BAB_1_MATRIKS-SPL-PDF1

• MATRIK DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER• BARISAN DAN DERET• FUNGSI DUA PEUBAH• PERSAMAAN DIFFERENSIAL• SISTEM BILANGAN KOMPLEKS

MATEMATIKA TEKNIK 2

2Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung

- Deret Pangkat; Selang kkonvergenan, operasi - Deret Taylor, Maclaurin

7

- Uji kekonvergenan- Deret Ganti Tanda, Konvergen Bersyarat

6

- Barisan, Deret takhingga- Deret Suku Positif : geometri, harmonik

5

- Determinan, Ekspansi Kofactor, Metode Reduksi Baris- Menyelesaikan SPL dengan invers, Metode Crammer

4

- SPL Homogen- Matriks Invers

3

- Sistem Persamaan Linier- Eliminasi Gauss-Jordan

2

- Matriks dan operasi Matriks- Operasi Baris Elementer

1

MATERI (UTS)MINGGU


- Limit, Turunan, Fungsi analitik- Fungsi Elementer

14

- Akar dan Pangkat- Kurva dan Dareah dalam Bidang kompleks

13

- Bilangan Kompleks- Operasi Aritmatika

12

-Pers. Differensial orde 2 Homogen-Koefiisien Tak Tentu ,Variasi Parameter

11

- Pers. Differensial orde 1 biasa : Peubah Terpisah , linear, Bentuk y/x- Trayektori Orthogonal

10

-Domain Fungsi 2 Peubah-Maksimum Dan Minimum

9

- Fungsi 2 Peubah ; Peta Kontur- Limit dan Kekontinuan, Turunan Parsial

8

MATERI (UAS)MINGGU

•MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS•SISTEM PERSAMAAN LINIER•DETERMINAN

MATRIKS AND SISTEM PERSAMAAN LINEAR


MATRIKS

Notasi MatriksDefinisi

Sebuah matriks adalah suatu susunan bilangan dalam bentuk segi empat. Bilangan – bilangan dalam susunan tsb disebut elemen dari matriks. Elemen baris ke i dan kolom ke j dinotasikan dengan simbol aij

Ukuran matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom suatu matriks

Bentuk Umum matriks m x n

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

K

MMMM

K

K

21

22221

11211


MATRIKS

Notasi Matriks

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

21

22221

11211

Baris 1

Kolom 2

Elemen m,n


MATRIKS

=

4231

A

Matriks Bujur sangkar order nSebuah matriks dengan n baris dan n kolom

Diagonal utama : a11,a22,…,ann

=

333412521

B

Order 2 Order 3

Diagonal Utama


MATRIKS

[ ]000000000

0000

=

100010001

33 xI

MATRIKS IDENTITASMatriks Bujur sangkar dengan nilai 1pada diagonal utama dan nilai 0 pada elemen diluar diagonal utama. Matriks Identitas dinotasikan dengan I

MATRIKS NOLSebuah matriks yang semua elemennya adalah 0

=

1001

22 xI


MATRIKS

MATRIKS SEGITIGASuatu matriks bujur sangkar yang semua elemennya diatas diagonal utama adalah nol (segitiga bawah)

Suatu matriks bujur sangkar yang semua elemennya dibawah diagonal utama adalah nol (segitiga atas)

44434241

333231

2221

11

000000

aaaaaaa

aaa

44

3133

242322

14131211

00000

0

aaaaaaaaaa

lower triangular 4x4 upper triangular 4x4


MATRIKS

MATRIKS Eselon Baris TereduksiSifat-sifat bentuk Eselon Baris Tereduksi

1. Pada baris tak-nol, Bilangan pertama pada baris ini adalah 1. Kita menyebut (bil 1) sebagai 1 utama

2. Jika terdapat baris nol (baris yg semua elemennya 0), maka baris –baris tsb dikelompokkan pada bagian bawah matriks

3. Dalam dua baris-taknol yang berurutan, 1 utama baris yang lebih bawah terletak lebih kekanan daripada 1 utama baris atasnya

4. Setiap Kolom yang memuat 1 utama, hanya memiliki elemen 0 selain1 itu sendiri

Penyelesaian sistem persamaan linier (bab berikutnya) akan lebih mudah bila Matriks diperbesar dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi . Matriks dengan sifat 1,2 and 3 saja disebut memiliki bentuk Eselon Baris


MATRIKS

Matriks Eselon Baris TereduksiContoh : Matriks bentuk Eselon Baris Tereduksi

21102301

000021101201

310201

Contoh Matriks yang bukan Eselon Baris Tereduksi

21102311

000021011210

320201

sifat 1

sifat 3

sifat 4


OPERASI-OPERASI MATRIKS

Penjumlahan dan Pengurangan matriks

Perkalian Skalar

Perkalian Matriks

Transpose matriks

Trace matriks

Operasi Baris Elementer



Penjumlahan dan PenguranganDefinisi

Jika A and B are Matriks dg ukuran sama, maka jumlah A+B adalah the matriks yg diperoleh dg menambahkan elemen2 B yg berkaitan dg elemen2 A dan selisih A−B adalah matriks yg diperoleh dg mengurangkan elemen2 B yg berkaitan dg elemen matriks A.

Contoh : Penjumalahn

+

6453

4231

++++

=64425331

=

10684

−

6453

4231

−−−−

=64425331

−−−−

=2222Contoh:

Pengurangan



Definisi

Bila A adalah sembarang matriks dan k scalar,maka hasil kali kA adalah matriks yg dipeoleh dg mengalikan setiap elemen matriks A dg k

Contoh : Perkalian skalar

=

6.35.34.33.32.31.3

654321

3

=

181512963

Perkalian Skalar



Definisi

Bila A matriks m x r dan B matriks r x n , maka hasil kali A x B adalah matriks m x n yg elemen2 ditentukan dg aturan berikut. Elemen ke i,j AB diberikan dg rumus (AB)ij = ai1b1j+ ai2b2j+…+ airbrj

Contoh :PERKALIAN MATRIKS

PERKALIAN MATRIKS

++++++++

=4.63.52.41.62.51.44.33.22.11.32.21.1

413221

654321

=

4720208



Definisi

Bila A sembarang matriks m x n, maka transpose A, dinotasikan dgAT, didefinisikansbg matriks n x m yg nilainya diperoleh dari pertukaran baris2 dan kolom2 A

Contoh : transpose matriks

=

654321

A

Transpose Matriks

=

635241

TA



Definisi

Bila A matriks bujur sangkar n x n, maka trace A, dinotasikan dg tr(A), didefinisikan sbg jumlah elemen2 diagonal A, atau dapat dituliskan dg rumus tr(A) = a11+a22+…+ann

Contoh : trace matriks

=

963852741

A

Trace matriks

tr(A) = 1+5+9=15



OPERASI BARIS ELEMENTER(OBE)

Operasi Baris Elementer adalah operasi2 untuk mengeliminasi matriks ke bentuk eselon baris tereduksi. Bila kita memiliki matriks (augmented matriks) dlm bentuk eselon baris tereduksi, kita dpt menyelesaikan sistem persamaan linier dengan mudah

Terdapat 3 operasi

1. Mengalikan suatu baris dg kontanta tak-nol

2. Pertukaran dua baris

3. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lain



Langkah2 Eliminasi (Membuat bentuk eselon baris tereduksi

Diketahui matriks Amxn

• Lihat baris 1, ubah a11 menjadi 1 (pilih operasi yg paling mudah)

• Ubah elemen a21, a31,..,am1 menjadi 0

• Lanjutkan ke baris 2, ubah a22 menjadi 1 (bila a22=0 maka yg diubah adalah a2k)

• ubah a1k, a3k,..,amk menjadi 0 (k=2,3,4…n)

• Ulangi langkah 3 and 4 sampai baris terakhir (diperoleh bentuk eselon baris tereduksi)


OPERASI-OPERASI MATRIKSContoh eliminasi menggunakan OBE

=

711230118113

ABentuk eselon Baris Tereduksi ?

=

711230118113

A ~21 rr ↔

711281133011

~213 rr +−

−−711211203011

Pertukaran brs 1 dan brs 2 * Menambah -3 x brs 1 thd brs kedua *

1 utamaa11 1 utama

not zero

* Kita dpt memilih operasi yg lain



Contoh eliminasi menggunakan OBE(2)

~312 rr +−

−−−111011203011

~233 rr +−

−−711211203011

tambahkan -2 x brs 1 ke brs 3 tambahkan -3 x brs 3 baris 2

−−−111042103011

~12 rr +−

−−−111042107201

~32 rr +

−−−−310042107201

1 utama

−−310042107201

~3r−

tambahkan -1 x brs 2 brs 1

tambahkan 1 x brs 2 ke brs 3

kalikan brs 3 dg -1



Contoh eliminasi menggunakan OBE(3)

tambahkan 2 x brs 3 brs 2

tambahkan -2 x brs 3 ke brs 1

310020101001

~232 rr +

310020107201

1 utama

−−310042107201

~132 rr +−

Bentuk eselon baris tereduksi

Catatan

1. Semua notasi OBE diberikan utk membantu mhsdalam memahami materiini. Kita tdk perlu menuliskan notasi ini pd bab selanjutnya

2. Kita dpt mengelompokkan beberapa OBE agar lebih singkat


SIFAT OPERASI MATRIKS

a. A+B=B+A

b. A+(B+C)=(A+B)+C

c. A(BC)=(AB)C

d. A(B+C)=AB+AC

e. k(AB)=(kA)B ; k : skalar

f. (AT)T=A

g. (AB)T=BTAT

SIFAT


LATIHAN

Perhatikan matriks2 berikut

=

211221

B

=

143132121

A

−

−=

213122

C

−−

=4231

D

=132

E

1. Hitung

a. BC b. A – BC c. CE

d. CB e. D – CB f. EET – A

2. Yang mana matriks yg memiliki bentuk eselon baris tereduksi ?

−−000042107201

.a

100001

.b

100010011

.c

100001000021

.d


LATIHAN

3. Ubahlah matriks2 berikut ke bentuk eselon baris tereduksi

−−1022242103011

.a

123123

.b

−−−

100332112211111

.c

963642321

.d

SISTEM PERSAMAAN LINIER

PENDAHULUANELIMINASI GAUSS-JORDANSPL HOMOGENINVERS MATRIKS


PENDAHULUAN

Persamaan LinearSembarang garis lurus pada bidang xy dapat disajikan dalam persamaan

dimana a1,a2,b : konstanta dan a1,a2 keduanya tidak nol

Sebuah pers. Linier dlm peubah x dan y

Secara umum

bxaxaxa nn =+++ ...2211

byaxa =+ 21

Sebuah pers.linier dg peubah x1,x2,…,xn


PENDAHULUAN

Sistem Persamaan Linier (SPL)

11

=−=+

yxyx

Barisan : {s1, s2, …, sn} disebut solusi sistem Pers. Linier jika x1= s1,x2= s2,…,xn= sn adalah solusi dari setiap persamaan dalam sistem

Himpunan berhingga pers. Linier dg peubah x1,x2,…,xn is disebut sistem persamaan linier

Contoh : SPL

{ }0,1 == yx Solusi SPL

1+ 0 = 11 – 0 = 1


PENDAHULUAN

Solusi sistem PersamaanLinier

0220=−

=−yx

yx

Dalam bidang xy, solusi SPL dapat disajikan sebagai

Sebuah SPL yg tidak memiliki solusi disebut SPL yang inconsistent

x-y=0

2x-2y=020

=+=−

yxyx

x-y=0

x+y=2

x-y=0

x-y=-2

20−=−

=−yxyx

Solusi tunggal Tdk ada solusiSolusi takhingga banyak


ELIMINASI GAUSS-JORDAN

SPL dalam bentuk Matriks

=

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

MM

K

MMM

K

K

2

1

2

1

21

22221

11211

Sembarang sistem dg m pers. linier dan n peubah dpt ditulis sbg

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

...

......

2211

22222121

11212111

MMMM

Dinotasikan bxA =

or Ax = b



AUGMENTED MATRIX

=

nnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

MM

K

MMM

K

K

2

1

2

1

21

22221

11211

Matriks Augmented sistem Ax=b adalah matriks yg elemen2nya gabungan dari elemen A (left side) dan elemen b (right side)

Augmented matrix [A|b]

nmnmm

n

n

b

bb

aaa

aaaaaa

M

K

MMM

K

K

2

1

21

22221

11211

||||



Definisi

Suatu prosedur yg sistematik utk menyelesaikan SPL dg mereduksi matriks augmented ke bentuk eselon baris tereduksi

Contoh 1

Selesaikan SPL berikut

723

83

=++=+

=++

zyxyx

zyx

=

738

112011113

zyx

=

738

|112|011|113

]|[ bA

Augmented matriks [A|b]



1=x2=y

Contoh 1 (lanjutan)

Kita telah mengeliminasi matriks ini ke bentuk eselon baris

(lihat hal 22)

Bentuk eselon baris tereduksi dari matriks augmented :

321

|100|010|001

3=zor

=

321

zyx

Solusi SPL



[ ] ~...~341

|||

143

111312201

|

=bA

Contoh 2


=

341

143

111312201

4

3

2

1

xxxx

Solusi

−−

021

|0000|2110|3201

Eselon Baris-tereduksi

kolom 3,4 tdk punya 1 utama

x3=s , x4=t



132 431 =++ xxx22 432 =−− xxx tsx 222 ++=

Contoh 2 (lanjutan)

−−

021

|0000|2110|3201 tsx 3211 −−=

Solusi SPL :

++−−

=

ts

tsts

xxxx

22321

4

3

2

1



[ ] ~...~214

|||

333012321

|

−=bA

Contoh 3


−=

214

333012321

zyx

Solusi:

−

100

|000|210|101

Eselon baris tereduksi

0=1 ???

Tdk ada solusi


SPL HOMOGEN

=

0

00

2

1

21

22221

11211

MM

K

MMM

K

K

nmnmm

n

n

x

xx

aaa

aaaaaa

Suatu SPL dikatakan homogen bila semua bagian konstantanya bernilai 0; Ini berarti sistem memiliki bentuk :

0...

0...0...

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

MMMM

Dinotasikan: 0=xAEvery SPL homogen adalah konsisten

Semua SPL memiliki x1=0,x2=0,…,xn=0 sbg salah solusi trivial solution

Bila tdp solusi lain, maka SPL memiliki solusi nontrivial


SPL HOMOGEN

=

000

143

111312201

4

3

2

1

xxxx

000

|||

143

111312201

Terdapat 2 kemungkinan solusi SPL Homogen

• SPL hanya memiliki solusi trivial

• SPL memiliki tak hingga solusi sebagai tambahan dr solusi trivial

Contoh

Selesaikan SPL homogen berikut :

Augmented matrix

−−

000

|0000|2110|3201

Eselon baris tereduksi


SPL HOMOGEN

−−

000

|0000|2110|3201

Contoh (lanjutan)

+−

=

tststs

xxxx

232

4

3

2

1Solusinya :

solusi tak hingga banyak/ solusi nontrivial


MATRIKS INVERS

=

dcba

A

Definisi

Bila A,B matriks bujur sangkar n x n, dan B dpt dicari sdh AB=BA=I, maka A dikatakan invertible(dpt dibalik) dan B disebut invers dari Adan dinotasikan dg A-1

Bagaimana menentukan A-1 ?

Bila A matriks 2x2

A invertible bila ad ≠ bc, kemudian A-1 diperoleh dg rumus

−

−−

=−

acbd

bcadA 11


MATRIKS INVERS

[ ]

=

100010001

|||

221321311

| IA

=

221321311

A

−−

− 101011001

|||

110010311

~

Kita dpt mencari A-1dg menggunakan Operasi Baris Elementer ( Eliminasi Gauss-Jordan) thd matriks augmented [A|I].Matriks eselon baris yang kita inginkan adalah [I|A-1]. Bila bagian kiri dari matriks eselon baris bukan I(identitas), maka A is tidak invertible

Contoh 1

Tentukan invers dari

Solusi


MATRIKS INVERS

−−

−

− 110011012

|||

100010301

~

−−

−=−

110011342

1A

Contoh 1(lanjutan)

−−

−

110011342

|||

100010001

~

I

Contoh 2

Tunjukkan bahwa A tidak invertible

=

321321311

A


MATRIKS INVERS

[ ] ...~100010001

|||

321321311

|

=IA

−−

−

110011012

|||

000010301

~

Contoh 2 (lanjutan)

Kita tdk dpt mereduksi ke bentuk matriks identitas

A tdk invertible

Sifat dari matriks invers

(AB)-1 = B-1A-1


LATIHAN

1. Selesaikan SPL berikut

=

321

533322534

.zyx

a

−=

−−− 121

242

111312203

.

4

3

2

1

xxxx

b

2. Tentukan solusi SPL Homogen Ax = 0 dimana

=

101222111

. Aa

=

132

101312211

. Ab

3.Tentukan invers dari A jika A invertible

−−−=

321762733

. Aa

−

−−=

113212110

. Ab

−=

120312232

. Ac

DETERMINAN

Definisi

Metode Ekspansi Kofaktor

Metode Reduksi Baris


Definisi

Fungsi determinan

=

2221

1211

aaaa

A

Definisi

Misal A matriks bujur sangkar. Fungsi determinan A dinotasikan det(A) atau |A| adalah jumlah hasil kali bertanda dari A.

Hasil kali elementer _2_1 aa

Permutasi(1..2)

{(1,2),(2,1)

2211aa

2112aa

Inversion (1,2) =0 (genap)

Inversion (2,1) =1 (ganjil)

tanda ?+

─


Definisi

Fungsi determinan

─ a12a21─a12a21

+a11a22+a11a22

Hasil kali elementer bertanda

tandaHasil kali elementer

Det(A) = +a11a22 ─ a12a21

Kita dapat menghitung det Anxn dg definisi ini, tetapi hal ini sangat tidak efisien



=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A3331

2321

aaaa

=

Definisi

Misal A matriks bujur sangkar, maka minor elemen aij dinotasikan dg Mij didefinsikan sbg determinan dari sub matriks yg tersisa setelah baris ke i dan kolom ke-j dihapus dari A. (-1)i+j Mij dinotasikan dg Cij dan dinamakan sbg kofaktor elemen aij

333231

232221

131211

12

aaaaaaaaa

M =

3331

232112 aa

aac −=



Misal A matriks bujur sangkar, maka det(A) dirumuskan dg

njeachforCaCaCaA njnjjjjj ≤≤+++= 1,...)det( 2211

Expansi sepanjang kolom ke-j

nieachforCaCaCaA ininiiii ≤≤+++= 1,...)det( 2221

Ekspansi sepanjang baris ke- i

atau

Terdapat 2n cara utk menghitung det(A) menggunakan ekspansi kofaktor



=

213202121

A

131312121111)det( CaCaCaA ++=

2322

.2−

Contoh

Misal A matriks bujur sangkar 3x3

Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke-1

1302

.1+2120

.1= = -2+4+2 = 4

323222221212)det( CaCaCaA ++=

2211

.1−2322

.2−=

Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke-2

= 4+0 = 4



=

nna

aaaaaaa

A

000

0 242322

14131211

MMM

Misal A matriks Segitiga Atas

nnaaaA .... 2211=

Ketika kita menghitung det(A) menggunakan ekspansi kofaktor (sepanjang kolom 1) berulang2,kita akan memperoleh



R=212321963

212543321

212642963

Idenya adalah kita akan mereduksi matriks menjadi matriks segitiga atas dg menggunakan Operasi Baris Elementer

Ada 2 operasi yg akan mengubah nilai determinan, yaitu;

1. Mengalikan suatu baris dg konstanta tak-nol

2. Pertukaran 2 baris

R=212321543

=2R

212642321

=2/3 R

= − R

2 x row 2

1/3 x row 1

Pertukaran row 1 and row 2



212321543

212321543

212543321

−=

Contoh

Hitung determinan dari Dg menggunakan met. reduksi baris

430420321

−−−−−=

200210321

2=

( )430210321

2−−

−−=

Solusi

42.1.1.2 ==

Kita juga dpt mengkombinasikan 2 metoda utk menghitung determinan


Latihan1. Hitung determinan matriks menggunakan metode ekspansi kofaktor dan

reduksi baris

123012011

.c

123122001

.b

123212211

.a

2. Misal a,b : integer dan a,b < 6

a.

=

4b3a

4231

4b3a

4231=

Tentukan nilai a dan b

b. Tentukan nilai a dan b


Latihan

3. Misal A matriks 3x3

=

9966786587549753

A

?3. =Aa

?

9966181410687547865

. =b

dan det(A)= - 6

MATRIKS, DETERMINAN DAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

MENYELESAIKAN SPL DG MATRIKS INVERS

ATURAN CRAMER


Menyelesaikan SPL dgMatriks Invers

Bila A matriks invertible nxn, maka utk setiap matriks nx1 b, SPL Ax=b memiliki solusi tunggal, yaitu x=A-1b

Contoh

Selesaikan SPL dibawah ini

=

321

221321311

zyx


Menyelesaikan SPL dgMatriks Invers

−−

−== −

321

110011342

1bAX

−−

−=−

110011342

1A

Kita telah menghitung A-1 (lihat hal 42)

Solusi SPL

−=

113


Aturan Cramer

( ) ( ) ( ))det(

det,...,)det(

det,)det(

det 22

11 A

AxAAx

AAx n

n ===

Aturan Cramer

Bila Ax=b adalah SPL dg n variabel s.d.h det(A)≠0, maka SPL akan memiliki solusi tunggal. Bila Aj adalah matriks yg diperoleh dg mengganti elemen2 dalam kolom ke- j matriks A dg elemen2 b, maka solusi SPL adalah


Aturan Cramer

4...212321543

===A

=

101

212321543

zyx

Contoh

Selesaikan SPL dibawah ini

Solusi

Lihat hal. 53


Aturan Cramer

101

101

=== ...122143

3A

Solusi (lanjutan)

101

=== ...223153

2A

=== ...213254

1A 3

0

-1

41

41,0

40,1

44

321 −=−

===== xxx

Solusi SPL

BAB_1_MATRIKS-SPL-PDF1

Documents

Transcript of BAB_1_MATRIKS-SPL-PDF1