SISTEM KOMUNIKASI DIGITAL

Berikut ini digambarkan salah satu blok diagram sistem komunikasi sederhana.

Gbr. 1 : Salah satu model sistem komunikasi

Fungsi sistem komunikasi adalah memancarkan informasi secara andal dari sumber informasi ke pengguna informasi

Dari blok diagram diatas dapat dilihat bahwa :o keluaran dari sumber informasi adalah sudah berbentuk signal-signal digital ,

yaitu berupa urutan simbol-simbol dari berbagai abjad yang sudah menjadi signal-signal diskrit

Simbol-simbol ini diproses oleh koder sumber menjadi simbol-simbol bentuk lain (atau disebut kelompok simbol) agar supaya :

o dapat dibuat menjadi simbol-simbol yang pada saat dipancarkan ke pengguna informasi , banyaknya simbol tersebut adalah menjadi seminimal mungkin ; d.k.l. banyaknya bit yang dipancarkan dibuat minimal

Keluaran dari koder sumber menjadi masukan bagi koder saluran dimana :o koder saluran tersebut berfungsi untuk memperbesar efisiensi komunikasi ,

yaitu dengan jalan : mengubah urutan bit keluaran koder sumber menjadi urutan bit simbol

yang berbeda dibandingkan dengan abjad yang dikirim dari sumber informasi

Keluaran koder saluran masuk ke modulator , kemudian dipancarkan lewat Kanal Diskrit Tanpa Memori = DMC (Discrete Memoryless Channel) menuju ke demodulator (yang menjadi bagian sistem penerima), terus masuk ke dekoder kanal sistem penerima

Manfaat DMC ini mencakup : o melakukan pengurangan daripada pengaruh distorsi ( ca-cat) signal

sewaktu melewati kanal komunikasi gelombang detektor kanal yang mendapat masukan dari demodulator , akan beru-paya untuk :

o merekonstruksi (menghasikan kembali bentuk signal aslinya ) urutan keluaran yang berasal dari koder sum-ber , menjadi urutan bit yang serupa mungkin dengan bit aslinya

Dengan menggunakan disain enkoder-dekoder yang tepat, maka akan dapat :o mengoreksi beberapa kesalahan transmisi yang terjadi di Kanal

Diskrit Tak Bermemori (DMC) tadi, sehingga dapat memperbaiki keandalan komunikasi

1

Sumber Informasi

Koder Sumber

Koder Kanal

Modulator Gelombang

Kanal Gelombang

Demodulator Gelombang

Dekoder Kanal

Dekoder Sumber

Pengguna Informasi

Dengan memakai keluaran dekoder kanal, maka dekoder sumber akan dapat membuat

perkiraan urutan bit informasi yang dipan-carkan

KODE KELOMPOK(Block Code)

Kode kelompok adalah salah satu kode yang dapat mengoreksi kesalahan bit secara mandiri (self error correction = automatic error corection) , dimana :

bentuk kode terdiri atas : o kode yang menggambarkan suatu kharakter (atau data) sebanyak k buah bito disamping kode untuk data yang bnyaknya = k , pada sistem kode blok ini ,

ditambahkan dengan kode yang digunakan sebagai kode uji paritas (untuk tujuan pengamanan kode) sebanyak q buah bit

kemungkinan kharakter atau data yang mungkin terjadi = m buah data = 2 k buah data pada kode kelompok banyaknya bit menjadi k + q = n buah bit

Jika salah satu urutan bit kharakter (= bit data) tersebut adalah :…………………………..( II .1 )

, maka : dengan memakai enkoder (alat untuk membuat kode), maka :

o kode kharakter atau kode data yang terdiri atas k bits tersebut diubah menjadi kharakter baru yang terdiri atas n bits

o tambahan bit sebanyak bits, merupakan bit uji paritas Kata kode (word) –nya ditulis dengan kode (n , k) Tujuan penambahan q bits paritas tersebut adalah :

untuk membuat kode yang terdiri atas n bits , sehingga kode data tadi menjadi kode yang dapat mendeteksi dan mengoreksi kesalahan bit secara mandiri (self detection and correcting code)

Kesalahan bit tersebut dapat terjadi karena signal-signal biner tersebut melalui media transmisi dalam perjalanannya dari sumber (souce) ke tujuan (destination)

Data yang keluar dari encoder tersebut , yang disebut dengan kata kode (code word), dinyatakan sebagai berikut :

………..….( II . 2 )

Untuk kode sistematis, maka :

………………( II . 3 )Banyaknya bit uji paritas = q buah

…..( II . 4 )Bit-bit uji paritas untuk kode sistimatis tersebut dibuat memenuhi hubungan yang sesuai dengan

persamaan berikut ini :

2

n2k1kk21

qk2k1kk21

xxxxxxx

xxxxxxx

data paritas

……( II . 5 )

Persamaan matrix uji paritas ( II .5 ) dapat ditulis menjadi :

…………………………..( II . 5a )

Contoh :

Suatu kode (n,k) yaitu kode (15,11), salah satu data tersebut mempunyai kode data :, dengan n = 15 ; q=4 dan k = 11 ;

Misalkan kode uji paritas dinyatakan dengan persamaan matrix sebagai berikut :

Maka kode

sistimatis lengkap yang dikirimkan adalah :

Tugas :

3

Suatu kode (n,k) yaitu kode (15,11), salah satu data tersebut mempunyai kode data :, dengan n = 15 ; q=4 dan k = 11 ;

Bagaimanakah bentuk kata kode selengkapnya ?

Jika m adalah salah satu dari 2k buah kode untuk data yang mungkin terjadi, maka salah satu kode data adalah .

Jika suatu signal data terdiri atas k buah bit ; maka signal data yang mungkin terjadi =o Contoh :

Dengan kata lain salah satu kode data (misalkan data yang ke-m ) tesebut adalah :

……………...……( II . 6 )

Untuk membuat kode yang dapat mengoreksi secara mandiri jika akibat sesuatu hal terjadi kesalahan data , maka kode tersebut diberi tambahan dengan bit uji paritas ( parity checking bit ) yang banyaknya q buah bit , maka keseluruhan bit keluaran dari enkoder (alat pembuat kode) yang menggambarkan suatu kharakter atau data , untuk menjadi kata kode (code word) , akan menjadi terdiri atas n = k + q buah bit, sehingga susunannya menjadi :

……………………..( II . 7 )Jika digambarkan secara blok diagram :

Operasi enkoder (operasi pembuat kode) yang dikerjakan dalam suatu enkoder blok biner linier dapat digambarkan sebagai :

o himpunan n buah persamaan dalam bentuk matrix sebagai berikut :……………….( II . 8 )

dengan

Contoh :Kode (n, k)= kode ( 7, 4 ) ; maka Data yang mungkin terjadi jika setiap data terdiri atas 4 bit = 24 =16 Kode-kode bit paritas yang terkait tergantung dari matrix H.Kode data yang mungkin terjadi secara lengkap adalah sebagai berikut :

4

Enkoderbit

Masukan

k bit

Keluaran

n

] Seperti sudah dibahas sebelumnya, kata kode dinyatakan dengan :

Kode data yang ke-m dinyatakan dengan dimana :

mj adalah salah satu dari 2 k buah jenis kata kode yang mungkin terjadi Selanjutnya dapat ditulis :

…………………………………….( II . 9 )dapat juga ditulis :

…………………………………...(II . 10 ) dimana penulisan diganti dengan )

dimana :

G = matrix generator kode dan merupakan matrix k x nMatrix generator G dinyatakan dengan persamaan matrix :

………………………………..( II . 11 )

dengan dan

…………………….( II . 12 )

Contoh :Suatu kode (7,4) dengan generator matrix : Disini n = 7 ; k = 4 ; q = 3

Dimisalkan

Dari contoh ini, karena : banyaknya bit untuk setiap kode adalah k = 4 banyak bit untuk paritas adalah q = 3 , maka :

o dapat digambarkan kemungkinan seluruh kode blok yang terjadi adalah :

5

1101000

0110100

1110010

1010001

G

1011

1110

0111

H

kIDataMatrix THP

dGx

1111

0111

1011

0011

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

1101000

0110100

1110010

1010001

Jika rumus-rumus yang ada diuraikan lebih lanjut :

Maka urutan bit kata kode adalah : ……….………………….( II . 13 )

Jadi urutan bit uji paritas adalah …………………………………( II . 14 )

Jika urutan bit yang diterima adalah kata kode yang tepat , maka :

………………………..( II . 15 )

hal ini karena

Jika tak terjadi kesalahan bit , maka : ; dengan

………………..( II . 16 )

Syarat urutan bit yang diterima dekoder tidak terjadi kesalahan bit : Didalam hal ini , sesuai dengan perhitungan diatas , yang dimaksudkan dengan adalah :

Dalam persamaan matrix

6

bitUrutan dihitung yang

dekoder di

bitUrutan paritas ujiditerima yang

0cdP p

…………..( II . 17 )

Contoh :Kode (7, 3) dengan matrix uji paritas :

Kata kode : (lihat rumus II. 9)Bila tanpa kesalahan bit maka : (lihat rumus II . 15)

Bila terjadi kesalahan bit yang diterima di dekoder , maka vektor kode yang diterima adalah :

Jika terjadi kesalahan bit , maka : Jika tidak terjadi kesalahan bit , maka :

SindromeDifinisi :

Syndrome = Syndrome = …………………………..………( II . 18 )

Jika tanpa kesalahan bit , maka : Jika ada kesalahan bit , maka :

Anggaplah bahwa terjadi kesalahan pada bit ke-i

…………( II . 19 )

…………………………..( II . 20 )

7

digitike

01000 eadalahyakesalahannvektor

KODE HAMMING

Pada tahun 1950 Hamming menyempurnakan bentuk kode blok Seperti diketahui bahwa suatu kode blok adalah kode yang kompak dan mengarah pada

pengimplementasaian (pewujudan) perangkat keras enkoder dan dekoder Kelemahan daripada kode blok adalah , kode blok tersebut ;

o tidak dapat memberikan petunjuk bagaimana caranya mengambil elemen-elemen daripada

matrix pembantu (lihat rumus II . 5a : )

o Berdasarkan rumus ( II . 10 ) , o Berdasarkan rumus ( II . 11) didapatkan :

untuk dapat mencapai parameter-parameter kode tertentu , dimana :o banyak bit untuk suatu kata kode = n o banyaknya bit uji paritas = qo banyaknya bit kode data = k o misalnya :

jarak Hamming minimum =

efisiensi kode atau nilai kode =

o Yang dimaksudkan dengan jarak Hamming adalah : banyaknya lokasi bit yang berbeda diantara 2 buah kode misalnya kata kode dan kata kode ; karena ada 2 buah lokasi dimana

bit-nya berbeda , maka jarak Hamming = Akibat kekurangan pada kode blok tersebut , maka :

kode-kode yang bagus (= kode yang efisiensi kodenya = adalah tinggi) ;

maksudnya dengan menggunakan kode blok , untuk mendapat kode yang bagus , hanya bisa ditemukan dengan mengerahkan segala usaha pemikiran dan inspirasi serta mengalami kesulitan yang besar ) , dengan dipan-du dengan analisa matematik

8

o Jika terjadi buah kesalahan bit, maka untuk mengecek apakah suatu kode mempunyai kesalahan bit atau tidak , misalkan kode(7, 3) , maka digunakan apa yang disebut dengan :

Ketidaksamaan Hamming : ; Karena banyaknya kesalahan bit minimal = t = 1 , maka

Difinisi : Yang disebut dengan Kode Hamming adalah :

o suatu kode blok linier (n,k) dengan bit uji paritas o banyaknya bit kata kode = n , harus memenuhi hubungan :

…………………………( II . 21 )

Jadi jika ; jika diambil

Efisiensi kode = nilai kode (code rate) , untuk kode Hamming =

Sudah diketahui bahwa sebelumnya bahwa Agar tidak ada ketergantungan terhadap , maka dibuat nilai , berarti bahwa banyaknya kesalahan

bit = t = 1 ; jadi hanya terjadi kesalahan tunggal saja. Jadi sebuah kode Hamming dapat digunakan untuk mengoreksi kesalahan tunggal dan mendeteksi

kesalahan ganda (double) Untuk membuat kode Hamming yang sistematis , perhatikan matrix P yang sesuai

dengan rumus ( II . 11) adalah sebagai berikut :

Matrix P terdiri atas k buah baris dan q buah kolom

Per difinisi , kode Hamming adalah kode yang memenuhi persamaan , dimana :

9

o

o Misalkan o 1

o Matrix generator ……..(lihat rumus II . 10)

4 kolom terakhir daripada matrix generator diatas adalah matrix uji paritas , dimana masing-masing matrix uji paritas tersebut dibuat mengandung bit 1 , yang jumlahnya setidak-

tidaknya sebanyak = buah bit 1o Jadi dapat dibuat matrix generator sebagai berikut :

Tugas : Carilah x jika d =(11 00 1010111) !

Persyaratan suatu kode dapat dikoreksi bilamana terjadi 1 kesalahan bit adalah :

o Semua kolom matrix H sudah ditentukan nilainya dengan pasti o Semua isi kolom ke-1 s.d. ke-k sudah tertentu nilainya dengan pastio Isi q kolom berikutnya merupakan matrix identitas Ik

o Agar matrix identitas Ik dapat membuat syndrome yang dapat ditentukan nilainya, maka harus memenuhi syarat :

………………………………( II . 18 )o Misalkan o Jadi kode blok (7, 4) , yang berarti bahwa :

o

Bobot Hamming (Hamming Weight)Dan

Jarak Hamming (Hamming Distance)

Misalkan

o Contoh :

1. Jika

o

Contoh :

1.

10

Untuk kode yang kesalahannya tunggal , maka untuk dapat dikoreksi harus dipenuhi ketidak samaan (inequity) :

2.

o Jarak minimum (Minimum Distance) = daripada kode linier C ada- lah : jarak Hamming terkecil diantara setiap pasang kata kode di kode linier C

Note : yang dimaksudkan dengan kode linier C dapat diterangkan seba-gai berikut :

o jika masing-masing adalah kata kode ,

maka

o kode C dikatakan linier jika jumlah 2 buah kata kode adalah juga kata kode (dalam kode C tersebut)

o kode linier C harus mengandung kata kode nol (zero code word) 0 = (0,0,…,0) , sebab

Sifat-sifat jarak Hamming :a. Jarak Hamming

b.

c.

Persyaratan Bagi Kode Yang Mengalami t Buah Kesalahan Dapat Dikoreksi

Sudah dinyatakan sebelumnya bahwa signal yang diterima , dimana :

; ;

Dengan penjumlahan modulo-2 , dapat ditulis pula Jika terjadi t buah kesalahan per kata kode , maka kode blok linier (n, k) ,

akan dapat dikoreksi jika memenuhi batas Hamming (Hamming bound) sebagai berikut :

………………….( II . 19 )

dimana :

…………………..( II . 20)

Contoh :

1. Buktikanlah bahwa jarak minimum suatu kode linier adalah bobot Hamming terkecil daripada vektor-vektor kode bukan nol didalam kode tersebut !Bukti :

Dari hubungan , maka :

Berdasarkan difinisi kode linier , dimana , maka :

2. Buktikanlah bahwa suatu kode linier C dengan jarak minimum dapat men-deteksi s.d. kesalahan ,

jika dan hanya jika

11

Bukti :Misalkan didalam suatu kode linier C. dengan bobot Hamming

Dengan adanya kesalahan kodenya menjadi ; jarak Hamming antara dengan adalah

.Berdasarkan rumus , maka :

Maka kata kode yang diterima adalah adalah bukan didalam kode linier C . Karena itu C dapat mendeteksi kesalahan ; jadi C dapat

mendeteksi s.d. buah kesalahan , dimana , jika dan hanya jika :

3. Buktikanlah bahwa suatu kode linier C dengan jarak minimum dapat me-ngoreksi s.d. buah

kesalahan , jika dan hanya jika

Bukti :Misalkan .

Bobot Hamming daripada kesalahan = .

Misalkan adalah kata-kata kode didalam kode linier C dengan . Jarak Hamming antara kata kode adalah Jarak Hamming antara kata kode adalah Jarak Hamming terbagi menjadi 2 macam, yaitu :

o

o

Selanjutnya besarnya bobot Hamming untuk kesalahan adalah

4. Didalam suatu kanal BSC (= Binary Symmetric Channel) , dianggap bahwa untuk suatu skema koding sederhana yang mencakup digunakannya kode berulang , maka setiap simbol biner diulang-ulang beberapa kali. Sebagai misal ambilah setiap simbol (0 atau 1) diulangi n kali , dimana n= 2m+1 adalah interger ganjil. Untuk pendekodean digunakan suatu aturan mayoritas , yang berarti bahwa jika didalam suatu blok daripada n buah bit yang diterima , banyaknya bit 0 melebihi banyaknya bit 1, maka dekoder memutuskan lebih menyukai untuk menentukan bit 0 sebagai keluarannya . Kalau tidak demikian maka dekoder tersebut akan menentukan 1 sebagai kelurannya.Dengan demikian sebuah kesalahan akan terjadi jika m+1 bit atau lebih diluar dari n = 2m + 1 bit diterima salah.

Buktikanlah bahwa probabilitas kesalahan akan sama dengan !

a. Hitunglah jika untuk

12

Jawab :

a. Probabilitas bit ke-i diterima salah adakah

Jadi probabilitas kesalahan adalah

b. untuk untuk , maka :

untuk untuk , maka :

o Ketidaksamaan Hamming :

Ketidak samaan Hamming yang dapat digunakan secara umum untuk :o pengoreksian kode yang mengalami kesalahan t buah bit , dapat diterang-kan dengan contoh

berikut ini : Kode blok ( 7, 3 ) berarti n = 7 ; k = 3 ; q = 4 . Penerapan ketidak samaan diatas untuk kode yang dapat dikoreksi bagi kesalahan

tunggal , adalah sebagai berikut :

o Dengan mengacu pada hasil diatas , maka kode blok ( 7, 3 ) adalah salah satu jenis kode yang dapat mengoreksi kesalahan tunggal

o Contoh kode blok yang tak dapat mengoreksi meskipun kesa-lahan tunggal , misalkan adalah kode blok ( 6, 4) , yang berarti k = 4 ; q =2 ; dengan memasukkan ke ketidak samaan , dimana

13

Hamming bound dapat digunakan untuk menentukan : o Kode dengan kesalahan yang lebih besar dari 1 , misalnya terjadi kesalahan t bit ,

yang mana : salah satunya yang khusus adalah menggunakan rumus ketidak samaan

o Banyaknya pattern bit uji paritas yang mungkin terjadi harus setidak-tidaknya sama dengan banyaknya cara , dimana kesalahan dapat terjadi sampai dengan t buah kesalahan bit

o Untuk kode ( n, k ) berlaku hubungan :

dimana :

Untuk kode (7, 4) , berarti bahwa

Contoh :

Untuk kode (10,4) , berarti n = 10 ; k = 4 ; q = 6 ; banyaknya kesalahan bit = t = 2 .

Untuk kode (10,2) , berarti n = 10 ; k = 3 ; q = 7 ; banyaknya kesalahan bit = t = 3 . Jika banyaknya kesalahan bit = t = 3 , maka :

Untuk kode (24,12) , berarti n = 24 ; k = 12 ; q = 12. Jika banyaknya kesalahan bit = t = 3 , maka :

Penyelesaian persamaan diatas dapat digunakan untuk membuat tabel berikut ini :Tabel kode-kode yang dapat mengoreksi kesalahan

14

Jarak Hamming : perbedaan banyaknya posisi diantara 2 kata kode apa saja Jarak Hamming ini memegang peranan kunci didalam penaksiran kapasitas atau kemampuan kode-kode

mengoreksi kesalahan Jarak Hamming =

dimana :

Kode-kode yang dapat mengoreksi kesalahan tunggal : o Jadi ada terdapat minimal 3 posisi yang berbeda diantara 2 buah kode yang berlainan

o Misal ; jarak Ham-ming antara kode

diatas = 3 ; kesalahan yang dapat dikoreksi = t =1

Pada tabel berikut dapat dilihat bahwa etiap kata kode (setelah dibalik cara penulisannya ) berbeda satu-sama lain , dengan perbedaan paling tidak 3 posisi , yang dapat dilihat pada tabel dibawah ini :

Tabel kode blok khusus

15

73.011,151115

57.04,747

5.03,636

4.02,525

14

EfisiensiKodemaxkn) 1 t( tunggalkesalahan mengoreksidapat yang kode-Kode

52.013,251325

55.011,201120

53.08,15815

36.04,11411

4.04,10410

EfisiensiKodemaxkn) 2 t( ganda kesalahan mengoreksidapat yang kode-Kode

55.012,241224

52.012,231223

33.05,15515

2.02,10210

EfisiensiKodemaxkn

) 3 t( ganda kesalahan mengoreksidapat yang kode-Kode

1111111

1110100

1101001

1100010

1011000

1010011

1001100

1000101

0111010

0110001

0101`00

0110111

0011101

0010110

0001011

0000000

1111

1110

1101

1100`

1011

1010

1001

1000

0111

0110

0101

0100

0011

0010

0001

0000

menjadidibalik

1111111

0010111

1001011

0100011

0001101

1100101

0111001

1010001

0101110

1000110

0011010

1110010

1011100

0110100

1101000

0000000

1111

0111

1011

0011`

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

beritaNo Berita kodeKata Berita kodeKata

Jadi jika terjadi kesalahan bit sampai dengan 2 buah , maka kesalahan tersebut tidak akan menyebabkan kodenya menjadi kode yang sama dengan setiap kode lainnya , apapun juga kode lain itu

Berita dan kata kode (serta berita dan kata kode yang dibalik cara penulisannya) yang mungkin terjadi adalah sebagai tabel berikut ini :

Didalam hal ini penulisan kata kode yang telah dibalik susunannya akan mampu memberi tahu pengguna bahwa :

o kesalahan transmisi telah terjadi , meskipun tidak dapat mengoreksi kesalahan-kesalahan tersebut

Suatu kode khusus ditampilkan pada tabel berikut ini :

Contoh : Kode blok(7, 4) ; kode datanya terdiri atas k bit atau 4 bit ; kode paritasnya terdiri atas q bit atau 3 bitJenis kode data yang terdiri atas 4 bit adalah 2k = 24 = 16 buah .Semua jenis kode data yang masing-masing terdiri atas 4 bit dapat digambarkan sebagai berikut :

Misalkan matrik uji paritas adalah :

16

Bit uji paritasnya adalah :

Rumus untuk kata kode adalah

c = Seluruh kata kode yang mungkin terjadi

non-zero weight = pembobot bukan nol = banyaknya bit bukan nol dalam 1 kata kode

Untuk kode blok (n, k) ; berarti q= n - k Misalkan n = 7 ; k = 4 , berarti q = 3 ; khusus kode ini memenuhi hubungan :

O Tidak semua jenis kode blok memenuhi hubungan itu ; misalnya kode blok (7, 3) O jika diterapkan rumus diatas , maka

Efisiensi kode = code rate =

O Untuk kode blok khusus sebagaimana contoh diatas :

O Untuk efisiensi kode

O Untuk kode blok khusus Berarti

17

d c

kI P

7

4

4

3

3

4

4

3

4

3

3

4

4

3

3

0

1111111

0010111

1001011

0100011

0001101

1100101

0111001

1010001

0101110

1000110

0011010

1110010

1011100

0110100

1101000

0000000

1101000

0110100

1110010

1010001

1111

0111

1011

0011

1101

0101

1001

0001

1110

0110

1010

0010

1100

0100

1000

0000

xW weightzeronon

Kata kode yang ke-i adalah xi yang terdiri atas :o mi buah bit berita , dimana i = 1, 2, 3 …… ko ci - k buah bit koreksi, dimana i = k+1, k+2, ……n.

Sebagai contoh adalah sebuah kata kode ( 7,4 ) o ini berarti n = 7 dan k = 4 q = banyak-nya bit uji paritas = 3o Dengan 7 bit per kata kode berarti banyaknya kode yang bisa terjadi adalah = 27 = 128 jenis kata

kode yang berbeda satu sama laino Namun karena kode untuk data hanya terdiri atas 4 bit saja, maka hanya terdapat 24 = 16 jenis

kata kode saja yang digunakan, dari 128 buah jenis kata kode yang mungkin terjadio Bentuk kata kode tersebut adalah :

o Jika H = matrix uji paritas, maka H adalah matrix persegi q x n yang bentuknya sebagai berikut :

o dimana bagian kanan dari matrix tersebut adalah matrix satuan (unit matrix) q x q o Dengan pemilihan matrix uji paritas tersebut maka harus dipenuhi :

H x = 0 ( dimana x = kode tertentu )

Dengan demikian :

Maka : ; Misalkan sebuah kata kode x dipancarkan mengalami beberapa kesalahan bit-nya sewaktu diteri-ma di tujuan. Jika kata kode yang diterima adalah y , dimana pola kesalahannya (error-pattern) adalah e.

Maka y = x e.Ini berarti setiap kata kode yang diterima adalah dengan .

Jika

18

k q

q

1000

00010

0001

21

22221

11211

qkqq

k

k

hhh

hhh

hhh

H

Contoh 1 :

Jika di penerima kesalahan e dapat ditentukan , maka semua kesalahan yang terjadi dapat dikoreks Untuk dapat menentukan kesalahan “e” dari kata kode yang diterima “ y” , maka kata kode yang

dipancarkan “x” harus diketahui Untuk itu harus dihitung sebuah q-digit syndrom

o Yang dimaksudkan dengan q-digit syndrome adalah :

Lebih lanjut s dapat diuraikan menjadi :Karena , maka :

Jadi dapat dilihat bahwa jika tanpa kesalahan atau maka . Jika berita yang diterima hanya salah 1 digit saja, misalkan yang mengalami kesalahan digit ke-j, maka

dapat dibuktikan bahwa :

dimana

Contoh 2 :

Didalam suatu enkoder (pembuat kode) komunikasi , setiap bit data diulangi 5 kali dan pada penerima , pilihan mayoritas (mayority vote) memutuskan nilai setiap bit data . Jika probabilitas kesalahan bit yang tak dibuat

kode (unencoded bit error probibility) adalah , hitunglah probabilitas kesalahan bit yang dibuat kode (coded bit error probibility) jika digunakan 5 kode yang terbaik (the best five-code)

Jawab :

Suatu kesalahan kode akan dibuat jika 3 atau lebih ulangan diterima salah.

= Probabilitas kesalahan kode yang dikode

Contoh 3 :

Didalam suatu kode-uji-paritas-tunggal (single-parity-bit-check code) , sebuah bit paritas tunggal dihadirkan ke suatu blok yang terdiri atas k buah bit data (d1 , d2,…, dk ). - Bit paritas tunggal = bit paritas yang banyaknya hanya 1 , yaitu c1 , dipilih , sehingga :- kata kode (yang terdiri atas n bit) memenuhi aturan paritas genap (even parity rule) , yai-tu , bit paritas

yang hanya sebuah tersebut , diperloleh dari hubungnan :

a. Untuk , tentukanlah semua kata kode yang mungkin terjadi untuk kode (4, 3)b. Corak kesalahan (error pattern) yang dapat mendeteksi kode (4, 3) ?c. Hitunglah probabilitas kesalahan simbol yang tak dikode , dengan menganggap semua kesalahan simbol

adalah bebas dan bahwa probabilitas kesalahan simbol adalah

19

Kesalahan terjadi pada digit ke-3 dan ke-5

Jawab :

a. Karena banyaknya kode untuk data = k = 3 , maka kata kode yang mungkin terjadi adalah Dengan demikian dapat dibuat tabel tentang bit data dan bit paritas yang mungkin terjadi pada data dengan banyaknya bit = 3 tersebut , sebagai berikut :

b. Kode (4, 3) mampu mendeteksi semua corak kesalahan tunggal dan corak kesalahan 3 (triple-error)

c. Probabilitas suatu kesalahan simbol yang tak dikode , adalah sama dengan probabili-tas bahwa 2 atau 4 kesalahan terjadi dimanapun pada suatu kata kode

Rumus probabilitas kesalahan simbol tak dikode = , dimana nilai

hanya 2 dan 4 saja. Karena itu

Contoh 4 :

Buktikan bahwa kata kode adalah suatu kode linier !Bukti :Karena kesemua 4 penjumlahan :

adalah didalam , maka adalah kode linier

Contoh 5 :

Buktikan bahwa ukuran jarak Hamming mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :(1). dengan jika dan hanya jika

(2). (3). Bukti :

20

Urutan bit yang mungkin terjadi =

Bit paritas yang mungkin terjadi =

Kata kode yang mungkin terjadi

(1). Berdasarkan persamaan :

Dengan sendirinya jika dan hanya jika (2). Karena , maka

(3).

Dengan demikian

Untuk kode Hamming yang menggunakan bit uji paritas sebanyak Contoh :

Kode ( 7,4 ) berarti k = 4 ; n = 7 ; q =3

Kode paritas untuk setiap berita adalah :

Hc = 0 ( dimana c = kode tertentu yang dikirim)

Dengan demikian :

: ;

Matrix Uji Paritas adalah :

21

k q

1000

00010

0001

21

22221

11211

qkqq

k

k

hhh

hhh

hhh

H q

Nilai syndrome atau s ini sama dengan isi kolom ke-j dari kolom matrix uji paritas H Karena itu syndrome memberikan informasi seolah-olah tidak ada kesalahan yang terjadi (no error) , atau

posisi sebuah kesalahan asalkan semua kolom matrix uji paritas H adalah berbeda dan bukan nol Dengan demikian didapatkan kode pengoreksi kesalahan tunggal (jika kesalahan yang terjadi hanya 1,

maka langsung dikoreksi) Jika digunakan dengan model ini, maka suatu kode (n,k) akan mempunyai Probabilitas Kesalahan :

Namun kesalahan-kesalahan yang terjadi berulang-ulang (multiple errors) akan menyebabkan keruwetan atau komplikasi

o karena meskipun kesalahan-kesalahan yang sebenarnya itu bisa dihilangkan, tapi akibatnya akan salah didalam membetulkan digit berita lainnya

o yang mana beritanya akan menjadi lebih jeleko Akibatnya dikehendaki kode yang lebih kuat

kecuali jika c sebegitu kecil sehingga kesalahan-kesalahan yang berulang akan amat jarang terjadi.

Sayangnya dengan melengkapi suatu syndrome dan matrix uji paritas yang tepat untuk mengoreksi kesalahan yang berulang-ulang adalah :

o suatu kerja yang jauh lebih ruweto Oleh karena itu kode pengoreksi dua kesalahan yang pertama kali dibuat o-rang :

lebih didasarkan pada coba-coba (trial-and-error) daripada dirancang berdasarkan metode tertentu.

Akhirnya Slepian pada tahun 1956 mengambil teori koding yang berdasarkan sepenuhnya pada matematika, pada saat dia :

o berhasil menemukan relasi konsep koding dengan aljabar modern. Segera setelah itu , dengan memakai teori medan Galois, para ahli yang bernama :

o Bose, Chaudhuri dan Hocquenghem mengembangkan ke-lompok kode yang dapat mengoreksi kesalahan yang berulang-ulang (sekarang disebut dengan kode BCH (singkatan dari Bose-Chaudhuri-Hocquenghem) yang :

efisien dan mempunyai hubungan relative sederhana dengan persyaratan perangkat keras bagi coding dan dekoding.

22

Kode Siklis

Difinisi :

Kode siklis adalah kode , dimana bila :- suatu kata kode adalah c = (c0 , c1 , ……,cn-1) , maka :

o pergeseran siklisnya adalah : σ(1)(c) = c(1)= (cn-1 , c0 , c1 , ….., cn-2 ) ;

σ(2)(c) = c(2)= (cn-2 , cn-1 , c0 , ….., cn-3 ) ;

σn(c) = c o c dikatakan kode siklis jika pergeseran siklis daripada setiap kata kode

adalah kata kode juga

-

-

Pendeteksian Kesalahan Dengan Kode Siklis

Meskipun sebagian besar upaya didalam penkodean (coding) yang telah dipelajari adalah :o yang berkaitan dengan kode-kode FEC = Forward Error Correction code , namun :

pendeteksian kesalahan juga dipakai secara luas didalam komunikasi data modern Pendeteksian kesalahan tersebut biasanya memerlukan lintasan catubalik dari penerima informasi ke

pemancar , yang memberi tahu bahwa :o telah terjadi kesalahan bit yang diterima , yaitu urutan bit informasi tidak cocok dengan urutan bit

paritasnyao Selanjutnya pemancar akan mengirim ulang urutan bit katakode yang benar

Beberapa versi implementasi FEC adalah dengan cara :

o Pengenalan negatip (NAKs = Negative Acknowledments) berarti :

lintasan catubalik hanya diterapkan terhadap signal yang diterima salah saja , dimana :

pemancar akan mengirim ulang signal informasi jika signal NAK diterima

o Pengenalan positip (ACKs) berarti bahwa :

lintasan catubalik hanya diterapkan terhadap signal yang diterima dengan benar saja , dimana :

akan secara otomatis dikirim ulang signal informasi dari pemancar jika tidak diterima signal ACK , selama interval waktu tertentu

o Kombinasi ACK dan NAK Cara seperti yang disebutkan diatas disebut dengan :

o ARQ = Automatic Repeat reQuest , atau pengenalan dengan cara :

23

teknik pengiriman kembali (retransmission) Teknik ARQ digunakan pada :

o semua jaringan switching data-paket

o semua jaringan komputer

Contoh jaringan-jaringan komunikasi data adalah : o jaringan-jaringan dengan pembagian waktu (time-shared networks)

o jaringan-jaringan data untuk masyarakat (public-data networks)

o jaringan-jaringan perusahaan swasta (private corporate networks) , misalnya :

jaringan data yang digunakan untuk :

perbankan

pemesanan tiket pesawat udara

penjualan produk manufacture secara eceran

jaringan-jaringan yang terus berkembang , yang menggunakan banyak komputer untuk komunikasi data secara bersama

dan sebagainya Jaringan-jaringan komunikasi data tersebut terdiri atas :

o banyak saluran komunikasi (jalur komunikasi = communication link) yang dihubungkan dengan berbagai topologi jaringan , dengan :

pendeteksian kesalalahan dilakukan secara umum terhadap jalur-lalur tersebut

Kode siklis digunakan paling sering digunakan didalam melakukan fungsi pendetek-sian kesalahan

Blok-blok data yang dikirimkan didalam jaringan-jaringan ini sering kali disebut dengan paket

Paket-paket tersebut dapat berentang dari 500 sampai dengan 1000 bit panjangnya , bahkan lebih

Jadi pengkoreksian kesalahan untuk kata-kode kode sepanjang itu bukanlah pekerjaan yang mudah

Pendeteksian kesalahan terhadap :

o kata-kata kode yang bit uji paritasnya tetap dapat mudah dilakukan

Adanya q buah bit uji paritas memungkinkan :

o setiap kesalahan lonjakan (burst error) sepanjang q buah bit (ataupun kurang) tersebut untuk dideteksi kesalahannya (jika terjadi kesalahan)

o Pendeteksian tersebut tidak tergantung pada panjang paket data

Karena pada umumnya dirancang agar banyaknya bit data (agar efisiensi pengkodean tinggi) , maka :o pada umumnya digunakan deret generator , atau enkoder siklis jenis-sisa (remaider-type

cyclic encoder) didalam aplikasi pendeteksian kesalahan tersebut Misalkan kode siklis (n, k) , dengan

Pada pendeteksian ini , k buah bit data tersebut dikelompokkan menjadi

Perlu untuk dicatat bahwa :

o hanya terdapat 1 bit saja didalam setiap b buah lonjakan bit (ataupun kurang) yang akan mempengaruhi setiap bit uji paritas ,

o selanjutnya kesalahan 1 bit tersebut yang dideteksi

Lonjakan-lonjakan bit tersebut dapat terjadi pada salah satu daripada b buah lonjakan bit tadi , dimana :o sebelumnya urutan data telah dikelompokkan , ataupun telah bertumpang tindih sampai meluberi

2 buah data yang berturutan

24

Sebagai tambahan terhadap pembahasan tentang pendeteksian sebuah lonjakan didalam b buah bit (ataupun kurang dari b) , maka :

o suatu kode linier dengan bit uji paritas sebanyak q = b buah bit : akan mendeteksi lonjakan-lonjakan yang lebih panjang dengan

prosentasi kebenaran yang tinggi- Jika sebagian daripada lonjakan b buah bit tersebut menyebabkan :

o b > q , maka yang tetap tak terdeteksi pada kode siklis (n, k) adalah , jika b > q + 1

o Jika b = q + 1 maka yang tetap tak terdeteksi pada kode siklis (n, k) adalah

- Teoremao Jika banyaknya kode paritas cukup banyak , maka hampir semua

kesalahan dapat terdeteksio Sebagai misal jika , maka semua lonjakan kesalahan sebanyak 16 buah ataupun kurang akan

dapat dideteksi o Jika bagian dari lonjakan kesalahan yang terjadi menyebabkan , maka yang tetap tak dapat

dideteksi adalah (suatu jumlah yang betul-betul kecil)o Untuk membuktikan teorema tersebut , misalkan suatu lonjakan kesalahan terjadi di

pengelompokan b buah bits , mulai dari bit yang ke-i dan berakhir dengan bit yang ke- o Dalam bentuk deret lonjakan kesalahan (burst polynomial :

o deret berpangkat tertinggi o Jika diperlihatkan dengan gambar , dimana adanya kesalahan ditunjukkan dengan bit 1 , yang terjadi

pada bit i dan bit diakhir lonjakan , yaitu bit sebagai berikut ini :

o Lonjakan kesalahan sepanjang b buah bit mempunyai kemungkinan sebanyak buah simbol (1 atau 0) diantara permulaan dan akhir , yang bedasarkan difinisi , masing-masing dikendalai dengan bit 1 (untuk menyatakan bahwa pada urutan bit tersebut terjadi kesalahan)

o Hal ini sesuai dengan kemungkinan pattern lonjakan kesalahan disepan-jang b buah bit tadi , atau kemungkinan terjadinya buah bentuk daripada deret

o Oleh karena perhitungan bit uji paritas di penerima dilakukan dengan jalan pembagian oleh deret generator yang mempunyai pangkat tertinggi , satu kesalahan tetap tak terdeteksi , jika dan hanya jika dapat dibagi oleh

o Dari sini persyaratan bagi suatu pattern kesalahan lonjakan untuk tetap tak ter-deteksi adalah bahwa mempunyai

o Karena adalah deret dengan pangkat tertinggi dan adalah deret dengan pangkat

tertinggi , maka adalah deret dengan pangkat tertinggi

o Kemungkinan yang bisa terjadi adalah : Yang pertama adalah : lonjakan kesalahan sepanjang , sehingga pangkat tertinggi

daripada , sehi-ngga ; dengan demikian hanya terdapat 1 pattern lonjakan yang tak dapat terdeteksi

Bagian lonjakan yang tak terdeteksi secara sederhana dirumuskan sebagai

Bagian dari lonjakan kesalahan yang tak terdetekasi =

25

= dimana

Yang kedua adalah jika ; oleh karena pangkat tertinggi deret , dan harus berakhir dengan 1 , maka suku dari-pada deret adalah sebanyak

, yang masing-masing dengan koefisien 1 atau 0

Bagian dari lecutan kesalahan bit yang tak terdetekasi =

Dua kemungkinan hasil yang diperoleh diatas membuktikan bahwa kode yang dapat mendeteksi kesalahan dengan bit uji paritas moderat atau cukup , akan mendeteksi kejadian pada sebagian besar pattern lonjakan kesalahan

o Karena semua jaringan data maupun komputer yang modern menggunakan beberapa bentuk deteksi kesalahan dengan teknik ARQ bila menerima paket data yang salah , maka :

Pemakaian teknik pendeteksi kesalahan akan dapat mengurangi probabilitas terjadinya kesalahan suatu paket data , sehingga menjadi

Prosedur deteksi kesalahan yang khusus , mempunyai bit uji paritas dengan rentang antara 8 s.d. 32 buah bit

Standard internasional untuk pengontrolan jalur data (link data control) , adalah menggunakan protokol HDLC (High-Level Data Link Control) , dima-na pada pengontrolan jalur ini menggunakan :

bit uji paritas sebanyak 16 bit dan deret generator

o Perhitungan sebenarnya daripada probabilitas kesalahan suatu paket atau blok data yang dilindungi oleh suatu bit uji paritas siklis ada-lah :

sulit dilakukan karena masih kurangnya pengetahuan tentang mekanis-me yang menghasilkan ledakan-ledakan kesalahan khusus

Jika mekanisme yang dimaksudkan adalah : noise suhu yng terus-menerus terjadi dan pengaruh-penga-ruhnya diberi model

sebagai AWGN = Additive White Gaussian Noise , maka :o kesalahan-kesalahan bit yang berturut-turut didalam

suatu burst (lecutanan bit) akan bebas satu sama lain o Probabilitas bahwa suatu paket atau blok sepanjang n bit akan diterima salah adalah :

Namun pada kanal telepon band terbatas , yang paling sering dipakai sebagai tulang punggung jalur komunikasi untuk jaringan-jaringan data , noisenya tidak dimodelkan sebagai kanal AWGN

Lecutan-lecutan kesalahan pada kanal ini berpengaruh terhadap : memory menimbulkan kesalahan yang tergantung pada :

o bit-bit yang berturut didalam suatu aliran data (data stream)o Hal ini membuat perhitungan probabilitas-probabilitas kesalahan sangat sulito Namun demikian , pengujian-pengujian telah menunjukkan bahwa :

pengaruh kesalahan terhadap blok-blok data : membuat suatu kesalahan blok bergerak sebanding

sewaktu panjang blok bertambah o hal ini adalah model yang tepat untuk :

probabilitas kesalahan blok yang mempu-nyai hubungan yang sebanding dengan panjang blok

o Dengan demikian dapat dirumuskan :

dimana

26

o Jadi semakin panjang blok , maka semakin besar kesalahan yang terjadi Jika dilakukan pengujian siklis , hasil yang sederhana adalah kejadian kesalahan tak dapat dideteksi

(hal ini dilakukan dengan menganggap panjang lonjakan b > q , atau q >> 1 Probabilitas kesalahan blok keseluruhan dapat didekati dengan :

Contoh :1.

2.

Diagram Pohon (Tree Diagram)o Diagram pohon menambahkan diagram waktu ke diagram keadaano Diagram pohon untuk rangkaian ekoder konvolusi berikut ini :

o

Rangkuman

- Tekanan pembahasan sistem komunikasi digital ini adalah :o mengenai pengoptimalan rancangan sistem

dengan memaximalkan kecepatan transmisi informasi , yang menghadapi kendala-kendala berupa ;

daya signal terbatas adanya noise lebar pita terbatas

- Beberapa aspek optimisasi dibahas dari berbagai sudut pandang- Dalam pembahasan tentang komunikasi biner , diutarakan tentang :

o pengaturan ambang pengambilan keputusan , apakah suatu signal diputuskan bernilai 0 atau 1- Konsep matched filter dibahas untuk :

o pemaximalan SNR pada transmisi biner- Ketidak samaan Schwarz digunakan didalam membicarakan jaringan emphasis (preamphasis dan

deemphasis) yang optimal untuk transmisi analog FM dan AM- Pembahasan tentang SNR , perubahan lebarpita pada sistem PCM- Teori Shanon tentang sistem transmisi digital optimum- Pembahasan transmisi optimum dengan cara yang lebih statistik didalam sistem komu-nikasi digital- Prosedur optimisasi pada sistem komunikasi digital berdasarkan minimisasi proba-bilitas terjadinya

kesalahan bit , dalam keadaan adanya AWGN- Prosedur ini akan menjawab pertanyaan “apakah ada gelombang-gelombang biner yang optimum dan

mekanisme penerima yang optimum untuk meminimalkan probabilitas terjadinya kesalahan- Pembahasan dimulai dari sample-sample signal tunggal yang diterima dan selanjutnya melakukan

generalisasi terhadap sample-sample yang berulang (multiple) secara bebas - Dari probabilitas distribusi yang diketahui dapat diperoleh prosedur pemrosesan opti-mum , yang terdiri

atas peningkatan pengaturan perbandingan kemungkinam (like-lihood ratio) dan menentukan apakah perbandingan tersebut lebih besar atau lebih kecil dibandingkan dengan suatu konstanta yang diketahui

27

- Sebagai alternatip , prosedur optimum terdiri atas sample-sample signal terima ruang berdimensi-m , yang dapat dibagi menjadi 2 daerah untuk pengambilan keputusan yang tidak tumpang tindih (disjoint decision regions)

- Dengan melakukan pensignalan multidimensi yang menggunakan signal-signal ortho-gonal M-susun , maka :

o dapat diperoleh penurunan probabilitas kesalahan , namun : memerlukan lebarpita yang lebih lebar rangkaian memjadi bertambah komplex

- Cara diatas adalah hal yang khusus daripada teorema kapasitas kanal Shanon , dimana : secara teoritis dapat dibuat sistem komunikasi dengan probabilitas kesalahan rendah , meskipun

terdapat adanya noise AWGN , sehingga :o dapat dilakukan operasi pengkodean dan pendekodean seca-ra memuaskan

o Hal diatas dimungkinkan asalkan : kecepatan transmisi bit = R bps tidak melebihi kapasitas kanal , yang mana : kapasitas kanal tersebut ditentukan oleh :

lebarpita kanal transmisi , daya signal rata-rata dan kerapatan spektral- Penggunaan metode-metode untuk mendeteksi dan mengoreksi kesalahan

bit adalah :o sebagai suatu cara untuk memperbaiki kinerja sistem komunikasi digital

- Cara yang umum dilakukan untuk mendeteksi dan mengoreksi kesalahan bit adalah :o dengan jalan menyisipkan bit-bit uji paritas dalam aliran biner (binary stream) , sehingga

dimungkinkan untuk : mendeteksi dan mengoreksi kesalahan dalam jumlah tertentu

- Langkah yang diambil dalam hal ini adalah :o memilih kode yang mendekati kinerja kesalahan yang diramalkan oleh Shanonm

PEMBUATAN KODE SIKLIS

Deret generator langsung dapat digunakan untuk pembuatan kode siklis Pembuatan kode secara serial dapat dilakukan dengan mengimplementasikan register geser Dasar pemikirannya sebagai berikut : Berdasarkan rumus untuk deret katakode = , dimana :

o deret urutan data : ; derajat (pangkat tertinggi) deret ini adalah

o namum derajat deret urutan data bisa menjadi kurang dari jika hal ini tergantung pada nilai-nilai bit data

o operasi akan menghasilkan deret berderajat , atau lebih kecil bila koefisien dari suku deret yang berpangkat adalah 0

o

o Derajat deret adalah :

o Deret kata kode =

Contoh :Buktikan bahwa kode jika kode datanya = , maka kata kodenya adalah : Bukti :

28

Jadi

Arithmatika polynomial

Sebelum menentukan deret generator , akan dibahas lebih dahulu tentang arithmatika (perhitungan aljabar) perkalian dan pembagian polynomial sebagai berikut : Misalkan adalah deret ukur , dimana nilai setiap

Jika semua nilai

o Jika

Jika untuk tidak semua bernilai 1 , misalnya :

o , maka :

Polynomial tersebut memberi gambaran yang sesuai dengan vektor informasi – k bit :

Perhatikanlah beberapa polynomial berikut :

Penjumlahan modulo-2 daripada 2 buah polynomial , misalnya :

Jadi :

Secara umum : Perkalian daripada 2 polynomial , misalnya :

29

Dapat

ditulis :

Kata kode keluaran adalah :

dimana perhitungan dan rangkaian berikut ini secara konsep dapat digunakan untuk me-nggambarkan perkalian

Untuk menghitung persamaan diatas dapat dilakukan dengan menggunakan rangkaian logika berikut :

Cara kerjanya :

Koefisien-koefisien adalah masukan pertama pada saat awal dengan Keluaran pertama adalah Register geser (shift-register) selanjutnya dikunci sekali sehingga disimpan di register 1 Keluaran

30

X XXXX

3 n-k21

kng 1 kng 2 kng 3 kng 0g

1210 ,,,, nn xxxx

Masukan1210 ,,,, kk wwww

Keluaran

k

Register geser totak dikunci sebanyak kali , untuk menghasilkan semua koefisien daripada Setelah koefisien masukan yang ke-k , maka bit-bit 0 adalah masukan ke register ge-ser ; cara ini akan

sangat menyederhanakan pengenkodea kode-kode siklis Selanjutnya perhatikan hasil-bagi daripada Sebagai misal , maka :

Perlu untuk diperhatikan bahwa hampir dalam semua kasus , hasil bagi polynomial menghasilkan sisa Sisa hasil bagi ini ditulis dengan :

SIFAT-SIFAT KODE SIKLIS

Untuk setiap kode siklis , semua vektor kode ( deret ukur kode = code-polynomial ) dapat dinyatakan sebagai :

o Hasil kali dari suatu deret generator , yang mempunyai derajat dengan deret berita yang mempunyai derajat

o Hasilkali mempunyai derajat o Karena setiap berita terdiri atas k buah bit , maka akan terdapat buah kemungkinan berita ,

sehingga akan terjadi buah deret ukur yang berbeda ,

sesuai dengan semua bilangan biner yang mungkin terjadi untuk mengisi nilai koefisien o Terdapat buah katakode yang munkin terjadi

Kata kode untuk suatu kode siklis biner dapat mudah dihasilkan dengan menggunakan rangkaian sebagai berikut :

Beberapa sifat penting daripada deret generator adalah sebagai berikut :o Deret generator untuk setiap kode siklis adalah suatu faktor daripada o Karena itu akan tidak terdapat sisa jika dilakukan proses pembagian yang panjang daripada

oleh o Setiap deret berderajat , yang mana adalah sebuah faktor daripada , adalah generator

polynomial untuk suatu kode siklis

31

DgDx

13 DD 1245 DDDDbagi Hasil12 DD

235 DDD

134 DDD

DDD 24

123 DD13 DDSisa2 DD

X XXXX

3 n-k21

kng 1 kng 2 kng 3 kng 0g

1210 ,,,, nn xxxx

Masukan1210 ,,,, kk wwww

Keluaran

o Derajat dari deret generator selalu o Pergeseran siklis ke-q daripada suatu katakode , adalah sisa daripada hasilbagi oleh

Deret generator untuk kode siklis , adalah matrix generator sebagai berikut :

o

Matrix uji paritas untuk kode siklis adalah :

o

Dimana , adalah hasil pembagian daripada oleh o tidak terdapat sisa jika dilakukan proses pembagian yang panjang daripada oleh (sesuai

dengan sifat 2 )

32

01

11

011

01

00000

0000

000

000

hhh

hhh

hhhh

hhh

H

kk

kk

kk

kk

22 k

1k

q2

q

kn

knkn

knkn

kn

ggg

gggg

gggg

ggg

G

10

110

110

10

00000

000

000

000

Kode-Kode Hamming Kode-kode Hamming adalah sekelompok kode yang ditemukan oleh R. W. Hamming (1950) kode-kode Hamming ini semuanya mempunyai jarak minimum 3 , yang dapat :

o mengoreksi sebuah kesalahan tunggal (t = 1) didalam suatu kelompok no mendeteksi semua kesalahan ganda

Kode-kode Hamming adalah kode-kode sistematis siklis linier Kode-kode Hamming dengan dan akan ada jika interger

Nilai kode atau Efisiensi kode =

Tabel nilai kode atau efisienssi kode :

Kode-kode Hamming selalu ditentukan oleh matrix uji paritas H , yang banyak kolomnya = dan banyak barisnya =

Kolom-kolom tersebut terdiri atas semua vektor komponen - yang bukan nol Contoh :

o Matrix uji paritas untuk kode Hamming (7,4) adalah :

o Matrix generator untuk kode-kode Hamming diperoleh dengan menggunakan hubungan :

asalkan kode-kodenya linier sistematis Generator polynomial adalah :

o Anggota dari kelas polynomials tertentu yang disebut dengan polynomials primitipo Tabel singkat daripada polynomial primitip yang dapat digunakan sebagai generator bagi kode-

kode Hamming , sampai dengaan panjang = adalah sebagai beri-kut :

33

j345678910111213

1 + D + D2

1 + D + D4

1 + D + D5

1 + D + D6

1 + D3 + D7

1 + D2 + D3 + D4 +D8

1 + D4 + D9 1 + D3 + D10

1 + D2 + D11

1 + D + D4 + D6 + D12

1 + D + D3 + D4 + D13

j1415161718192021222324

1 + D + D6 + D10 + D14

1 + D + D15

1 + D + D3 + D12 + D16

1 + D3 + D17

1 + D7 + D18

1 + D2 + D3 + D4 +D8

1 + D3 + D20 1 + D3 + D21

1 + D + D22

1 + D5 + D23

1 + D + D2 + D7 + D24

Pengenkodean Kode-kode Hamming

Enkoder yang digunakan bagi kode-kode Hamming terdiri dari berbagai bentuk :o Jika kecepatan pengenkodean tidak kritis , maka :

Enkoder dapat diimplementasikan / dilakukan dalam software , dengan jalan menghitung perkalian ma-trix generator secaaara langsung

o Jika kecepatan pengenkodean kritis , biasanya diguna-kan implementasi yang lain Gambar berikut ini melukiskan implementasi secara langsung bagi suatu enkoder Hamming , yang dapat

dibuat dengan memakai rangkaian logika berkecepatan tinggi Register geser dipuncak gambar menerima bit-bit in-formasi dari sumber data Setelah register masukan terisi , maka keluaran modulo-2 adders adalah simbol-simbol kata kode yang

benar Setiap simbol adalah suatu “penjumlahan modulo-2” daripada bit-bit informasi tertentu , yang ditentukan

oleh matrix gene-rator Generator matrix dapat diperoleh daari generator polynomial , dengan cara sebagai berikut :

Biasanya, banyaknya bit uji paritas < banyaknya bit kharakter, agar efisiensi kode > 50 % Dengan demikian daya yang digunakan untuk pengiriman kode sebagian besar digunakan untuk

keperluan pengiriman kode kharatter. Bit uji paritas tersebut isinya tergantung pada kode kharakter Tiap-tiap kharakter mempunyai bit-bit penguji sendiri-sendiri Banyaknya bit uji paritas tersebut paling sedikit sebanyak 3 bit Banyaknya perbedaan bit tersebut disebut dengan jarak Hamming (Hamming distance) Jadi untuk kode ( 7,4 ), dimana :

o banyaknya bit seluruhnya o banyaknya bit untuk kharakter o banyaknya bit uji paritas adalah o karena itu untuk kode ( 7 , 4 ), jarak Hammingnya adalah

Kode yang mengikuti aturan ini disebut dengan kode Hamming Syndrome s pada kode belitan (convolution code) terdiri atas q bit Sebagai contoh jika :

o banyaknya bit keseluruhan o banyaknya bit uji paritas = o maka banyknya bit kharakter .

Jika tanpa kesalahan penerimaan bit, maka :o syndrome nya adalah = o Jika syndromnya = maka terjadi kesalahan pada bit ke-1 (dari yang paling kiri atau LSB)o Oleh karena itu diperlukan petunjuk (n + 1) buah kesalahan (dibuktikan pada contoh dihalaman

berikutnya) o Apa yang ditunjukan pada contoh itu adalah tentang kode yang :

34

“tanpa kesalahan” (no error) satu kesalahan pada setiap digit dari kata kode lebih dari satu kesalahan pada setiap digit dari kata kode , sampai dengan seluruh

digit kata kode salah

adanya 2q buah kemungkinan syndrom yang berlain-an Sebagai contoh, untuk menjelaskan pernyataan diatas , diam-bil :

o suatu kode yang banyaknya bit keseluruhan

o

Banyaknya bit kharakter Semua kharakter yang mungkin terjadi = 2k = 23 =8, yaitu :

o 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 Maka pada kode Hamming ini : banyaknya bit uji paritas dan bit berita adalah sesuai dengan hubungan berikut :

dimana q = banyaknya bit uji paritas ;

n = banyaknya bit keseluruhan untuk kata kode

Efisiensi kode

Jika nilai n semakin besar, maka effisiensi kode akan semakin tinggi sebagaimana contoh berikut :

Matrix uji paritas dapat dibentuk dengan lebih mudah Dengan hanya 1 kesalahan digit, misalkan digit yang ke-j, maka syndrome kolom ke-j matrix H Untuk kata kode Hamming ( 7, 4 ), maka sebagai contoh matrix uji paritas = H adalah :

35

Untuk kode kharakter 000 :1. Jika tanpa kesalahan penerimaan, syndrome-nya 2. Jika terjadi kesalahan pada bit pertama (LSB) 3. Jika terjadi kesalahan pada bit kedua4. Jika terjadi kesalahan pada bit ketiga 5. Jika terjadi kesalahan pada bit pertama dan kedua

6. Jika terjadi kesalahan pada bit pertama dan ketiga 7. Jika terjadi kesalahan pada bit kedua dan ketiga 8. Jika terjadi kesalahan seluruhnya * Jadi diperlukan petunjuk ke-

salahan**Banyaknya bit uji paritas

Banyaknya kolom = n = 7 Dibandingkan dengan matrix uji paritas pada kode blok sebelumnya, dapat dilihat bahwa

o kode Hamming ini bukan kode yang sistematiso Hal ini disebabkan bahwa posisi-posisi digit uji paritas harus sesuai dengan kolom-kolom H

yang hanya mempu-nyai sebuah digit 1 dalam hal ini, jika dilihat dari matrix H diatas , maka kolom-kolom yang memenuhi syarat

adalah kolom ke-1 dan kolom ke-2 saja Untuk lebih jelas, perhatikan kata kode ( 7, 4 ) berbentuk sebagai berikut :

Digit-digit paritasnya adalah sesuai dengan persamaan beikut :

Contoh : Untuk kata kode dengan :

Maka kata kode tersebut adalah :

Perhatikan, bahwa kata-kode ini sama dengan baris pertama dari matrik H diatas tadi Selanjutnya dibuat tabel kode Hamming sebagai berikut :

o Jika n = 7, maka banyaknya kode blok yang mungkin terjadi adalah 27 = 128 buaho Jika banyaknya bit untuk sebua berita adalah k = 4, maka hanya 24 = 16 buah kode blok yang

digunakan untuk mewakili seluruh berita yang mungkin terjadio Tabel untuk kode blok adalah sebagai berikut

36

Nomor Berita

Kode Berita

Kata Kode

0123456789101112131415

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

0000000101000111100100100011011010011001011000110001011111010000111001001101010010111011100000110101011101111111

Banyaknya baris = q = 7 – 4 = 3

Jika penulisan kode berita dilakukan secara pembacaan terbalik, artinya jika kode untuk menyatakan nilai suatu level amplitudo, misalnya amplitudo yang terdiri atas 4 level, yang biasanya bilangan binernya adalah 0100 dibalik penulisannya menjadi dari arah sebelah kanan sehingga menjadi 0010 , ma-ka :

o tabelnya akan berubah menjadi tabel kode Hamming berikut ini :

Berdasarkan tabel kata kode yang terdapat pada halaman sebelum-nya, maka dapat dilihat bahwa setiap kata kode yang digunakan un-tuk menyatakan sebuah berita, maka :

Setiap kata kode yang berturutan nilainya berbeda 3 posisi Berita berbeda dapat mempunyai bit uji paritas yang sama Bit uji paritas ditulis mendahului bit data Dengan demikian 1 atau 2 kesalahan transmisi tidak akan dapat mengubah suatu kata kode menjadi kata

kode yang lain Karena itu dekodernya akan dapat memberitahukan kepada pengguna bahwa telah terjadi kesalahan

transmisi (meskipun tidak dapat mengoreksi kesalahan tersebut Namun jika terjadi 3 kesalahan transmisi maka akan dapat mengubah kata kode yang dipan-carkan menjadi

sebuah blok yang sama dengan kata kode yang memenuhi syarat

37

No0123456789101112131415

Berita000010000100110000101010011011100001100101011101 00111011 01111111

Kata kode0000000110100001101001011100111001000110101000110010111010100010111001110010100011010100011100101100101111111111

Jika kata kode untuk berita nomor 2 yaitu 0110100 dikirimkan dan kesalahan terjadi pada posisi 1, 2 dan 4, maka :

signal yang salah tersebut adalah :“1011100” , yang mana berarti sama dengan kata kode untuk berita nomor 3

Karena itu detektor akan menganggap berita nomor 2 sebagai berita nomor 3 Jadi dengan terjadinya 3 kesalahan, maka detektor tidak dapat mendeteksi kesalahan tersebut Jika kesalahan lebih dari 3 bit, maka hanya akan dapat mende-teksi kesalahan jika kata kode

yang diterima (atau vetor yang diterima) tidak sama dengan kata kode yang ditunjukkan pada table

Banyaknya perbedaan diantara sepasang kata kode yang berturutan, misalnya xm dan xm’ , adalah sesuatu yang benar-benar penting dan disebut dengan :

o jarak Hamming ( Hamming –distance ) Simbolnya adalah dH atau dH ( xm , xm’ )

Karena itu dekodernya tidak akan dapat mendekti dan mengo-reksi kesalahan.Tabel tertentu yang dibuat sebagai contoh tersebut adalah termasuk kelompok kode Hamming

Pada tabel tersebut terdapat 3 buah jarak Hamming minimum Ketiga jarak Hamming minimum tersebut dapat digunakan untuk mengoreksi sebuah kesalahan transmisi

tunggal didalam setiap blok kata kode yang dipancarkan Hasil penjumlahan kedua kata kode yang berturutan ini dinamakan dengan jarak Hamming.

Jadi :Kata kode nomor 2 = x2 = 0110100Kata kode nomor 3 = x3 = 1011100

Jarak Hamming = dH = 1101000

Bobot Hamming (Hamming-weight) = banyaknya angka 1 pada setiap kata kode

Contoh :Kode Hamming ( 7,4 ) sebagaimana diberikan pada tabel kode Hamming diatas, misalkan mempunyai keluaran kanal simetrik biner seperti yang dituliskan berikut ini :

y = 1011010Detektor menghitung jarak-jarak Hamming antara y dan semua kata kode yang mungkin terjadi xm .

Keluaran dekoder mengistimasikan adalah yang mempunyai jarak minimum dari y.Dari tabel kode Hamming, kata kode nomor lima adalah :x5 = 0011010.Jarak Hamming antara y dan x5 adalah pertambahan modulo-2 antara y dengan kata kode x5, yaitu 1011010 + 0011010 = 1000000. Bobot Hamming-nya = 1 = jarak Hamming minimum.Jadi jarak Hamming minimum antara y dan xm akan terjadi antara y dengan kode berita untuk x5 = 0011010 .

Probabilitas Kesalahan Blok

Probabilitas kesalahan blok = daripada kode-kode yang dapat mengoreksi kesalahan tunggal adalah : Probabilitas dua atau lebih kesalahan terjadi selama transmisi

Probabilitas kesalahan Blok =

Terdapat sebuah “pattern kesalahan” tunggal , dengan tanpa kesalahan , yang mana terjadi dengan probabilitas =

Terdapat pattern kesalahan dengan sebuah kesalahan tu-nggal , yang mana terjadi dengan probabilitas =

Berikut ini gambar yang melukiskan probabilitas kesalahan blok sebagai fungsi daripada probabilitas daripada fungsi pin-dah silang (crossover) BSC (Binary Symetric Code) , untuk kode-kode Hamming , berdasarkan tabel berikut :

Vektor Kesalahan

Jika kata kode xm ditransmisikan menggunakan Kode Simetrik Biner ( BSC = Binary Sym-metric Code ) , maka selama transmisi kesalahan dapat terjadi. Vektor kesalahannya dapat ditulis sebagai Jika salah satu atau lebih dari nilai vektor tersebut adalah “1”, maka telah terjadi kesalahan transmisi diposisi bit tersebut.Contoh :

38

+

Jika kanal dianggap tak bermemory, maka probabilitas terjadinya kesalahan pada setiap sim-bol tertentu adalah tak tergantung pada semua simbol yang lainnya.Jadi pada kode simetrik biner, probabilitas-probabilitas transisi ( transition probabilities BSC ) adalah konstan untuk seluruh transmisi. Maka :

Untuk BSC, Dengan demikian probabilitas bahwa BSC menyebabkan terjadinya vektor kesalahan :

Secara umum, probabilitas bahwa BSC menyebabkan kesalahan-kesalahan kanal e’ pada po-sisi tertentu didalam blok kata kode yang panjangnya n adalah :

Hasil diatas tersebut digunakan untuk mencari yaitu Probabilitas y = signal ter-tentu yang diterima jika signal yang dikirim adalah xm .Rumus lainnya yang dapat digunakanadalah :

Pada kode Hamming ini untuk memeriksa kesalahan kode dilakukan secara kontinyu, dengan cara yang dikenal dengan nama pembelitan atau konvolusi (convolution).Untuk menggambarkan kode Hamming ini secara lebih jelas, dimisalkan setiap kharakter yang dibuat menjadi kode terdiri atas k buah bit, dan disebut dengan kode asli. Setelah masing-masing kharakter diberi bit-bit penguji-nya masing-masing, jumlah bit untuk menggambarkan setiap kharakter menjadi n buah bit. Jadi banyaknya bit penguji adalah sebanyak m = (n-k) buah bit.

Maka Efisiensi kode = .

Kelompok kode yang termasuk dalam kode Hamming ini dapat ditulis sebagai berikut :

dimana : n = jumlah bit total untuk menyatakan kharakter

m = banyaknya bit penguji k = banyaknya bit asli

Jadi jika banyaknya bit penguji , maka :kode seluruhnya adalah

dengan jumlah bit penguji sebanyak bitDengan demikian kode aslinya adalah :

Jika m = 3 bit, maka ; kodenya = Contoh kode (7,4) adalah :

39

mk

n

1001001

Kode asli tersebut secara seri digeser melalui register geser sehingga pada setiap penggeseran akan menghasilkan kode yang terdiri atas n buah bit

Hal ini dapat dicapai dengan jalan membuat rangkaian tertentu yang dapat memenuhi kebutuhan yang diinginkan

Teknik yang diterapkan untuk mencapai keinginan itu adalah dengan menggunakan rangkaian sebagai berikut :

Coding untuk Kanal Simetrik Biner(BSC =Binary Symetric Channel)

Shanon telah mendemonstrasikan jika kapasitas kanal transmisi melebihi ba-nyaknya bit per detik yang melewatinya, maka :

dimungkinkan diperoleh transmisi bit-bit tanpa kesalahanJadi jika C = kapasitas kanal transmisi ; R = banyak bit yang dikirimkan per detik.Maka jika C R akan dimungkinkan transmisi bit-bit tanpa kesalahan

Dasar-dasar Teori Informasi

Sebelumnya sudah dibahas bahwa : signal yang mengandung informasi yang dibangkitkan di pemancar tidak dapat diterjemahkan secara

benar di penerima . sebagai akibat : adanya signal yang mengalami cacat di kanal antara pemancar dan penerima Cacat ini menyebabkan matched filter detector di penerima membuat kesalahan

Disain sistem komunikasi yang baik akan dapat : meminimalkan kemungkinan matched filter tersebut membuat kesalahan dengan cara : melebarkan lebarpita menambah daya pancar sekali gus mempertahankan beaya pembutan sistem yang layak.

Hal ini memang membuat disain menjadi lebih ruwet. Studi teori informasi menunjukkan bahwa terdapat batas-batas teori fundamentil yang ada hubungannya dengan :

probabilitas kesalahan daya pemancar interferensi lebarpita signal keruwetan sistem

Hubungan ini digunakan untuk : menelaah kelayakan kinerja probabilitas kesalahan sistem yang telah dibahas secara

mendalam, dengan memakai sumber daya yang tersedia mendapatkan wawasan tentang teknik yang digunakan bagi pencapaian kinerja yang dinginkan

tersebut.

40

Bidang teori informasi dimulai dengan karya Shanon, diakhir tahun 1940. Sejak saat itu banyak ahli riset telah mengembangkannya dan telah berhasil mendapatkan teknik yang terperinci untuk merancaang efisiensi komunikasi. Keseluruhan daripada bidang pengontrolan kesalahan tersebut harus dibahas secara mendalam, untuk :

dapat melakukan pengembangan teknik-teknik yang diperlukan bagi tercapainya kinerja yang diharapkan

terwujudnya apa yang telah dibuktikan oleh Shanon Pada bab ini sejumlah teknik pengontrolan kesalahan yang paling penting akan dibahas.Dari studi yang sangat mendalam , maka akan dapat diperlihatkan tentang :

pengertian bagaimana kinerja sistem komunikasi mungkin akan menghadapi berbagai hambatan (constraints) tambahan

Studi tentang berbagai teknik pengontrolan kesalahan akan dapat memberi pengertian tentang :o prinsip pengontrolan kesalahano teknik-teknik tentang bagaimana caranya mencapai kinerja sistem komunikasi yang diinginkan

tersebut Teknik pengontrolan kesalahan yang dibahas akan mencakup tentang :

o pengkodean signal yang merupakan salah satu yang diperlukan pada sistem komunikasi digital , agar diperoleh :

kode yang dapat melakukan self correction jika mengalami kesalahan didalam urutan bit-bit , misalnya :

kode blok kode konvolusi automatic repeat request system dengan menggunakan deteksi kesalahan.

Jenis interferensi oleh noise yang dibahas , adalah : yang terkait dengan pengontrolan kesalahan dibatasi hanya pada interferensi noise Gaussian saja.

KONSEP DASAR TEORI INFORMASI

Studi tentang teori informasi secara klasik dibagi menjadi : studi tentang koding sumber informasi studi tentang koding kanal

Dari gambar mode sistem komunikasi sebelumnya , terlihat bahwa keluaran dari sumber informasi adalah masukan ke enkoder sumber, yang mana fungsinya adalah :

memperkecil banyaknya bit data rata-rata pada setiap waktu tertentu, yang harus dipancarkan ke pengguna informasi melalui kanal

membuat banyaknya bit data rata-rata tersebut adalah seminimum mungkin.Jika koding sumber informasi bukan menjadi pokok pengamatan, maka :

- akan menjadi mudah untuk mengelompokkan enkoder sumber informasi dengan sumber informasi itu sendiri

- mengamati hasil dari sumber informasi- Keluaran sumber informasi adalah masukan ke enkoder kanal- Fungsi dari enkoder kanal, yang mana fungsinya dapat disingkat dengan melakukan

koding , adalah yang menjadi pokok dari kebanyakan pembahasan tentang teori informasi ini.

KODING ( PENYANDIAN ) SUMBER INFORMASI

Ada banyak kemungkinan sumber informasi yang akan dikirimkan, yang :

41

rentangnya mulai dari halaman-halaman ketikan sampai dengan bayangan-bayangan atau gambar-gambar video

suara analog yang didigitalkan sampai dengan kandungan biner di memory komputer.Semua sumber informasi analog dianggap harus diubah menjadi urutan waktu diskrit, dengan :

- simbol-simbol diskrit wi , dari suatu abjad adalah : ; banyaknya simbol = w buah

- prosesnya adalah dengan pen ”sampling”an dan pencapaian perubahan dari analog ke digital

- didalam setiap interval waktu T , wi dapat bernilai salah satu dari qw buah simbol yang berbeda-beda- nilai-nilai tersebut adalah mulai dari

Setiap simbol adalah :o salah satu dari keluaran dari sumber informasi yang terjadi pada setiap waktu Tw detik (disini w

menunjukkan berita). Simbol-simbol itu tidak lebih dahulu dianggap sebagai keluaran dengan probabilitas yang

samaProbabilitas keluaran sumber informasi adalah :

sebuah simbol j, yaitu Qw(j), dimana j = 0,1,2,…..,qw-1 Simbol-simbol dianggap bebas satu sama lain setiap simbol keluaran dari sumber informasi , dengan simbol yang beri-kutnya, dinyatakan

dengan index waktu yang berbeda sehingga simbolnya juga berbeda-beda

Jika qw= banyaknya abjad , maka setiap simbol terdiri atas log2 qw digit biner.Contoh :qw = 256 = 28 Setiap simbol terdiri atas log2 28 = 8 buah digit biner

Kecepatan bit sumber informasi per detik = banyaknya bit per detik :

bps

dimana :Tm = waktu yang diperlukan untuk menyatakan sebuah simbol

Meskipun urutan keluaran sumber informasi dapat dinyatakan dengan suatu arus bit (bit stream) yang mempunyai kecepatan Rm bps, namun biasanya :

o dimungkinkan untuk menyatakan urutan dengan menggunakan arus bit dengan kecepatan yang lebih rendah

o Kecepatan bit terendah yang mungkin adalah sama dengan kandungan informasi rata-rata dari urutan simbol

o Kandungan informasi pada setiap simbol , yang berarti banyaknya bit setiap simbol, adalah :

yang mana adalah : fungsi probabilitas kejadian simbol tersebut

Rumus tersebut memperlihatkan bahwa :o kejadian keluarnya event dari sample yang ada adalah :

lebih sering tidak sama besarnya dibandingkan dengan kejadian keluaran event yang sama pada bidang komunikasi ini

Dengan kata lain random events outcome lebih sering terjadi dibanding dengan equally likely events outcome.

42

Probabilitas keluaran yang kecil akan menghasilkan kandungan informasi yang tinggi

Jika banyaknya abjad hanya 1, maka simbolnya hanya terdiri atas 1 bit sehingga probabilitas keluarnya simbol tersebut adalah Pw( j ) =1

Akibatnya kandungan informasinya = 0, atau tanpa kandungan in-formasi apapun juga Kandungan informasi rata-rata dari sumber berita disebut dengan :

Entropy

Intisari dari teori komunikasi adalah tentang : ukuran informasi Yang dimaksudkan dengan informasi didalam teori komunikasi ini adalah :

o segala sesuatu yang dihasilkan oleh sumber berita untuk ditransfer ke pengguna yang memerlukannya

Jika isi informasi yang ditransfer ke pengguna tersebut , mempunyai :o kemungkinan yang kecil untuk diketahui lebih dahulu oleh pengguna, maka :

nilai informasinya tinggio Sebaliknya : o jika kemungkinannya besar, maka nilai informasinya rendah.

Sebagai contoh jika seseorang berpapasan dengan temannya, lalu bertanya : “kemana kamu hendak pergi” jika dijawab :

o ”saya mau kedepan “, maka : nilai informasi yang didapat oleh penanya adalah rendah sekali, sebab

sipenanya hampir sudah pasti tahu bahwa kemungkinan temannya berjalan menuju kearah depan

Namun jika temannya yang ditanya tadi menjawab : “saya mau ke stasiun bis”, maka nilai informasi yang diperoleh penanya adalah tinggi, sebab kemungkinan bahwa yang ditanya akan menuju ke stasiun bis hanya merupakan sebagian kecil dari kemungkinan-kemungkinan lain yang bisa kerjadi. Nilai informasi disebut juga dengan entropy. Simbol untuk intropy adalah H(X). Rumusnya adalah sebagai berikut :

Probabilitas isi informasi diketahui lebih dahulu oleh pengguna

Maka entropynya adalah :

Informasi yang terkandung dalam sebuah gambar

Sering dikatakan bahwa sebuah gambar lebih bermakna daripada ribuan kata. Suatu gambar dapat diuraikan dalam sejumlah titik dis-krit atau elemen, dimana masing-masing elemen tersebut mempu-nyai level “kecerahan” (brightness) yang rentang-warnanya mulai dari warna hitam sampai ke warna putih.Sebagai contoh sebuah gambar pada televisi baku, mempunyai elemen kecerahan seba-nyak 500 x 600 = 3 x 10 5 buah dan 8 buah level yang dengan mudah dapat dibedakan. Dengan demikian terdapat buah elemen

43

gambar yang mungkin terjadi, dengan masing-nasing gambar mempunyai kemungkinan kemunculan yang sama, yaitu , apabila dia-nggap semua kemunculan gambar berlangsung secara acak. Oleh karena itu jika semua elemen gambar yang mungkin terjadi tersebut dinyatakan dengan digit-digit biner, maka kebutuhan bit yang dapat memfasilitasi semua elemen gambar tersebut ada-lah sebesar :

Sebagai alternatip, dengan menganggap semua elemen gambar mempunyai kemungkinan yang sama (equally likely) untuk muncul, dengan informasi per elemen = bit, maka kebutuhan bit total untuk menyatakan seluruh elemen gambar adalah = 3 x 3 x 10 5 10 6 bits. Jika dianggap bahwa suatu perbendaharaan kata (vocubolary) terdiri atas 100.000 kata dengan kemungkinan keluar yang sama, maka kemungkinan munculnya setiap kata = 10 – 5. Oleh karena itu informasi yang terkandung pada 1000 kata membutuhkan digit biner sebanyak :

Kebutuhan bit sebesar itu akan sangat kecil dibandingkan dengan kebutuhan bit untuk seluruh elemen daripada sebuah gambar.Anggapan diatas masih dapat didiskusikan lebih lanjut.

Entropy dan Nilai Informasi

Informasi sendiri (self information) didifinisikan sebagai masing-masing berita atupun masing-masing simbol daripada semua yang dihasilkan oleh suatu sumber berita. Namun elemen sendiri itu bukanlah gambaran (description) yang bermanfaat tentang apa yang dihasilkan oleh sebuah sumber berita, relatip terhadap apa dikomunikasikan.Sistem komunikasi tidaklah dirancang untuk pengiriman dan penerimaan suatu berita khusus, melainkan untuk pengiriman dan penerimaan segala berita yang mungkin terjadi. , yang berarti bahwa semua apa yang dapat dihasilkan oleh suatu sumber berita adalah sesuatu yang berbeda dengan suatu kejadian tertentu. Jadi meskipun aliran informasi sesaat dari sumber berita bisa saya sesuatu yang tidak menentu (erratic), namun harus digambarkan bahwa sumber berita tersebut mengeluarkan informasi rata-rata. Informasi rata-rata ini dinamakan entropy sumber berita.Untuk suatu sumber yang mengirimkan simbol-simbol diskrit yang secara statistik bebas satu sama lain, untuk merumuskan entropy-nya, diambil misal m = banyaknya simbol yang berbeda, misalnya simbol daripada abjad yang mana jumlah abjadnya adalah m.Jika simbol-simbol tersebut mempunyai probabilitas yang tidak sama untuk dipan-carkan dari sumber, maka simbol atau abjad yang ke-j mempunyai probabilitas untuk dipancarkan = Pj , maka informasi yang dibawa

adalah sebanyak = bit informasi.

Untuk suatu berita yang panjang, simbol, simbol ke-j mempunyai probabilitas kemunculan sebesar NPj

kali , sehingga bit informasi total pada berita panjang tersebut menjadi :

NP11 +NP2 2 + + NPmm = bits

Informasi rata-rata per simbol, yang didifinisikan seabagi entropy, adalah :

Jadi Entropy adalah banyaknya bit yang diperlukan untuk menyatakan setip simbol.Perata-rataan diatas merupakan perata-rataan yang berpasangan (ensemble average).

Jika sumber informasi tersebut tidak stasioner, maka probabilitas bisa berubah dengan waktu sehingga entropy menjadi tidak sangat penting.

44

Jika sumber dianggap ergodic, maka perata-rataan berpasangan maupun perata-rataan waktu adalah identik.

Entropy PCM

Misalkan suatu sistem PCM, dimana : input kontinyunya = x(t) pita frekuensinya terbatas hanya sampai dengan 50 Hz. x(t) disample mengikuti Nyquist rate, yaitu dengan frekuensi sample = fs = 2W = 100 Hz Jika simbol yang mungkin terjadi sebanyak 4 buah berarti setiap sample digambarkan dengan 2 bit saja dimana dimisalkan probabilitas munculnya simbol, secara berturut-turut adalah 0.5, 0.25, 0.125 dan 0.125.

Banyaknya level kuantisasi terbanyak , yaitu banyaknya level kuatisasi yang mewakili amplitudo pulsa tersampling paling tinggi adalah m = 22 = 4. Simbol biner yang mungkin keluar dari sistem PCM tersebut adalah

Maka entropy-nya adalah :

Dengan frekuensi sampling = fs = 100 Hz, maka periode sampling = Ts= 0.01 detik

Dalam 1 detik terdapat simbol yang dikirim.

Dengan entropy 1.75 bits/simbol, maka dalam 1 detik akan dikirim R = 100x1.75 = 175 bit/detk.Karena setiap simbol harus dinyatakan dengan banyak bit yang genap, maka tidak mungkin menyakan setiap simbol dengan 1,75 bits, tapi harus dibulatkan keatas menjadi 2 bits/simbol.Hal ini sesuai dengan anggapan semula.Dengan demikian setiap detik dikirimkan 200 bit.

Contoh :Misalkan suatu sumber informasi menghasilkan tiga buah kemung-kinan simbol, yaitu A,B atau C, dengan probabilitas 0.7, 0.2 dan 0.1, selama interval pensignalan berturut-turut.Ditanyakan :(a) carilah kandungan informasi per simbol !(b) carilah entropy atau informasi rata-rata dari keluaran sumber !(c) jika setiap detik dikirim 1000 simbol oleh sumber informasi , carilah kecepatan informasi rata-rata !(d) Berapakah kecepatan informasi maximum yang mungkin ?

Jawab:(a). Kandungan informasi setiap simbol :

untuk simbol A, adalah : I(A) = -log2 (0.7) = 0.515 untuk simbol B, adalah : I(B) = -log2 (0.2) = 2.322 untuk simbol C, adalah : I(C ) = -log2 (0.1) = 3.322(b). Entropy-nya dicari dengan rumus :

45

0 0 P1 = 0.5 0 1 P2 = 0.25 1 0 P3 = 0.125 1 1 P4 = 0.125

Semakin tinggi ke-mungkinannya, sema-kin rendah kandung-an informasinya

Jadi entropy-nya adalah :

(c). Oleh karena itu jika setiap detik dikirim 1000

simbol, maka banyaknya informasi ratarata per detik adalah = 1157 bps (d). Kecepatan informasi maximum yang mungkin dan entropy sumber informasi maximum, dicapai jika

simbol-simbol keluaran dari sumber informasi adalah benar-benar sama kemungkinan keluarnya (equally likely).

Karena dalam 1 detik dikirim 1000 simbol, maka waktu yang diperlukan untuk 1 simbol adalah 10-3 detik. qw = banyaknya abjad = 3 ; agar kecepatan informasinya yang mungkin terjadi maximum. maka probalitas

keluarnya setiap abjad adalah sama, yaitu

Jadi Dapat juga dicari dengan rumus :

Perlu dicatat bahwa seiap simbol atau kharakter harus dinyatakan dengan bit yang banyaknya bulat, bukan

pecahan. Jadi jika dalam perhitungan setiap simbol terdiri atas susunan bit seba-nyak H(W) = 1.157 , maka

dalam praktek setiap simbol harus dinyatakan dengan lebih dari 2 bit.

Contoh :Pada sistem komunikasi PCM, dimana inputnya adalah signal pembicaraan manusia yang lebar pita frekuensi W = 4 kHz. Fekuensi sampling = fs = 2W = 8 KHz. Setiap simbol digital dinyatakan dalam 8 bit. Probabilitas

keluarnya simbol dianggap bahwa 12.5 % dari seluruh simbol masing-masing adalah , 25 % dari seluruh

simbol masing-masing adalah dan sisanya masing-masing adalah .

a. entropy sistem PCM – nya.b. bit-rate-nya.

Jawab:Karena setiap simbol dinyatakan dalam 8 bit, maka m = 28 = 256. Maka banyaknya simbol yang mungkin terjadi adalah 256.Simbol-simbol yang mungkin terjadi adalah :

a. Entropy sistem PCM adalah :

46

Dengan frekuensi sampling = fs = 8 kHz, maka periode sampling = Ts= 125 detik

Dalam 1 detik terdapat simbol yang dikirim.

Dengan entropy 7.745 bits/simbol, maka dalam 1 detik akan dikirim R = 8000x7.745 = 61960 bit/detk.

b. Bit-rate = R = 61960 bpsKarena setiap simbol harus dinyatakan dengan banyak bit yang genap, maka tidak mungkin menyakan setiap simbol dengan 7,745 bit, tapi harus dibulatkan keatas menjadi 8 bits/simbol.Hal ini sesuai dengan anggapan semula.Dengan demikian setiap detik dikirimkan 8000x 8 = 64 k bit.Teori matematis tentang informasi memberikan baik batas bawah dan panjang rata-rata kode sumber informasi, yang mana panjang kode tersebut bervariasi , maupun untuk mencari kode-kode yang panjang rata-ratanya dicapai atau didekati oleh batas bawah kode tersebut.Contoh sistem kode dengan panjangny bervariasi adalah sistem kode Morse, dimana abjad-abjad yang paling sering dipakai , misalkan huruf hidup “ a”, “ i”, “ u”, “ e”, “ o” diberi kode yang lebih pendek, sedang kode yang jarang dipakai , misalkan huruf “ z” diberi kode yang lebih panjang.Entropy sumber informasi, yaitu H(W), adalah batas bawah atau banyak bit rata-rata terkecil yang digunakan untuk menyatakan suatu simbol atau kharakter.Salah satu metode pengkodean sumber informasi adalah kode Huffman.Prosedur pembentukan kode Huffman ini dapat dilihat dari contoh berikut ini :

- misalkan suatu sumber informasi menghasilkan 3 jenis simbol, A ,B dan C- probabilitas keluarnya berturur-turut adalah : 0.70 , 0.20, 0.10.

Sebelumnya sudah dihitung tentang kasus yang sama, bahwa entropy sumber informa-sinya adalah 1.157

.

Prosedur Huffman untuk mengkode sumber informasi tersebut menjadi kode biner dengan panjang yang bervariasi mulai dengan mendaftar simbol-simbol keluaran dari sumber informasi, sebagai gambar berikut ini :

47

Pasangan simbol-simbol sumber informasi yang paling kecil ke-mungkinannya (yang berarti 0.20 dan 0.10), kemudian digabungkan untuk menghasilkan apa yang disebut dengan sumber informasi yang diperkecil (reduced source), yang probabilitasnya men-jadi 0.20 + 0.10 = 0.30.Probabilitas simbol-simbol gabungan adalah jumlah dari probabili-tas simbol-simbol gabungan yang dipakai untuk menghasikannya. Gabungan probabilitas tersebut misalnya : 0.20 +0.10 = 0.30 ; 0.70 + 0.30 = 1.0

]

0

1

1

Dikolom pertama terlihat kata-kata kode Huffman yang berkaitan dengan 3 simbol A,B,C.Pada kolom kedua terlihat simbol-simbol gabungan yang dimaksudkan disertai probabilitas keluarnya simbol untuk dikrimkan ke tujuan.Langkah dikolom ke-2 ini , dapat dilihat bahwa B dan C digabung menjadi simbol BC, yang probabilitasnya menjadi = 0.20 + 0.10 =0.30.Garis-garis terlihat menghubungkan simbol-simbol asli dengan reduksi pertama. Hanya garis-garis yang menghubungkan simbol-simbol yang sedang digabung diberi label sebuah “0” dan sebuah “1”.Simbol-simbol dari sumber informasi yang tereduksi sekarang diatur lagi dengan jalan mem-perkecil order dari probabilitas-probabilitas yang berturutan. Sumber informasi yang tereduksi adalah simbol yang banyaknya kurang satu dibandingkan dengan sumber informasi masukannya. Reduksi terhadap sumber informasi ini berlanjut sampai tinggal satu simbol informasi gabungan tunggal saja, dimana probabilitasnya adalah 1.Keluaran kode Huffman untuk simbol-simbol informasi asli, secara sederhana adalah urutan dati “0” dan “1”, yang didapatkan dari simbol gabungan terakhir dari smibol sumber in-formasi asli.Sekali lagi perlu dijelaskan bahwa simbol-simbol itu diperuntukkan untuk dibuat cabang-cabang , dimana simbol-simbol itu digabung.Kata-kata kode Huffman dapat dilihat pada gambar sebelumnya.Jika banyaknya kode yang mungkin keluar adalah n jenis dan panjang katakode yang ke- j dinyatakan dengan lj , dan probabilitas keluarnya simbol j tersebut adalah P w( j ), maka panjang kode rata-rata adalah :

Pada contoh sebelumnya , n = 3 , yaitu A,B dan C , dengan kata kode A panjangnya 1 bit ; kata kode B panjangnya 2 bit ; kata kode C panjangnya 3 bit ; probabilitas masing-masing berturut-turut adalah P(A) = 0.70 ; P(B) =0.20 ; P(C ) = 0.10, maka :

48

11

10

A

B

C

0.10

0.20

0.70

A

BC

0.30

0.70

ABC

1. 0

0

Kata-kata kode

Huffman

Sumber Info Asli Reduksi

1Reduksi

2

Prosedur pengkodean Huffman terhadap sumber informasi

0

Nilai ini lebih besar dari nilai minimum yang mungkin, yaitu 1.157 (sudah dihitung sebelumnya).

Hasil ini jauh lebih baik dibandingkan apabila tidak digunakan koding, dimana diperlukan 2.00

ingat : karena ada 3 buah simbol, maka diperlukan 2 bit per simbol, jika tidak dilakukan teknik pengkodean Huffman.Dasar pemikiran teori informasi adalah membuat probabilitas kesalahan berita menjadi nol., dengan cara

penambahan komplexi-tas gelombang pada tetap.

Dasar pemikiran ini berlaku selama nilai transmisi informasi (banyaknya bit yang diki-rimkan per satuan waktu) keseluruhan dibawah kapasitas kanal. Cara-cara yang dilakukan para teknolog informasi untuk mencapai tujuan diatas, yaitu untuk mengurangi nilai kesalahan berita, adalah dengan jalan memakai teknik-teknik tertentu, misalnya : menambah daya pemancar ataupun dengan mengurangi besarnya daya pemancar agar probabilitas kesalahan berita menjadi kecil.

KODE BLOK

Suatu blok yang terdiri atas k buah bit informasi dinyatakan dalam k-vektor, sebagai :

semua wmi bernilai 0 atau 1Subcript m menyatakan berita tertentu yang sedang diperhatikan dari 2k buah berita yang mungkin terjadi jika setiap berita terdiri atas k buah bits.Jadi banyaknya kode untuk informasi atau kode untuk data yang mungkin terjadi = 2k buah.Jadi m = 1, 2, 3, ………………2k

QM(m) = probilitas berita yang keluar adalah berita ke-m.

Jika berita yang keluar mempunyai kemungkinan keluar yang sama , maka QM(m) = 2-k

Contoh : Jika k =3, maka berita yang mungkin keluar adalah m = 2k = 23 = 8, yaitu

w0 = 0 0 0w1 = 0 0 1w2 = 0 1 0w3 = 0 1 1w4 = 1 0 0w5 = 1 0 1w6 = 1 1 0w7 = 1 1 1

Jika m = 5, maka berita yang dimaksudkan adalah wm –1 = w4 = 1 0 0

Enkoder akan memetakan setiap berita tertentu , yaitu wm (yang terdiri atas k bits) , menjadi n buah vektor biner tertentu atau berita yang terdiri atas n bits = ( k + q ) bits , yaitu :

Disini yang dimaksud dengan n = jumlah bit berita ( = k bits) ditambah dengan bit paritas ( = m bits ). Pemetaan ini adalah satu berita ke satu peta, sehingga setiap berita mempunyai satu peta tersen-diri.Kode blok (n,k) adalah himpunan dari semua simbol xm ( yang banyaknya 2n buah anggota himpunan )Dalam kode blok ini k < n, yang berarti banyaknya bit kode asli lebih kecil daripada banyak seluruh bit dari kode blok.

Banyaknya bit paritas atau bit penguji = q = n – k Banyaknya berita yang mungkin terjadi = 2k

Banyaknya kata kode yang mungkin terjadi jika setiap berita terdiri atas n bits = 2n > 2k

49

Maka tidak semua kata kode yang mungkin terjadi digunakan sebagai kata kode( dari 2n buah kata kode yang mungkin terjadi hanya 2k buah saja yang digunakan sebagai kata kode )

Efisiensi kode = Nilai kode (code-rate)

Singkatan :1. Disain sistem baik harus efisien didalam hal :- pemakaian sumber dayanya- lebarpita frekuensinya- kompak- menghasilkan komunikasi informasi yang andal dari sumber informasi ke tujuan informasi

o Untuk itu ukuran keandalannya adalah : besarnya probabilitas kesalahan adalah harus kecil dan dibawah nilai max yang diijinkan.

2. Sumber koding harus :- menggunakan kode redundance sekecil mungkin untuk memini-malkan penggunaan bit untuk setiap kode

yang dikomunikasi-kan- Hal ini berarti dapat menghemat kebutuhan akan lebarpita frekuensi.3. Kode kanal digunakan untuk memperbaiki sebanyak mungkIn kesalahan kode yang terjadi pada kanal

tersebut, yang pada gilirannya dapat memperbaiki keandalan komunikasi.4. Sumber signal diskrit tanpa menggunakan memory menggambarkan informasi yang menggunakan urutan

simbol-simbol bebas, wo , w1 , ….yang sesuai dengan simbol abjad W = [0,1,2,…….qw – 1 ]. Probabilitas bahwa simbol keluaran DMS adalah = j eselama interval I adalah Qw(j).

5. Kandungan informasi suatu simbol keluaran DMS tunggal j , adalah I(j) = -log2Qw(j). Simbol-simbol keluaran DMS yang banyak kesamaannya mempunyai kandungan informasi yang kecil dibandingkan dengan simbol-simbol yang sedikit kesamaannya. Entropy sumber informasi adalah :

yang mana adalah kandungan informasi rata-rata sumber. Intropy sumber adalah banyaknya bit rata-rata minimum per simbol keluaran DMS, yang harus dipancarkan lewat kanal. Jadi informasi sumber tidak dapat dikomunikasikan dengan memakai jumlah bit rata-rata per simbol DMS yang lebih sedikit jumlahnya dibandingkan dengan entropynya.

6. Prosedur Huffman adalah sesuatu yang secara intuitip memenuhi koding sumber. Prosedur ini menggunakan urutan biner yang lebih panjang terhadap simbol-simbol DMS yang rendah probabilitasnya, dibandingkan dengan simbol-simbol yang lebih tinggi probabilitasnya.Simbol-simbol DMS dapat dibuat menjadi kode Huffman sebagai simbol-simbol tunggal ataupun dalam kelompok-kelompok. Kode Huffman daripada kelompok-kelompok simbol-simbol DMS menghasilkan hasil yang terbaik.

7. Kapasitas suatu kanal, yaitu C , adalah jumlah bit per detk yang teoritis dapat dipancar-kan tanpa salah. Kapasitas tersebut adalah fungsi dari lebar pita kanal dan SNR (Signal to Noise Ratio) yang diterima. Kapasitas Shannon adalah :

Jika kecepatan transmisi yang dinginkan adalah Rm<C, maka akan diperoleh nilai kesalalahan yang rendah jika menggunakan forward error correction, tanpa menambah daya. Untuk Rm yang hampir sama debgan C , forward error correction yang lebih rumit dapat dipertimbangkan.

8. yang diterima harus lebih tinggi dibanding dengan –1.6 dB. agar komunikasi andal sembarang

dimungkinkan untuk dilakukan. Jika < -1.6 dB maka tidak ada kode yang serumit apapun yang dapat

menolong terjadinya komunikasinya.

50

9. Kapasitas kanal diskrit tanpa memory yang dinyatakan dengan CN adalah menyatakan jumlah bit informasi maximum daripada informasi yang dikomunikasikan untuk setiap simbol DMC yang dipancarkan.

Penyandian Belitan (Convolution Coding)

Salah satu metode untuk mengontrol kesalahan didepan (forward error control) adalah dengan menggunakan penyandian belitan.

Pada teknik penyandian ini : simbol-simbol tidak dikelompokkan kedalam kelompok yang berbeda-beda kemudian disandi

(encoded) , namun : urutan bit-bit informasi yang kontinyu dipetakan kedalam urutan kontinyu simbol-simbol

keluaran penkoder (enkoder) Pemetaan ini disusun secara khusus, yang memungkinkan :

metode pengdekodean (dekoding) sangat berbeda dibandingkan dengan metode pengdekodean kelompok Dapat dibuktikan bahwa penyandian belitan dapat mencapai :

gain penyandian yang lebih besar dibandingkan dengan yang dicapai dengan menggunakan kode kelompok (block code) dengan keruwetannya (koplexitasnya) yang serupa

Apapun teknik yang digunakan, baik dengan penyandian kelompok maupun penyandian belitan : mana yang lebih baik untuk digunakan adalah tergantung pada perincian (details) dari penggunaannya

serta teknologi yang ada pada saat itu.

KONSEP DASAR PENYANDIAN BELITAN

Banyak dari konsep kode blok langsung digunakan terhadap kode konvolusi, khususnya : urutan peta enkoder daripada keluaran pengkode sumber ke dalam urutan simbol kode untuk transmisi

melalui DMC (Discrete Memoryless Channel) Untuk menggambarkan konsep penyandian belitan secara mudah dapat digambarkan sebagai berikut :

Gbr. Pengkode belitan ½ kecepatan (Rate ½ convolution encoder)

Bit-bit masukan di”clock” kedalam rangkaian dari sebelah kiri Setelah setiap masukan diterima , maka keluaran koder dihasilkan dengan cara pencu-plikan dan

multiplexing keluaran-keluaran daripada penambah-penambah (adder) modulo-2 Untuk kode yang sederhana ini , simbol-simbol dihasilkan untuk setiap bit masukan , sehingga kecepatan

kode adalah ½ nya Periksalah , bahwa suatu bit masukan tertentu akan mempengaruhi keluaran selama intervalnya sendiri ,

maupun oleh 2 interval bit masukan Suatu kode belitan ditentukan oleh :

banyaknya tahap pada register-register geser banyaknya keluaran (banyaknya penambah modulo-2) hubungan (koneksi) antara register geser dan penambah modulo-2

51

+

+

21 1 DDDg

Dx1

Dw

21 1 DDg

Dx1

Urutankodekeluaran

Tahap (state) enkoder ditentukan sebagai : isi daripada register geser dan sepenuhnya ditentukan oleh 2 buah informasi masukan daripada bit yang

mendahuluinya Enkoder di gbr. pengkode belitan ½ kecepatan bisa mempunyai 4 keadaan yang mungkin , sesuai dengan

semua isi yang mungkin terjadi daripada register geser 2 tahap

w(D) = w0 + w1D + w2D 2 +………..+ wjD j + ……. = urutan bit informasi masukan ; wj [ 0, 1] x1(D) = Keluaran adder modulo –2 bagian atas adalah hasil kali antara w(D) dengan g1(D) w2 (D) = Keluaran adder modulo-2 bagian bawah adalah hasil kali antara w(D) dengan g2 (D) Kode konvolusi disebut juga dengan kode sekuensial ataupun kode berulang-ulang (recurrent codes) Pada kode konvolusi ini digit-digit uji paritas terus-menerus disisip-kan kedalam arus bit (bit stream) Karena itu prosedure enkoding dan dekoding adalah proses yang kontinyu, yang menghilangkan

(eliminiting) pemisah (buffering) ataupun penyimpanan (storage) perangkat keras yang diperlukan dengan kode-kode blok

Prinsip kode konvolusi dapat disederhanakan dengan menggu-nakan prinsip rangkaian enkoder konvolusi sebagai berikut ini :

dimana mi s.d. mi –4 adalah shift register Rangkaian enkoder tersebut terdiri atas 5 buah shift register, 2 buah adder modulo-2. dan sebuah switch Digit-digit berita bergerak dari kiri ke kanan Switch mengambil digit berita ke-i, yaitu dan digit uji paritas ke-I sebagai beikut :

Digit-digit berita digeser satu cell dan prosesnya berulang

Karena itu digit-digit yang dipancarkan adalah

Jadi banyaknya digit yang dipancarkan menjadi 2 kali digit data yang masuk Hal ini dinamakan dengan “kode bercadangan tinggi “ (high redundancy codes) Sebagai akibatnya efisiensi kode konvolusi adalah rendah, yaitu Di dekorder, dibuat digit syndrome ke-i dari dari urutan berita yang diterima dan mungkin mengalami

kesalahan, menggunakan rumus :

dimana akibat adanya kesalahan maka :

Maka persamaan digit syndrome ke-i dapat ditulis menjadi :

Disini jika syndrom , maka berarti pada digit tersebut mengalami kesalahan digit-digit yang benar ditandai dengan digit syndrome bernilai 0 Untuk gejala peralihan awal (start up transient), ambillah Maka sindrome-nya adalah :

52

mi mi - 1 mi - 2 mi - 3 mi - 4

+ +

Persamaan diatas ditampilkan secara grafis sebagai berikut :

s1

s2

s3

s4

s5

s6

Dengan mempelajari gambar diatas dapat dilihat bahwa jika terdapat 2 atau 3 buah bit “1” di , maka :

vektor kesalahan , yang berarti mengan-dung kesalahan dan harus dikoreksi

Dengan cara serupa, harus dikoreksi jika terdapat lebih banyak bit “1” daripada bit “0”; demikian

seterusnya Algorithme seperti diatas dinamakan dengan pengdekodean ambang (threshold decoding) pada pengdekodean ini akan dapat mengoreksi sampai 4 buah kesalahan berturutan (termasuk juga digit uji

paritas) asalkan 8 buah digit yang lain tidak mengalami kesalahan Pengdekodean ambang ini efektip terutama jika kanal-kanalnya terisolasi dari dadakan kesalahan (error

burst) yang disebabkan oleh noise denyut, dan masalah utama terjadinya kesalahan adalah berasal dari noise denyut tersebut.

Algorithme pengdekodean yang lain untuk kode-kode konvolusi adalah : dengan menggunakan metode algorithme probabilistic atau metode algorithme berurutan (sequential).

Oleh karena teori kode-kode konvolusi tidak dikembangkan sebaik teori kode-kode blok, maka : sulit untuk membuat tafsiran yang teliti relatip terhadap ke-baikannya.

Soal –soal :

1. Suatu sistem mempunyai persamaan : ; . Kecepatan pensignalan kurang sedikit dibanding dengan kecepatan sinkron . Datanya berupa urutan bit sebanyak buah, yang secara matematis dapat ditulis :

.Buktikanlah : bagian ISI (Inter Symbol Interference) dari persamaan :

jika m = 0 adalah :

jika

2. Suatu sistem biner mengalami interferensi antar simbol (ISI). Tanpa adanya noise, nilai dan probablitasnya ditabelkan berikut ini , jika yang dikirimkan adalah bit “ 1 “ :

Tabel diatas berlaku juga untuk bit yang dikirimkan “0”, apabila A diganti dengan – A . (a). Dengan menganggap noisenya jenis Gaussian, carilah Pe !

(b). Carilah Pe untuk !

Bandingakan dengan Pe untuk = 0 !

53

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X X

X X

JARAK BEBAS (FREE DISTANCE)

&PEROLEHAN PENYANDIAN

(CODING GAIN)

Sebelumnya telah pernah dibahas bahwa daya pengontrol kesalahan (error control po-wer) kode blok tergantung pada : jarak minimum yang ditentukan dari bobot-bobot kata kode (banyaknya bit 1 didalam setiap kata

kode) Suatu kode konvolusi tidak dibagi lagi (subdivided) menjadi kata-kata kode , sehingga

PENDEKODEAN KODE-KODE KONVOLUSI

Dekoder mempunyai pengetahuan tentang struktur kode

ALGORITHME VITERBI

Algorithme Viterbi adalah : suatu metode yang sangat bagus untuk melakukan pendekodean (decoding =

membuat signal yang menggunakan urutan bit-bit menjadi pulsa tersampling kembali) dengan kemungkinan kebenaran maximum terhadap kode-kode konvolusi

Pendekodean Kemungkinan Maximum = Pendekodean Dengan Kemungkinan Benar Maximum = Maximum Likelihood Dekoding , mencakup : pencarian seluruh ruang kode biasanya tidak praktis , sebab adanya masalah banyaknya perhitungan yang harus

dilakukan Pengkodean yang mengikuti algorithme Vitebri memberikan :

prosedur yang praktis untuk digunakan untuk : kode-kode konvolusi yang panjang kendalanya pendek

Hal ini disebabkan bahwa enkoder (alat yang berfungsi untuk membuat kode yang berupa orutan bit-bit) konvolusi adalah suatu peralatan keadaan yang tertentu (finite state divice)

Oleh A.J. Viterbi pada tahun 1967 algorithme tersebut telah digambarkan secara mathematis

Sejak itu algorithme tersebut terus menerus berkembang , misalnya apa yang telah dilakukan oleh Forney, dimana dia membuat tulisan yang luas wawasannya dan tinggi mutunya terhadap apa yang telah dilakukan oleh Vitebri, baik :

mengenai algorithmenya itu sendiri maupun tentang bagaimana pemakaiannya.

Dengan meninjau kembali terhadap fungsi dari suatu detektor dengan kemungkinan kebenaran yang maximum, maka :

apa yang dilakukan oleh Forney adalah :

54

mencari urutan kode yang paling mirip dengan kode yang telah dipancarkan sebelumnya ke kanal transmisi , sehingga membentuk urutan kode keluaran kanal yang memenuhi syarat

Kode itu mungkin diterima salah, sehingga harus secara otomatis dikoreksi (self correction)

Ini berarti bahwa : harus mencari lintasan dengan melalui trellis (terali) yang akan dibahas

kemudian , yang mana : urutan kodenya mempunyai fungsi kemungkinan logarith-mis

tertinggi Secara mathematis , rumus “kemungkinan log” (log-likehood) ditulis

sebagai berikut :

Untuk BSC (Binary Symetric Code) : pemaximalan fungsi ini sama saja artinya dengan :

mencari lintasan melalui teralis (trellis) yang urutan kodenya paling dekat dengan jarak Hamming ke urutan kode yang diterima

Dengan algorithme Vitebri ini , dapat dilakukan pendekodean kode konvolusi dengan jalan : memilih lintasan di diagram teralis sehingga :

urutan kode yang sesuai dengan lintasan pilihan , adalah : berjarak minimal dari urutan kode yang diterima

Algorithme pendekodean Vitebri sebenarnya menampilkan jarak minimum dari urutan kode yang diterima

Algorithme Vitebri ini dapat mengurangi banyaknya beban yang dialami untuk melakukan perhitungan dengan jalan : mengambil keuntungan daripada struktur khusus pada tralis kode

Dari diagram teralis berikut ini :

cocok dengan r = urutan bit yang diterima (lintasan jarak minimum) perlu untuk ditetapkan (retained) untuk setiap keadaan. Lintasan yang ditetapkan (reatained path) disebut dengan survivor di keadaan

tersebut Dekoder Viterbi memberi tugas kepada setiap cabang daripada lintasan

penyelamat (suviving path) suatu ukuran (metric) , yang sama dengan jarak Hamming , dari cabang r yang berkaitan

Dengan menjumlahkan ukuran cabang , maka akan menghasilkan ukuran lintasan dan : r akhirnya didekode sebagai lintasan penyelamat , dengan ukuran yang paling

kecil

55

00 00 00 00 00

11

0100

1111 11 11 11

11 11 11

01 01

00 00

01 01 01

10 10 1010 10 10 10

1t 2t 3t 4t 5t 6t00a

10b

01c

11d

01

Dapat dilihat bahwa masing-masing daripada keadaan (a, b, c , d) dapat dicapai hanya dengan 2 keadaan saja. Jadi hanya lintasan yang paling

VA (Vitebri Alborithm) akan diterangkan pada contoh , untuk BSC (Binary Symetric System) yang menggunakan ukuran jarak Ham-ming

Contoh :

Untuk enkoder konvolusi dengan diagram berikut ini :

digunakan pada kanal simetrik biner (BSC = Binary Symetric Channel).Dianggap bahwa keadaan enkoder awal adalah 00.Pada keluaran BSC , urutan yang diterima adalah r = (1100000111 , berakhir semuanya 00) .

1. Carilah lintasan kemungkinan maximum (maximum likelihood path) melalui diagram teralis dan tentukanlah 5 buah bit data yang pertama kali didekode !

2. Diagram teralis berikut ini :

ditunjukkan ukuran-ukurannya pada setiap cabang ; diagram diatas menunjukkan jarak Hamming antara kata keluaran cabang dengan urutan bit yang diterima.Pertama :- Kumpulkan ukuran lintasan (path metric) daripada suatu lintasan tertentu , pada ti yang dihitung ; jika

setiap 2 lintasan mengumpul menjadi sebuah keadaan tu- nggal , maka :o salah satu dari kedua lintasan yang mengumpul tadi , yang bernilai lebih besar dihilangkan

-

3. m

56

00 00 00 00 00

11

0100

1111 11 11 11

11 11 11

01 01

00 00

01 01 01

10 10 1010 10 10 10

1t 2t 3t 4t 5t 6t00a

10b

01c

11d

01

1101000011r

1101000111c

00101d

i

i

i

2 0 0 1 2

11

10

20 2 1 02 1 0

11 2

1 0 1

1 1 21 1

1t 2t 3t 4t 5t 6t00a

10b

01c

11d

10

2 1

PENDEKODEAN KEPUTUSAN KERAS

Perhatikanlah diagram teralis berbentuk kerucut terpotong berikut ini :

Dari gambar diatas , untuk memudahkan penjelasan : kedalaman (depth) kedalam teralis dinyatakan dengan diatas teralis Sigmen-sigmen (bgian-bagian) lintasan ditunjukkan dengan keadaan-keadaan (states) teralis, yaitu :

{S1, S2 ...} yang dilewati oleh lintasan Teralis tersebut dibentuk seperti kerucut yang terpotong (truncated) dengan jalan mengosongkan (clearing)

pengkoder (encoder), yaitu : dengan jalan memberikan masukan (inputting) 2 zeros (nol) yang diketahui, dima- na dalam hal ini

adalah bit nomor 7 dan nomor 8 Alat pendekoder (decorder), yaitu alat yang berfungsi untuk membuat bit-bit kode menjadi signal analog

kembali, akan mengetahui bahwa: pada saat itu pengkoder telah dikosongkan urutan bit yang diterima dituliskan didekat garis-garis teralis Langkah pedekodean pertama adalah untuk : menghitung jarak Hamming antara 2 buah simbol pertama yang diterima , dan 2 buah simbol pada

cabang-cabang teralis yang meninggalkan keadaan 00 pada kedalaman 0 dan menuju ke kedalaman kadaan 1

Jika diambil sigmen daripada gambar diatas :

57

Kedalaman 1 2 3 4 5 6 7 810 10 10 11 11 10 01 11

00 00 00 00 00 00 00 00

Urutanditerima yang

11 11

11 11 1111 11

11 11 11 11 11

01

10 10 10 1010

01 01 01 01

10

010101010110 10 10 1010

00

01

10

11

Keadaan atasnyabagian terpotong teralisDiagram Gbr.

X X X X

Jarak-jarak Hamingnya keduanya adalah 1 atau tunggal , dan dituliskan diatas node-node keadaan. Hal tersebut dapat dilihat pada gambar teralis yang berikutnya.Sebagai diketahui bahwa jarak Hamming tersebut dapat dilihat pada pertambahan modulo–2 berikut ini :

1

10

0000

11

Kedalaman

bitUrutan diterima yang

Jika penulisan kode berita dilakukan secara pembacaan terbalik, yaitu : jika kode untuk menyatakan nilai suatu level amplitudo, misalnya amplitudo yang terdiri atas 4 level,

maka : level amplitudo yang setinggi 4 buah level kuantisasi (quantization level), jika kodenya dinyatakan

dengan kode biner , yang diperoleh adalah 0100 dengan dibalik penulisannya , maka kodenya menjadi 0010

maka tabelnya akan berubah menjadi tabel berikut iniContoh :

Misalkan enkoder terpotong bagian atas yang sama dengan yang digunakan untuk VA ( Viterbi Algorithm ) keputusan keras , diguna-kan pada sistem komunikasi keputusan lunak .Masukan biner DMC (Discrete Memoryless Channel) tergambar se-bagai berikut :

0.80 0

0 0.15 0.04 1 0.01

0.01 0.04 2 0.15

3 0.80 3

Probabilitas-probabilitas transisi kanal adalah sebagai berikut :

Teralis enkoder tergambar sebagai berikut :

Gambar-gambar terali tersebut mencakup urutan keputusan lunak yang diterima , maupun ukuran-ukuran cabangnya (branch metrics).

58

00 00 00 00 00 00 00 00

11

01

10

00

01

10

11

X

11 11 11 11 11 11 11 11 111111

X X X

10 10 10 1010

01 01 01 01 01 01 01

10 10

Ukuran-ukuran cabang tersebut dihitung dari urutan yang diterima dan fungsi kemungkinan-log diatas .Sebagai contoh :Ukuran cabang untuk cabang diantara kedalaman keadaan nol (depth zero state) 00 dan keadaan keadaan satu (depth one state) 10 , adalah :

Ukuran cabang adalah nomor diantara kurung (parenthesis) pada cabang .Semua cabang diberi label.Untuk penggambaran yang lebih jelas daripada proses penkodean itu , maka digambar lagi berikut :

Pada gambar tersebut , ukuran kumulatip (cummulative metric) Untuk mempertahankan (surviving) sigmen lintasan yang menuju ke sebuah node, segera ditulis diatas node

tersebut Untuk node-node pada kedalaman satu , ukuran kumulatip betul-betul sama dengan ukuran cabang pertama Untuk node-node pada kedalaman dua , ukuran kumulatip sama dengan jumlah dari ukuran kedalaman satu

dan ukuran yang diakumulasikan pada cabang , yang mengarah dari kedalaan satu ke kedalaman dua Sebagai contoh , ukuran komulatip yang mengarah ke keadaan 01 di kedalaman dua adalah ukuraan -2.12

pada kedalaman keadaan satu 10 , ditambah ukuran cabang -3.80 yang dikumula-sikan pada cabang diantara kedalaman keadaan satu 10 dan kedalaman keadaan dua 01

Sebagaimana sebelumnya , pendekodean menjadi lebih menarik pada kedalaman tiga , dimana sigmen-sigmen lintasan mulai menjadi terbuang (dicarded)

Perhatikan dua buah sigmen lintasan yang mengarah kedalam keadaan 00 dikedalaman tiga , dimana : Ukuran kumulatip untuk sigmen lintasan [ 00, 00, 00, 00] adalah : - 7.83 - 5.12 – 9.22 = - 22.17 Ukuran kumulatip untuk sigmen lintasan [ 00, 10, 01, 00] adalah : - 2.12 – 3.80 – 0.44 = - 6.36 Lintasan dengan ukuran terkecil adalah : -22.17 , dibuang dengan jalan menempatkan suaatu “x” pada

cabang Ukuran daripada lintasan yang mempertahankan ditulis diatas keadaan 00 , dikedalaman tiga Pendekodean berlanjut dengan cara ini , sampaai dengan terali terakhir Setelah pendekode mencapai kedalaman delapan , pendekode tersebut berbalik arah , mengikuti lintasan

yang mempertahankan , dengan tujuan untuk menentukan lintas-an yang benar lewat terali Amatilah bahwa lintasan yang mempertahankan adalah identik dengan lintasan yang diperoleh dengaan

pendeko-dean keputusan keras

Probabilitas Kesalahaan Pendekodean

Probabilitas kesalahan pendekodean bagi pendekodean Vitebri terhadap kode-kode konvolusi , dihitung dengan :- memakai konsep dasar yang sama dengan yang digunakan untuk menghitung probabilitas kesalahan bagi :

o pengdekodean kemungkinan maximum kode-kode blok- Peristiwa-peristiwa kesalahan :

o dihitung satu-satu (enumerated)o probabilitas-probabilitasnya dihitungo hasilnya dipakai untuk menghitung batas-batas probabili-tas kesalahan pengkodeano pada pendekodean Vitebri untuk kode-kode konvolusi , maka ukuran keandalan probabilitas yang

tepat adalah : probabilitas bahwa lintasan yang tepat melalui tera-lis dibuang dikedalaman j

o Ini berarti bahwa ukuran keandadalan yang benar ada-lah:

59

probabilitas terbentuknya sebuah kesalahan pada setiap kesempatan pendekodean kesalahan suatu kesempatan untuk membuang lintasan benar , timbul :

msetiap saat dekoder bergerak satu unit lebih dalam ke teralis tersebuto Ukuran ini dibandingkan dengan ukuran yang digunakan pada kode-kpde blok , dimana :

kempatan timbulnya kesalahan pada setiap Singkatan :

1. Kode konvolusi berbeda sangat mendasar dibanding kode blok . Proses kode konvolusi ini melalui urutan bit-bit informasi yang semi-infinite

2. Kode konvolusi dapat digambarkan dengan enkoder register ge-sernya , diagram transisi keadaanya atau diagram teralisnya

3. Kemungkinan (Likelihood) maximum dekoder , menggunakan di-finisi kode, urutan simbol yang diterima dan kharateristik kanal , untuk memperkirakan urutan simbol yang dikirimkan , yang se-tara dengan untuk memperkirakan lintasan (path) yang diikuti melewati teralis oleh enkoder . Perkiraan keluaran dekoder ada-lah urutan , yang mana :

adalah maximumUrutan informasi keluaran dekoder adalah urutan yang membangkitkan urutan keluaran enkoder yang diperkirakan4. Fungsi generator T(D , L , N) daripada kode konvolusi menggam-barkan bobot Hamming (ukuran N = power of

N ) , panjang Ham-ming ( ukuran L ) dan banyaknya informasi 1s (ukuran N ) , untuk semua lintasan teralis , yang menyebar dari kembali memusat ke-adaan teralis nol .

Fungsi generator dapat diperoleh dengan menyelesaikan himpun-an persamaan keadaan untuk diagram transisi keadaan yang dimodifikasi .

4. Algorithme Vitebri (VA) memberikaan cara-cara yang mudah bagi pendekodean dengan kemungkinan kebenaran maximum untuk kode-kode konvolusi

5. Probabilitas bahwa VA memilih lintasan yang salah (mengelemi-nasi lintasan yang benar) pada setiap kedalaman ke teralis diba-tasi oleh :

Probabilitas Kesalahan :

dimana dihitung dengan memakai fungsi pembangkit :

dan probabilitas-probabilitas terjadi kesalahan : untuk kanal-kanal keputusan keras

unt

unt.

untuk keluaran kontinyu kanal keputusan lunak

6. Fungsi didifinisikaan sebagai

7. Uraian asiptotis untuk Q(x) yang berlaku untuk nilai x besar adalah :

60

dimana :

yang mana nilai absolutnya adalah lebih kecil dibandingkan dengan nilai suku pertama diabaikan Untuk nilai x yang moderat (tidak terlalu besar), terdapat bebe-rapa pendekatan yang rational. Salah satu

pendekatan tersebut adalah :

dimana , dengan nilai-nilai :

8. Fungsi kesalahan dapat dikaitkan dengan fungsi Q, sesuai rumis berikut ini :

9. Fungsi kesalahan pelengkap (complementary error function) dapat didekati serupa dengan fungsi-QTabel : tabel singkat nilai-nilai Q(x) dan Z(x)

Note : tabel diatas berdasarkan pada rumus untuk Probabilitas Kesalahan

Contoh jika ; untuk mencari besarnya probabilitas kesalahan dapat diselesaikan dengan program Matlab , dengan perintah sebagai berikut :>> 0.5.*erfc(2./(2.^0.5))

ans =

0.0228 ; hasilnya boleh dikatakan sama dengan 0.02275 (yang terdapat pada tabel)10. Probabilitas Kesalahan Bit untuk pendekodean Vitebri terhadap kode-kode konvolusi , dibatasi dengan

persyaratan sebagai beri-kut :

dimana dihitung dari hubungan :

61

p = 0.2316419b1 = 0.319381530b2 = -0.356563782b3 = 1.781477937b4 = -1.8212559978b5 = 1.330274429

x

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

Q(x)

0.500000.460170.420740.382090.344580.308540.274250.241960.211860.184060.15866

Z(x)

0.398940.396950.391040.381380.368270.352060.333220.312250.289690.266080.24197

x

1.11.21.31.41.51.61.71.81.92.02.1

Z(x)

0.217850.194190.171370.149730.129520.110920.094050.078950.065620.053990.04398

Q(x)

0.135670.115070.096800.080760.066810.054800.044570.035930.128720.022750.1786

11. Diketahui banyak kode konvolusi yang bagus , dimana sebagian besar diperoleh dengan mencari lewat komputer .

Gain pengkodean untuk kode konvolusi yang bagus dapat setinggi nilai pendekatan , yaitu 6 dB , dengan cara memakai pengdekodean keputusan lunak .

Beberapa yang terbaik adalah kode konvolusi bernilai 1/2 dan dan bernilai 1/3 , telah dibuat petanya .12. Kode-kode konvolusi dapat didekode memakai pendekodean sekuensial . Keruwetan pendekodean sekuensial adalah bebas dari panjang kendala , sehingga kode-kode dengan panjang

kendala yang tinggi , dapat didekode .13. Pendekodean blok daripada kode konvolusi berentetan (con-cantenated convolution) serta kode Reed-

Solomon dapat digu-nakan jika dikehendaki untuk yang gain penkodeanya besar (large coding gain) . Sistem-sistem penkodean berentetan telah digunakan misi ruang angkasa .

Soal-soal tentang VA :

1. Dengan menggunakan kode yang ditentukan oleh teralis sebagai gambar berikut :

lakukan dekode memaakai pendekodean Vitebri keputusan kerasPerhatikan 4 buah vektor-7 berikut ini :

Dengan 4 buah vektor tersebut akan terdapat 24 = 16 buah kombinasi linier ; hal ini sesuai dengan 16 jenis kombinasi urutan bit , yang masing-masing kombinasi terdiri atas 4 buah bit yang tersusun secara seri.Contoh :Kombinasi linier yang disebabkan oleh adalah :

Secara lengkap terdapat 16 jenis urutan bit , yang urutan–urutan bit tersebut berbeda satu sa-ma lain.Jika disusun tabel kombinasi linier dan secara lengkap, maka didapatkan hasil yang persis sama , sebagaimana tabel kode blok , sebagai berikut :

62

0 0 0 0 0000000 1 0 0 0 1101000 0 1 0 0 0110100 1 1 0 0 1011100 0 0 1 0 1110010 1 0 1 0 0011010 0 1 1 0 1000110 1 1 1 0 0101110 0 0 0 1 1010001 1 0 0 1 0111001 0 1 0 1 1100101 1 1 0 1 0001101 0 0 1 1 0100011 1 0 1 1 1001011 0 1 1 1 0010111 1 1 1 1 1111111

Fungsi denyut : semua fungsi yang memenuhi hubungan

maka adalah fungsi denyut yang terjadi pada Fungsi periodic :

Jika fungsi periodic

Note :

Kebalikan adalah :

Note :

Jadi

Jika kendala panjang (length constraint) = M , relatip pendek , yaitu jika M 8 , maka : dekoder dapat melakukan “pendekodean” secara optimal relatip dengan sedikit perhitungan saja .

Pengdekodean yaang dilakukaan adalah : pengdekodean keputusaan keras (hard dececion decoding) pengdekodean keputusaan lunak (soft dececion decoding)- Dekoder keputusaan keras : menerima keputusan bit (bit dececion) dari demodulator . Setiap bit yang

diterima diputus-kan “0” ataau “1” - Dekoder keputusaan lunak : meliputi pemakaian dari keluaran demodulator yang sebanding dengan

“kemungkinan log” (log- likehood) daripada bit yang dimodulasi , baik yang “0” maupun “1” . - Kemungkinan log (loglikehood) adalah : logarithme dari proba-bilitas menjadi suatu bit 0 ataupun 1- Rumus : loglikehood = log (Pr< x = 0z = 1 >)- Sebagai misal , jika bit yang didemodulasi adalah 1 , maka bit hasil demodulasi adalah 0 .- Jika bit yang dipancarkan adalah variable x dan yang didemo-dulasi adalah variabel z , maka expresi ini

adalah loglikehood , bahwa x adalah 0 asalkan z adalah 1 . Pendekodean keputusaan lunak biasanya menghasilkan kinerja yang lebih baik , namun lebih komplex

Pendekodean Keputusaan LunakPada pendekodean ini , kata kode yang diterima bisa berupa setiap bilangan riil apapun juga . Oleh karena adanya :

63

kekaburan kanal (channel fading) noise interferens faktor-faktor lain

maka bit yang lewat media transmisi bisa berubah , misalnya 0 men-jadi bukan nilai nol , ataupun sebaliknya .Misalnya : akibat terjadinya kesalahan , dari bit “0” berubah menjadi nilai riil bukan nol , yang diberi simbol dengan “x” .Jika probalitas “0” menjadi (-Inf s.d. 1/10) adalah 2/5 probalitas “0” menjadi (1/10s.d 1/2) adalah 1/3 probalitas “0” menjadi (1/2 s.d. 9/10) adalah 1/5 probalitas “0” menjadi (9/10. Inf) adalah 1/15Jika probalitas “1” menjadi (-Inf s.d. 1/10) adalah 1/16 probalitas “1” menjadi (1/10 s.d. 1/2) adalah 1/8 probalitas “1” menjadi (1/2 s.d. 9/10) adalah 3/8 probalitas “1” menjadi (9/10 s.d. Inf) adalah 7/16Penulisan secara matematis adalah sebagai berikut :Probabilitas Penerimaan Probabilitas Penerimaan Jika Mengirim 0 Jika Mengirim 1 P((-Inf. 1/10)0) = 2/5 P((-Inf . 1/10)1) = 1/16 P((1/10 . 1/2)0) = 1/3 P(( 1/10. 1/2)1) = 1/8 P((1/2 . 9/10)0) = 1/5 P((1/2 . 9/10)1) = 3/8 P((9/10 . Inf)0) = 1/15 P((9/10 . Inf)1) = 7/16Limtasan optimum (Optimum path) untuk keputusaan lunak (soft de-cision) ini adalah memaximalkan matrix signal yang diterima r dan signal yang dikoreksi c .

Untuk panjang kata kode sebanyak N transmisi (=N buah bit) , maka matrix

Transfer Probability

APLIKASI FFT

Jika fungsi dihitung dengan menggunakan pendekatan FFT , untuk transfomasi Fourienya , maka : Langkah ke-1 didalam penggunaan DFT adalah :

Menentukan N = tinggi maximum sample dan T = interval sample Sebagai contoh , N = 32 , maka setiap sample dinyatakan dengan 5 buah bit ; jika T = 0.25 detik , maka

pada waktu tersebut nilai Hal tersebut digambarkan dengan kurva , yang dilukis berdasarkan program Matlab berikut ini :

64

2/5+1/3+1/5+1/15=1

1/16+1/8+3/8+7/16=1

» t=0:0.01:7;» x=[exp(-t)];» plot(t,x);» plot(t,x)

0 1 2 3 4 5 6 70

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Berdasarkan kurva diatas , maka (menurut perhitung-an , )

INFORMASI & KODING

Koding sumber :Konversi keluaran DMS = Discrete Memoryless Signal menjadi suatu urutan symbol biner (kata kode biner = binary code word) dinamakan dengan : koding sumber

- Alat yang melakukan proses konversi ini disebut dengan encoder sumber- Tujuan digunakannya koding sumber adalah :

o Meminimalkan kecepatan bit rata-rata yang digunakan untuk menyatakan sumber , dengan mengurangi berlebihannya (redun-dancy) sumber informasi

Panjang Kode-

65