130 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
1
2.3.2 METODE INVERS SEBAGIAN
2.1 PENDAHULUAN
2.2.3 METODE GAUSS SEIDEL
2.2.1 METODE ELIMINASI GAUSS2.2.2 METODE GAUSS JORDAN
2.2 METODE PENYELESAIAN
2.3 INVERS MATRIK2.3.1 APLIKASI GAUSS JORDAN
II. SISTEM PERSAMAAN LINIER
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
2
1313212111 bxaxaxa
2323222121 bxaxaxa
3333232131 bxaxaxa
Akar Persamaan:Adalah pasangan bilangan berurutan (x1,x2,x3)
yang memenuhi SPL itu.
Adalah titik potong/pertemuan ketiga bidang datar(untuk tiga variabel).
2.1 PENDAHULUAN
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
Bentuk Matrik:
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
bbb
xxx
aaaaaaaaa
Untuk mencari akar secara numerik, persamaan dinyatakan sebagai:
34333231
24232221
14131211
aaaaaaaaaaaa
22.2 METODE PENYELESAIAN
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
4
SPL dapat diselesaikan dengan menggunakan metode-metode dibawah ini:
Eliminasi GaussGauss Jordan Iterasi Gauss Seidel
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
2.2.1. METODE ELIMINASI GAUSS
Carilah akar persamaan
0x1 + 5x2 = - 5 (3)
6x1 + 9x2 = 33x(1):
2x1 + 3x2 = 1 (1)3x1 + 2x2 = 4 (2)
2x(2): 6x1 + 4x2 = 8
5
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
0x1 + 5x2 = - 5 (3)
2x1 + 3x2 = 1 (1)
Dari pers. (3) dapat diketahui bahwa x2 = -1, sedangkan nilai x1 dicari menggunakan persamaan (1), yaitu,
x1 = (1 3x2) = (1+3) = 2
Langkah/proses menjadikan koefisien x1 sama dengan noldisebut proses eliminasi, sedangkan langkah untuk mendapatkan nilai x1 disebut proses substitusi balik.
6Eliminasi Gauss
330 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
3 persamaan:
4 3 1 132 4 3 193 1 1 8
Untuk sistem persamaan yang terdiri dari 3 persamaan:
x1 dlm pers. (2) dan (3) dieliminasi.
x2 dlm pers. (3) dieliminasi.
7Eliminasi Gauss
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
Proses Eliminasi:
1. Semua elemen dalam baris pertama dibagi dengan 4sehingga menjadi,
1 0,75 0,25 3,252. Baris kedua dikurangi dengan 2kali baris pertama hasil
(1)
2 1,5 0,5 6,5
0 2,5 2,5 12,5
2 4 3 19
I. Eliminasi x1
8Eliminasi Gauss
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
9
3. Baris ketiga dikurangi dengan 3kali baris pertama hasil(1)
3 2,25 0,75 9,75
0 -1,25 0,25 -1,75
3 1 1 8
Ketiga langkah ini merubah matrik menjadi,
75,125,025,105,125,25,20
25,325,075,01
Eliminasi Gauss
430 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
10
II. Eliminasi x2
1. Baris kedua matrik (baru) dibagi dengan 2,5 sehinggamenjadi,
2. Baris ketiga dikurangi -1,25 kali baris kedua hasil (1)
0 1 1 5
0 -1,25 -1,25 -6,250 -1,25 0,25 -1,75
0 0 1,50 4,50
Eliminasi Gauss
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
Kedua langkah ini merubah matrik menjadi,
50,450,100511025,325,075,01
Selanjutnya, jika baris ketiga dibagi dengan 1,5 didapat
3100511025,325,075,01
11Eliminasi Gauss
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
12
SUBSTITUSI BALIK
x2 = 5 x3 = 5 3 = 2
x1 = 3,25 (0,75x2 + 0,25x3) = 1
x3 = 3
0 1 1 5
0 0 1 3
1 0.75 0.25 3.25
530 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
13
Rumus Umum Substitusi Balik:
)n(n
)n)(n(n)n(
)n(n
)n(n
aaa
..
aaaa...a
1
111
122
11112
10000010000
101
)n(nn ax 1
nn)n()n(nn xaax 1111
n
kjjkjnkk nkxaax
1)1( 1,...,1
akj=akj/bagi
Bagi=akk
j=j+1
k=1
j=k
?j
630 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
4 3 1 132 4 3 193 1 1 8
Dapatkan akar persamaan linier berikut dengan metode eliminasi Gauss-Jordan
Penyelesaian:
I. Proses penghapusan x1 dalam eliminasi gauss, didapat
75,125,025,105,125,25,20
25,325,075,01
16Gauss Jordan
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
17
II. Eliminasi x2 dalam baris ke 1 dan ke 3
1. Baris kedua matrik (baru) dibagi dengan 2,5 sehinggamenjadi,
0 1 1 5
2. Baris pertama dikurangi 0,75 kali baris kedua hasil (1)
0 0,75 0,75 3,751 0,75 0,25 3,25
1 0 -0,50 -0,50
Gauss Jordan
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
18
3. Baris ketiga dikurangi -1,25 kali baris kedua hasil (1)
0 -1,25 -1,25 -6,250 -1,25 0,25 -1,75
0 0 1,50 4,50
4.5000 1.5000 0 0 5.0000 1.0000 1.0000 0 0.5000- 0.5000- 0 1.0000
Ketiga proses ini mmenghasilkan matrik
Gauss Jordan
730 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
19
III. Eliminasi x3 dalam baris ke 1 dan ke 2
1. Baris ketiga dibagi dengan 1,5 sehingga menjadi,
2. Baris pertama dikurangi -0,50kali baris ketiga (hasil 1) 3. Baris kedua dikurangi baris ketiga (hasil 1)Menghasilkan matrik
01
00 10 0
1 023
1
Gauss Jordan
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
20
23
1Jadi Solusi persamaan ini adalah:
x2 =
x3 =
x1 =
01
00 10 0
1 023
1
Gauss Jordan
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
21
1313212111 bxaxaxa
2323222121 bxaxaxa
3333232131 bxaxaxa (3)
(2)
(1)
2.2.3 METODE ITERASI GAUSS SEIDEL
830 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
22
313212111
11 xaxab
ax (1):
323121222
21 xaxab
ax (2):
(3):
232131333
31 xaxab
ax
Iterasi Gauss Seidel
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
23
232131333
31 xaxab
ax
x2 = x3 = 0
11
11 a
bx
121222
21 xab
ax
Iterasi 0:
Iterasi Gauss Seidel
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
232131333
31 xaxab
ax
121222
21 xab
ax
Iterasi 1:
313212111
11 xaxab
ax
323121222
21 xaxab
ax
232131333
31 xaxab
ax
24
930 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
25
313212111
11 xaxab
ax
323121222
21 xaxab
ax
232131333
31 xaxab
ax
Rumus Umum Metode Iterasi Gauss-Seidel:
Iterasi Gauss Seidel
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
26
kkkkkj
jk jkkk
k cbaxab
ax
11
ck adalah hasil kali semua elemen pada baris k matrik A dengan vektor kolom x, dengan xk = 0
Iterasi Gauss Seidel
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
27
13 34 321 xxx 19342 321 xxx
8 3 321 xxx
Contoh Penyelesaian SPL dengan Iterasi Gauss-Seidel
Iterasi Gauss Seidel
10
321 831 xxx
312 41331 xxx
213 421931 xxx Iter
0 02,6667 0,7778 3,51851,2346 1,5144 3,4911
0,9982 1,8387 3,21620,9817 1,9524 3,07570,9906 1,9872 3,02330,9965 1,9969 3,00640,9989 1,9993 3,00160,9997 1,9999 3,00040,9999 2,00001,0000 2,0000
3,00003,0000
2
01
345678910
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
28
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
29
2.3.1. Menginvers matrik dengan aplikasi Gauss Jordan
I
A I BHubungan antara matrik A dengan matrik B adalah:
B = A-1
2.3. INVERS MATRIK
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
30
Contoh menginvers matrik dengan metode Gauss-Jordan.
Dapatkan invers matrik A berikut
113342134
aA
Invers Matrik
11
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
31
Penyelesaian:
Sisi kanan matrik A ditambah matrik satuan
100113010342001134
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
32
1. Semua elemen dalam baris pertama dibagi dengan 4
3. Baris ketiga dikurangi dengan 3kali baris pertama hasil(1)
2. Baris kedua dikurangi dengan 2kali baris pertama hasil(1)
1.0000 0.7500 0.2500 0.2500 0 00 2.5000 2.5000 -0.5000 1.0000 00 -1.2500 0.2500 -0.7500 0 1.0000
Menghasilkan
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
33
1. Semua elemen dalam baris kedua dibagi dengan 2,5
3. Baris ketiga dikurangi -1,25kali baris kedua
2. Baris pertama dikurangi 0,75kali baris kedua
Menghasilkan
1.0000 0 -0.5000 0.4000 -0.3000 00 1.0000 1.0000 -0.2000 0.4000 00 0 1.5000 -1.0000 0.5000 1.0000
Invers Matrik
12
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
34
1. Semua elemen dalam baris ketiga dibagi dengan 1,5
3. Baris kedua dikurangi baris ketiga
2. Baris pertama dikurangi -0,50kali baris ketiga
Menghasilkan
1.0000 0 0 0.0667 -0.1333 0.33330 1.0000 0 0.4667 0.0667 -0.66670 0 1.0000 -0.6667 0.3333 0.6667
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
35
Invers matrik A adalah elemen kolom ke 4, 5, dan 6 semua baris. yaitu
0.0667 -0.1333 0.33330.4667 0.0667 -0.6667
-0.6667 0.3333 0.6667
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
36
3. Posisi x3 ditukardengan b3
1. Posisi x1 ditukardengan b1
2. Posisi x2 ditukardengan b2
b2b3
x1=x2
x3
b1
A
x2b3
x1=b2
x3
b1
A
b2b3
b1=x2
x3
x1
A
x2x3
x1=b2
b3
b1
A
Pertukaran xidengan bi me-
nyebabkan terjadiPerub. pada matrik koefisien dan diper
oleh hubungan: 1 AA
2.3.2. Metode Invers Sebagian (Partial Inversion)
13
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
37
Proses pertukaran:
2323222121 bxaxaxa (2)
3333232131 bxaxaxa (3)
(1):
1313212111 bxaxaxa (1)
311
132
11
12
11
11 xa
axaa
abx (1b)
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
38
Substitusi (1b) kedalam (2):
2323222311
132
11
12
11
121 bxaxaxa
axaa
aba
232111
1323221
11
12221
11
21 bxaaaaxa
aaab
aa
(2b)
Atau,
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
39Substitusi (1b) kedalam (3):
3333232311
132
11
12
11
131 bxaxaxa
axaa
aba
(3b)
333111
1333231
11
12321
11
31 bxaaaaxa
aaab
aa
Persamaan-persamaan (1b), (2b) dan (3b) ditulis dalam bentuk matrik
Invers Matrik
14
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
40
3
2
1
3
2
1
3111
133331
11
1232
11
31
2111
132321
11
1222
11
21
11
13
11
12
11
1
bbx
xxb
aaaaa
aaa
aa
aaaaa
aaa
aa
aa
aa
a
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB 41
Terjadi pertukaran posisi antara x1 dengan b1
Secara sederhana dapat ditulis sebagai
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
bbx
xxb
aaaaaaaaa
A
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
42
LANGKAH-LANGKAH MENUKAR POSISI xKDENGAN bK1. Ganti elemen akk (diagonal pertama k = 1) dengan
kebalikannya,
kkkk a
a 1
2. Semua elemen kolom ke k, tetapi bukan pada baris ke kdiganti dengan:
kkikk aaa i
Invers Matrik
15
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
43
3. Semua elemen bukan baris k dan bukan kolom k digantidengan:
kjixaik ,aaa kjijij4. Elemen baris k tetapi bukan kolom k diganti dengan,
kjaxaa kkkjkj
Keempat langkah ini diulangi untuk nilai-nilai k = 2 dan k = 3 berturut-turut untuk menukar x2 dengan b2 dan x3 dengan b3
Invers Matrik
30 October 2013Mahfudz S - Metode Numerik - TEUB
44
Contoh menginvers matrik dengan metode Invers Sebagian.
Dapatkan invers matrik A berikut
113342134
aA
Invers Matrik