RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf ·...

24
BAB 8 RUANG EIGEN Masalah nilai dan vektor eigen banyak sekali dijumpai dalam bidang rekayasa, seperti maslah kestabilan sistem, optimasi dengan SVD, kompresi pada pengolahan citra, dan lain-lain. Untuk lebih memahami masalah nilai dan vektor eigen, pada bab ini akan dijelaskan melalui definisinya dan beberapa contoh yang terkait, sampai pada basis ruang eigen dari suatu matriks. Pada bagian akhir, untuk menambah wawasan dari aplikasi nilai dan vektor eigen buku ini akan memaparkan tentang aplikasi nilai dan vektor eigen pada penentuan solusi sistem persamaan diferensial. 8.1 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Sebelum kita melangkah lebih jauh, kita awali pembahasan materi bab ini dengan pemahaman defnisi dari nilai dan vektor eigen suatu matriks. Misalkan sebuah matriks A dan v nxn adalah vektor tak nol di R n dan skalar λ merupakan skalar Rill sehingga memenuhi : v v A λ = (8.1) maka λ dinamakan nilai eigen, sedangkan v dinamakan vektor eigen. Contoh 8.1 : Perhatikan perkalian matriks berikut :

Transcript of RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf ·...

Page 1: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

BAB 8

RRUUAANNGG EEIIGGEENN

Masalah nilai dan vektor eigen banyak sekali dijumpai

dalam bidang rekayasa, seperti maslah kestabilan sistem, optimasi dengan SVD, kompresi pada pengolahan citra, dan lain-lain. Untuk lebih memahami masalah nilai dan vektor eigen, pada bab ini akan dijelaskan melalui definisinya dan beberapa contoh yang terkait, sampai pada basis ruang eigen dari suatu matriks. Pada bagian akhir, untuk menambah wawasan dari aplikasi nilai dan vektor eigen buku ini akan memaparkan tentang aplikasi nilai dan vektor eigen pada penentuan solusi sistem persamaan diferensial. 8.1 NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Sebelum kita melangkah lebih jauh, kita awali pembahasan materi bab ini dengan pemahaman defnisi dari nilai dan vektor eigen suatu matriks. Misalkan sebuah matriks A dan vnxn adalah vektor tak nol di Rn dan skalar λ merupakan skalar Rill sehingga memenuhi :

vvA λ= (8.1) maka λ dinamakan nilai eigen, sedangkan v dinamakan vektor

eigen.

Contoh 8.1 :

Perhatikan perkalian matriks berikut :

Page 2: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

116 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

3421

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

5

Skalar 5 dan vektor , masing-nasing dinamakan nilai

eigen dan vektor eigen dari matriks A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

vvA λ= Perhatikan bahwa :

↔ 0=− vvA λ↔ , 0=− vIvA λ

merupakan matriks identitas. dimana Inxn

( ) 0=− vIA λ↔ (8.2) Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai solusi tunggal ( v adalah vektor nol) jika dan hanya jika det (A – λI) ≠ 0. Karena menurut definisi, vektor v merupakan vektor tak nol, maka kondisi ini akan dipenuhi jika dan hanya jika . Dengan demikian, kita bisa mengetahui nilai eigen dari suatu matriks A, yakni skalar (λ) yang memenuhi :

( ) 0det =− IA λ

det (A – λI) = 0. (8.3) Selanjutnya, persamaan ini dinamakan persamaan karakteristik. Jadi, nilai eigen merupakan akar-akar dari persamaan karakteristik tersebut. Contoh 8.2 :

Tentukan nilai eigen dari matriks :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

0 0 1-2 1 0 2- 0 1

A

Jawab :

Akan ditentukan nilai eigen, yakni saat det (A – λI) = 0

Page 3: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 117

01 0 0 0 1 0 0 0 1

0 0 1-2 1 0 2- 0 1

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛λ

0- 0 1-

2 -1 0 2- 0 -1 =

λλ

λ

Dengan ekspansi kopaktor sepanjang kolom ke-2 (1− λ) ( (1−λ) (−λ) − 2 ) = 0

(1 − λ) ( λ² − λ − 2) = 0 (1 − λ) ( λ − 2) ( λ + 1) = 0

Jadi, matriks A memiliki tiga buah nilai eigen yaitu : λ = −1, λ = 1, dan λ = 2.

Jangan dilupakan, bahwa inti dari pencarian nilai eigen adalah mencari akar dari persamaan karakteristik det (A – λI) ≠ 0. Kadang-kadang mahasiswa terjebak untuk membentuk persamaan tersebut menjadi polinom orde tinggi, selanjutnya mereka kesusahan dalam mencari akar persamaan polinom tersebut. Contoh 8.3 : Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

2 1 1 1 2 1 1 1 2

A

Jawab :

Nilai eigen dari A dapat diperoleh saat det (λI – A) = 0

Det 0 2- 1- 1-

1- 2- 1- 1- 1- 2-

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

λλ

λ

Dengan ekspansi kofaktork sepanjang baris pertama :

Page 4: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

118 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

( ) 01- 1-

2- 1- 2- 1-

1- 1- 2- 1- 1- 2-

2 =−+−λ

λλλ

λ

(λ – 2)(( λ – 2)2 –1) + (–λ +1) – (1+( λ–2)) = 0 (λ – 2)( λ – 4 λ + 3) – (λ – 1) – (λ – 1) = 0 2

(λ – 2)( λ – 3)( λ – 1 ) – 2 (λ – 1) = 0 (λ – 1)(( λ – 2)( λ – 3) – 2) = 0 (λ – 1)( λ – 5 λ + 4) = 0 2

(λ – 1) ( λ – 4) = 0 2

Nilai Eigen dari matriks tersebut adalah 1 dan 4. Untuk λ = 1

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

0 0 0

z y

1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- 1- x

Dengan operasi baris elementer, mariks yang diperbesar dari SPL homogen menjadi :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

000

000000111

Misal s dan t adalah parameter, solusi SPL homogen tersebut adalah :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

ts

ts

zyx

= ts⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−+

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

101

011

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 1 adalah :

dan ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

101

Page 5: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 119

Untuk λ = 4

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

0 0 0

2 1- 1-1- 2 1- 1- 1- 2

zyx

Dengan operasi baris elementer, mariks yang diperbesar dari SPL homogen menjadi :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−−

000

000110101

Misal s adalah parameter, solusi SPL homogen tersebut adalah:

szyx

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

1 1 1

Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ =

4 adalah . ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

111

Vektor eigen yang bersesuaian dengan suatu nilai eigen λ merupakan vektor tak nol dalam ruang solusi dari SPL ( ) 0=− vAIλ . Ruang solusi ini dinamakan ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Dengan demikian, basis dari ruang eigen matriks A dapat dinyatakan sebagai berikut : Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 1 adalah :

, ⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

011

⎪⎭

⎪⎬

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

101

Sementara itu , basis ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai

eigen λ = 4 adalah :

Page 6: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

120 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

. ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

111

8.2 DIAGONALISASI Suatu matriks kuadrat Anxn dikatakan dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga PP

–1AP merupakan matriks diagonal. Matriks P dinamakan matriks yang mendiagonalkan matriks A. Perlu diperhatikan bahwa vektor-vektor kolom pada mtriks P merupakan vektor – vektor eigen dari matriks A. Karena P memiliki invers berarti det (A) ≠ 0. Ini menunjukan bahwa vektor-vektor eigen tersebut saling bebas linear. Dengan demikian diperoleh kesimpulan bahwa :

“A dapat didiagonalkan jika dan hanya jika Anxn memiliki n buah vektor eigen yang bebas linear”

Misal A , cara menentukan P : nxn

o Tentukan nilai eigen o Tentukan n vektor eigen yang bebas linear, p1, p , … p2 n o Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolomnya adalah

vektor-vektor p , p1 2, … pn

Contoh 8.4 :

Tentukan apakah

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

2 1 1 1 2 1 1 1 2

A

dapat didiagonalkan ? Jika ya, tentukan matriks pendiagonal P dan matrix diagonal D !

Page 7: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 121

Jawab :

Seperti telah dijelaskan pada contoh sebelumnya bahwa : Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ = 1 adalah :

dan ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

011

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

101

Sementara itu, vektor eigen yang bersesuaian dengan n.e.

λ = 4 adalah . ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

111

Sehingga diperoleh :

P = ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛ −−

110101111

Karena det (P) = – 1 ≠ 0. Ini menunjukan bahwa vektor-vektor eigen tersebut saling bebas linear. Dengan argument tersebut disimpulkan bahwa A dapat didiagonalkan.

Sementara itu, matriks diagonalnya berbentuk : D = P AP –1

= ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

400010001

Matriks diagonal D = P-1AP, unsur diagonalnya merupakan nilai – nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor – vektor eigen p , p , … p1 2 n. Perlu diketahui bahwa jika Anxn, mempunyai n buah nilai eigen yang berbeda maka A dapat didiagonalisasi. Contoh 8.5 :

Tentukan matriks yang mendiagonalkan matriks

Page 8: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

122 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

110110001

A

Jawab :

Persamaan karakteristik dari matriks A adalah : 0. =− AIλ

0110110001

000000

det =⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

λλ

λ

( )( )

( )0

110110

001det =

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

λλ

λ

Dengan menggunakan ekspansi kofaktor : Pilih Baris I

{ } 131312121111.det cacacaAI ++=−λ ( ) ( ) ( ) 002 1 ++−−= λλλ ( ) ( ) ( )2 1 −−= λλλ

Diperoleh : 2 ; 1 ; 0 === λλλ 0=λ Untuk

( ) 0. =− vAIλ Dengan OBE maka

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

000110001

~ ( )⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−−

110110

001

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−− 110110001

~ ~. AI −λ

Jadi

32

32

10

0

xxxx

x

−==+

=

Page 9: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 123

Dengan demikian, vektor eigen yang bersesuaian dengan 0=λ adalah vektor tak nol yang berbentuk

, dimana t adalah parameter txxx

1

10

3

2

1

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

0=λJadi vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

110

1P

1=λ Untuk

( ) 0. =− vAIλ Dengan OBE maka

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

010100000

~⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

000100010

~ ( )⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−010100

000 ~. AI −λ

00

3

2

1

===

xx

tx

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan 1=λ adalah vektor tak nol yang berbentuk

, txxx

001

3

2

1

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

dimana t adalah parameter. 1=λJadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah :

Page 10: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

124 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

001

2P

2=λ Untuk ( ) 0. =− vAIλ

Dengan OBE maka

( ) ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−−−110110

001~. AIλ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛−000110

001~

txxxxx

x

==

=−=

2

32

32

1

00

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan 2=λ adalah vektor tak nol yang berbentuk

, txxx

110

3

2

1

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

dimana t adalah parameter 2=λJadi vektor eigen yang bersesuaian dengan

adalah

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

110

3P

Pandang 0332211 =++ PkPkPk

0 101101010

3

2

1

=⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

− kkk

Page 11: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 125

Perhatikan OBE berikut :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

200010101

~⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

100010101

~⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

− 101010101

~101101010

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

100010001

~

{ }321 ,, PPP merupakan himpunan yang bebas linear Jadi Dengan demikian matriks yang mendiagonalkan A adalah :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

101101010

P

Pada pembahasan berikutnya adalah masalah

diagonalisasi dari suatu matriks simetri. Namun sebelumnya kita perlu tahu beberapa definisi tentang matriks ortogonal. Suatu matriks Bnxn dikatakan matriks ortogonal jika invers dari matriks tersebut sama dengan transpose dari matriks yang bersangkutan (B–1 = Bt). Untuk memahami sifat dari suatu matriks ortogonal, perhatikan bahwa pernyataan berikut adalah ekivalen satu sama lain :

a. B adalah matriks ortogonal nxn

b. Vektor-vektor baris dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.

c. Vektor-vektor kolom dari B membentuk himpunan ortonormal di Rn dalam RHD Euclides.

Suatu matriks Anxn dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal jika terdapat matriks ortogonal P sedemikian hingga P–1AP (dengan kata lain PtAP) merupakan matriks diagonal. Sebagai ilustrasi, kita dapat melihat gambaran tentang matriks yang didiagonalkan secara ortogonal, sebagai berikut :

Page 12: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

126 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen D = P AP (8.4) –1

atau PDP = A (8.5) –1

Karena P merupakan matriks ortogonal, maka pernyataan diatas dapat ditulis menjadi : A = PDPt (8.6) Sehingga diperoleh hubungan

At = (PDPt ) = (P t t )t DPt = PDPt = A (8.7) Dengan demikian, suatu matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalkan secara ortogonal jika dan hanya jika matriks A tersebut merupakan matriks simetri. Masalahnya, kita tak dapat serta merta menebak suatu matriks ortogonal yang memenuhi definisi diatas. Berikut ini adalah langkah-langkah menentukan matriks ortogonal yang mendiagonalkan secara ortogonal suatu matriks kuadrat. Misal A , cara menentukan P : nxn

a. Tentukan nilai eigen b. Tentukan basis ruang eigen untuk setiap nilai eigen yang

diperoleh c. Gunakan proses Gram Schmidt untuk merubah setiap

basis pada (b) menjadi basis ruang eigen yang ortonormal. d. Bentuk matriks P dimana vektor-vektor kolomnya berupa

basis ruang eigen yang ortonormal. Contoh 8.6 :

Tentukan matriks yang mendiagonalkan secara ortogonal matriks

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

110110001

A

Jawab : 2 ; 1 ; 0 === λλλ Kita mempunyai nilai eigen

Basis ruang eigen :

Page 13: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 127

• Untuk 0=λ adalah ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−110

• Untuk 1=λ adalah ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

001

• Untuk 2=λ adalah ⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

110

Dengan demikian basis ruang eigen yang ortonormal dari matriks diatas secara berturutan adalah

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

− 21

21

0

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

21

21

0, ,

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

001

.

Dengan demikian matriks yang mendiagonalkan A secara ortogonal adalah :

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

21

21

21

21

00

010P

8.3 SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR

Pada kuliah ini, sistem persamaan diferensial yang akan

dibahas hanya sistem persamaan diferensial linear orde satu dengan koefisien konstan. Misalkan,

)()(

tyadt

tdy= (8.8)

merupakan persamaan diferensial orde 1 dengan koefisien konstan. Solusi dari persamaan diferensial tersebut berbentuk

dimana c merupakan suatu konstanta yang bergantung atcety =)(

Page 14: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

128 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen pada kondisi awal tertentu. Masalah sistem persamaan yang dilengkapi dengan sutu kondisi awal tertentu dinamakan masalah nilai awal. Jika kondisi awal dari persamaan diferensial tersebut adalah 2)0( =y maka solusi dari sistem persamaan diferensial (1) adalah

atety 21)( =

Berikut ini merupakan bentuk umum dari sistem persamaan diferensial orde satu dengan koefisien konstan yang terdiri dari n persamaan dan n buah peubah.

( )

( )

( )nnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaxadtxd

xaxaxaxadtxd

xaxaxaxadtxd

++++=

++++=

++++=

...

...

...

332111

23232211212

13132111111

MMMMM

(8.9)

Sistem persamaan diferensial tersebut dapat di tulis dalam bentuk :

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

nnnnn

n

n

n x

xx

aaa

aaaaaa

x

xx

M

L

MOMM

L

L

M2

1

21

22221

11211

2

1

'

''

(8.10)

atau (8.11) AXX =' Contoh 8.7 :

Tuliskan sistem persamaan diferensial berikut dalam bentuk perkalian matriks :

Page 15: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 129

)()(

)(3)(

)(2)(

33

22

11

trdt

tdr

trdt

tdr

trdt

tdr

=

−=

=

Tentukan solusinya jika sistem tersebut mempunyai nilai awal , dan ! 1)0(1 =r 2)0(2 =r 3)0(3 =r

Jawab :

Sistem persamaan diferensial tersebut berbentuk :

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

3

2

1

3

2

1

100030002

'''

rrr

rrr

Sehingga solusi sistem tersebut adalah :

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎡−

t

t

t

eee

rrr

32 3

2

3

2

1

Masalahnya, suatu sistem persamaan diferensial tidak selalu memberikan matriks koefisien yang berbentuk matriks diagonal. Misalkan,

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

nnnn

n

n

ppp

pppppp

P

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

merupakan matriks yang dapat mendiagonalkan matriks koefisien dari suatu sistem persamaan diferensial A, sehingga APPD 1−= berbentuk matriks diagonal. Tulis :

Page 16: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

130 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

=

⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

)(

)()(

)(

)()(

2

1

21

22221

11211

2

1

tu

tutu

ppp

pppppp

tx

txtx

nnnnn

n

n

n

M

L

MOMM

L

L

M (8.12)

atau PUX = (8.13)

dimana U merupakan suatu matriks yang berisi fungsi syang bergatung pada t. Dengan mendiferensialkan setiap persamaan pada sistem (8.13) diperoleh :

(8.14) '' PUX =

Dengan mensubstitusikan persamaan (8.13) pada persamaan (8.11) maka :

( )PUAPU =' (8.15) Karena P merupakan matriks yang mendiagonalkan A, ini berarti P memiliki invers. Oleh karena itu pernyataan diatas dapat ditulis dalam bentuk :

APUPU 1' −= (8.16) atau

(8.17) DUU ='D merupakan matriks diagonal, dengan demikian solusi untuk U dapat diperoleh. Dengan kembali mensubstitusikan solusi U pada (8.13), sehingga menjadi :

PUX =Langkah-langkah dalam menyelesaikan sistem persamaan diferensial :

1. Menentukan nilai eigen dari matriks koefisien A. 2. Menentukan matriks P yang mendiagonalkan A. 3. Tulis sistem persamaan diferensial yang baru dalam

bentuk APPD 1−= dimana . DUU ='4. Tentukan solusi sistem persamaan diferensial . DUU ='5. Tentukan solusi X yang diperoleh dari sistem persamaan

PUX =

Page 17: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 131

Contoh 8.8 :

Tentukan solusi dari sistem persamaan diferensial

212

211 24

xxdtdx

xxdtdx

+=

−=

Jawab : Sistem persamaan diferensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

1124

''

xx

xx

Tulis

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1124

A

maka det(λI – A) = 0

011

24=

−−−

λλ

(λ– 4) (λ–1) – (–1)(2) = 0 – 5λ + 4 + 2 = 0 λ2

– 5λ + 6 = 0 λ2

(λ– 3) (λ–2) = 0 Nilai eigen dari A adalah λ = 2 dan λ = 3.

Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ =

3 adalah ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛12

Basis ruang eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ =

2 adalah ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛11

Dengan demikian diperoleh matriks :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1112

P

Page 18: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

132 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

yang mendiagonalkan A, sehingga diperoleh :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

20031APPD

sehingga diperoleh sistem persamaan diferensial yang baru yaitu :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

2

1

2

1

2003

''

uu

uu

dengan solusi dan . tecu 311 =

tecu 222 =

Dengan demikian solusi dari sistem persamaan diferensial kita adalah :

PUX = atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛t

t

ecec

xx

22

31

2

1

1112

atau tt ececx 2

23

11 2 += tt ececx 2

23

12 += Contoh 8.9 :

Tentukan solusi dari masalah nilai awal : ( ) )(2 tqtp

dtdp

+=

( ) )(2 tqtpdtdq

+=

( ) 30 =qdengan kondisi awal dan . ( ) 10 =p Jawab :

Kita punya ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2112

A

Karena

Page 19: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 133

( )AI −.λ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2112

00λ

λ

( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

=21

12λ

λ

Maka { } 0=− AI.det λ

( )( )21

120

−−−−

λ ⇔

( )( ) 1220 −−−= λλ ⇔

( ) 1440 2 −+−= λλ ⇔

⇔ 340 2 +−= λλ( )( )310 −−= λλ ⇔

Akhirnya diperoleh

3 ; 1 == λλ 1=λ Untuk

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−−

−0011

~1111

~. AIλ

txxx

xx

=−=

=+

2

21

21 0

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan 1=λ adalah vektor tak nol yang berbentuk

, txx

11

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

dimana t merupakan parameter. 1=λJadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan

adalah ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

11

1P

Page 20: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

134 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

3=λ Untuk

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−

0011

~1111

~. AIλ

txxxxx

==

=−

2

21

21 0

Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan 3=λ adalah vektor tak nol yang berbentuk

, txx

11

2

1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

dimana t merupakan parameter 3=λJadi basis ruang eigen yang bersesuaian dengan

adalah ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

11

2P

Sehingga Solusi Umum dari sstem persamaan diferensial U’ = D U adalah

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= t

t

eeU 3

Dengan demikian solusi dari sistem persamaan diferensial kita adalah :

PUX =atau

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛t

t

ecec

xx

32

1

2

1

1111

sehingga tt ececx 3

211 +−= tt ececx 3

212 += 0=tUntuk

Page 21: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 135

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

21

21

31

CCCC

2 ; 1 21 == CCDengan Eliminasi didapat Jadi solusi masalah nilai awal tersebut adalah :

tt eetp −= 32)( tt eetq += 32)(

Page 22: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

136 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen Latihan Bab 8

1. Tentukan basis ruang eigen dari A = ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

301020301

2. Apakah B = dapat didiagonalkan, jelaskan! ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

110110000

3. Misal . Apakah A dapat didiagonalkan ? ⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

−=

144010023

A

(jelaskan) Jika YA, tentukan matriks pendiagonal (P) dan matriks

diagonal (D)

4. Suatu Matriks A2x2 memiliki Basis Ruang Eigen yang

secara berturutan bersesuaian dengan

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛31

λ = – 3 dan

bersesuian dengan λ = 1. Tentukan matriks A

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−21

5. Suatu operator linear di didefinisikan oleh 3ℜ

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

++=

⎥⎥⎥

⎢⎢⎢

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

cbcb

cba

T2

0

Page 23: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

Aljabar Linear Elementer – Adiwijaya 137

Jika A merupakan matriks transformasi dari operator linear

tersebut dan α adalah nilai eigen dari A. Tentukan basis

kernel dari transformasi yang didefinisikan oleh matriks

transformasi (αI – A ) untuk setiap α 2

6. Tentukan solusi dari masalah nilai awal :

)(2)(

)()(2

tqtpdtdq

tqtpdtdp

+=

+=

dan . dengan kondisi awal 1)0( =p 3)0( =q

7. Misalkan aliran TCP yang melewati suatu router didefinisikan oleh :

)(10)(14 tqtwdtdw

+−=

)()(5 tqtwdtdq

+−=

dimana w = rata-rata ukuran window TCP (paket) dan q = rata-rata panjang antrian pada bottleneck router (paket). Jika pada saat t = 0, ukuran window TCP yang dikirim adalah 60 paket dan panjang antrian pada bottleneck router adalah 100 paket. Tentukan rata-rata panjang antrian pada bottleneck router untuk setiap waktu (t)

Page 24: RUANG EIGEN - bobo.staff.mipa.uns.ac.idbobo.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/09/BAB-VIII.pdf · Dengan mengingat kembali pembahasan tentang SPL homogen, maka SPL (8.2) akan mempunyai

138 Bab 8 ● Nilai dan Vektor Eigen

DAFTAR PUSTAKA

[1] Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear Algebra :

Applications Version, 6th edition, John Willey and Sons, New

York

[2] Arifin, A., 2001, Aljabar Linear, edisi kedua, Penerbit ITB,

Bandung

[3] Durbin, J. R., 1992, Modern Algebra : An Introduction, 3rd

edition, John Willey and Sons, Singapore

[4] Kreyszig E.,, Advanced Enginereeng Mathematics, 8th edition,

John Willey & Sons, Toronto, 1993

[5] Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, terjemahan

Penerbit Erlangga, Jakarta ,

[6] Roman, S., 1992, Edvanced Linear Algebra, Springer Verlag,

New York