Bagaimana kita bisa menemukan volume rumus suatu kerucut? Membuktikan bahwa rumus

suatu kerucut dengan jari-jari alas r dan tinggi t adalah .

 

Bukti rumus volume kerucut bisa diperoleh dengan menggunakan integral. Yaitu volume benda putar suatu persamaan linear dengan kemiringan tak nol. Yang diputar terhadap sumbu x atau diputar terhadap sumbu y. Lebih mudah membayangkan jika diputar terhadap sumbu x.

 

Suatu persamaan linear. Seperti pada gambar berikut

 

Persamaan linear , seperti pada gambar memenuhi suatu koordinat . Suatu segitiga siku-siku dengan sisi tegaknya masing-masing t dan r.

 

Volume benda putar, persamaan linear yang diputar terhadap sumbu x, akan menghasilkan suatu kerucut dengan jari-jari alasnya yaitu r dan tingginya yaitu t. coba dibayangkan!

 

Untuk menentukan volume benda putar tersebut. Kita cari batas-batas integralnya dulu, yaitu dari 0 sampai t. jadi volume benda putar dapat dicari dengan menggunakan integral

 

 

 

 

 

 

 

Akhirnya terbukti bahwa rumus untuk mencari volume kerucut adalah

Pada tulisan ini akan mencoba memaparkan turunan Rumus Volume Bola, dengan mengambil ide dari tulisan sebelumnya yaitu Pembuktian Rumus Luas Lingkaran. Pada penurunan rumus luas tersebut yaitu dengan menggunakan integral luas dibawah kurva, sekarang kita akan menggunakan integral volume benda putar dari persamaan lingkaran. Seperti yang diketahui bahwa persamaan lingkaran dalam koordinat kartesius adalah x2 + y2 = r2 atau y =

. Dengan memandang persamaan lingkaran pada sumbu-x dan sumbu-y positif saja sehingga lingkaran yang terbentuk adalah seperempat lingkaran atau jika diputar terhadap sumbu–x maka akan terbentuk setengah bola. Sehingga untuk mencari volumenya yaitu dengan cara mengintegralkan persamaan lingkaran dengan batas atas dan batas bawah masing-masing 0 dan r dan dikalikan 2 [karena terbentuk ½ bola].

Volume = 2 y2 dx

= 2 dx

= 2 (r2 – x2) dx

= 2 r2 – (r.sin )2 dx

= 2 r2 – r2.sin2 dx

= 2 r2(1 – sin2 dx

= 2 r2.cos2 dx

karena sin = , berakibat x = r.sin , turunkan kedua ruas maka dx = r.cos d , substitusi dx, sehingga diperoleh.

= 2 r2.cos2 (r.cos d )

= 2r3 cos2 cos d

= 2r3 (1 – sin2 ) (cos d )

misal u = sin maka du = cos d , substitusi sehingga diperoleh

= 2r3 (1 – u2) du

= 2 r3 (u – u3)

substitusi u = sin , diperoleh

= 2 r3 (sin – sin3 )

substitusi sin =

= 2 r3 ( – )

= 2 r3 [( - ) - [( - )]

= 2 r3 [(1 - ) - (0 - 0)]

= 2 r3

= r3