Polinom dan

Bangun Geometris

Mononom

Mononom

Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kxn

Mononom Pangkat Dua: 2kxy

y = x2

y = 3x2y = 5x2y

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3 -2 -1 0 1 2 3x-100

-80

-60

-40

-20

0 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

210xy

22xy

Contoh:

y memiliki nilai maksimum

Karena x2 0,maka jika k > 0 y > 0 jika k < 0 y < 0

y memiliki nilai minimum

y1 = 10x2

y2 = 10(x2)2

y3 = 10(x2)2 + 30

Pergeseran kurva mononom pangkat dua

-5 -3 3 5x0

50

100

-1 1

y

Pergeseran ke arah sumbu-x positif

Pergeseran ke arah sumbu-y positif

Mononom Pangkat Genap pada umumnya

y2 = 2x4

y3 = 2x6

y1 = 2x2

0

1

2

3y

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5x

0

2

4

6

8

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = x6

y = 3x4

y = 6x2 y

x

Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai

kurva di sekitar titik puncak

Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Koordinat titik potong antara kurva

1223dan 2

236

3dan 6 :Kurva

4

242

42

yx

xxx

xyxy

813dan 3

33

3dan :Kurva

6

246

46

yx

xxx

xyxy

Contoh:

Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-y

Mononom Pangkat Ganjil

-3

-2

-1

0

1

2

3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

y = 2x y = 2x5

y = 2x3

y

x

Pangkat ganjil terendah: linier

Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka

berpotongan di titik P[1,k]

Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan

titik belok

Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

Mononom Pangkat Tiga

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

500

-2 -1 0 1

y

-5 -4 -3 2 3 4 5x

33xy 32xy

Mononom pangkat tiga

Simetris terhadap [0,0]

y = 10(x2)3

y = 10(x2)3 + 100

y = 10x3

-5 -3 3 5x

-600

-400

-200

0

200

400

600

-1 1

y

Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah

sumbu-x positif

Pergeseran ke arah sumbu-y positif

Polinom

Polinom Pangkat Dua cbxaxy 2

y1=2x2

y3=13

y2=15x

x-10

y

-150

0

150

0 10

13152 2 xxy

y1=2x2

y4 = 2x2+15x

y2=15xx = 15/2

y

-150

0

150

0 x-10 10

Kurva masing-masing komponen (mononom)

dari polinom:

Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: xxy 152 2

Perpotongan dengan sumbu-x

2

151520 2 xxx

y4 = 2x2+15x

15/2

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri

15/4

10

y4 = 2x2+15x

x

y

-150

0

150

-10 0

sumbu simetri y5 = 2x2+15x+13

10

Sumbu simetri dari xxy 152 2

memotong sumbu-x di: 4

15x

Penambahan komponen y3 = 13 memberikan:

13152 2 xxy

Koordinat titik puncak:

125,15134

1515

4

152

75,34/152

y

x

y = ax2 +bx +c

y = ax2

y

x0

0

Polinom Pangkat Dua secara umum

x2x1

Sumbu simetri:

a

bx

2

a

acb

a

bxa

ca

b

a

bxa

cxa

bxay

4

4

2

42

22

22

2

Pergeseran ke arah kiri sumbu-x

Pergeseran ke arah negatif sumbu-y

a

acb

4

42

Penjumlahan: y3 = y1 + y2

-2000

0

2000

-10 0 10x

y

y1

y2

20080194 233 xxxy

Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua

dcxbxaxy 23

Mononom pangkat tiga (y1)Dan

Polinom pangkat dua (y2)

-2000

0

2000

-10 0 10

y

x

y1 = 4x3

2008019 22 xxy

y3 memotong sumbu-x di 3 titik

Hal ini tidak selalu terjadiTergantung dari nilai koefisien y1

2000

-10 10

y2

y1

y3 = y1 + y2

-2000

Kasus: a kurang positifPenurunan kurva y1 di daerah x

negatif tidak terlalu tajam Kurva terlihat hanya memotong

sumbu-x di 2 titikTitik potong ke-3 jauh di sumbu-x

negatif

-2000

2000

-10 15

y1

y2

y3 = y1+y2

Kasus: a terlalu positif Penurunan y1 di daerah negatif

sangat tajamTak ada titik potong dengan sumbu

di daerah x negatifHanya ada satu titik potong di x

positif

31 axy

dcxbxaxy 23

31 axy

y3 = y1 + y2

y1

y2

-2000

0-10 0 15

2000

dcxbxaxy 23

y3 = y1 + y2

-2000

0

2000

-10 0 15

331 kxaxy

dcxbxy 22

a < 0Kurva y3 berpotongan dengan sumbu-x di tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

Jika a terlalu negatif kurva berpotongan dengan sumbu-x di satu tempat

• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-y;

• jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

• jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan y, kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu-x.

• jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan x dan y, kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

Simetri

Nilai Peubah

Dalam melihat bentuk-bentuk geometris hanya nilai-nyata dari y dan x yang kita perhatikan

Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks

Contoh: 122 xy

21 xy

Apabila |x| > 1, maka (1 - x2) < 0

11 y

Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x, maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

11 x

Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

Koordinat titik potong dengan sumbu-x dapat diperoleh dengan memberi nilai y = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-y diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai y ataupun x maka kurva tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

Contoh:

122 xy

Titik potong dengan sumbu-x adalah P[1,0] dan Q[1,0]. Titik potong dengan sumbu-y adalah R[0,1] dan S[0,1]

xy = 1

Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-x maupun sumbu-y

Asimptot

Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot

Contoh:

10)( 222 xxxy)1(

102

xx

xy

tidak boleh < 0 agar x(x1) > 0

haruslah x < 0 atau x > 1

Tidak ada bagian kurva yang berada antara x = 0 dan x = 1. Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva

-4

0

4

-4 0 4

y

x

Jarak Antara Dua Titik

Jika P[xp,yp) dan Q[xq,yq], maka

22 )()(PQ qpqp yyxx

Contoh:

-4

-2

2

4

6

8

-1 0 1 2 3 4x

y

0

[1,4]

[3,8]

20)48()13(PQ 22

Parabola Bentuk kurva 2kxy disebut parabola

[0,0]

y

x

y=kx2

P terletak pada kurva Q terletak di sumbu-yy = p garis sejajar sumbu-x R terletak pada garis y

ada suatu nilai k sedemikian rupa sehingga PQ = PR

Q disebut titik fokus parabola Garis y disebut direktrik

Titik puncak parabola berada di tengah antara titik fokus dan direktriknya

xppyy

xpy

xp

222

22

22

2

)(

)PR(PQ

py )(PR

pyxppyy 222 2p

xy

4

2

pk

4

1

kp

4

1

2

4

1x

py

P[x,y]

Q[0,p]

R[x,p]

Contoh:

Parabola 25,0 xy

dapat kita tuliskan

22

5,04

1

2

1xxy

Direktrik: 5,0 py

Titik fokus: Q[0,(0,5)]

Lingkaran

Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu

yang disebut titik pusat lingkaran

Jika titik pusat lingkaran adalah [0,0] dan jari-jari lingkaran adalah r

22 yxr 222 ryx

persamaan lingkaran berjari-jari r

berpusat di [0.0]

222 )()( rbyax Pergeseran titikpusat lingkaran sejauh a kearah sumbu-xdan sejauh b ke arah sumbu-y

Persamaan umum lingkaranberjari-jari r berpusat di (a,b)

-1

1

-1 1

0,5

0,5

[0,0] x

y

r = 1

122 yx

r

222 )5,0()5,0( ryx

Contoh:

Elips Elips adalah tempat kedudukan titik yang jumlah jarak terhadap dua titik tertentu adalah konstan

Dua titik tertentu tersebut merupakan dua titik fokus dari elips

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

y22)(XP ycx

22)(XQ ycx

aycxycx

a

2)()(

misalkan kita 2XQXP

2222

22)( ycxxa

ca

2222222 )()(44)( ycxycxaaycx

2222 )(2)( ycxaycx

22222

22 22 yccxxx

a

ccxa 1

22

2

2

2

ca

y

a

x

kwadratkan

kwadratkan

sederhanakan

22 2 2XQXP :PXQ segitiga di caca

12

2

2

2

b

y

a

x

222 cab

12

2

2

2

b

y

a

x

X[x,y]

P[-c, 0] Q[c, 0] x

y[a,0] [a,0]

[0,b]

[0,b]

sumbu panjang = 2a

sumbu pendek = 2b

Elips tergeser

1)()(

2

2

2

2

b

qy

a

px 122 aa

5,012 bb1

-1

0-1 0 1 2x

y

15,0

)25,0(

1

)5,0(2

2

2

2

yx

5,0p

25,0q

Hiperbola Hiperbola merupakan tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya antara dua titik tertentu adalah konstan

X(x,y)

P[-c,0] Q[c,0]

y

x

22)(XP ycx 22)(XQ ycx

aycxycx

XQXP

2)()( 2222

2222 )(2)( ycxaycx

22)()/( ycxaxac

122

2

2

2

ac

y

a

x

Dalam segitiga PXQ, selisih (XPXQ) < PQ

2c < 2a c2 a2 = b2

12

2

2

2

b

y

a

x

kwadratkan dan sederhanakan kwadratkan

persamaan hiperbola

12

2

2

2

b

y

a

x

+

X(x,y)

-c c

y

x

[-a,0] [a,0]

Kurva tidak memotong sumbu-y

Tidak ada bagian kurva yang terletak antara x = a dan x = a

222 acb

Kurva Berderajat Dua

Parabola, lingkaran, elips, dan hiperbola adalah bentuk-bentuk khusus kurva berderajat dua, atau kurva pangkat dua

Bentuk umum persamaan berderajat dua adalah

022 FEyDxCyBxyAx

Persamaan parabola: pEAFDCB 4 ;1 ;0

Lingkaran: ;1 ;1 ;0 CAEDB F = 1

Bentuk Ax2 dan Cy2 adalah bentuk-bentuk berderajat dua yang telah sering kita temui pada persamaan kurva yang telah kita bahas.

Namun bentuk Bxy yang juga merupakan bentuk berderajat dua, belum kita temui dan akan kita lihat berikut ini

Perputaran Sumbu Koordinat

Hiperbola dengan titik fokus tidak pada sumbu-x

aayaxayax 2)()()()( 2222

22 )()( ayaxayx

22 axy

Mempetukarkan x dengan y tidak mengubah persamaan ini. Kurva persamaan ini simetris terhadap garis y = x,

2222 )()(2)()( ayaxaayax

Kurva hiperbola ini memiliki sumbu simetri yang terputar 45o berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, dibandingkan dengan sumbu simetri hiperbola sebelumnya, yaitu sumbu-x. -5

0

5

-5 0 x

y

P[-a,-a]

Q[a,a]

y

x

X[x,y]

CourseWare

Polinom dan Bangun GeometrisSudaryatno Sudirham