BAB VII - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another ... · Web viewSetiap fungsi rasional , dengan...
Transcript of BAB VII - Dwipurnomoikipbu's Blog | Just another ... · Web viewSetiap fungsi rasional , dengan...
BAB VITRANSFORMASI LAPLACE
6.1 Transformasi Laplace Definisi Misalkan suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:
Karena adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga ( ) maka
Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya. TeoremaJika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0 N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s > Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.
No.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 127
1. 1
2. t
3. t
4. t n = 0,1,2,3,….
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi. Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:1.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 128
2.
3.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 129
4.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 130
5.
Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 131
Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah CUKUP untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.
6.2 Metode Transformasi LaplaceUntuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.
Metode ini berkaitan langsung dengan definisi
Contoh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 132
b. Metode Deret Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh
Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:
, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen
untuk s >
c. Metode Persamaan differensial Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.
d. Menurunkan terhadap parametere. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-
teorema yang ada.f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah
ditetapkan.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 133
6.3 Sifat-sifat Transformasi Laplace Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:a) Sifat linear
Jika c dan c adalah sebarang konstanta, sedangkan dan adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi
Laplace masing-masing dan , maka:
Bukti:
1.
2.
3.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 134
4.
Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungsí berikut.1. t2.3.
4.
5. 6.
b) Sifat translasi atau pergeseran pertamaJika Bukti
Karena , maka
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 135
Contoh:
1. Tentukan Menurut sifat 2 di atas, Maka
2. Tentukan
Menurut sifat 2 di atas,
Karena
3. Tentukan
Karena maka menurut sifat translasi pertama
4. TentukanMe6nurut sifat linear,
}
Karena
maka menurut sifat translasi
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 136
,
dan
sehingga
L{e
SoalTentukan transformasi Laplace fungsi 1)2)3)4)5)6)
c. Sifat translasi atau pergeseran keduaJika dan maka
Bukti
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 137
Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga
Contoh
Carilah jika
Menurut definisi transformasi Laplace
d. Sifat pengubahan skala
Jika maka
BuktiKarena
maka
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 138
Misal
Menurut definisi
Contoh:
1. Jika
maka
Soal:1. Hitunglah jika
2. Jika , carilah
3. Jika carilah
Jawab
Karena maka menurut sifat 4 diperoleh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 139
Sehingga
Berdasarkan sifat Jika maka (sifat 2)Maka
e. Transformasi Laplace dari turunan-turunanJika maka
Karena Karena , maka
Jika maka Bukti
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 140
Dengan cara yang sama diperoleh
Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika
maka
Contoh soalDengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa
Misal diperoleh
sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 141
Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh
f. Tansformasi Laplace dari integral-integral
Jika maka
Bukti:
Misal maka
Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:
Jadi diperoleh
Contoh
1. Carilah
Misal
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 142
Maka
Sehingga menurut sifat transformasi di atas
2. Buktikan
Bukti:
Misal
dan
Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian
Menurut teorema harga awal,
Sehingga diperoleh .
Jadi
3. Buktikan
Bukti:
Misal maka atau
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 143
Menurut teorema harga akhir, sehingga c = 0.
Jadi atau
g. Perkalian dengan t Jika maka Bukti.
Karena maka menurut aturan Leibnitz untuk
menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:
Jadi
Contoh1. Tentukan
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 144
, maka menurut sifat perkalian dari pangkat t
diperoleh
, sehingga
2. Tentukan
Menurut sifat di atas,
h. Sifat pembagian oleh t
Jika maka
Bukti:
Misal maka
Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk
atau
Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh
.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 145
Jadi
Soal-soal1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan
a.b.c.d.e.f.g.
2) Jika Carilah
3) Diketahui
1,
10,2)(
tttt
tF
a. carilah b. carilah c. apakah berlaku untuk kasus ini
4) Tunjukkan bahwa
5) Tunjukkan bahwa
6) Perlihatkan bahwa
a.
b.
7) Tunjukkan bahwa:
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 146
a.
b. Jika maka
6.4 Transformasi Laplace InversDefinisi Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika
maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis . disebut operator transformasi Laplace invers.Contoh.
1. Karena maka
2. Karena maka
3. Karena maka
Ketunggalan Transformasi Laplace InversMisal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.Contoh
dan
Mengakibatkan
Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 147
Teorema LerchJika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa
fungsi sederhana dibawah ini.
Nomor
f(s)
1. 1
2. t
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
6.5 Sifat-sifat transformasi Laplace InversBeberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:1) Sifat Linear
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 148
Misal dan adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan dan berturut-turut adalah transformasi Laplace dari
dan , maka:
Contoh
2) Sifat translasi atau pergeseran pertamaJika maka Contoh
maka
3) Sifat translasi atau pergeseran keduaJika maka
Contoh
maka
4) Sifat pengubahan skala
Jika maka
Contoh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 149
Karena maka diperoleh
5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan
Jika maka
Contoh
Karena dan maka diperoleh
6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunan
Jika maka
Contoh
Karena maka
diperoleh
7) Sifat perkalian dengan Jika maka Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika f(t) , sehingga
dengan adalah fungsi delta Dirac atau fungsi impuls satuan.Contoh
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 150
arena dan maka
8) Sifat pembagian dengan s
Jika maka
Jadi pembagian dengan s berakibat mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.Contoh
Karena maka diperoleh
9) Sifat konvolusiJika dan maka
F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.Contoh
Karena dan
maka diperoleh
6.6 Metode Transformasi Laplace Invers
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 151
Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain:1) Metode pecahan parsial
Setiap fungsi rasional , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat
banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya
dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai
bentuk
Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan
parcial maka dapat ditentukan
Konstanta A, B, C, …… dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.
Contoh
1. Tentukan
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 152
atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)–3A=16 sehingga didapat A = -2 dan B = 5
2. Tentukan
Jawab
Sehingga
Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1
Atau A = , B = , dan C =
Akhirnya diperoleh
2) Metode Deret
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 153
Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh
Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh
Contoh
Tentukan
Jawab
=
Sehingga
+ ...
3) Metode persamaan diferensial4) Turunan terhadap statu parameter5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema 6) Penggunaan tabel7) Rumus inversi kompleks
8) Rumus Penguraian Heaviside Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 154
Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda , , , ... ,
maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh
.....(1)
Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s- dan mengambil s dengan menggunakan aturan L’Hospital diperoleh
...
Sehingga (1) dapat ditulis sebagai
dengan demikian
9) Fungsi Beta
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 155
Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai
B(m,n) = a dan kita dapat memperlihatkan sifat-
sifat:
1.
2.
Soal-soal 1. Tentukan,
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 156
k.
l.
m.
2. Buktikan bahwa:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa
a.
b.
c.
d.
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 157
6.7 Penggunaan pada Persamaan Diferensial a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Misal ditentukan persamaan diferensial
atau dengan p,q adalah
konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y’(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.
Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar .
Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi.ContohTentukan selesaian persamaan diferencial berikut.1) dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-2 Jawab Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari
persamaan diferensial diperoleh
Menurut sifat (5) transformasi Laplace
, sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 158
=
=
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
Untuk pemeriksaan jawab di atas
dan Y(0) = 1, Y’(0)=-2
2) dengan Y(0) = -3 dan Y’(0)=5Jawab Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh
Menurut sifat (5) transformasi Laplace
, sehingga
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 159
Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers
b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk sehingga transformasi
Laplace diperoleh
Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace
Jika maka
Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikutTentukan selesaian persamaan diferensial 1) dengan Y(0) = 1 dan Y( )= 0
Jawab
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 160
Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
Diperoleh
Karena bila kita dapatkan , sehingga
Akhirnya didapat , hal ini memenuhi Y( =0
2) , dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 2Jawab Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:
s
ysyysys 1')'(22
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 161
ssyssy 12)1(' 2
Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:
Faktor integral persamaan di atas adal
Maka
Sehingga
Akhirnya diperoleh
Soal-soalTentukan selesaian persamaan diferensial berikut:1) dengan Y(0) = 0 dan Y’(0) = 12) dengan Y(0) = 1 dan Y’(0) = 23) dengan Y(0) = 5 dan Y( ) = 04) dengan Y(0) = 3 dan Y’(0) = 05) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=76) Y”-3Y’+2Y=4x+12e dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 162
c) Persamaan Diferensial Simultan d) Persamaan Diferensial Parsial
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 163
Soal-soalTentukan selesaian dari persamaan berikut:1) Y”+4Y = 9x dengan Y(0)=0 dan Y’(0)=72) Y”-3Y’+2Y=4x+12e dengan Y(0) = 0 dan Y’(0)=-1
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 164
8) Transformasi fungsi periodic9) Sifat f(s) bila s 10) Teorema harga awal 11) Teorema harga akhir12) Perluasan dari teorema harga awal13) Perluasan dari teorema harga akhir
Kalkulus Integral:Dwi Purnomo 165