Oleh Andesva

IRISAN KERUCUT

TITIK

Jika bidang penampang V melalui puncak kerucut dan > , maka irisan antara bidang V dengan kerucut adalah berupa sebuah titik. yaitu titik puncak kerucut tersebut.. Catatan = Sudut antara bidang penampang V dengan sambu kerucut. = Setengah sudut puncak kerucut.

Jika bidang penampang V melalui puncak kerucut 0 dan < maka irisan antara bidang V dengan kerucut adalah berupa dua buah garis berpotongan di 0. yaitu garis g dann h.

DUA GARIS BERPOTONGAN

Jika bidang penampang V melalui puncak kerucut 0 dan = berarti V menyinggung kerucut, maka irisan antara bidang V dengan kerucut adalah sebuah garis. yaitu garis g.

GARIS

Jika bidang. penampang V tegak lurus sumbu kerucut ( = 900) maka irisan nya berupa sebuah lingkaran

LINGKARAN PARABOLA

Jika bidang V tidak melalui puncak kerucut dan = atau V sejajar terhadap satu garis pelukis, maka irisannya berupa sebuah parabola.

Jika > dan bidang V tegak lurus bidang kertas maka irisannya berupa sebuah elips.

ELLIPS

HIPERBOLA

Jika bidang V tidak melalui puncak kerucut 0; dan V tegak lurus bidang kertas dan < maka irisannya berupa. hiperbola.

Definisi:Irisan kerucut ialah tempat: kedudukan titik-titik. sehingga perbandsngan jarak dari titik-titik ini ke suatu titik dan garis tertentu tetap harganya. Harga yang tetap ini disebut eksentrisitas dan disingkat dengan e dan:Jika e = 1. irisan kerucut adalah parabola. Jika 0 < e < 1. irisan kerucut adalah elips. Jika e > 1. irisan kerucut adalah HperbolaJika e = 0. irisan kerucut adalah lingkaran (elips khusus)

Titik tertentu dalam - irisan kerucut - dinamakan fokus (titik api). sedangkan garis tertentunya dinamakan direktriks.

PARABOLA

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap fokus sama dengan jaraknya terhadap direktriks. Perbandingan kedua jarak ini disebut eksentrisitas (e). Berarti dalam hal ini e = 1.

Beberapa istilah yang penting mengenai parabola:1. FD d dan FD merupakan sumbu simetri parabola. karena bayangan setiap titik pada parabola terhadap pencerminan sumbu ini j uga terletak pada parabola. 2. Titik P disebut puncak dari parabola. yaitu titik potong antara parabola dengan sumbu simetri. 3. Titik F disebut titik api atau fokus4. Garis d disebut direktriks parabola. jelas /FD/ = 2 /FP/ = 2a (a positif).5. Garis hubung antara dua titik pada parabola disebut talibusur. Talibusur yang melalui:fokus disebut talibusur fokus. Talibusur fokus yang tegak lurus sumbu simetri disebut latus rectum (garis AB dan j alas /AB/ = 4a).6. Garis hubung atau segmen antara fokus dengan - suatu titik pada parabola disebut jari-jari fokus. misalnya /FC/.

Irisan kerucut lingkaran tegak lurus bidang datar V.

Misalkan: adalah setengah sudut puncak kerucuto adalah puncak kerucut adalah sudut antara' bidang penampang V dengan sumbu kerucut. Irisan yang diperoleh berupa:

1. sebuah titik. jika V melalui 0 dan < 2. Dua garis berpotongan. j ika V melalui 0 dan < 3. Sebuah garis. jika V melalui 0 dan d = 4. Sebuah lingkaran. jika V tegak lurus sumbu kerucut (a = 900)5. Elips. jika > dan V tegak lurus bidang kertas6. Hiperbola. jika V tidak melalui 0 dan V tegak gurus bidang kertas dan <

Definisi irisan kerucut secara analitis:Irisan kerucut ialah tempat kedudukan titik-titik. sehingga perbandingan jarak dari titik-titik ini ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu tetap harganya. Harga yang tetap ini disebut eksentrisitas dan disingkat e.Jika e = 1 irisan kerucut adalah parabola.Jika 0 < 1. irisan kerucut adalah elips.Jika e > 1. irisan kerucut adlah hiperbola.

1)Jika irisan kerucut diketahui eksentrisitasnya (e). koordinat titik fokusnya yaitu F(p, q) dan persamaan direktriksnya. yaitu d: ax + by + c = 0, maka persamaan irisan kerucut dapat dicari dengan menggunakan penyelesaian tempat ked ukan dengan cara "koordinat jalan" dan mengingat syarat:

= e P pada irisan kerucut dan /PT/ jarak P dan d.

////

PTPF

Parabola. Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya terhadap fokus sama dengan jaraknya terhadap direktriks (e = 1

s = FD = sumbu simetri

P = Puncak Parabola

F = Fokus (titik api)

d = direktriks

GH = talibusur

KL = Talibusur fokus

AB = Latus rectum

|FC| = Jari-jari fokus

istilah yang berhubungan dengan parabola:

Misalkan T(x, y) pada parabola, maka jarak (T, d) = /TF/

22 )()(1

bypaxpax

(x - a + p)2 = (x - a - p)2 + (y - b)2(y - b)2 = 4p(x - a)

Jadi, parabola yang berpuncak di P(a, b) dan berfokus F(a + p. b) memiliki persa maan:

(y - b)2 = 4p(x - a)

Misalkan garis dengan gradien s memiliki persamaan g: y = sx + k. Perpotongan g dengan parabola y2 = 4px dicari sebagai berikut:

Maka (sx + k)2 = 4px s2x2 + (2ks - 4p)x + k2 = 0dengan deskriminan:D = (2ks - 4p2 - 4k2s2

Jika D < 0 garis g tidak memotong parabola, Jika D > 0 garis g memotong parabola pada dua titikJika D = 0 garis g memotong parabola pada satu titik. berarti g menyinggung parabola. Jadi, syarat agar garis g menyinggung parabola adalah:(2ks - 4p)2 - 4k2s2 = 0 4k2s2 - 16ksp2 + 16p2 - 4k2s2 = 0 k = Jadi, persamaan garis singgung dengan gradien s terhadap parabola:

y2 = 4px, adalah y = sx + sp

Garis singgung terhadap Parabola

sp

ELIPS

Elips ialah tempat kedudukan titik-titik sehingga perbandingan jarak ke titik tertentu (fokus F) dan terhadap garis tertentu (direktriks d) tetap sama dengan e dan e < 1 (e = eksentrisitas)

Jika direktriks dl disebelah kiri v2 dan berjarak dua satuan. serta fokus F1 pada FT dengan

12

12

TVFV

= ½

maka akan menghasilkan elips yang sama. Jadi tiap elips memiliki dua fokus dan dua direktriks

Persamaan sederhana sebuah elips. Keterangan keterangan atau sifat-sifat dari elips sederhana ini adalah:

1. Titik pusat di o (0. 0)2. Fokus F1 (C, 0) dan F2 (-C, 0) dengan a > b dan c2 = a2 - b2. Jika a < b dan c2 = b2 - a2 maka F1 (O, c) dan F2 (0, - c)

3. Eksentrisitas e = ac(jika a > b) dan e =

bc (jika a < b)

3. Direktriks d1 : x = e dan d2: x e - (jika a > b) d1 : x = e dan d2: y e (jika a < b)

4. Sumbu - x dan sumbu y adalah sumbu simetri dan jika a > b maka sumbu x adalah sumbu panjang dan sumbu y adalah sumbu pendek5. Latus rectum x = c dan x = -c jika sumbu x adalah sumbu panjang. Jika sumbu y sumbu panjang maka y = c dan y = -c adalah latus rectum. Bagaimanakah koordinat dari titik-titik ujung latus rectum?6. Titik Puncak elips. yaitu titik potong elips dengan sumbu-sumbu simetrinya. Ada empat titik puncak. Yaitu (a. 0). (-a. 0). (0. b) dan (0. -b).

Jari-jari Fokus suatu Elips

Sigmen penghubung fokus dengan titik pada elips disekitar jari-jari fokus. Misalkan elips dengan persamaan:

Persamaan Ax2 + By2 + C = 0

Kita akan menyelidiki persamaan Ax2 + By2 + C = 0 dengan A dan B bertanda sama dan tidak nol.Pertama: (Jika C 0 dan berlainan tanda dengan A dan B)Ax2 + By2 + C = 0 Ax2 + By2 = -C

122

Bcx

Acx

Karena C berlainan tanda dengan A dan B, maka A dan B positif dan kita misalkan A a2 dan c = b2 dengan a dan b positif. Kita peroleh

12

2

2

2

bx

ax

Jika a > b maka fokus pada sumbu x. sumbu x adalah sumbu panjang dan jika a < b maka fokus pada sumbu y (sumbu y adalah sumbu panjang).

KeduaJika A = B dan C 0 berlainan tanda dengan A dan B)Ax2 + By 2 + C = . menjadi Ax2 + Ay 2 – C

122

Acy

Acx 12

2

2

2

ay

ax

x2 + y2 = a2 (a = b, dan a2 = b2 = - ac

Bentuk ini adalah, persamaan stardar lingkaran dengan pusat o (o, o) dan jari-jari r = a = A. Karena a = b, maka c = a b2 = 0. sehingga fokus F1(c. o) dan F 2 (-c. o) berimpit dengan pusat O (o. o). Sedangkan eksentrisitasnya e = a = 0. Jadi lingkaran adalah elips istimewa (khusus) dengan kedua fokus berimpit pada pusat lingkaran dan eksentrisitas e = 0.

Ke tiga: (Jika c = 0)

Persamaan Ax2 + By2 + C = 0 menjadi Ax2 + By2 0. Grafiknya hanya terdiri dari satu titik real yaitu o (0, 0). Persamaan ini disebut elips titik atau lingkaran titik (dengan r = 0). Kadang-kadang disebut juga elips tidak benar atau lingkaran tidak benar.

Keempat: (Jika A. B dan C bertanda sama)Persamaan Ax2 + By2 + C 0 1

22

Acy

Acx

122

Bcy

Acx

12

2

2

2

by

ax

x = 22 ybba

(x imajiner)

x = 22 xaab

(y imajiner)

Ternyata tidak ada pasangan (x, y) yang real yang memenuhi persamaan elips di atas maka persamaan ini disebut persamaan elips imajiner (el ips khayal) atau jika A = B disebut lingkaran khayal

Kedudukan sebuah garis terhadap elips dapat diselidiki sebagai berikut:Misalkan garis itu adalah g: y = sx + k dan elips

2

2

2

2

13yx

= 1 Absis titik potong antara g dan elips

diperoleh dari:

1)(2

2

2

2

bksx

ax

(a2s2 + b2) x2 + 2a2skx + a2k2 - a2b2 = 0

dengan diskriminan D = 4a2b2 (a2s2 + b2 - k2)

syarat agar g menyinggung elips ialah

D = 4a2b2 (a2s2 + b2 - k2) = 0 a2s2 + b2 - k2 = 0

k =

222 b sa

Substitusi k = 222 b sa ke persamaan garis g :

y = sx + k, maka kita peroleh persamaan garis singgung dengan gradien s terhadap elips

Garis Singgung Terhadap Elips

12

2

2

2

by

ax

yakni: y = sx 222 b sa

Menentukan garis potong dua bidang

Dalil 7: Jika sebuah bidang memotong dua buah bidang yang sejajar, maka kedua garis potongnya sejajar. (Gambar 9.3) Gambar 9.3

TABUNG

Ada beberapa definisi untuk bidang tabung ; a.1:1. Bidang tabung adalah himpunan semua garis p yang sejajar dengan sebuah garis s dan mempunyai jarak tetap r terhadap s. (Dalam hubungan ini s disebut sumbu bidang tabung, p disebut garis pelukis dan r jari-jari bidang tabung)2. Bidang tabung adalah himpunan semua titik P yang mempunyai jarak tetap r terhadap sebuah garis s.

Bidang Singgung pada bidang tabung

BOLA

Jika jarak (d) antara pusat bola dan bidang H sama dengan jari-jari bola, maka bidang H dan bola (M,r) bersekutu tepat sebuah titik. Dalam keadaan demikian dikatakan bahwa bidang H dan bola (M,r) bersinggungan, misalnya dititik P dan dikatakan juga bahwa bidang H

menyinggung bola (M, r) dititik

Sedang jika jarak dari pusat bola ke bidang H lebih besar dari jari-jari bola, maka dikatakan bahwa bidang H tidak memotong bola atau bola dan bidang itu tidak berpotongan

Letak sebuah bidang pada bola

Letak sebuah bidang pada bola

1. Garis g memotong lingkaran di dua titik yang berlainan, yang berati garis g menembus bola di dua buah titik.2. Garis g menyinggung lingkaran, yang berarti garis g dengan bola mempunyai tepat sebuah titik persekutuan. Dalam kedudukan seperti ini g disebut garis singgung pada bola itu.3. Garis g tidak memotong lingkaran, yang berarti garis g tidak memotong bola dan dikatakan garis g ada di luar bola.

Keratan Bola, adalah bagian dari bola yang dibatasi oleh dua bidang sejajar. Bidang bidang sejajar tadi disebut bidang alas dan bidang atas; sedang jarak antara kedua bidang itu disebut tinggi dari keratan bola.

Juring Bola, adalah benda yang dibatasi oleh sebuah tembereng bola dan kerucut yang mempunyai bidang alas sama dengan tembereng bola dan yang berpuncak pada pusat bola. Tinggi dari juring bola adalah tinggi dari bagian temberengnya Kulit Bola atau Cincin, Bola adalah benda yang dibatasi oleh sebagian bidang bola dan selimut tabung atau selimut kerucut terpancung yang dibuat dalam bola (lingkaran alas dan atas) dari tabung atau kerucut terpancungnya disebut tinggi dari kulit bola tersebut

Dalil: Volum benda yang terjadi karena perputaran sebuah segitiga dengan sumbu perputaran sebuah garis yang melalui sebuah titik sudut dan terletak sebidang dengan segitiga itu tetapi tidak memotong segitiga ditempat lain, sama dengan hasil kali luas bidang yang dihasilkan oleh perputaran sisi segitiga yang terletak dihadapan titik sudut yang dilalui oleh sumbu perputaran dengan sepertiga panjang garis tinggi pada sisi itu.

Jadi jika daerah Δ ABC diputar sekeliling garis s yang melalui titik sudut A, sedang s tidak memotong Δ ABC ditempat lain, maka volum benda hasil perputaran daerah Δ ABC sekeliling garis s adalah L(Δ ABC) = Luas (BC) ⅓ ta

=

=

Volum Juring bola = ⅔ R2 t

Vo1um bola= R3 t34

Jika diameter dari bola disebut d, maka dapat dibuktikan bahwa

Volum bola = 61 d3