26

B.3. Aliran mantap satu arah pada akuifer tak tertekan di atas lapisan

impermeable dengan pengisian

Aliran air tanah pada akuifer tak tertekan akan berubah tidak hanya melalui

pengisian kembali oleh air hujan P tetapi juga karena adanya perkolasi

melalui lapisan semipermeabel. Jika koefisien transmisibilitas dianggap kha

dan tinggi muka air tetap dan seragam maka persamaan aliran menjadi:

Darcy : dr

dhkhrQ a 2

Kontinyuitas :

c

hPr

dr

dQ2

Digabung : 01

2

2

ckh

P

ckh

n

dr

dh

rdr

hd

a

c

a

Dengan penyelesaian umumnya adalah :

cP

rKC

rICh

0201

rK

rC

rI

rCkhQ

12112

dengan ckha

Konstanta integrasi dalam persamaan tersebut harus ditentukan dari syarat

batas. Untuk akuifer dengan jarak tak hingga diberikan gambar berikut :

r

s

H Q

Q0

P

2 r0 h

Permukaan tanah

Permukaan air sebelum pemompaan

Permukaan air setelah pemompaan

Permukaan air artesis konstan

Garis datum

Lapisan semi permeable dengan

tahanan c terhadap aliran vertikal

27

Untuk gambar di atas diberikan batas sebagai berikut:

0 , ,

1 CHhr

akh

QCQQrr

2 , , 0

200

jika disubstitusikan dengan persamaan di atas menjadi :

rK

kh

QPh

ac 0

0

2 dan

rK

rQQ

10

Penurunan muka air menjadi : hHs

Setara dengan :

rK

kh

Qs

a0

0

2

Untuk nilai

r kecil dapat disederhanakan :

rkh

Qs

a

123.1ln

2

0

Selisih penurunan muka air untuk 2 titik sejarak r1 dan r2 dari sumur

menjadi:

1

20

21ln

2 r

r

kh

Qss

a

Untuk sumur yang berada di tengah-tengah pulau yang berbentuk lingkaran

(gambar di bawah ini) maka syarat batasnya adalah :

cP

LKC

LICHhLr

0201 ,

0

120

11

000 2 ,r

KCr

IC

khrQQrr a

28

Dengan = H dan untuk nilai x kecil,

1)( ,02

)(1

2

1

x

xxxK

xxxI ,

2

01

akh

QC

LI

cP

LI

LK

kh

QC

a00

00

12

setelah disubstitusikan menjadi :

HPr

IL

I

PrK

rI

LI

LK

kh

Qh c

c

a

0

0

00

0

00

2

Sebelum pemompaan, Q0=0 dan elevasi muka air h’ adalah:

HPr

IL

I

Ph c

c

0

0

'

Penurunan muka air hhs ' , menjadi:

rK

rI

LI

LK

kh

Qs

a00

0

00

2

r

L

H h

Q0

2 r0

Q1

h’

s

Garis datum

29

pada saat tahanan c pada lapisan semipermeabel menjadi lebih besar,

r kecil

di seluruh area, maka : 1 ,123.1

ln 00

rI

r

rK

disubstitusikan menjadi :

r

L

kh

Qs

rLkh

Qs

aa

ln2

atau 123.1

ln123.1

ln2

00

Contoh:

Sebuah akuifer tak tertekan jarak tak hingga yang memiliki koefisien

transmisibiltas T=15.10-3m2/det berada di atas lapisan semi permeabel dengan

tahanan c=25.106 detik. Di bawah lapisan tersebut terdapat akuifer artesis

dengan muka air seragam dan konstan. Air tanah dipompa dari sumur yang

berada di titik tengah daerah tangkapan yang berbentuk lingkaran dengan

jari-jari 500 m, dengan debit 0.045 m3/det. Berapakah pengisian kembali

(recovery), jika diketahui hujan sejumlah 9.10-9 m/det?

Air yang dipompa dari sumur dapat dibagi menjadi 3 :

Q1 dari luar daerah tangkapan

Q2 dari air hujan dalam daerah tangkapan

Q3 dari akuifer artesis melalui perkolasi dalam daerah tangkapan

rK

rQQ

10 dengan ckha ,

sehingga m 612610.25310.15

x

00101 681.0833.0818.0612

500

612

500QQKQQ

03392

2 0.157Q/detm 101.710.9500 xxQ

00002103 162.0157.0681.0 QQQQQQQQ

30

B.4. Aliran mantap satu arah pada akuifer tak tertekan di atas lapisan

semipermeable dan pada akuifer artesis di bawah lapisan

semipermeable

Hukum Darcy : dr

dhHrkQ 111 2

dr

dHrkQ

222 2

Kontinyuitas :

c

hPr

dr

dQ21

c

hr

dr

dQ 22

Digabung : 1111

2

2 1

Hk

P

cHk

h

dr

dh

rdr

hd

atau 01

222

2

cHk

h

dr

d

rdr

d

1122

2 1

Hk

Ph

dr

hd

rdr

hd

112

2 1

Hk

P

dr

hd

rdr

hd

Q01

Q02

Q1

Garis datum

P

Q2

Lapisan impermeabel

Lapisan semi-permeabel, tahanan c1

Permukaan

tanah

Akuifer tak tertekan, T= k1H1

Akuifer tertekan, T= k2H2

r

Permukaan air preatik

Permukaan air artesis

h’

31

dimana : 22

11

Hk

Hk dan

cHkcHk 22112

111

Persamaan ini mempunyai penyelesaian umum :

11

2

0201Hk

PrKA

rIAh

dan 4

2

113

4ln Ar

Hk

PrAh

memberikan nilai h dan :

42

2

22

21

3020114

ln CPcrPc

rCr

KCr

ICh

42

2

22

21

3020114

ln CPcrPc

rCr

KCr

IC

dimana :

1dan , ,

212

22

1122

2211

21

Hk

HkcHkcHk

C. Aliran Tak Mantap Tertekan pada Sumur Tunggal

C.1. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Artesis tanpa Pengisian

Jika p adalah ruang pada unit area pada gambar di atas, maka massa air

yang terkandung dalam elemen p tersebut adalah :

pHM ww dan massa tanah adalah : HpM gg 1

dimana w dan g adalah rapat massa air dan rapat massa butiran tanah.

r

t=t2 t=t1

2 r0 H

s

Q

Lapisan impermeabel

Q0

Lapisan impermeabel

Permukaan air artesis

t=0

Unit area

Akuifer tertekan tanpa pengisian

32

Dengan penurunan s yang meningkat oleh sejumlah ds, massa air dalam

elemen akan berubah menjadi :

ds

dHp

ds

dpH

ds

dpH

ds

dMww

ww

, sementara massa butiran tanah adalah :

ds

dHp

ds

dpH

ds

dHp

ds

dMgg

gg 110

atau

ds

dHp

ds

dpH

ds

dHp ww

g

g

w 110

Kedua persamaan di atas memberikan :

ds

dH

ds

dHp

ds

dpH

ds

dMw

g

g

www

1

Dalam mekanika tanah diketahui jumlah tekanan air dan tekanan butiran

tanah adalah:

gws

pemompaan akan menurunkan tekanan air menjadi gdsd ww

tetapi jika tanah tetap jenuh, hal itu tidak menurunkan tekanan tanah ,0wd gdsdd wwg

menurut teori elastisitas, ,w

www

K

dd

,

w

ggg

K

dd

E

dHdH

g

dimana E adalah modulus elastisitas tanah, Kw dan Kg masing-masing adalah

modulus pemadatan (modulus of compression) air dan butiran tanah. Substitusi

dengan persamaan di atas menghasilkan :

EK

p

K

pgH

ds

dM

gww

w 112

Volume air yang dibebaskan dari elemen dalam unit area tersebut adalah :

EK

p

K

pgH

ds

dV

gww

w 11

dengan adalah konstanta akuifer yang ditinjau.

Dengan perhitungan pengisian di atas, persamaan aliran menjadi:

33

Hukum Darcy : r

srkHQ

2

Kontinyuitas : , 2t

VdrrQ w

dengan

t

s

t

s

ds

dV

t

V ww

Sehingga menjadi t

sr

r

Q

2

Digabung : 01

2

2

t

s

kHr

s

rr

s

Untuk syarat batas 0Q ,dan ,QQ , 00 rrr , persamaan diferensial di

atas memiliki penyelesaian (Theis, Trans. Am. Geophysical Union, 1935) :

20

4uW

kH

Qs

dimana 2uW dinamakan integral logaritmik dan parameter u2 dinyatakan dengan :

t

r

kHu

22

4

sehingga

t

r

kHu

2

1

dengan r adalah jarak antara titik pengamatan dan titik tengah sumur, dan t adalah

waktu sejak pemompaan.

Untuk nilai u2 kecil, di dekat dinding permukaan sumur setelah waktu tertentu

terlampaui, nilai 2uW dapat didekati sebagai uu

uW75.0

ln2562.0

ln2

2

Sedangkan penurunan muka air dinyatakan sebagai :

ukH

Q

ukH

Qs

75.0ln

2

562.0ln

4

0

2

0

selisih penurunan muka air pada 2 titik sejarak r1 dan r2 dari sumur adalah :

2

0

1

021

75.0ln

2

75.0ln

2 ukH

Q

ukH

Qss

atau

1

20

1

2021 ln

2ln

2 r

r

kH

Q

u

u

kH

Qss

Untuk kasus pada gambar berikut, penurunan muka air pada dinding sumur diberikan

sebagai :

Lrrr uWuWkh

Qs 2

2200 04

dan penurunan tetap-mantap 0

0 2ln

2 r

L

kH

Qs

penurunan tetap-mantap ini dapat dicapai setelah periode waktu yang sangat singkat.

34

Contoh:

Diketahui pada gambar di atas, T = 0.2x10-3

m/det, debit pemompaan Q0 = 0.015

m3/det, jari-jari sumur r = 0.25 m dan jarak dari sungai L = 250 m. Maka penurunan

tetap-mantap pada dinding sumur adalah:

m 65.125.0

2502log3.2

102.02

015.030

x

xs

C.2. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Leaky Artesis

Hukum Darcy : r

srkHQ

2

Kontinyuitas : , 2

c

s

t

sdrrQ

L

t= t=t

2 r0

s

Lapisan impermeabel

Q0

Lapisan impermeabel

Permukaan air artesis

t=0

Akuifer tertekan tanpa pengisian

r

t=t2 t=t1

2 r0

s

Q

Lapisan impermeabel

Q0

Lapisan semipermeabel, tahanan C

Permukaan air artesis

t=0

Leaky Artesian, T=kH

Permukaan air preatik

Akuifer tak tertekan

35

Digabung : 01

2

2

t

s

kHkHc

s

r

s

rr

s

Untuk syarat batas 0Q ,dan ,QQ , 00 rrr , persamaan diferensial di

atas memiliki penyelesaian pendekatan yang valid untuk t kecil (Theis, Trans. Am.

Geophysical Union, 1935) :

ruW

kH

Qs ,

4

20 dengan t

r

kHu

22

4

dan kHc

Penurunan maksimum diperoleh untuk 0dan 2 ut dimana formula

di atas disederhanakan menjadi:

rK

kH

Qs 0

0

2 dan

rK

rQQ 10

C.3. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Tak Tertekan di atas

Lapisan Impermeabel

Hukum Darcy : r

srkHQ

2

Kontinyuitas : t

sr

r

Q

2

Digabung : 01

2

2

t

s

kHr

s

rr

s

r

t=t2 t=t1

2 r0

s

Q

Lapisan impermeabel

Q0

Permukaan air artesis

t=0

Akuifer tak tertekan, T=kH

36

Untuk syarat batas 0Q ,dan ,QQ , 00 rrr , persamaan diferensial di

atas memiliki penyelesaian (Theis, Trans. Am. Geophysical Union, 1935) :

20

4uW

kH

Qs

2

0ueQQ

dengan t

r

kHu

22

4

atau

t

r

kHu

2

1

dengan r adalah jarak antara titik pengamatan dan titik tengah sumur, dan t adalah

waktu sejak pemompaan.

Untuk nilai u2 kecil, di dekat dinding permukaan sumur setelah waktu tertentu

terlampaui, nilai 2uW dapat didekati sebagai uu

uW75.0

ln2562.0

ln2

2

Sedangkan penurunan muka air dinyatakan sebagai :

ukH

Q

ukH

Qs

75.0ln

2

562.0ln

4

0

2

0

selisih penurunan muka air pada 2 titik sejarak r1 dan r2 dari sumur adalah :

2

0

1

021

75.0ln

2

75.0ln

2 ukH

Q

ukH

Qss

atau

1

20

1

2021 ln

2ln

2 r

r

kH

Q

u

u

kH

Qss

Untuk kasus pada gambar berikut, penurunan muka air pada dinding sumur diberikan

sebagai :

Lrrr uWuWkh

Qs 2

2200 04

dan penurunan tetap-mantap 0

0 2ln

2 r

L

kH

Qs

penurunan tetap-mantap ini dapat dicapai setelah periode waktu yang sangat singkat.

r L

t= t=t

2 r0

s

Lapisan impermeabel

Q0

Permukaan air

t=0

Akuifer tak tertekan, T=kH Q0

37

Jika sumur dipompa pada periode waktu tertentu T, penurunan yang dihasilkan dapat

diperoleh dengan metode superposisi, dengan menambahkan sumur pengisian dengan

t T dengan kapasitas yang sama pada lokasi yang sama. Untuk akuifer dengan jarak

tak hingga, penurunan menjadi :

ttuWkH

QsTt 20

4:0

Ttttt uWuWkH

QsTt 220

4:

dimana untuk penurunan di dinding sumur, formula di atas disederhanakan menjadi :

Ttttt uukH

QsTt

22

0 562.0ln

562.0ln

4:

atau

Tt

t

kH

Qs

ln

4

0

Contoh :

Sebuah akuifer tak tertekan dengan jarak tak hingga memiliki T=5.10-3

m2/det,

kapasitas lapangan spesifik = 0.15 terletak di atas lapisan impermeabel. Dalam

waktu 2 minggu, dari dalam sumur dipompa :

10 hari pertama dengan debit 0.01 m3/det

4 hari berikutnya dengan debit 0.03 m3/det

Berapakah penurunan pada akhir periode pemompaan pada titik sejauh 80 m dari titik

tengah sumur?

Formula yang digunakan adalah 20

4uW

kH

Qs

dengan

t

r

kHu

22

4

Dengan syarat batas seperti pada soal, maka:

223

213 1054

01.003.0

1054

01.0uW

xuW

xs

dengan

69.2 ,107.39104.8610

80

1054

15.0 21

3

3

2

3

21

uWx

xxxxu

53.1 ,136.0104.864

80

1054

15.0 223

2

3

22

uW

xxxxu

dan s=0.43 + 0.49 = 0.92 m

38

C.4. Aliran Tak Mantap Satu Arah pada Akuifer Tak Tertekan di atas

Lapisan Semipermeabel

Hukum Darcy : r

srkHQ

2

Kontinyuitas : , 2

c

s

t

sr

r

Q

Digabung : 01

2

2

t

s

kHkHc

s

r

s

rr

s

Untuk syarat batas 0Q ,dan ,QQ , 00 rrr , persamaan diferensial di

atas memiliki penyelesaian pendekatan yang valid untuk t kecil (Theis, Trans. Am.

Geophysical Union, 1935) :

ruW

kH

Qs ,

4

20 dengan t

r

kHu

22

4

dan kHc

Penurunan maksimum diperoleh untuk 0dan 2 ut dimana formula

di atas disederhanakan menjadi:

rK

kH

Qs 0

0

2 dan

rK

rQQ 10

t=t1 t=t2

t=

r

s

Q

Q0

2 r0

Permukaan tanah

Permukaan air artesis

Permukaan air preatik

Akuifer tak tertekan, T=kH

Lapisan semi permeable dengan

tahanan c terhadap aliran vertikal

t=0

Akuifer tertekan dengan muka air konstan

Lapisan impermeabel