Rumus Cepat Matematika Irisan Kerucut

http://meetabied.wordpress.comSMAN 1 Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel

Kebahagiaan tertinggi dalam kehidupan adalah kepastian bahwa Anda dicintai apa adanya, atau lebih tepatnya dicintai walaupun Anda seperti diri Anda adanya (Victor Hugo)

[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]Irisan Kerucut================================================================================ Materi ini dapat disebarluaskan secara bebas, untuk tujuan bukan komersial, dengan atau tanpa menyertakan sumber. Hak Cipta selamanya pada Allah Swt. Salam hangat selalu Muhammad Zainal Abidin | admin of http://meetabied.wordpress.com

1. UAN 2003/P-1/No.26 Koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran : x2 +y2 -4x +6y +4 = 0 adalah. A. (-3 ,2) dan 3 B. (3 ,-2) dan 3 C. (-2 ,-3) dan 3 D. (2 ,-3) dan 3 E. (2 ,3) dan 3

Gunakan info : @ x2 +y2 -4x +6y +4 = 0 A = -4, B = 6 dan C = 4 @ Rumus Pusat :1 1 1 1 P(- A, - B) = P(- .(-4), - .6) 2 2 2 2 = P(2 ,-3)

O

Sebenarnya kita hanya perlu mencari Pusat lingkaran saja, sebab r sudah sama pada pilihan.

@ Jari-jari rumus :r= 1 2 1 2 A + B -C 4 4 1 1 = .(-4) 2 + .6 2 - 4 4 4 1 1 = .16 + .36 - 4 4 4 = 4+9-4 = 9 =3

1 Perhatikan terobosannya

x 2 + y 2 - 4x + 6 y + 4 = 0-2 -2 Pusat : ( 2 , -3 )

:

Jawaban : D

Jawaban : D

http://meetabied.wordpress.com

2

2. UAN 2003/P-2/No.26 Salah satu garis singgung yang bersudut 120o terhadap sumbu X positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7 ,6) dan (1 ,-2) adalah. A. y = -x3 +43 +12 B. y = -x3 -43 +8 C. y = -x3 +43 -4 D. y = -x3 -43 -8 E. y = -x3 +43 +22

Gunakan info :

O

q = 120o berarti m = tg q = tg 120o = -3 Titik ujung diameter : (7 ,6) dan (1 ,-2), berarti Pusat : ( 7 + 1 , 6 - 2 ) = ( 4 ,2 ) dan 2 2r = ( 7 - 4 )2 + ( 6 - 2 )2 = 9 + 16 = 5

O

Pers. Garissinggung umum :

y - b = m( x - a ) r 1 + m 2y - 2 = - 3 ( x - 4 ) 5 1 + ( - 3 )2y = -x3 +43 ! 5.2 +2 y = -x3 +43 ! 12 1 Perhatikan

terobosannya

Jawaban : A


3

3. EBTANAS99/No.25 Diketahui lingkaran x2 +y2 +2px +10y +9 = 0 menyinggung sumbu X. Nilai p = . A. 9 B. 6 C. 3 D. 1 3 E.1 9

Gunakan info : @ x2 +y2 +2px +10y +9 = 0 Menyinggung sumbu-X, berarti y = 0 x2 +2px +9 = 0 D = 0 (2p)2-4.1.9 = 0 4p2 -36 = 0 4p2 = 36 p2 = 9 p=3

O O

Menyinggung sumbu-X berarti y = 0. Menyinggung Sb-X, Pandang Pendamping X-nya dan C

A Atau =C -2

2

1 Perhatikan terobosannya

x 2 + y 2 + 2 px + 10 y + 9 = 0 2 p 2 -2 = 9 te ta pan

p2 = 9p = 3

Jawaban : C


4

4. Lingkaran x2 +y2 -14x +2my +49 = 0. Menyinggung sumbu Y, maka nilai m adalah. A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 E. 11

@ x2 +y2-14x +2my +49 = 0 Menyinggung sumbu-Y, berarti x = 0 y2 +2my +49 = 0 D = 0 (2m)2-4.1.49 = 0 4m2 -142 = 0 (2p)2 = 142 2p = 14 p=7 JAWABAN : C

O O

Menyinggung sumbu-Y, berarti x=0 Menyinggung Sb-Y, Pandang Pendamping Y-nya dan C

B Atau =C -2

2

@2

Perhatikan terobosannya

x + y 2 - 14 x + 2 m y + 49 = 0

2m -2

2 = 49

m 2 = 49 m = 7

te ta p a n


5

5. Persamaan lingkaran dengan pusat (3 ,-4) menyinggung sumbu X adalah. A. x2 +y2 -6x +8y +16 = 0 B. x2 +y2 -6x -8y -16 = 0 C. x2 +y2 -6x +8y +9 = 0 D. x2 +y2 -6x +8y -9 = 0 E. x2 +y2 -6x -8y -9 = 0

@ pusat (3 ,-4)x2 +y2 -2px -2qy +p2 = 0 x2 +y2 -2.3x -2.(-4)y +32 = 0 x2 +y2 -6x +8y +9 = 0

O

JAWABAN : C

Pers.Lingkaran dengan pusat (p ,q) dan menyinggung sumbu X adalah : (x p)2 +(y q)2 = q2 atau x2 +y2 -2px -2qy +p2 = 0

@


32 -2

P (3 , - 4 )k a lik a n

-2

x

2

+ y

2

- 6x + 8y + 9 = 0


6

6. Persamaan lingkaran dengan pusat (-4 ,2) menyinggung sumbu Y adalah. A. x2 +y2 +8x -4y +16 = 0 B. x2 +y2 -8x +4y +16 = 0 C. x2 +y2 +8x -4y +4 = 0 D. x2 +y2 +8x +4y +4 = 0 E. x2 +y2 -8x +4y +4 = 0

@ pusat (-4 ,2)

@ Pers.Lingkaran dengan-2 pusat (p ,q) dan menyinggung sumbu Y adalah : L (x p)2 +(y q)2 = p2 atau L x2 +y2 -2px -2qy +q2 = 0

-4 (x +4)2 +(y -2)2 = r2Menyinggung sumbu Y, berarti jari jarinya sama dengan absis titik pusat yaitu r = |-4| = 4 ,maka persamaan lingkarannya adalah :

(x +4)2 +(y -2)2 = 42 x2 +8x +16 +y2 -4y +4 = 16 x2 +y2+8x -4y +4 = 0

@


P(-4,2)x2 +y2 -2px -2qy +q2 = 0 x2 +y2 -2(-4)x -2.2y +22 = 0 x2 +y2 +8x -4y +4 = 0

JAWABAN : C

7. Persamaan lingkaran dengan pusat (3 ,5) dan jari-jari 6 adalah. A. x2 +y2 -6x +10y -2 = 0 B. x2 +y2 -6x -10y -2 = 0 http://meetabied.wordpress.com C. x2 +y2 +6x +10y -2 = 0

7

@ P(3 ,5), r = 6 (x p)2 +(y q)2 = r2 (x 3)2 +(y 5)2 = 62x2 -6x +9 +y2-10y +25 = 36

@ Pers.Lingkaran denganpusat (p ,q) dan jari-jari r adalah : L x2 +y2 -2px -2qy +p2+q2-r2 = 0

x2 +y2 -6x -10y -2 = 0

JAWABAN : B

3k u a d ra tk a n :

2

+ 5 2 - 6 2 = -2

P (3k a li k a n

, 5) , r = 6-2 -2- 6 x - 10 y - 2 = 0

x

2

+ y

2


8

8. PREDIKSI UAN/SPMB Pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran : x2 +y2 -10x +6y -15 = 0 adalah. A. (5 ,3) dan 5 B. (5 ,-3) dan 5 C. (5 ,3) dan 7 D. (5 ,-3) dan 7 E. (-5 ,3) dan 6

@ x2 +y2 -10x +6y -15 = 0 Pusat Rumus :1 1 1 1 - A,- B = - .(-10),- .6 2 2 2 2 = (5,-3)

@ Lingkaran denganP(p ,q) maka :r= p2 + q2 - C

Jari-jari Rumus : @ 1 2 1r = = = =

A + B2 - C 4 4 1 1 .( - 10 ) 2 + . 6 2 + 15 4 4 1 1 . 100 + . 36 + 15 4 4 25 + 9 + 15 = 47 = 7

x2 + y2 -10x +6y -15= 0dibagi : -2

-2

P(5 , -3)

r = 52 + (-3)2 - (-15 )

JAWABAN : D

r =

49 = 7


9

9. EBTANAS 94/A1/No.21 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran : x2 +y2 = 25 yang di tarik dari titik (0 ,10) adalah A. x/3 +y = 10 B. x/3 +y = 50 C. x/3 +y = 25 D. -x/3 y = 10 E. -x/3 y = 50

@ Titik (0 ,10) di substitusikankanke pilihan (option) : Ganti x= 0 harus di dapat y = 10 Option B : x = 0 3/x +y = 50 3/0 + y = 50 di dapat y = 50 (tidak cocok) Option A : x = 0 3/x +y = 10 3/0 + y = 10 di dapat y = 10 ( cocok) Berarti pilihan benar : A

@



10

10. EBTANAS 95/A2/No.20 Persamaan garis singgung melalui titik (9 ,0) pada lingkaran x2 +y2 = 36 adalah. A. 2x +y/5 = 18 dan 2x -y/5 = 18 B. 2x +y/5 = 18 dan -2x +y/5 = 18 C. 2x +y/5 = -18 dan -2x -y/5 = -18 D. x/5 +2y = -18 dan x/5 -2y = 18 E. x/5 +2y = -18 dan x/5 -2y = -18

@ Persamaan garis polar melalui Titik (x1 ,y1) pada lingkaran x2 +y2 = r2 adalah : xx1 +yy1 = r2 @ Persamaan garis polar melalui Titik (9 ,0) pada lingkaran x2 +y2 = 36 adalah : 9x +0.y = 36 9x = 36 ,x = 4 Untuk x = 4 maka 42+y2=36 y2 = 36 -16 y = 20 @ Persamaan Garis melalui (4, 20) adalah : xx1 +yy1 = r2 4x 20y = 36 4x 25y = 36 2x y5 =18 JAWABAN : A

@ Titik (9 ,0) di substitusikanOptions : A.

kan ke pilihan (options) Ganti y = 0 harus di dapat x = 92x + 0 5 = 18 x = 9 (Cocok) y = 0 2x - 0 5 = 18 x = 9 (Cocok)

Berarti Jawaban benar : A

@



11

11. EBTANAS 98 Diketahui lingkaran x2 +y2 4x +2y + C = 0 melalui titik A(5 ,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan. A. 7 B. 3 C. 4 D. 26 E. 9

@ A(5 ,-1) susupkankeepers.lingkaran52 +(-1)2 4.5 +2(-1) +C = 0 25 +1 20 2 +C = 0 C = -4

@ x2 +y2 4x +2y + C = 0 C = -4 . Persamaannya menjadi : x2 +y2 4x +2y -4 = 0+ y - 4x + 2y - 4 = 0-2 -2

JAWABAN : B

x

2

2

d ib a g i :

P (2 , -1 )

r =

2 2 + ( - 1) 2 - ( - 4 )

r =

9 = 3


12

12. EBTANAS 2002/P-1/No.26 Titik (a ,b) adalah pusat lingkaran : x2+y2 -2x +4y +1=0. Jadi 2a +b = A. 0 B. 2 C. 3 D. 1 E. 2

O

Pusat (a ,b) x2+y2 -2x +4y +1=0 @ Rumus Pusat :1 1 1 1 - A,- B = - .(-2),- .4 2 2 2 2 = (1,-2)

@ Berarti a = 1 dan b = -2 Maka 2a +b = 2.1+(-2) = 0

JAWABAN : D

x2 + y 2 - 2x + 4 y + 1 = 0dibagi : -2

-2

P(1 , -2)

a=1 b = -2

2a +b = 2 -2 = 0


13

13. EBTANAS 2001/P-1/No.25 Salah satu persamaan garis singgung dari titik (0,0) pada lingkaran (x 3)2 +(y 4)2 = 5 adalah.. A. x y = 0 B. 11x +y = 0 C. 2x +11y = 0 D. 11x y = 0 E. 11x 2y = 0

1 Persamaan garis melalui

(0 ,0) adalah y = mx ( i ) Substitusi kepersamaan lingkaran, didapat : (x -3)2 +(mx -4)2 = 5 x2 -6x +9 +m2x2-8mx +16 = 5 (1 +m2)x2 (6 +8m)x +20 = 0 D = 0 b2 -4ac = 0 (6 +8m)2 -4(1 +m2).20 = 0 36 +96m +64m2-80-80m2 = 0 -16m2 +96m -44 = 0 : (-4) 4m2 -24m +11 =0 (2m -1)(2m -11) = 01 11 atau m = 2 2 11 Untuk m = substitisi ke (i) 2 11 didapat y = x atau 2

INFO :

@ Jarak titik (a ,b) ke garis AX+BY +C = 0 adalah :d= aA + bB + C A2 + B 2

@ (x 3)2 +(y 4)2 = 5 , berarti @ Option E :d = =P(3 ,4) dan r = 5. Cari jarak (3 ,4) ke garis pada Option yang bernilai 5.3 . 11 + 4 ( - 2 ) + 0 12 2 + ( - 2 ) 2 25 5 5

m=

=

5

11x 2y = 0

@ Berarti jawaban benar : E


14

14. Persamaan garis singgung pada lingkaran : x 2 + y 2 = 5 di titik (1 ,2) adalah A. x +2y = 5 B. x 2y = 5 C. 2x +y = 5 D. 2x y = 5 E. 2x +2y = 5

@ x 2 + y 2 = 5 (1,2) @ Persamaan GarisSinggungnya adalah : 1.x +2y = 5 x +2y = 5

@ Persamaman Garissinggung pada lingkaran x 2 + y 2 = r 2 di titik (x1 ,y1) adalah : x1 x + y1 y = r 2

JAWABAN : A

@



15

15. Persamaan garis singgung pada lingkaran : x 2 + y 2 - 3 x - 2 y - 1 = 0 dititik (2 ,3) adalah.. A. x 4y 14 = 0 B. x +4y 14 = 0 C. x +4y +14 = 0 D. 4x +y 14 = 0 E. 4x y +14 = 0

@ Ingat ! Cek dulutitiknya : ( 2 ,3) Substitusikan ke persamaan lingkaran x 2 + y 2 - 3x - 2 y - 1 = 0 22 +32 3.2 2.31 = 0 ternyata (2,3) berada pada lingkaran.

@

Perhatikan terobosannya :

Pasang Rumus : x1x + y1 y + 1 A(x1 + x) + 1 B(y1 + y) + C = 0 2 2 2x +3y + (-3)(2 +x) + (-2)(3 +y) 1 = 0 2x +3y 3 -1 x 3 y 1 = 0 x +2y 7 = 0 atau x +4y 14 = 0


16

16. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 9 yang sejajar dengan garis 2x y +5 = 0 adalah. A. y = 2x +25 dan y = 2x -25 B. y = 2x +35 dan y = 2x -35 C. y = 2x +45 dan y = 2x -45 D. y = 2x +55 dan y = 2x -55 E. y = 2x +65 dan y = 2x -65

O

Garis 2x y +5 = 0 , berarti m = 2 @ Pers.garis singgung :y = 2 x 3 1 + 22 = 2x 3 5

O

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +y2 = r2 dengan gradient m adalah :y = mx r 1 + m 2

O

Garis Ax +By + C = 0 Sejajar m = Tegak Lurus : m=B A A B

@ Jawaban benar : B

@



17

17. Persamaan garis singgung pada lingkaran x 2 + y 2 = 25 yang Tegak lurus dengan garis x +3y -10 = 0 adalah. A. y = 3x +510 dan y = 3x -510 B. y = 3x +65 dan y = 3x -610 C. y = 3x +75 dan y = 3x -710 D. y = 5x +55 dan y = 5x -55 E. y = 5x +65 dan y = 5x -65

O O

Garis x +3y -10 = 0 , berarti m = 3 Pers.garis singgung :

O

y = 3x 5 1 + 3 2 = 3 x 5 10

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +y2 = r2 dengan gradient m adalah :y = mx r 1 + m 2

@ Garis Ax +By + C = 0Sejajar m = Tegak Lurus : m=B A A B

@ Jawaban benar : A

@



18

18. SPMB 2002/R-III/No.11 Lingkaran : L1 : x 2 + y 2 - 10 x + 2 y + 17 = 0 dan L2 : x 2 + y 2 + 8 x - 2 y - 7 = 0 A. tidak berpotongan B. bersinggungan dalam C. bersinggungan luar D. berpotongan di dua titik E. mempunyai jari-jari yang sama

@ L1 : Pusat (5 ,-1)

r1 = 3 L2 : Pusat (-4 ,11) r2 = 12 @ Jarak Pusat L1 dan L2 :d = (5 - (-4)) 2 + (-1 - 11) 2 = 81 + 144 = 225 = 15

1

Jika ada dua lingkaran Jika jarak kedua pusat lingkaran dan jumlah kedua jari jarinya sama maka kedua lingkaran tersebut Bersinggungan di luar.

@ r1 + r2 = 3 +12 = 15Terlihat Jarak kedua pusat = jumlah kedua jari-jarinya. Berarti kedua lingkaran tersebut bersinggungan di luar P1 r1 r2 P2

@JAWABAN : C



19

19. SPMB 2002/R-I/No.6Titik pusat lingkaran L berada di kuadran I dan berada disepanjang garis y = 2x. Jika L menyinggung sumbu Y di titik (0 ,6) maka persamaan L adalah.

A. B. C. D. E.

x2 +y2-3x 6y = 0 x2 +y2 +6x +12y -108 = 0 x2 +y2 +12x +6y -72 = 0 x2 +y2-12x 6y = 0 x2 +y2-6x 12y +36 = 0

1 Pada gambar terlihat :Pusat (3 ,6) dan r = 3 Rumus : (x a)2 +(y b)2 = r2 (x 3)2 +(y 6)2 = 32 x2 -6x +9 +y2-12y +36 = 9 x2 +y2 -6x -12y +36 = 0Y y = 2xr=3

(0 ,6)

P(3 ,6)

3

X

JAWABAN : E62

P( 3k a lik a n

, 6)-2

-2

x 2 + y 2 - 6 x - 12 y + 36 = 0


20

20. UMPTN 2001/B,C Garis g menghubungkan titik A(5 ,0) dan titik B(10 cos q, 10 sin q). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = 2 : 3. Jika q berubah dari 0 sampai 2p, maka titik P bergerak menelusuri kurva yang berupa. A. lingkaran x2 +y2 -4y = 32 B. lingkaran x2 +y2 -6x = 7 C. elips x2 +4y2 -4x = 32 D. parabol x2 -4y = 7 E. parabol x2 -4x = 32

O

AP : PB = 2 : 3 berarti :

p = 1 (3a + 2b) = 1 (15 + 20 cos q ,0 + 20 sin q ) 5 5 = (3 + 4 cos q ,4 sin q )x = 3 +4 cos q atau cos q = y = 4 sin qx-3 4

O

x2 = 9 + 16 cos2q +24 cos q y2 = 16 sin2q +x2 +y2 = 9 +16(cos2q +sin2q) x -3 +24( ) 4 x2 +y2 = 25 +6x -18 atau x2 +y2 -6x = 7

@

Perhatik an terobosa nnya

JAWABAN : B


21

21. UMPT 2001/A Jika titik (1 ,2) merupakan titik tengah suatu tali busur lingkaran x2 +y2 -4x -2y -20 = 0 maka persamaan tali busur tersebut. A. x +2y -5 = 0 B. x +y -3 = 0 C. x y +1 = 0 D. 3x +y -5 = 0 E. 2x +y -4 = 0

O

O O

Lingkaran : x2 +y2 -4x -2y -20 = 0 Pusatnya : P(2 , 1) Perhatikan gambar : 1 m = tga = = 1 1 Persamaan tali busur melalui (1 ,2) dengan gradien 1 adalah : y -2 = 1.(x -1) atau x y +1 = 0

tali busur

2 1

a

(1 ,2)

P(2 ,1) 1 2

@


JAWABAN : C


22

22. UAN 2004/P-1/No.25 Salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran x2 +y2 -4x -2y -15 = 0 yang tegak lurus garis x +2y -3 = 0 adalah. A. y = 2x -7 B. y = 2x -13 C. y = -2x +15 D. y = -2x -5 E. y = -2x +7

@ x2 +y2 -4x -2y -15 = 0 Pusat (2 , 1) r = 2 2 + 12 - (-15) = 20 @ tegak lurus x +2y -3 = 0, berararti m = 2 @ Persamaan garis singgung : y b = m(x a) r m 2 + 1 y -1 = 2(x -2) 20 2 2 + 1 y -1 = 2x -4 100 y -1 = 2x -4 10 @ Ambil ( - ) di dapat : y 1 = 2x -4 -10 y = 2x -13 @ Pusat (2 ,1) dan r = 20 @ tegak lurus x +2y -3 =0, berararti m = 2Pada pilihan garis yang memiliki m = 2 hanya A dan B saja. Berarti pilihan C, D dan E jelas salah. @ Cari jarak pusat ke garis pada A atau B yang bernilai 20, yakni yang sama dengan jari-jari lingkaran. @ Pilihan A. y = 2x-7 atau 2x y -7 = 0, dan P(2,1)d =| 2 .2 - 1 .1 - 7 2 2 + ( - 1) 2 -4 4 =| |= 5 5 5 |

JAWABAN : B

Tidak sama dengan 20 Berarti pilihan benar : B


23

22. Agar garis y = ax 3 tidak memotong parabola y 2 = 4 x . Harga a adalah. A. a > - 1 3 B. a > - 1 4 C. a < - 1 2 1 D. a < 3 E. a < - 1 3

@ y = ax 3 y 2 = 4 x berarti : (ax -3)2 = 4x a2x2 -6ax +9 = 4x a2x2 (6a +4)x +9 = 0 Tidak berpotongan : D < 0 (6a +4)2 -4.a2.9 < 0 36a2+48a +16 -36a2 < 0 48a +16 > 0 atau 48a < -161 Berarti a < 3

O

Agar garis y = mx + n TIDAK memotong parabol y maka :2

= 4 px

L m dan n sama tanda ,

p >n m

L m dan n beda tanda , maka :

p 9, di bawah x2 bilangannya lebih besar. Berarti elips tersebut Horizontal. Jadi Fokus terletak di X. @ a2 = 25 dan b2 = 9 maka :c = a 2 - b 2 = 25 - 9 = 16 = 4

@ Bil.dibawah x2 BESAR, berarti Elips vertikal

@ Fokus : (c,0) = (4,0)JAWABAN : D

x2 y2 + = 1 25 9 selalu besar-kecil(-)

c = 25 - 9 = 16 = 4F ( c ,0 ) = ( 4 ,0 )


45

45.Diketahui Ellips

(x-4)2 (y-3)2 + =1 25 16

Panjang sumbu mayor dan sumbu minor adalah. A. 6 dan 4 B. 7 dan 5 C. 8 dan 6 D. 9 dan 7 E. 10 dan 8

@

berarti a2 = 25 dan b2 = 16 a2 = 25 maka a = 5 b2 = 16 maka b = 4 @ Panjang sumbu mayor = 2a = 2.5 = 10 Panjang sumbu minor = 2b = 2.4 = 8 Jadi 10 dan 8Pokokny a yang besar a

(x - 4)2 ( y - 3)2 + = 1, 25 16

JAWABAN : E

( x - 4) 2 ( y - 3) 2 + =1 25 16

dan yang kecil b.

@ @

b = 16 = 4 a = 25 = 5 Panjang sumbu mayor = 2.5 = 10 Panjang sumbu minor = 2.4 = 8


46

47. Diketahui Ellips dengan persamaan :9x2 + 25y2 - 72x + 200y + 319 = 0

Koordinat fokus elips tersebut adalah. A. (0,-4) dan (8,-4) B. (0,-5) dan (9,-3) C. (0,-6) dan (9,-2) D. (2,-3) dan (3,0) E. (2,-5) dan (5,0)

@ 9x2+25y2-72x+200y +319 = 0 2 29x -72x +25y +200y = -319 9(x2 -8x) +25(y2 +8y) = -319 9(x2 -8x +16) +25(y2 +8y +16) = -319 +144+400 9(x -4)2 +25(y +4)2 = 225 ( x - 4) 2 ( y + 4) 2 + =1 25 9 p = 4 dan q = -4

JAWABAN : A

c = a 2 - b 2 = 25 - 9 = 16 = 4 Fokus : F(pc ,q) = (44 ,-4)

atau (0,-4) dan (8,-4)c =2

25 - 9 = 4

Fokus : (44,-4) = (0,-4) dan (8,-4)

9 x + 25 y 2 - 72x + 200y + 319 = 0 -18 -50 : 4 -4 -2 p q


47

49. Diketahui Ellips dengan persamaan :25x2 +16y2 +100x - 96y -156 = 0

Sumbu mayor dan sumbu minor elips adalah. A. 8 dan 14 B. 9 dan 12 C. 10 dan 8 D. 12 dan 6 E. 14 dan 4

@ 25x2+16y2+100x-96y 156 = 0 2 225x +100x +16y 96y = 156 25(x2 +4x) +16(y2 4y) = 156 25(x2 +4x +4) +16(y2 6y +9) = 156 +100 +144 25(x +2)2 +16(y 3)2 = 400 ( x + 2) 2 ( y - 3) 2 + =1 16 25 a2 = 25 berarti a = 5 b2 = 16 berarti b = 4 2.5 = 10 2.4 = 8

@ Panjang sumbu mayor = 2a = @ Panjang sumbu minor = 2b =

25x 2 + 16y 2 + 100x - 96y - 156 = 0

@ Sumbu mayor = 2.5 = 10 @ Sumbu minor = 2.4 = 8

a= 25=5 b = 16= 4


48

51. Diketahui koordinat focus elips (-3,0) dan (3,0), dan sumbu mayor 10, maka persamaan elips tersebut adalahx2 y2 + =1 36 9 x2 y2 B. + =1 36 25 x2 y2 C. + =1 25 36

A.

x2 + 25 x2 E. + 25

D.

y2 =1 16 y2 =1 9

@ Fokus : (-3,0) dan (3,0)Sumbu mayor = 2a Berarti 2a = 10 Jadi a = 5 c = 3 dan b2 = a2 c2 b2 = 25 9 = 16 @ Elips umumnya :x2 y2 + =1 a2 b2 x2 y2 + = 1 Jawab : D 25 16

@ Sudah jelas pusat elips di(0,0), dan perhatikan yang terisi bukan 0 di x, berarti Elips horizontal. Jadi bilangan yang di bawah x2 Besar

@



49

52. Ebtanas 2002/P-1/No.27 (-3,0) dan (3,0), dan sumbu mayor 10, maka persamaan elips tersebut adalah A. 4x2 +9y2 24x 36y 72 = 0 B. 4x2 +9y2 24x 36y 36 = 0 C. 3x2 +4y2 +18x 16y 5 = 0 D. 3x2 +4y2 18x 16y +5 = 0 E. 3x2 +4y2 18x 16y 5 = 0

@ Fokus : (p c,q)Padahal Fokus : (1,2) dan (5,2) 1+ 5 Berarti : p = =3 2 dan c = 5 3 = 2, sedang q = 2 Sumbu mayor : 2a = 8. Jadi a = 4 b2 = a2 c2 = 16 4 = 12( x - p) 2 a2 + ( y - q) 2 b2 =1

@ Bagian

tetapnya berada di y,berarti elips tersebut horizontal. Jadi bilangan besarnya berada di bawah (x-p)2

@ Umumnya elips berbentuk :( x - 3) 2 ( y - 2) 2 + =1 16 12 12(x-3)2 +16(y-2)2 = 192

@


12(x -6x+9) +16(y -4y+4) = 192 12x2-72x+108+16y2-64y+64 = 192 12x2 +16y2-72x-64y 20 = 0__ : 4

2

2

3x2 +4y2 18x 16y 5 = 0


50

53. Ebtanas 1988 Diketahui elips 4x2+y2+8x2y+1= 0 Salah satu Koordinat titik potong garis y = x dengan elips tersebut adalah A. (-1,-1) B. (2,2) C. (1,1) D. (-5,-5) E. ( , )

@ y = x substitusi ke elips: 2 2

4x +x +8x 2x +1 = 0 5x2 +6x +1 = 0 (5x +1)(x +1) = 0 x = -1/5 diperoleh y = -1/5 titiknya (-1/5,-1/5) x = -1 diperoleh y = -1 titiknya (-1,-1)

@ Masukan

titik-titik pada pilihan ke persamaan elips di atas, yang mana yang menghasilkan nilai nol (0)

x y (-1 , -1) Option A :

4x 2 + y 2 + 8x - 2y + 1 = 041

berarti jawabnya : ( A )

-8

2

1

4+1-8+2+1=0

Berarti pilihan A jawaban yang benar.


51

55. Ebtanas 1994 Persamaan garis singgung elips adalah. A. x +3y +12 = 0 B. x +3y 12 = 0 C. x 3y 12 = 0 D. 3x +y +12 = 0 E. 2x y 12 = 0x2 y2 + = 1 di titik (3,-3) 36 12

@ Titik singgung (3,-3) beradapada elips, maka :x1 x y1 y + =1 36 12 3x - 3 y + =1 36 12 x - 3y + = 1 x 3y = 12 12 12

@ Persamaan garis singgung di titik (x1 ,y1) pada elips= 1 adalah : a2 b2 x1 x y1 y + 2 =1 a2 b x2 + y2

atau x 3y 12 = 0

JAWABAN : C

@



52

56. Ebtanas 1990 Persamaan garis singgung elips : x2 +4y2 = 4 yang sejajar dengan garis y = x +3 adalah. 2 A. y = x 5 B. C. D. E.y=x 5 y = x 1 y= x5y=x1 5

10

@ y = 1.x +32 2

berarti m = 1 1.x +4y = 4 terihat a2 = 4 dan b2 = 1 @ Pendamping x2 < y2, berarti elips tersebut horizontal Rumus Pers.Garis singgungy = mx a 2 m 2 + b 2 y = 1 . x 4 .1 2 + 1 2y=x 5

@ Persamaan garis singgung pada elips :x2 a2 + y2 b2 = 1 atau

b2x2 +a2y2 = a2b2 dengan gradient m adalah :y = mx a 2 m 2 + b 2

JAWABAN : B

@



53

57. Ebtanas 1989 Persamaan yang sesuai untuk elips Di bawah ini adalah A. 16x2+25y2 = 400 B. 25x29y2 = 225 (-5,0) C. 3x2+4y2 = 12 F(-3,0) D. 9x2+25y2 = 225 E. 25x2+16y2 = 400

Y

(5,0) O F(3,0)

X

@

Perhatikan terobosannyaY

(-5,0) F(-3,0) O F(3,0)

(5,0)

X

@ Persamaan umum elips horizontal dengan pusat (0, 0) adalah :x2 y2 + =1 a2 b2

a c

@ b2 = a2 c2 = 25 9 = 16Pers.Elips Horizontal :x2 y2 x2 y2 + 2 =1 + =1 25 16 a2 b

16x2 +25y2 = 400

@


JAWABAN : A


54

58. Diketahui Ellips dengan persamaan :9x2 + 25y2 +18x -100y -116 = 0

Koordinat pusat elips tersebut adalah. A. (-1 ,-2) B. (1 ,-2) C. (-1 ,2) D. (1 ,2) E. (2 ,-1)

@ 9x2+25y2+18x-100y 116 = 0 2 29x +18x +25y 100y = 116 9(x2 +2x) +25(y2 4y) = 116 9(x2 +2x +1) +25(y2 4y +4) = 116 +9 +100 9(x +1)2 +25(y 2)2 = 225 ( x + 1) 2 ( y - 2) 2 + =1 25 9 p = -1 dan q = 2 Pusat : P(p ,q) = (-1 ,2)

@ INFO : Ellipsmaka Pusat :

:

Ax2 +By2 +Cx +Dy +E = 0 ,

D C , - 2 A - 2B

@ Ellips :9x2+25y2+18x-100y 116 = 0

Pusat : 18 - 100 , = (-1,2) - 18 - 50

@JAWABAN : C



55

60. UAN 2003/P-2/No.27 Persamaan elips dengan pusat yang sama tetapi panjang sumbunya dua kali elips :( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + = 1 adalah. 3 2 A. 2x2 +3y2 -8x -6y -1 = 0 B. 4x2 +9y2 -16x -18y -11 = 0 C. 3x2 +2y2 -6x -8y -1 = 0 D. 2x2 +3y2 -8x -6y -13 = 0 E. 12x2 +9y2 -32x -52 = 0

O

Elips baru pusat sama , tetapi panjang sumbunya dua kali elips

( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + = 1 adalah 3 2 ( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + =1 (2 3 ) 2 (2 2 ) 2( x - 2) 2 ( y - 1) 2 + =1 12 88(x -2)2 +12(y -1)2 = 8.12 : 42(x2 -4x +4) +3(y2 -2y +1) = 24 2x2 +3y2 -8x -6y +8 +3 -24 = 0

@


2x2 +3y2 -8x -6y -13 = 0 JAWABAN : D


56

55. UAN 2004/P-1/No.27 Persamaan elips yang mempunyai focus (-1, 0) dan (7, 0) serta melalui titik (0,( x + 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x + 3) 2 y 2 B. + =1 9 25 ( x + 3) 2 y 2 C. + =1 9 16

12 ) adalah. 5

A.

( x - 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x - 3) 2 y 2 E. + =1 9 25

D.

@ Persamaan elips :(x - p) 2 a22

++

( y - q)2 b2( y - 0) b22

=1=1

@ F(-1,0) dan F(7 ,0)bagian absis (x) berbeda, berarti elips tersebut horizontal. @ Rumus Fokusnya : F(p c, q) p +c = -1 p c = 7 + 2p = 6,maka p = 3 c=4 @ Pusat : (3 ,0) a 2 = b2 + c 2 a2 = b2 + 16

( x - 3)

b 2 + 16

@

b2(x -3)2+(b2+16)(y)=b2(b2+16) 12 Melalui titik (0, ) di dapat : 5 225b2+144(b2+16)=25b2(b2+16) 25b4 +31b2 -2304 =0 b2 = 9 atau b2 = -10,24 berarti b2 = 9 a2 = b2 +16 = 9 + 16 = 25 Persamaan elips yang ditanyakan

( x - 3) 2 y 2 + = 1 . D 25 9

@



57

55. UAN 2004/P-1/No.27 Persamaan elips yang mempunyai focus (-1, 0) dan (7, 0) serta melalui titik (0,( x + 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x + 3) 2 y 2 B. + =1 9 25 ( x + 3) 2 y 2 C. + =1 9 16

12 ) adalah. 5

A.

( x - 3) 2 y 2 + =1 25 9 ( x - 3) 2 y 2 E. + =1 9 25

D.

@ Perhatikan terobosannya

F(-1 , 0)horizontal

F(7 , 0)-1+ 7 2 ,0) = (3,0)

@ F(-1,0) dan F(7 ,0)bagian absis (x) berbeda, berarti elips tersebut horizontal.

Pusat : (

@ Dilihat dari pusatnya, hanyapilihan D dan E saja yang sesuai, maka A,B dan C jelas SALAH. @ Karena elipsnya horizontal, maka hanya pilihan D yang sesuai (lihat di bawah x2 nya besar) JAWABAN : D

@



58

61. Diketahui focus- focus suatu hiperbol (-2,0) dan (2,0) dan puncaknya ( 3 ,0) .Persamaan hiperbol tersebut adalah 23x 2 3 y 2 =1 9 7 4x 2 4 y 2 B. =1 9 7 5x 2 5 y 2 C. =1 9 7

A.

3x 2 3 y 2 =1 7 9 4x 2 4 y 2 E. =1 7 9

D.

@ Fokus : (-2,0) dan (2,0), berartic=2 Puncak : ( 3 ,0) berarti a = 2 a2 = b2 = c a2 = 4 9 4 2 9 4 3 2

@ Perhatikan bagian ygtidak nol, terletak di Xnya, berarti hiperbol tersebut Horizontal @ Persamaan umum hiperbol horizontal yang berpusat di (0, 0) adalah x2 y2 =1 a2 b2

=

7 4

@ Persamaan HiperbolHorizontal : x2 y2 x2 y2 - 2 =1 9 - 7 =1 a2 b 4 4

atau :

4x 2 4 y 2 =1 9 7

@


JAWABAN : B


59

62. Dari suatu hiperbol diketahui pusat nya (3,2),fokusnya (8,2) dan puncaknya (7,2).Persamaan hiperbol tersebut adalah( x + 3)2 ( y - 2)2 =1 9 16 ( x - 3)2 ( y - 2)2 B. =1 16 9 ( x + 2)2 ( y -1)2 C. =1 9 16

A.

(x +1)2 ( y - 2)2 =1 16 9 (x - 2)2 ( y +1)2 E. =1 16 9

D.

@ Pusat : (3,2) Fokus : (8,2)c=83=5 Pusat : (3,2) .Puncak : (7 ,2) a=73=4 b2 = c2 a2 = 25 16 = 9

@ Perhatikan bagian ygberubah, terletak di Xnya, berarti hiperbol tersebut Horizontal,jadi yang berada di bawah (x-p)2nya Besar

@

( x - p)2 ( y - q)2 =1 a2 b2 ( x - 3)2 ( y - 2)2 =1 16 9

@JAWABAN : B



60

63. Persamaan hiperbol yang mempunyai focus (0,3) dan sumbu transfer 5, adalah. A. 100x2 44y2 = 275 B. 44x2 100y2 = 275 C. 100y2 44x2 = 275 D. 44y2 100x2 = 275 E. 44x2 100y2 = 275

@ Fokus : (0,3) , berarti c = 3Sb.Transfer = 5 berarti : a= 5 2 b2 = c2 a2 = 9 25 4

@ Perhatikan bagian ygtidak nol terletak di Ynya, berarti hiperbol tersebut Vertikal. Jadi yang berada di bawah y2nya Besar Persamaan Umumnya :

=

11 4

@

y2 x2 y2 x2 - 2 = 1 25 - 11 = 1 a2 b 4 4 4 y 4x =1 25 11 44y2-100x2 = 2752 2

@

y2 x2 - =1 a2 b2

@JAWABAN : D



61

64. EBTANAS 1994 Persamaan asymtot hiperbol dengan persamaan 16y2-9x2 36 = 0, adalah. A. 9x +16y = 0 dan 9x 16y = 0 B. 3x +2y = 0 dan 3x 2y = 0 C. 2x +3y = 0 dan 2x 3y = 0 D. 4x +3y = 0 dan 4x 3y = 0 E. 3x +4y = 0 dan 3x 4y = 0

@ 16y2-9x2 36 = 0 (horizontal)Terlihat : b2 = b=2

36 16

=

9 4

berarti

3 2 36 9

@ Hiperbol dengan pusat(0,0) mempunyai asimtot : a) Hiperbol horizontal b y= x a b) Hiperbol vertical a y= x b

a =

= 4 berarti a = 2

@ Pers.Asymtot hiperbolhorizontal pusat O(0,0) : 3 b y= x y= 2 x a 2 4y = 3x atau 3x +4y = 0 dan 3x 4y = 0

JAWABAN : E

@



62

65. EBTANAS 1996 Hiperbol yang berfokus di titik (5,0) berpusat di titik (0,0) dan panjang sumbu mayor = 8. Persamaannya adalah.x2 y2 =1 64 36 x2 y2 B. =1 25 16 x2 y2 C. =1 16 9

A.

y2 x2 =1 25 9 y2 x2 E. =1 16 9

D.

@ Fokus : (5,0) berarti c = 5Sumbu Mayor : 2a = 8 berarti a=4 b2 = c2 a2 = 25 16 = 9

@ Hiperbol dengan focusF(c ,0), adalah horizontal

@ Persamaan Umumnya :x2 y2 = 1 dengan a2 b2 panjang sumbu mayor adalah 2a, dan sumbu minor 2b

@ Pers.Hiperbol Horizontal (lihatbukan 0 di x) x2 y2 x2 y2 - 2 =1 =1 16 9 a2 b

@JAWABAN : C



63

66. EBTANAS 1997 Salah satu persamaan asimtot dari hiperbol : 9x2 16y2 54x +64y 127 = 0 adalah. A. 4x 3y 18 = 0 B. 4x 3y 6 = 0 C. 4y 3x 1 = 0 D. 3x 4y 17 = 0 E. 3x 4y 1 = 0

@ 9x2 16y2 54x +64y 127=0 9x2 54x 16y2 +64y 127 =0 9(x2 6x) 16(y2 4y) =127 9(x2 6x +9) 16(y2 4y +4) = 127 +81-64 9(x 3)2 16(y 2)2 = 144

@-2


( x - 3) 2 ( y - 2) 2 =1, 16 9berarti p = 3 dan q = 2 a = 4 dan b = 3

3 2 : : -18 32 9x 2 - 16y 2 - 54x + 64y - 127 = 0akarnya

y-2=akarnya

@ Asimtot :b ( x - p) a 3 y - 2 = ( x - 3) 4 y-q=

3 ( x - 3) 4

@ Ambil : 4y 8 = 3x 9atau 3x 4y 1 = 0

Ambil 4y 8 = 3x 9 atau 3x 4y 1 = 0

Selalu pendamping x2 sebagai pembilang

JAWABAN : E


64

68. UAN 2003/P-1/No.27 Koordinat pusat hiperbola 3x2 -4y2 +12x +32y +10 = 0 adalah.. A. (-2 ,4) B. (-2 ,-4) C. (2 ,4) D. (2 ,-4) E. (4 ,2)

@ Gunakan konsep melengkapkan kuadrat :

1

Hiperbol :C D , ) - 2 A - 2B

O

3x2 -4y2 +12x +32y +10 = 0 3x2 +12x -4y2 +32y = -10 3(x2 +4x +4) -4(y2 -8y +16) = 10 +3.4 -4.163(x +2)2 -4(y -4)2 = -10 +12 -64

Ax2 +By2 +Cx +Dy +E = 0

Pusatnya : (

O2

Hiperbol :

O

3x -4y2 +12x +32y +10 = 0

Sudah terlihat pusatnya :

P(-2 ,4)JAWABAN : A

Pusatnya : 12 32 ( , ) = (-2,4) - 2.3 - 2.(-4)

6x +12 = 0turunkan

x = -2

3x2 - 4 y 2 + 12x + 32 y + 10 = 0turunkan

y=4 -8y +32 = 0 Jadi Pusatnya : (x ,y) = (-2, 4)


65

70. PREDIKSI UAN Persamaan garis singgung hiperbola : ( y - 5) 2 ( x + 4) 2 = 1 yang sejajar garis 4x +3y = -15 25 9 adalah. A. 3y = -4x +8 B. 3y = -4x -8 C. 3y = 6x +8 D. 3y = 6x -8 E. 2x -3y +8 = 0

O O

Garis 4x +3y = -15 m = - 4 3 a2 = 25 dan b2 = 9 Pers.Garis Singgung :y - q = m(x - p) a 2 - b 2 m2y - 5 = - 4 ( x + 4) 25 - 9. 16 3 9 y - 5 = - 4 ( x + 4) 3 3 3 y = -4x - 16 + 15 9 3 y = -4x - 1 91

O

Jadi 3y = -4x +8 atau 3y = -4x -10

Garis : Ax +By +C = 0 a) Sejajar , maka : A m=B b) Tegak lurus maka B m= A 1 Persamaan garis singgung pada Hiperbol vertikal (dibawah y2nya besar) pusat (p, q) dengan gradient m adalah :

JAWABAN : A

y -q = m(x - p) a2 -b2m2


66

71. PREDIKSI UANx2 y2 Persamaan garis singgung hiperbola : = 1 yang 36 4 tegak lurus garis 2x -y +8 = 0 adalah. A. y = x ! 3 B. y = - x ! 3 C. y = x ! 5 D. y = - x ! 5 E. y = x ! 5

O

Garis 2x y +8 = 0 tegak lurus, berarti m = B = -21 A a2 = 36 dan b2 = 4 PGS umum :y = mx a 2 m 2 - b 2y = - 1 x 36. 1 - 4 2 4 y = -1 x 9-4 2 y =-1x 5 2

1

O

Garis : Ax +By +C = 0 c) Sejajar , maka : A m=B d) Tegak lurus maka B m= A 1 Persamaan garis singgung pada Hiperbol horizontal pusat (0, 0) dengan gradient m adalah :

JAWABAN : D

y = mx a 2 m 2 - b 2


67

72. PREDIKSI UAN Persamaan garis singgung hiperbola : ( y + 3) 2 ( x - 1) 2 = 1 di titik (1 ,-6) adalah 9 4 A. 2x -3y -4 = 0 B. 2x -4y -4 = 0 C. x = 8 D. y = -6 E. y = 2x -6

O

Titik (1 ,-6) terletak pada hiperbol (silahkan cek) PGS : umumnya :

( y1 - q)(y - q) (x1 - p)(x - p) =1 a2 b2 (-6 + 3)( y + 3) (1 - 1)( x - 1) =1 9 4 -3(y +3) = 1.9 -3y -9 = 9 -3y = 18 y = -6

1 Persamaan Garis singgung di titik (x1,y1) pada hiperbola

( y - q) 2 a2Adalah :

-

(x - p) 2 b2

=1

(y1 -q)(y -q) (x1 - p)(x - p) =1 a2 b2

JAWAB : D

@



68

68. UAN 2004/P-1/No.28 Koordinat titik potong salah satu asimtot hiperbola : 16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0 dengan sumbu Y adalah1 3 1 B. (0, - ) 4 1 C. (0, 3

A. (0, - )1 ) 4 3 E. (0, ) 4

D. (0,

@ 16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0Bagian x : 16x2+64x = 0 Turunkan : 32x +64= 0 x = -2 Bagian y : -9y2 -54y =0 Turunkan : -18y -54 = 0 y = -3 Berarti p = -2 dan q = -3 a2 = 16 di dapat : a = 4 b2 = 9 di dapat : b = 3

@ Perhatikan :16x2 -9y2 +64x -54y -161 = 0 Pendamping x2 > y2 ( 16 > 9) berarti hiperbola tersebut horizontal.

@ Rumus umum asimtotnya :y-q=

@ Koordinat titik potong asimtotdengan sumbu Y adalah : 4.(-2) ap -3 ) (0, + q ) = (0, b 3 -8 = (0, - 3) 3 1 Ambil (-) di dapat : (0, - ) 3

@ Memotong sumbu Y,makax = 0 di dapat : y=

a ( x - p) b

ap +q b ap +q) bJAWAB : A

Titik potongnya dengan sumbu Y adalah : (0,


69

Rumus Cepat Matematika Irisan Kerucut

Documents

Transcript of Rumus Cepat Matematika Irisan Kerucut