Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus...

14
theresiaveni.wordpress.com 1 | Halaman Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang ketiga sisinya. Rumus Heron dikenal sebagai berikut: ( ) (s b) (s ) L ABC s s a c dengan s = 1 2 keliling segitiga = 1 ( ) 2 a b c Materi prasyarat yang dapat digunakan: 1) Faktorisasi bentuk aljabar: 2 2 x y x y x y 2 2 2 2 x y x xy y 2 2 2 2 x y x xy y 2) Aturan cosinus: 2 2 2 2 2 2 2 cos C cos 2 a b c c a b ab C ab 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 b c a a b c bc A A bc 2 2 2 2 2 2 2 cos cos 2 a c b b a c ac B B ac 3) Identitas trigonometri 2 2 2 2 2 sin cos A 1 sin 1 cos A sin 1 cos A A A A 4) Teorema phytagoras 2 2 2 c a b 5) Rumus luas segitiga ABC L ABC 1 alas tinggi 2 L ABC jika diketahui sisi, sudut, sisi: a. 1 sin 2 L ABC ab A

Transcript of Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus...

Page 1: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

1 | H a l a m a n

Menemukan kembali rumus Heron

Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang ketiga

sisinya.

Rumus Heron dikenal sebagai berikut:

( ) (s b) (s )L ABC s s a c

dengan s = 1

2keliling segitiga =

1( )

2a b c

Materi prasyarat yang dapat digunakan:

1) Faktorisasi bentuk aljabar:

2 2x y x y x y

2 2 22x y x xy y

2 2 22x y x xy y

2) Aturan cosinus:

2 2 22 2 2 2 cos C cos

2

a b cc a b ab C

ab

2 2 22 2 2 2 cos cos

2

b c aa b c bc A A

bc

2 2 2

2 2 2 2 cos cos2

a c bb a c ac B B

ac

3) Identitas trigonometri

2 2 2 2 2sin cos A 1 sin 1 cos A sin 1 cos AA A A

4) Teorema phytagoras

2 2 2c a b

5) Rumus luas segitiga ABC

   L ABC 1

alas tinggi2

L ABC jika diketahui sisi, sudut, sisi:

a. 1

sin2

L ABC ab A

Page 2: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

2 | H a l a m a n

b. 1

sin2

L ABC ac B

c. 1

sin2

L ABC bc A

Permasalahan:

Diketahui segitiga ABC dengan panjang AC = b, BC = a,

AB = c , dan keliling segitiga = a + b + c = 2s. Tentukan

luas segitiga tersebut!

Jawab:

Alternatif Cara 1:

L ABC = 1

alas tinggi2 .

Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena

hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.

Akan dicari bentuk lain dari: L ABC =1

alas tinggi =2

1

2bd .

1) Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga, CD = x dan AD = y , sehingga b x y

Perhatikan ABD dan BCD

Pada ABD berlaku: 2 2 2d c y ..................................................................................... persamaan (i)

Pada BCD berlaku: 2 2 2d a x .................................................................................... persamaan (ii)

2) Dari persamaan (i) dan (ii)

2 2 2 2c y a x

2 2 2 2x a c y ................................................................................................................... persamaan (iii)

3) Karena b x y x b y sehingga

x b y

22x b y ........................................................................................................ kedua ruas dikuadratkan

2 2 22x b by y ................................................................................................................. persamaan (iv)

Page 3: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

3 | H a l a m a n

4) Dari persamaan (iii) dan (iv)

2 2 2 2 22a c y b by y

2 2 22by b a c

2 2 2

2

b a cy

b

............................................................................................................persamaan (v)

5) Lihat kembali persamaan (i)

2 2 2d c y

2 ( )( )d c y c y

2 2 2 2 2 2

2 ( )( )2 2

b a c b a cd c c

b b

................................................ substitusi

2 2 2

2

b a cy

b

2 2 2 2 2 22 2b 2

2 2

c b a c bc b a cd

b b

2 2 2 2 2 22

2b 2

2 2

a b c c b bc c ad

b b

2 22 2

2

2 2

a b c b c ad

b b

.......sifat: 2 2 22x y x xy y dan

2 2 22x y x xy y

2

24

a b c a b c b c a b c ad

b

......................sifat: 2 2x y x y x y

2

24

a b c a b c b c a b c ad

b

2 24b d a b c a b c b c a b c a

6) Diketahui: a + b + c = 2s

2 24b d a b c a b c b c a b c a

2 2 2 2( )a b c a b c b s b s b ................................................................. persamaan (vi)

2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ............................................................... persamaan (vii)

2 2 2 2(s a)b c a a b c a b c a s a ............................................ persamaan (vii)

2a b c s ...................................................................................................................... persamaan (ix)

Page 4: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

4 | H a l a m a n

7) Substitusi persamaan (vi), (vii), (viii) dan (ix) ke persamaan:

2 24b d a b c a b c b c a b c a

2 24 2( ) 2( ) 2( ) 2b d s b s a s c s

2 24 16 ( ) ( ) ( )b d s s a s b s c

2 2 4 ( ) ( ) ( )b d s s a s b s c

2 ( ) ( ) ( )bd s s a s b s c .......................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat

1( ) ( ) ( )

2bd s s a s b s c

( ) ( ) ( )L s s a s b s c

8) Jadi luas segitiga ABC = 1

( ) (s b) (s )2

bd s s a c dengan 1

2s a b c

Alternatif Cara 2:

L ABC = 1

alas tinggi2 .

Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena

hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.

Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga, CD = x dan AD = b x .

Akan dicari bentuk lain dari:

L ABC =1

alas tinggi =2

1

2bd .

1) Perhatikan ABD dan BCD

Pada ABD berlaku: 2 2 2 2 2 2 2( ) 2c d b x d c b bx x ............................ persamaan (i)

Pada BCD berlaku: 2 2 2 2 2 2a d x d a x ....................................................... persamaan (ii)

Page 5: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

5 | H a l a m a n

2) Akan dicari penyelesaian dari x . Persamaan (i) = persamaan (ii)

2 2 2 2 22c b bx x a x

2 2 22bx a b c

2 2 2

2

a b cx

b

3) Substitusi persamaan 2 2 2

2

a b cx

b

ke persamaan 2 2 2d a x

2 2 2d a x

22 2 2

2 2

2

a b cd a

b

2

2 2 2

2 2

24

a b cd a

b

2 2 2 2 2 22

2 2

a b c a b cd a a

b b

2 2 2 2 2 22 2 2

2 2

ab a b c ab a b cd

b b

2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

4

ab a b c ab a b cd

b

4) Luas segitiga = =L 1

alas tinggi =2

1

2bd .

1

2L bd 2L bd

2 2 24L b d ............................................................................................................ kedua ruas dikuadratkan

5) Substitusi 2 2 2 2 2 2

2

2

2 2

4

ab a b c ab a b cd

b

ke 2 2 24L b d

2 2 24L b d

2 2 2 2 2 2

2 2

2

2 24

4

ab a b c ab a b cL b

b

2 2 2 2 2 2 216 2 2L ab a b c ab a b c

Page 6: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

6 | H a l a m a n

2 2 2 2 2 2 216 2 2L b ab a c a ab b c

2 22 2 216L c b a a b c ....sifat: 2 2 22x y x xy y dan

2 2 22x y x xy y

216L c b a c b a a b c a b c .................. sifat: 2 2 ( )x y x y x y

216L c b a c b a a b c a b c

6) Diketahui: a + b + c = 2s

216L c b a c b a a b c a b c

2 2 2 2( )c b a a b c b s b s b ............................................................... persamaan (iii)

2 2 2 2(s a)c b a a b c a b c a s a ............................................. persamaan (iv)

2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (v)

2a b c s ...................................................................................................................... persamaan (vi)

7) Substitusi persamaan (iii), (iv), (v) dan (vi) ke persamaan:

216L a b c a b c b c a b c a

216 2( ) 2( ) 2( ) 2L s b s a s c s

216 16 ( ) ( ) ( )L s s a s b s c

2 ( ) ( ) ( )L s s a s b s c

( ) ( ) ( )L s s a s b s c ............................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat

8) Jadi luas segitiga ABC = 1

( ) (s b) (s )2

bd s s a c dengan 1

2s a b c

Alternatif Cara 3:

L ABC = 1

alas tinggi2 .

Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena

hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.

Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga, CD = x dan AD = b x .

Akan dicari bentuk lain dari:

Page 7: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

7 | H a l a m a n

L ABC =1

alas tinggi =2

1

2bd .

1) 1

2L bd

2 2 21

4L b d ................................................................................................................. kedua ruas dikuadratkan

2 2 2 21

4L b a x ....................................................................................................... substitusi 2 2 2d a x

2 2 2 2 21

4L a b b x .................................................................................................................... persamaan (i)

2) Melakukan manipulasi aljabar untuk mendapat bentuk 2 2b x , sebagai berikut:

2 2

b x b x

2 2 2 22 ( 2 )b bx x b bx x

2 2 2 22 2b bx x b bx x

4bx

Diperoleh 2 2

b x b x 4bx ..................................................................................... persamaan (ii)

Sehingga dari persamaan (ii):

2 2

b x b x 4bx

2 2 22 ( ) 4b bx x b x bx

2 2 2( ) 2b x b x bx .............................................................. mengurangkan kedua ruas dengan 2bx

2 2 2 2( ) 2b x c d bx ..................................... Teorema phytagoras pada ABD: 2( )b x = 2 2c d

2 2 2 2 2b x c d bx

2 2 2 2 2b x d c bx

2 2 2 2b a c bx ........................................................ Teorema phytagoras pada BCD: 2 2 2x d a

22 2 2

2 2

2

b a cb x

............................................ Kedua ruas dibagi dengan 2 kemudian dikuadratkan

Page 8: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

8 | H a l a m a n

3) Substiutsi

22 2 2

2 2

2

b a cb x

ke persamaan (i): 2 2 2 2 21

4L a b b x

22 2 2

2 2 21

4 2

b a cL a b

2

2 2 2

2 2 21

4 4

b a cL a b

2

2 2 2 2 2

241

4 4

a b b a cL

22 2 2 2

22

16

ab b a cL

2 2 2 2 2 2

22 2

16

ab b a c ab b a cL

................................ sifat: 2 2 ( )x y x y x y

2 2 2 2 2 2

22 2

16

ab b a c ab b a cL

2 22 2

2

16

c a b a b cL

..........sifat:

2 2 22x y x xy y dan 2 2 22x y x xy y

2

16

c a b c a b a b c a b cL

....................... sifat: 2 2 ( )x y x y x y

2

16

c a b c a b a b c a b cL

4) Diketahui: a + b + c = 2s

2

16

c a b c a b a b c a b cL

2 2 2 2(s a)c a b a b c a b c a s a .............................................. persamaan (iii)

2 2 2 2( )c a b a b c b s b s b ................................................................. persamaan (iv)

2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (v)

2a b c s ..................................................................................................................... persamaan (vi)

Page 9: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

9 | H a l a m a n

5) Substitusi persamaan (iii), (iv), (v) dan (vi) ke persamaan:

2

16

c a b c a b a b c a b cL

22 2 2 2

16

s a s b s c sL

216

16

s a s b s c sL

2 ( ) ( ) ( )L s s a s b s c

( ) ( ) ( )L s s a s b s c ............................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat

6) Jadi luas segitiga ABC ( ) (s b) (s )s s a c dengan 1

2s a b c

Alternatif Cara 4:

L ABC = 1

alas tinggi2 .

Namun dari soal tersebut tidak diketahui tinggi segitiga karena

hanya diketahui panjang tiga sisi segitiga.

Misalkan BD = d adalah tinggi segitiga dan CD = x .

Akan dicari bentuk lain dari: L ABC =1

alas tinggi =2

1

2bd .

1) Diketahui:

2 2 2 2 cos Cc a b ab ................................................................................................................ aturan cosinus

2) Pada segitiga BCD berlaku:

cos C cosx

x a Ca

......................................... nilai perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

2 2x a d .................................................................................................................... terorema phytagoras

3) Pada segitiga ABD berlaku:

2 2 2 2 cos Cc a b ab

2 2 2 2 .x

c a b aba

..................................................................................................... substitusi cos Cx

a

d

Page 10: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

10 | H a l a m a n

2 2 2 2c a b bx

2 2 22bx a b c

2 2 2 2 22b a d a b c ........................................................................................ substitusi 2 2x a d

2

2 2 2 2 2 24b a d a b c ................................................................................. kedua ruas dikuadratkan

2

2 2 2 2 2 2 24 4a b b d a b c

2

2 2 2 2 2 2 24 4b d a b a b c

222 2 2 2 24 2b d ab a b c

2 2 2 2 2 2 2 24 2 2b d ab a b c ab a b c .................................... sifat: 2 2 ( )x y x y x y

2 2 2 2 2 2 2 24 2 2b d ab a b c ab a b c

2 2 2 2 2 2 2 24 2 2b d a ab b c c a ab b

2 22 2 2 24b d a b c c a b .........sifat: 2 2 22x y x xy y dan

2 2 22x y x xy y

2 24b d a b c a b c c a b c a b

4) Diketahui: a + b + c = 2s

2 24b d a b c a b c c a b c a b

2a b c s .................................................................................................................... persamaan (i)

2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (ii)

2 2 2 2( )c a b a b c b s b s b .................................................................. persamaan (iii)

2 2 2 2(s a)c a b a b c a b c a s a ............................................. persamaan (iv)

5) Substitusi persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan:

2 24b d a b c a b c c a b c a b

2 24 2( ) 2 2(s b) 2(s a)b d s c s

2 2 4 ( ) (s b) (s )b d s s a c

Page 11: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

11 | H a l a m a n

2

2

4 ( ) (s b) (s )s s a cb

d

2( ) (s b) (s )b s s a c

d ............................................................ kedua ruas ditarik akar kuadrat

1( ) (s b) (s )

2bd s s a c .............................................................................. rumus luas segitiga

6) Jadi luas segitiga ABC = 1

( ) (s b) (s )2

bd s s a c dengan 1

2s a b c

Alternatif Cara 5:

Diketahui:

L ABC = 1

alas tinggi =2

1sin

2bc A .

Akan dicari bentuk lain dari L ABC =1

sin2

bc A .

1) Diketahui:

2 2sin 1 cos AA ...................................................................................................... identitas trigonometri

2sin 1 cos A 1 cos AA

2 2 2 2 2 22sin 1 1

2 2

b c a b c aA

bc bc

................................ substitusi 2 2 2

cos2

b c aA

bc

2 2 2 2 2 22 2 2

sin2 2 2 2

b c abc bc b c aA

bc bc bc bc

2 2 2 2 2 22 2 2

sin2 2

bc b c a bc b c aA

bc bc

2 2 2 2 2 22

2 2sin

2 2

b bc c a b bc c aA

bc bc

2 22 2

2sin2 2

b c a b c aA

bc bc

...........................................................................................

....................................................................sifat: 2 2 22x y x xy y dan

2 2 22x y x xy y

Page 12: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

12 | H a l a m a n

2 22 2

2sin2 2

a b c b c aA

bc bc

2sin2 2

a b c a b c b c a b c aA

bc bc

........ sifat: 2 2 ( )x y x y x y

2

2sin

2

a b c a b c b c a b c aA

bc

2) Diketahui: a + b + c = 2s

2

2sin

2

a b c a b c b c a b c aA

bc

2 2 2 2( )a b c a b c b s b s b .................................................................... persamaan (i)

2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (ii)

2 2 2 2(s a)b c a a b c a b c a s a ............................................. persamaan (iii)

2b c a a b c s ................................................................................................... persamaan (iv)

3) Substitusi persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan:

2

2sin

2

a b c a b c b c a b c aA

bc

2

2 2

2( )2( )2( )2sin

4

s b s c s a sA

b c

2

2 2

16( ) ( ) ( )sin

4

s b s c s a sA

b c

2 ( ) ( ) ( )sin

s b s c s a sA

bc

................................................ kedua ruas ditarik akar kuadrat

1bcsin ( ) ( ) ( )

2A s b s c s a s

1bcsin ( ) (s b) (s )

2A s s a c ................................................................... rumus luas segitiga

4) Jadi luas segitiga ABC = 1

bcsin ( ) (s b) (s )2

A s s a c dengan 1

2s a b c

Page 13: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

13 | H a l a m a n

Alternatif Cara 6:

Diketahui:

L ABC = 1

alas tinggi =2

1sin

2bc A .

Akan dicari bentuk lain dari L ABC =1

sin2

bc A .

1) L ABC =1

sin2

bc A

L = 211 cos

2bc A ....................................... substitusi identitas trigonometri: 2sin 1 cos AA

22 1 cosL bc A

2 2 2 24 1 cosL b c A ................................................................................... kedua ruas dikuadratkan

22 2 2

2 2 24 12

b c aL b c

bc

............................. substitusi aturan cosinus: 2 2 2

cos2

b c aA

bc

22 2 2 2 2

2 2 2

2 24

4

b c b c aL b c

b c

22 2 2

2 2 244

b c aL b c

2

2 2 2 2 2 216 4L b c b c a .............................................................. kedua ruas dikalikan dengan 4

222 2 2 216 2L bc b c a

2 2 2 2 2 2 216 2 2L bc b c a bc b c a ............................ sifat: 2 2 ( )x y x y x y

2 2 2 2 2 2 216 2 2L bc b c a bc b c a

2 2 2 2 2 2 216 2 2L b bc c a b bc c a

2 2 2 2 2 2 216 2 2L b bc c a b bc c a

2 22 2 216L a b c b c a ....sifat: 2 2 22x y x xy y dan

2 2 22x y x xy y

216L a b c a b c b c a b c a .................... sifat: 2 2 ( )x y x y x y

216L a b c a b c b c a b c a

Page 14: Menemukan kembali rumus Heron - Rumah Belajar Matematika · Menemukan kembali rumus Heron Rumus heron dapat digunakan untuk mencari luas segitiga sembarang yang hanya diketahui panjang

theresiaveni.wordpress.com

14 | H a l a m a n

2) Diketahui: a + b + c = 2s

216L a b c a b c b c a b c a

2 2 2 2( )a b c a b c b s b s b ................................................................... persamaan (i)

2 2 2 2( )a b c a b c c s c s c ................................................................... persamaan (ii)

2 2 2 2(s a)b c a a b c a b c a s a ............................................ persamaan (iii)

2b c a a b c s .................................................................................................... persamaan (iv)

3) Substitusi persamaan (i), (ii), (iii), dan (iv) ke persamaan:

216L a b c a b c b c a b c a

216 2( )2( )2( )2L s b s c s a s

216 16( )( )( )L s b s c s a s

2 ( )( )( )L s b s c s a s .......................................................................... bagi kedua ruas dengan 16

2 ( )( )( )L s s a s b s c

( ) ( ) ( )L s s a s b s c ......................................................... kedua ruas ditarik akar kuadrat

4) Jadi luas segitiga ABC = 1

bcsin ( ) (s b) (s )2

A s s a c dengan 1

2s a b c