

i. B(m,n) = B(n,m)

ii. B(m,n) = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑚−1𝜃𝜋/2

0𝑐𝑜𝑠2𝑛−1𝜃 𝑑𝜃

(Arfken,1985)

Bukti:

i. B(m,n) = B(n,m)

B(m,n) = 𝑥𝑚−1 1 − 𝑥 𝑛−1𝑑𝑥1

0, substitusikan x = 1 – y.

= 1 − 𝑦 𝑚−1𝑦𝑛−1𝑑𝑥1

0

= 𝑦𝑛−1 1 − 𝑦 𝑚−1𝑑𝑦1

0 = B(n,m)

ii. B(m,n) = 2 𝑠𝑖𝑛2𝑚−1𝜃𝜋/2

0𝑐𝑜𝑠2𝑛−1𝜃 𝑑𝜃

B(m,n) = 𝑥𝑚−1 1 − 𝑥 𝑛−1𝑑𝑥1

0 , substitusikan x = sin

2

= 𝑠𝑖𝑛2𝜃 𝑚−1 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑛−12 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃/2

0

= 2 𝑠𝑖𝑛2𝑚−1 𝑐𝑜𝑠2𝑛−1 𝑑/2

0


BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Kompleksrepository.ump.ac.id/6816/3/Mella Tanu Wijaya Bab...

Documents

Transcript of BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Bilangan Kompleksrepository.ump.ac.id/6816/3/Mella Tanu Wijaya Bab...