(2) SPL [Compatibility Mode]

130 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB

1

2.3.2 METODE INVERS SEBAGIAN

2.1 PENDAHULUAN

2.2.3 METODE GAUSS SEIDEL

2.2.1 METODE ELIMINASI GAUSS2.2.2 METODE GAUSS JORDAN

2.2 METODE PENYELESAIAN

2.3 INVERS MATRIK2.3.1 APLIKASI GAUSS JORDAN

II. SISTEM PERSAMAAN LINIER


2

1313212111 bxaxaxa

2323222121 bxaxaxa

3333232131 bxaxaxa

Akar Persamaan:Adalah pasangan bilangan berurutan (x1,x2,x3)

yang memenuhi SPL itu.

Adalah titik potong/pertemuan ketiga bidang datar(untuk tiga variabel).

2.1 PENDAHULUAN


Bentuk Matrik:

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

xxx

aaaaaaaaa

Untuk mencari akar secara numerik, persamaan dinyatakan sebagai:

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaa

22.2 METODE PENYELESAIAN


4

SPL dapat diselesaikan dengan menggunakan metode-metode dibawah ini:

Eliminasi GaussGauss Jordan Iterasi Gauss Seidel


2.2.1. METODE ELIMINASI GAUSS

Carilah akar persamaan

0x1 + 5x2 = - 5 (3)

6x1 + 9x2 = 33x(1):

2x1 + 3x2 = 1 (1)3x1 + 2x2 = 4 (2)

2x(2): 6x1 + 4x2 = 8

5


0x1 + 5x2 = - 5 (3)

2x1 + 3x2 = 1 (1)

Dari pers. (3) dapat diketahui bahwa x2 = -1, sedangkan nilai x1 dicari menggunakan persamaan (1), yaitu,

x1 = (1 3x2) = (1+3) = 2

Langkah/proses menjadikan koefisien x1 sama dengan noldisebut proses eliminasi, sedangkan langkah untuk mendapatkan nilai x1 disebut proses substitusi balik.

6Eliminasi Gauss


3 persamaan:

4 3 1 132 4 3 193 1 1 8

Untuk sistem persamaan yang terdiri dari 3 persamaan:

x1 dlm pers. (2) dan (3) dieliminasi.

x2 dlm pers. (3) dieliminasi.

7Eliminasi Gauss


Proses Eliminasi:

1. Semua elemen dalam baris pertama dibagi dengan 4sehingga menjadi,

1 0,75 0,25 3,252. Baris kedua dikurangi dengan 2kali baris pertama hasil

(1)

2 1,5 0,5 6,5

0 2,5 2,5 12,5

2 4 3 19

I. Eliminasi x1

8Eliminasi Gauss


9

3. Baris ketiga dikurangi dengan 3kali baris pertama hasil(1)

3 2,25 0,75 9,75

0 -1,25 0,25 -1,75

3 1 1 8

Ketiga langkah ini merubah matrik menjadi,

75,125,025,105,125,25,20

25,325,075,01

Eliminasi Gauss


10

II. Eliminasi x2

1. Baris kedua matrik (baru) dibagi dengan 2,5 sehinggamenjadi,

2. Baris ketiga dikurangi -1,25 kali baris kedua hasil (1)

0 1 1 5

0 -1,25 -1,25 -6,250 -1,25 0,25 -1,75

0 0 1,50 4,50

Eliminasi Gauss


Kedua langkah ini merubah matrik menjadi,

50,450,100511025,325,075,01

Selanjutnya, jika baris ketiga dibagi dengan 1,5 didapat

3100511025,325,075,01

11Eliminasi Gauss


12

SUBSTITUSI BALIK

x2 = 5 x3 = 5 3 = 2

x1 = 3,25 (0,75x2 + 0,25x3) = 1

x3 = 3

0 1 1 5

0 0 1 3

1 0.75 0.25 3.25


13

Rumus Umum Substitusi Balik:

)n(n

)n)(n(n)n(

)n(n

)n(n

aaa

..

aaaa...a

1

111

122

11112

10000010000

101

)n(nn ax 1

nn)n()n(nn xaax 1111

n

kjjkjnkk nkxaax

1)1( 1,...,1

akj=akj/bagi

Bagi=akk

j=j+1

k=1

j=k

?j


4 3 1 132 4 3 193 1 1 8

Dapatkan akar persamaan linier berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan

Penyelesaian:

I. Proses penghapusan x1 dalam eliminasi gauss, didapat

75,125,025,105,125,25,20

25,325,075,01

16Gauss Jordan


17

II. Eliminasi x2 dalam baris ke 1 dan ke 3

1. Baris kedua matrik (baru) dibagi dengan 2,5 sehinggamenjadi,

0 1 1 5

2. Baris pertama dikurangi 0,75 kali baris kedua hasil (1)

0 0,75 0,75 3,751 0,75 0,25 3,25

1 0 -0,50 -0,50

Gauss Jordan


18

3. Baris ketiga dikurangi -1,25 kali baris kedua hasil (1)

0 -1,25 -1,25 -6,250 -1,25 0,25 -1,75

0 0 1,50 4,50

4.5000 1.5000 0 0 5.0000 1.0000 1.0000 0 0.5000- 0.5000- 0 1.0000

Ketiga proses ini mmenghasilkan matrik

Gauss Jordan


19

III. Eliminasi x3 dalam baris ke 1 dan ke 2

1. Baris ketiga dibagi dengan 1,5 sehingga menjadi,

2. Baris pertama dikurangi -0,50kali baris ketiga (hasil 1) 3. Baris kedua dikurangi baris ketiga (hasil 1)Menghasilkan matrik

01

00 10 0

1 023

1

Gauss Jordan


20

23

1Jadi Solusi persamaan ini adalah:

x2 =

x3 =

x1 =

01

00 10 0

1 023

1

Gauss Jordan


21

1313212111 bxaxaxa

2323222121 bxaxaxa

3333232131 bxaxaxa (3)

(2)

(1)

2.2.3 METODE ITERASI GAUSS SEIDEL


22

313212111

11 xaxab

ax (1):

323121222

21 xaxab

ax (2):

(3):

232131333

31 xaxab

ax

Iterasi Gauss Seidel


23

232131333

31 xaxab

ax

x2 = x3 = 0

11

11 a

bx

121222

21 xab

ax

Iterasi 0:



232131333

31 xaxab

ax

121222

21 xab

ax

Iterasi 1:

313212111

11 xaxab

ax

323121222

21 xaxab

ax

232131333

31 xaxab

ax

24


25

313212111

11 xaxab

ax

323121222

21 xaxab

ax

232131333

31 xaxab

ax

Rumus Umum Metode Iterasi Gauss-Seidel:



26

kkkkkj

jk jkkk

k cbaxab

ax

11

ck adalah hasil kali semua elemen pada baris k matrik A dengan vektor kolom x, dengan xk = 0



27

13 34 321 xxx 19342 321 xxx

8 3 321 xxx

Contoh Penyelesaian SPL dengan Iterasi Gauss-Seidel


10

321 831 xxx

312 41331 xxx

213 421931 xxx Iter

0 02,6667 0,7778 3,51851,2346 1,5144 3,4911

0,9982 1,8387 3,21620,9817 1,9524 3,07570,9906 1,9872 3,02330,9965 1,9969 3,00640,9989 1,9993 3,00160,9997 1,9999 3,00040,9999 2,00001,0000 2,0000

3,00003,0000

2

01

345678910


28


29

2.3.1. Menginvers matrik dengan aplikasi Gauss Jordan

I

A I BHubungan antara matrik A dengan matrik B adalah:

B = A-1

2.3. INVERS MATRIK


30

Contoh menginvers matrik dengan metode Gauss-Jordan.

Dapatkan invers matrik A berikut

113342134

aA

Invers Matrik

11


31

Penyelesaian:

Sisi kanan matrik A ditambah matrik satuan

100113010342001134

Invers Matrik


32

1. Semua elemen dalam baris pertama dibagi dengan 4

3. Baris ketiga dikurangi dengan 3kali baris pertama hasil(1)

2. Baris kedua dikurangi dengan 2kali baris pertama hasil(1)

1.0000 0.7500 0.2500 0.2500 0 00 2.5000 2.5000 -0.5000 1.0000 00 -1.2500 0.2500 -0.7500 0 1.0000

Menghasilkan

Invers Matrik


33

1. Semua elemen dalam baris kedua dibagi dengan 2,5

3. Baris ketiga dikurangi -1,25kali baris kedua

2. Baris pertama dikurangi 0,75kali baris kedua

Menghasilkan

1.0000 0 -0.5000 0.4000 -0.3000 00 1.0000 1.0000 -0.2000 0.4000 00 0 1.5000 -1.0000 0.5000 1.0000

Invers Matrik

12


34

1. Semua elemen dalam baris ketiga dibagi dengan 1,5

3. Baris kedua dikurangi baris ketiga

2. Baris pertama dikurangi -0,50kali baris ketiga

Menghasilkan

1.0000 0 0 0.0667 -0.1333 0.33330 1.0000 0 0.4667 0.0667 -0.66670 0 1.0000 -0.6667 0.3333 0.6667

Invers Matrik


35

Invers matrik A adalah elemen kolom ke 4, 5, dan 6 semua baris. yaitu

0.0667 -0.1333 0.33330.4667 0.0667 -0.6667

-0.6667 0.3333 0.6667

Invers Matrik


36

3. Posisi x3 ditukardengan b3



b2b3

x1=x2

x3

b1

A

x2b3

x1=b2

x3

b1

A

b2b3

b1=x2

x3

x1

A

x2x3

x1=b2

b3

b1

A

Pertukaran xidengan bi me-

nyebabkan terjadiPerub. pada matrik koefisien dan diper

oleh hubungan: 1 AA

2.3.2. Metode Invers Sebagian (Partial Inversion)

13


37

Proses pertukaran:

2323222121 bxaxaxa (2)

3333232131 bxaxaxa (3)

(1):

1313212111 bxaxaxa (1)

311

132

11

12

11

11 xa

axaa

abx (1b)

Invers Matrik


38

Substitusi (1b) kedalam (2):

2323222311

132

11

12

11

121 bxaxaxa

axaa

aba

232111

1323221

11

12221

11

21 bxaaaaxa

aaab

aa

(2b)

Atau,

Invers Matrik


39Substitusi (1b) kedalam (3):

3333232311

132

11

12

11

131 bxaxaxa

axaa

aba

(3b)

333111

1333231

11

12321

11

31 bxaaaaxa

aaab

aa

Persamaan-persamaan (1b), (2b) dan (3b) ditulis dalam bentuk matrik

Invers Matrik

14


40

3

2

1

3

2

1

3111

133331

11

1232

11

31

2111

132321

11

1222

11

21

11

13

11

12

11

1

bbx

xxb

aaaaa

aaa

aa

aaaaa

aaa

aa

aa

aa

a

Invers Matrik

30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 41

Terjadi pertukaran posisi antara x1 dengan b1

Secara sederhana dapat ditulis sebagai

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

bbx

xxb

aaaaaaaaa

A

Invers Matrik


42

LANGKAH-LANGKAH MENUKAR POSISI xKDENGAN bK1. Ganti elemen akk (diagonal pertama k = 1) dengan

kebalikannya,

kkkk a

a 1

2. Semua elemen kolom ke k, tetapi bukan pada baris ke kdiganti dengan:

kkikk aaa i

Invers Matrik

15


43

3. Semua elemen bukan baris k dan bukan kolom k digantidengan:

kjixaik ,aaa kjijij4. Elemen baris k tetapi bukan kolom k diganti dengan,

kjaxaa kkkjkj

Keempat langkah ini diulangi untuk nilai-nilai k = 2 dan k = 3 berturut-turut untuk menukar x2 dengan b2 dan x3 dengan b3

Invers Matrik


44

Contoh menginvers matrik dengan metode Invers Sebagian.

Dapatkan invers matrik A berikut

113342134

aA

Invers Matrik

(2) SPL [Compatibility Mode]

Documents

Transcript of (2) SPL [Compatibility Mode]