5

BAB II

ARUS BOLAK BALIK (AC)

Dalam bab ini akan dibahas mengenai arus bolak balik (alternating current) yang

biasanya dihasilkan di dalam rangkaian R (Resistans), C (Kapasitans), dan L

(Induktans) berphasa tunggal yang menurut persamaan tegangan gerak elektrik yang

berubah terhadap waktu yaitu .

2.1 Frekuensi dan Periode Arus Bolak Balik (AC)

Frekuensi arus bolak balik adalah waktu yang diperlukan oleh arus bolak balik untuk

kembali pada harga dan arah yang sama ( 1 putaran) atau biasa disebut sebagai periode

atau F = T1 . Bentuk grafik dari frekuensi arus bolak balik itu sendiri dapat dilihat pada

gambar 2.1 di bawah ini.

Gambar 2.1 Frekuensi Arus Bolak Balik (AC)

sinme E tω=

6

Sumbu axis merupakan fungsi waktu (periode) dalam sekon sedangkan fungsi ordinat

merupakan fungsi arus (I) dalam ampere dan terdapat pula pada grafik suatu ampiltudo

yang merupakan harga maksimum arus.

sedangkan Frekuensi sudut (ω) dalam tegangan gerak elektrik itu sendiri merupakan

frekuensi sudut yang tetap dan dapat dihasilkan oleh sebuah generator arus bolak balik

di dalam stasiun pembangkit daya komersial seperti PLN dengan nilai frekuensi sebesar

50 Hertz. Frekuensi ini disebut sebagai frekuensi Sistem PLN.

Frekuensi Sistem (PLN)

Frekuensi system PLN adalah yang bernilai 50 HZ, memiliki arti yaitu dalam waktu satu

detik menghasilkan 50 gelombang atau satu gelombang membutuhkan waktu 1/50 detik.

Namun apabila frekuensi besarnya f Hz, maka dalam waktu satu detik menghasilkan f

gelombang atau satu gelombang membutuhkan waktu 1/f detik. Untuk mencapai satu

gelombang penuh (perioda penuh) dibutuhkan waktu T detik seperti yang dapat

dirumuskan sebagai berikut :

T = f1 ; ω =

Tπ2 ; ω = 2π.f (2.1-1)

2.2 Pengukuran Besaran Listrik Arus dan Tegangan AC (Bolak Balik)

Besar frekuensi sistem PLN 50 Hz atau 60 Hz ini banyak sekali dipakai sebagai tenaga

listrik untuk industri dan rumah tangga sehingga untuk mengetahui besar dari arus,

tegangan, atau daya yang terpakai harus dilakukan pengukuran besaran listrik dalam hal

ini arus dan tegangan bolak balik terbagi dalam dua jenis phasa yaitu :

7

2.2.1 Arus dan Tegangan Bolak Balik 3 Phasa

Sistem berphasa banyak yang paling umum adalah tiga phasa yang seirnbang. Dari hasil

pengukuran tiga terminal bahwa tegangan sinusoida besarnya sama terletak diantara

setiap dua terminal dan berbeda fase 1200. Beban yang seimbang menyerap daya yang

sarna dari ketiga phase, tetapi apabila salah satu di antara tegangan besarnya nol,

masing masing dari kedua tegangan yang lain akan menjadi setengahnya dari amplitudo

semula.

Gambar 2.2 Rangkaian Listrik 3 (tiga) Phasa dan Diagram Fasor 3 (tiga) Phasa

Dari gambar rangkaian listrik tiga phasa tersebut dapat dilihat diagram fasornya yang

memiliki nilai Vp = 100 . Nilai Vp adalah contoh besar nilai tegangan yang terukur

yang dalam hitungan matematisnya untuk mencari besar tegangan dari setiap line (Van,

Vbn, dan Vcn) adalah sebagai berikut :

Apabila Van = Vp ∠ 00 (2.2.1-1)

Vbn = Vp ∠-1200 (2.2.1-2)

Vcn = Vp ∠-2400 (2.2.1-3)

8

Maka Vab dapat dihitung besarnya, dengan menjumlahkan Van dan Vnb atau dengan

mengurangi Van dengan Vbn. Perumusannya jika ditulis secara matematis adalah

sebagai berikut

Vab = Van + Vnb = Van – Vbn (2.2.1-4)

= Vp ∠ 00 - Vp∠-1200

= Vp– (–(Vp/2)– j86,6)

Dari penjumlahan tersebut didapat besar nilai Vab dan untuk nilai sudut dari Vab

diperoleh sebagai berikut

= Vp ∠ 300 (2.2.1-5)

Cara yang sama dalam mencari Vab juga bisa dilakukan dalam mencari Vbc dan Vca

Vbc = Vp ∠ -900 (2.2.1-6)

Vca = Vp ∠ -2100 (2.2.1-7)

Dengan menyatakan setiap tegangan saluran adalah VL, maka besar VL = Vp

2.2.2 Arus dan Tegangan Bolak Balik 1 Phasa

Untuk jenis phasa yang biasanya dihasilkan oleh rangkaian yang mengandung elemen-

elemen resistans R, kapasitans C dan induktans L dalam berbagai kombinasi adalah

phasa tunggal atau biasa disebut sebagai satu phasa. Untuk arus bolak-balik satu phasa

besar tegangannya adalah V = Vm Sin ωt, dan besar arusnya adalah I = Im Sin ωt,

sehingga perumusan untuk besar dayanya dapat dilihat sebagai berikut :

P(W) = V x I Watt (2.2.2-1)

P(W) = Vm Sin ωt x Im Sin ωt = Vm.Im.Sin2 ωt (2.2.2-2)

9

Gambar 2.3 kurva 2(sin )tω

Dengan memperoleh besar daya tersebut dapat dilihat pada grafik Sin2 ωt yang

memperlihatkan bahwa nilai rata-ratanya pada sejumlah siklus yang banyaknya bulat

adalah ½. Bagian kurva yang ada di atas garis horizontal ”1/2” persis menghilangkan

bagian kurva yang di bawah kurva tersebut sehinga kurva tersebut tidak memiliki nilai

negatif sama sekali sehingga daya menjadi

(2.2.2-3)

Dan didapatkan nilai merupakan nilai rms (root mean-square) atau disebut juga

nilai effektif, yang merupakan nilai rata-rata yang diambil pada sejumlah siklus yang

banyaknya bulat atau disebut juga sebagai faktor perata , yang di dalam kasus fungsi –

fungsi sinusoidal ini adalah ½. Sehingga untuk tegangan effektif dan arus effektif dapat

ditulis dan dirumuskan sebagai berikut :

Veff = 2

Vm dan Ieff = 2

Im (2.2.2-4)

Maka P(W) = Veff . Ieff Watt (2.2.2-5)

Sedangkan untuk besar energinya merupakan perkalian dari tegangan effektif dan arus

efektif yang dapat ditulis sebagai berikut

Energi = Veff . Ieff . t (watt detik) (2.2.2-6)

П 2П

221 12 2

m mE EPR R

= =

2mE

10

2.2.3 Nilai-Nilai dari Besaran Listrik Arus dan Tegangan Bolak Balik (AC)

Selain pengukuran dari besaran arus dan tegangan listrik bolak balik perlu diketahui

juga nilai-nilai yang bisa diperoleh dari besaran-besaran tersebut dan dalam hal ini nilai-

nilai dari besaran listrik ini dibagi menjadi empat jenis, yaitu

1. Nilai Sesaat

Nilai sesaat suatu tegangan atau arus adalah nilai tegangan atau arus pada sembarang

waktu peninjauan. Hal ini mengakibatkan munculnya daya sesaat: p(t) = v(t) x i(t). Nilai

sesaat juga bisa didefinisikan sebagai harga sesaat ketika suatu peralatan listrik berputar

dimana nilai pada lokasi tertentu, untuk membedakan dengan notasi tegangan dan arus

nilai sesaat dinotasikan sebagai e dan i (huruf kecil).

2. Nilai Maksimum

Nilai maksimum ditulis sebagai Vmaks = Vm atau dalam arus Imaks = Im. Dalam arus

bolak balik terdapat dua nilai maksimum, yaitu maksimum positif dan maksimum

negatif. Bila dua nilai maksimum tersebut dijumlahkan disebut sebagai nilai puncak-ke-

puncak (peak-to-peak).

3. Nilai Rata-Rata

Nilai rata-rata dari arus bolak balik adalah nilai rata-rata dari besar arus yang diambil

melalui suatu jangka waktu selama setengah periode dari arus bolak balik tersebut. Alas

an mengapa diambil setenganh periode dikarenakan bentuk dari arus bolak balik adalah

simetris, yang berarti bahwa bentuk gelombangnya pada waktu arus positif dan negative

adalah sama, maka pengambilan harga rata-rata melalui satu periode akan tidak

mempunyai arti,karena harga rata-ratanya adalah nol.

4. Nilai Efektif

11

Sebagaimana yang telah dijelaskan sebelumnya mengenai nilai rms ( root mean-square)

bisa disebut juga sebagai harga efektif atau harga guna dari arus bolak-balik yang

berbentuk sinus adalah suatu harga arus yang lebih penting dari pada harga arus rata-

rata. Arus yang mengalir didalam suatu tahanan ”R” selama waktu ’t’, akan melakukan

sejumlah usaha yang menurut rumus adalah sebagai berikut :

E = I².R.t [joule], E = Energi (2.2.3-1)

usaha ini dalam bentuk panas. Jika tahanan R dilalui arus bolak-balik i = Im.sin ωt dan

didalam waktu t yang sama, arus bolak-balik tersebut melakukan sejumlah pekerjaan

yang sama besarnya dengan E = I²m.R.t [joule].

Harga efektif arus bolak-balik adalah harga tetap dari arus rata yang didalam waktu yang

sama melakukan sejumlah usaha (I²m.R.t [joule].) yang besarnya dengan usaha yang

dilakukan oleh arus bolak-balik sehingga bentuk persamaan diatas berubah menjadi

sebagai berikut :

E = I²m.sin²ωt (2.2.3-2)

Yang berarti jika diuraikan rumus besar energi menjadi sebagai berikut :

E = I²m.sin²ωt (2.2.3-3)

= I²m (½ - ½.cos 2ωt)

= (½I²m - ½. I²m cos 2ωt) (2.2.3-4)

Jadi arus (i²) merupakan arus campuran yang terdiri dari dua bagian yaitu berupa bagian

arus yang rata dengan harga ½ I²m dan bagian yang berubah –ubah menurut rumus

cosinus. ½. I²m cos 2ωt dari bagian yang rata adalah sebagai harga puncak yang jika

12

dihitung merupakan harga efektif dari arus bolak-balik adalah akar dari harga puncak

yaitu

2 212

12

2

2

m

eff m

meff

meff

I I

I I

II

VV

=

=

=

=

Satu-satunya alasan untuk menggunakan nilai-nilai rms (effektif) di dalam rangkaian

arus bolak balik adalah untuk membolehkan penggunaan hubungan-hubungan daya arus

searah.

2.3 Tahanan dalam Rangkaian Arus Bolak Balik (AC)

Untuk arus bolak balik ini dicari dari sebuah rangkaian yang mengandung elemen-

elemen resistans (R), kapasitans (C), dan induktans (L) di dalam berbagai kombinasi.

Rangkaian-rangkaian ini memiliki karakteristik respon dari arus yang dihasilkan

terhadap tegangan gerak elektrik. Rangkaian atau tahanan-tahanan dalam rangkaian arus

bolak balik ini terdiri dari tiga jenis yaitu :

2.3.1 Tahanan Induktif

Tahanan induktans ini memiliki prinsip kerja induksi diri atau self induction yang sesuai

bekerja sesuai dengan hokum Faraday dimana menurut hukum faraday jika dua koil

didekatkan satu sama lain, maka arus I di dalam sebuah koil akan menimbulkan fluks

melalui koil yang kedua. Jika fluks ini diubah dengan mengubah-ubah arus, maka

sebuah tegangan gerak elektrik induksi akan timbul di dalam koil yang kedua. Untuk

Untuk besar tegangan sama yaitu,

(2.2.3-5)

(2.2.3-6)

(2.2.3-7)

Bφ

13

lebih jelas gambar dibawah ini menunjukan sebuah gulungan induksi yang mempunyai

koefisiensi induksi diri ”L” dihubungkan pada sumber tegangan arus bolak-balik atau

tegangan yang berbentuk sinusoidal.

sinme E tω=

Gambar 2.4 Arus Bolak Balik dengan beban Induktif (L)

dengan demikian beban induktif akan dilalui arus listrik bolak-balik (IL), yang perlu

diketahui adalah bagaimana perubahan sifat-sifat dari arus IL tersebut. Untuk itu perlu

diketahui bahwa didalam gulungan induksi ”L” mengalir arus bolak-balik yang

berbentuk gelombang sinus yang besarnya adalah :

sinL LMi I tω= atau sin 2L LMi I ftπ= (2.3-2)

Arus tersebut akan membangkitkan sejumlah garis gaya magnit (fluks) didalam

gulungan tersebut yang menurut rumus :

. LL iφ = (2.3-3)

Sehingga jika disubtitusi persamaan 2.3-2 ke persamaan 2.3-3 akan menjadi sebagai

berikut :

(2.3-1)

14

. sinLML i tφ ω= (2.3-4)

Untuk banyaknya lilitan sebesar N yang merupakan kuantitas karakteristik penting

untuk induksi maka kuantitas ini akan sebanding dengan arus I, atau

.B LMN L Iφ = (2.3-5)

Sedangkan untuk besarnya tegangan induksi eL ditetapkan dengan rumus sebagai berikut

eL = -dtdφ 10-8 Volt (2.3-6)

sehingga dari persamaan 2.3-4 dapat disubtitusi ke persamaan 2.3-6 menjadi persamaan

berikut

EL = - 8. . ( )10lmdL I Sin t

dtω −

Volt (2.3-7)

Ketika sebuah generator berfungsi dan disambungkan dengan induktor L sehingga

mengalir arus bolak-balik iL yang akan terbelakang 90º terhadap tegangan ”e” sehingga

iL tersebut mempunyai bentuk rumus sebagai berikut

IL = ILM.Sin(ωt – 900) (2.3-8)

Kedua rumus dari persamaan 2.3-7 dan 2.3-8 memperlihatkan bahwa kuantitas-

kuantitas VL dan IL yang berubah-ubah terhadap waktu mempunyai perbedaan fasa

sebesar seperempat siklus ( a quarter-cycle out of phase) dan dapat dilihat pada grafik

di bawah

15

Gambar 2.5 Beda sudut Phasa dengan beban Induktif (L)

Dari grafik di atas terlihat bahwa VL mendahului IL, yakni dengan berlalunya waktu

maka VL mencapai maksimumnya sebelum iL mencapai maksimum, selama seperempat

siklus.

2.3.2 Tahanan Kapasitif

Tahanan yang kedua adalah tahanan kapasitif yang biasanya disebut sebagai kapasitor

yaitu merupakan sebuah alat elektronik untuk menyimpan muatan q dan memiliki

perbedaan potensial V di antara penghantar-penghantar seperti yang diperlihatkan pada

gambar di bawah ini

Gambar 2.6 Arus bolak-balik dengan beban Kapasitif (C)

16

Jika sebuah capasitor dihubungkan dengan sumber arus searah, maka arus searah yang

dapat mengalir hanya sesaat saja dan waktu yang pendek, yaitu pada saat capasitor

dalam keadaan diisi (charged). Kemudian arus searah didalam capasitor akan menjadi

nol kembali. Hal tersebut membuktikan bahwa capasitor tidak dapat dilalui arus searah

atau dikatakan kapasitor memblokir arus searah. Menurut teori arus searah yang

mengalir jumlah muatannya ditentukan dengan rumus :

Q = i .t atau i = Q/t. (2.3.2-1)

Jika kapasitor ”C” dihubungkan dengan sumber tegangan arus bolak-balik (generator)

berbentuk sinus maka persamaan rumusnya adalah

e = Em.sin ωt (2.3.2-2)

namun pada hakikatnya kapasitor tidak dilalui arus bolak-balik, akan tetapi secara

berganti-ganti diisi dalam arah positif dan negatif. Selama saat yang pendek (dt),

kapasitor ini diisi oleh harga saat dari arus bolak-balik iC. Jumlah listrik yang diisikan

pada kapasitor selama saat dt, adalah

(2.3.2-3)

Karena q atau muatan adalah sebanding dengan V atau e atau Q = c.e, maka setelah

disubtitusi dari persamaan 2.3.2-3 rumusnya berubah menjadi

( . )

( . .sin )

( .sin )

c

mc

mc

d c eidt

d c E tidt

d E ti cdt

ω

ω

=

=

=

(2.3.2-4)

(2.3.2-5)

CdQidt

=

17

Arus kapasitor atau ic tersebut berubah-ubah terhadap waktu dan dengan VC berbeda

fasa sebesar seperempat siklus seperti yang terlihat dalam fasor berikut

selama waktu yang sangat singkat (dt), ujung vektor  senantiasa akan melintasi

panjang busur sebesar ω.dt radial , karena radial lingkaran mempunyai harga Em maka :

dt = ω.dt. Em dan tegangan bolak-balik menjadi

d (Em.sin ωt). (2.3.2-6) Dari titik A ditarik garis singgung PQ, yang kemudian buat segitiga ABC siku dititik B,

maka berlaku dimana AC adalah pembesaran dari ω.dt. Em , AB adalah pembesaran

dari d (Em.sin ωt), dan BAC adalah sudut α. Sehingga rumusnya menjadi :

( sin )cos. .m

m

d E tABAC dt E

ωαω

= =

Atau setelah dikalikan silang persamaan rumusnya menjadi seperti berikut

( .sin ). .cos mm

d E tEdt

ωω α =

Jika diketahui iC adalah sebagai berikut

Gambar 2.7 Diagram fasor kapasitansi

(2.3.2-7)

(2.3.2-8)

18

( .sin )mc

d E ti Cdt

ω=

(2.3.2-9)

Maka jika persamaan 2.3.2-8 disubtitusi ke dalam persamaan 2.3.2-9 akan menjadi

seperti berikut

. . .cosc mi C E ω α=

gambar grafik di bawah menunjukan grafik tegangan berbentuk sinus dan grafik arus

berbentuk cosinus sehingga arus mendahului 90º terhadap tegangan sehingga VC

terbelakang terhadap iC, yakni, dengan berlalunya waktu, maka VC mencapai

maksimumnya setelah iC mencapai maksimum, selama seperempat waktu

Gambar 2.8 Beda sudut Phasa dengan beban Kapasitif (C)

2.3.3 Tahanan Ohm

Tahanan yang berikutnya adalah tahanan Ohm atau resistans. Jika sebuah tahanan Ohm

”R” (resistansi) dipasangkan pada generator G yang mengeluarkan tegangan bolak-balik

sebesar .sinme E tω= , seperti pada gambar rangkaian :

(2.3.2-10)

19

AC R

IR

e

Gambar 2.9 Arus Bolak Balik dengan beban tahanan murni (R)

Perbandingan persamaan di bawah memperlihatkan bahwa VR dan IR yang berubah-

ubah terhadap waktu adalah sefasa (in phase), yakni kuantitas-kuantitas tersebut

mencapai nilai-nilai maksimumnya pada waktu yang sama.

IR = Re ; iR =

RtEmSin )(ω ; iR = )( tSin

REm ω (2.3.3-1)

2.3.4 Hubungan Seri Tahanan Ohm dengan Gulungan Induksi

Jika tahanan digabungkan satu sama lain, maka akan memiliki nilai reaktans (XL, XC,

dan R) yang baru, seperti pada rangkaian tahanan induktans L dengan resistans R, atau

kapasitans C dengan resistans R. Mengapa baik induktans atau kapasitans harus

digabungkan dengan resistans R, karena pada dasarnya disipasi daya di dalam rangkaian

RCL , hanya terjadi di dalam elemen hambat (resistive element) R dan tidak ada

mekanisme untuk mendisipasikan daya di dalam elemen kapasitif murni atau elemen

induktif murni.

Gambar dibawah ini menunjukan hubungan deret antara gulungan induksi (reaktansi

induktif atau XL ) dengan tahanan Ohm (R), pada rangkaian disambungkan pada

sumber tegangan arus bolak-balik sebesar E Volt. Kuat arus (I) yang mengalir kedalam

20

rangkaian ini mempunyai harga tetap yaitu I. Sedangkan untuk tegangan E akan terbagi

dua menjadi komponen yaitu : .

komponen EL yang terdapat pada terminal gulungan reaktansi induktif ( XL ).

komponen ER yang terdapat pada termonal resistansi ( R ).

Dan gambar vektornya yang menunjukkan hubungan antara E dan I untuk induktans dan

resistans adalah seperti berikut

Maka nilai arus akan sama karena hubungan seri,sehingga akan diperoleh nilai masing-

masing reaktans sebagai berikut

LL

jE jxI

= dan RE RI

=

(2.3.4-1)

Karena terhubung deret atau serie dan jXL berada pada sumbu positif maka nilai dari

hubungan kedua tahanan adalah dengan menjumlahkannya

Gambar 2.10 Rangkaian R

Gambar 2.11 Gambar Fasor

21

LR jx+ (2.3.4-2)

Karena tahanan jumlah ini disebut tahanan bayangan atau impedansi yang dinotasikan

dengan dengan huruf “Z” maka dapat ditulis sebagai berikut

s LZ R jx= + (2.3.4-3)

2.3.5 Hubungan Seri Tahanan Ohm dengan Kapasitor

Selain hubungan antara induktans dan resistans, ada juga hubungan seri antara

kapasitans dengan resistans seperti pada gambar di bawah ini.

Untuk nilai tegangan antara kapasitans dan resistans dapat dijumlahkan karena

rangkaiannya bersifat rangkaian seri

( )R CE E jE= + −

Karena nilai arusnya sama, maka nilai masing-masing reaktans dapat dicari seperti

berikut

RE RI

= dan ( )CC

jE JXI

−= −

Gambar 2.12 Rangkaian R dan C

(2.3.5-1)

(2.3.5-2)

22

Sehingga nilai impedansi pun dapat dicari seperti mencari nilai tegangan, yaitu dengan

saling menjumlahkan antara reaktans kapasitans XC dan resistans R

S CZ R j X= + − atau S CZ R j X= −

Karena nilai jXC berada pada arah sumbu negatif seperti yang ditunjukkan oleh diagram

fasor berikut

Gambar 2.13 diagram fasor jXC

maka nilai jXC atau 1/ Cω bernilai negatif dan impedansi dapat ditulis seperti berikut

1SZ R

Cω= −

2.4 Daya Listrik Arus Bolak Balik (AC)

Setelah mengetahui tahanan R,C,dan L yang jika dihubungkan dengan sumber tegangan

bolak balik atau generator, maka akan timbul arus bolak balik dan akan timbul laju

hantaran energi listrik dalam rangkaian listrik atau yang biasa disebut sebagai daya.

Jenis daya ada tiga macam yaitu

2.4.1 Daya sesaat (Instantaneous Power)

Daya yang diberikan pada suatu peralatan lisrik sebagai fungsi waktu, adalah hasil

perkalian antara tegangan sesaat pada alat tersebut dan arus sesaat yang melaluinya dan

rumusnya dapat ditulis sebagai berikut

p = v.i (2.4.1-1)

(2.3.5-3)

(2.3.5-4)

23

Apabila alat listrik tersebut mempunyai besar tahanan R, maka besar daya yang diserap

adalah

P = v.i= I 2 R = R

V 2

(2.4.1-2)

Jika peralatan listrik tersebut berbeban induktif, maka besar dayanya adalah

P = v.i = Li dtdi =

L1 v ∫

∞−

tv dt (2.4.1-3)

Dimana besar tegangan v = 0, pada saat t = - ∞ .

Sedangkan untuk beban kapasitor , besar dayanya adalah

P = v.i = C v dtdv =

C1 i ∫

∞−

ti dt (2.4.1-4)

Untuk respons arusnya apabila rangkaian R dan L seri, adalah

I(t) = R

Vo ( 1 – e-Rt/L )u(t) (2.4.1-5)

Sehingga daya total yang diberikan oleh sumber tegangan atau yang diserap oleh

rangkaian pasif adalah dengan mensubtitusi nilai I dari persamaan 2.4.1-5

P = v I = R

Vo2( 1 – e-Rt/L )u(t) (2.4.1-6)

Maka besar daya yang diberikan atau yang diserap tahanan R adalah dengan mengganti

nilai v dengan I dikalikan dengan R

24

PR = i2R = R

Vo2( 1 – e-Rt/L )u(t) (2.4.1-7)

Untuk menentukan daya yang diserap oleh beban induktor, maka diperoleh tegangan

induktor diketahui VL adalah sebagai berikut

VL = L dtdi (2.4.1-8)

Maka nilai VL rumusnya akan menjadi seperti berikut

/ ( )Rt LL oV V e u t−= (2.4.1-10)

Gambar 2.14 Daya yang diserap R

Karena du(t)/dt adalah nol untuk t > 0 dan ( 1 – e –Rt/L ) adalah nol pada t = 0. Jadi daya

yang diserap oleh inductor adalah

PL = vL i = R

Vo2 e –Rt/L ( 1 - e –Rt/L ) u(t); P = PR + PL (2.4.1-11)

Apabila sumber tegangannya berupa sumber tegangan AC yaitu berbentuk sinusoidal

VmCos(ωt). Response dalam time domain adalah

L

25

I(t) = ImCos (ωt + φ) (2.4.1-12)

dimana nilai I maksimun dan sudut φ adalah

Im = 222 LR

Vm

ω+ dan φ = - tan-1

RLω

(2.4.1-13)

Daya sesaat yang diberikan pada seluruh rangkaian dalam keadaan steady state

sinusoida adalah,

P = vi = Vm Im Cos (ωt + φ) Cos ωt,

P = 2ImVm [ Cos (2ωt + φ) + cos φ) (2.4.1-14)

P = 2ImVm Cos φ +

2ImVm [ Cos (2ωt + φ)

Persamaan diatas adalah sebuah gelombang cosinus karena gelombang sinus dan

cosinus mempunyai harga rata-rata nol (jika dirata-ratakan pada kelipatan bulat dari

periode) akan diperoleh hasil bahwa daya rata-rata adalah 21 VmImCos(φ).

2.4.2 Daya rata-rata (Average Power)

Harga rata-rata dari daya sesaat harus jelas interval waktunya. Pertama-tama dipilih

interval waktu dari t1 ke t2. Harga rata-rata diperoleh dengan mengintegralkan p(t) dari

t1 ke t2 dan membagi hasilnya dengan interval waktu t2 – t2. Jadi,

P = 12

1tt − ∫

2

1)(

t

tdttp

(2.4.2-1)

26

Fungsi periodik secara matematik dapat ditulis :

F(t) = f(t + T) (2.4.2-2) Dengan mengintegrasikan dari t1 ke t2 sebagi satu perioda, maka t2 = t1 + T, jadi

P1 = T1

∫+Tt

tdttP

1

1)( , kemudian dengan mengintegrasikan dari waktu lain tx ke tx + T,

Px = T1

∫+Ttx

txdttP )( . (2.4.2-3)

Daerah yang menyatakan integral yang akan dihitung dalam menentukan Px adalah

lebih kecil dari luas integral t1 ke tx, tapi lebih besar dari luas integral t1 + T ke tx + T,

dan sifat periodic dari kurva menghendaki kedua luas ini sama. Jadi, daya rata-rata

dapat dihitung dengan mengintegrasikan daya sesaat pada setiap interval yang satu

periode panjangnya dan membaginya dengan periode

P = T1

∫+Ttx

txPdt

(2.4.2-4)

Dengan mengintgrasikan pada setiap kelipatan bulat dari perioda, asal dengan membagi

kelipatan perioda yang sama, maka akan diperoleh

P = nT1

∫+nTtx

txPdt , dimana n = 1,2,3,……….. (2.4.2-5)

Untuk sumber tegangan sebagai fungsi sinusoidal, secara umum dapt dituliskan sebagai

berikut V(t) = Vm Cos ( ωt + θ ) dan persamaan arusnya adalah i(t) = Im Cos ( ωt + θ ),

daya sesaatnya adalah :

p(t) = Vm Im Cos ( ωt + θ ) Cos ( ωt + φ ) (2.4.2-6)

27

, secara matematis persamaan tersebut dapat diubah menjadi :

p(t) = 21 Vm Im Cos ( ωt - φ ) +

21 Vm Im Cos ( 2ωt + θ + φ ), (2.4.2-7)

Perbedaan sudut fasa pada suatu tahanan murni adalah nol, sehingga persamaan

rumusnya adalah seperti berikut

PR = Vm Im (2.4.2-8)

Jika Vm diganti dengan Im dikalikan dengan R, maka hasil subtitusinya adalah sebagai

berikut

PR = Im2 R (2.4.2-9)

atau bisa juga ditulis seperti berikut

PR = (2.4.2-10)

2.4.3 Daya Nyata (Apparent Power) dan Faktor Daya

Daya nyata (real) dan faktor daya (Power Factor) berpengaruh terhadap pemakaian

energi listrik (kWh) yang harus di· bayar oleh konsumen. Sehingga apabila effisiensi

dari transmisi yang kurang baik konsumen harus membayar biaya listrik lebih tinggi

untuk setiap kilo watt jamnya (kWh).

Untuk sumber tegangan sinusoida pada suatu jaringan listrik v = Vm Cos ( ωt + θ ),

menghasilkan arus sebesar i = Im Cos ( ωt + θ ) dengan sudut phasa tegangan

mendahului arus sebesar ( θ - φ ). Besar daya rata-rata yang diberikan pada jaringan

adalah

12

12

2

2Vm

R

28

P = 21 Vm Im Cos (θ - φ) (2.4.3-1)

dan harga efektifnya adalah :

P = Veff Ieff Cos (θ - φ) (2.4.3-2) , dari dua persamaan tersebut dapat diturunkan besar Faktor Daya (PF)

PF = DayaNyata

rataDayaRata − = effIeffV

P

(2.4.3-3)

Dalam bentuk sinusoida, faktor daya (PF) adalah (θ - φ), dimanan (θ - φ) adalah beda

phasa anatara tegangan yang mendahului arusnya. Yang sering disebut dengan sudut

PF (PF Angle).

Untuk beban R murni, beda sudut phasa (θ - φ) antara tegangan dan arus adalah 0 (nol)

Untuk beban reaktif murni beda sudut phasa (θ - φ) antara tegangan dan arus adalah ±

900 sehingga PF nya sama dengan 0.

2.5 Alat Ukur Arus dan Tegangan Bolak Balik (AC)

Alat ukur untuk arus dan tegangan bolak balik jenis analog ada bermacam-macam

seperti misal elektrodinamis atau wattmeter. Pada dasarnya alat ukur arus dan tegangan

analog menggunakan kumparan putar. Alat ukur kumparan putar tidak dapat digunakan

untuk pengukuran arus bolak balik. Akan tetapi karena kepekaannya yang baik dan

pemakaian sendirinya yang kecil, maka berbagai peralatan pembantu telah ditemukan

untuk memungkinkan penggunaan alat-alat ukur kumparan putar digunakan sebagai alat

pengukur arus maupun tegangan pada arus bolak balik. Alat pembantu tersebut bisa

bermacam-macam ragam dan beberapa yang sering digunakan adalah pengarah arus,

dengan bantuan thermoelektris dan tabung-tabung elektronika. Disamping itu, beberapa

29

tipe dari alat pengukur arus maupun alat pengukur tegangan untuk arus bolak balik,

terdapat pula yang bekerja atas prinsip yang lain, dari alat pengukur kumparan putar.

Misalkan alat pengukur dengan besi putar , alat pengukur elektrodinamis, alat pengukur

induksi dan alat pengukur elektrostatis, adalah bebrapa contoh dari alat-alat ukur yang

dimaksudkan. Sebelum membicarakan alat-aat ukur tersebut, diperlukan beberapa

penjelasan untuk memperlihatkan berbagai aspek yang khusus mengenai arus maupun

tegangan bolak balik.

2.5.1 Alat ukur Arus atau Tegangan Bolak Balik (AC)

Elektrodinamis

Contoh alat ukur Arus AC adalah alat ukur elektrodinamis , alat ukur dari tipe ini dapat

digunakan untuk arus bolak balik, atau arus searah, dan dapat dibuat dengan presisi

yang baik.

Prinsip kerja alat ini adalah , suatu kumparan putar M ditempatkan di antara kumparan-

kumparan tetap (F1 dan F2). Bilai arus i1 melalui kumparan yang tetap (F1) dan i2

melalui kumparan yang berputar (M), maka pada kumparan putar akan terkena gaya

elektromagnetis yang berbanding lurus dengan hasil kali i1 dan i2. Bila kumparan putar

Gambar 2.15 Elektrodinamis

30

dalam suatu keadaan tertentu , telah mengalami perputaran sebesar θ dari posisi nol

pada skala, maka besar dari momen gerak pada saat tersebut, dapat diberikan dengan

rumus berikut :

(2.5.1-1)

Yang mana, k adalah sebagai konstanta pegas. Persamaan di atas memperlihatkan,

bahwa penunjukkan dari alat ukur tipe elektrodinamis, tergantung dari hasil kali dua

arus yang berbeda. Dengan kata lain alat ukur tipe elektrodinamis adalah semacam alat

ukur perkalian.

Rangkaian suatu Ammeter jenis elektrodinamometer

Untuk pengukuran arus-arus besar , suatu shunt diperlukan, sehingga membatasi arus-

arus yang mengalir ke dalam kumparan putar M, tahanan R diperlukan untuk

memberikan kompensasi pada karakteristik temperature, seperti pada alat ukur

kumparan putar dan kondensator yang digunakan untuk memungkinkan arus yang

mengalir dalam kumparan putar maupun kumparan tetap ada dalam fasa yang sama.

2.5.2 Alat Ukur Arus dan Tegangan Bolak Balik (AC)

Wattmeter

Wattmeter (Ampere dan Volt meter) tipe Elektrodinamis

. 1. 2cos( )k i iτθ α θ= −

Gambar 2.16 Ammeter

31

Prinsip kerja alat ini seperti yang telah dijelaskan sebelumnya yaitu memiliki satu

pasang kumparan, yang pertama adalah kumparan tetap dan yang satunya lagi adalah

kumparan putar, sedangkan alat putarnya akan berputar melalui suatu sudut, yang

berbanding lurus dengan hasil perkalian dari arus-arus yang melalui kumparan-

kumparan tersebut.

Bila arus yang melalui kumparan tetapnya adalah i1, serta arus yang melalui kumparan

putarnya adalah i2, dan dibuat supaya masing-masing berbanding lurus dengan arus

beban I, dan tegangan beban v, maka momen yang menggerakkan alat putar pada alat

ukur ini adalah untuk arus searah, dimana K adalah suatu konstanta; dan dengan

demikian berbanding lurus dengan daya pada beban VI.

Untuk arus bolak balik maka :

{ }1. 2 cos cos(2 )i i kVi KVI tϕ ω ϕ= = − −

Gambar 2.17 Wattmeter Analog

Gambar 2.18 single phase

(2.5.1-2)

32

Yang didapat dengan asumsi bahwa V=Vm sin ωt dan I = Im sin (ωt- ) dan i2 adalah

sefasa dengan V. jadi dengan demikian, untuk arus searah maupun arus bolak balik

dapat dikatakan bahwa penunjukan dari alat ukur watt type elektrodinamis adalah

berbanding lurus dengan daya beban.

KWh Meter

KWH Meter atau Meteran listrik sangat umum dijumpai pada setiap rumah pelanggan

listrik. Fungsi dari alat ini adalah menghitung seberapa besar pemakaian energi listrik

suatu bangunan entah itu di rumah, kantor maupun pabrik. Seorang petugas PLN akan

mendatangi para pelanggan dan mencatat penggunaan yang tertera pada KWH meter

tersebut setiap bulannya.

1. Definisi kWh Meter

kWh Meter adalah satuan energi listrik yang dipakai sebagai standar pengukuran di

Indonesia, dimana 1 kWh adalah sama dengan 3.6 MJ (Mega Joule). Energi Listrik

adalah besar Daya dalam satuan kW dikalikan dengan waktu dalam satuan hour (jam), E

= P . t

2. Metode Kwh Meter

Metode yang digunakan dalam sistem kWh meter yaitu menghitung jumlah putaran

pada piringan KWH meter. Jumlah putaran tersebut yang dihitung dalam satuan KWH (

Kilo Watt Hour ) setiap bulannya akan dikalikan dengan harga satuan tarif dasar listrik (

TDL )dan ditambahkan dengan nilai abodemen plus pajak 10 persen akan menghasilkan

tagihan yang kita terima setiap bulannya.

Bagian utama dari sebuah KWH meter adalah kumparan tegangan, kumparan arus,

piringan aluminium, magnet tetap dan gear mekanik yang mencatat jumlah perputaran

33

piringan aluminium. Apabila meter dihubungkan ke daya satu phasa maka piringan

mendapat torsi yang dapat membuatnya berputar seperti motor dengan tingkat

kepresisian yang tinggi. Berikut diberikan gambar KWH meter analog beserta gambar

prinsip kerja dari KWH meter tersebut apabila ditinjau dari segi fisika.

Gambar 2.19 kWhmeter Analog