DIFERENSIAL PARSIAL

PENDAHULUANPersamaan diferensial berperan penting dalam menyelesaikan berbagai persoalan fisika:(1) untuk memperoleh deret pangkat suatu fungsi(2) memperoleh nilai maksimum minimum suatu kurva(3) menyelesaikan masalah fungsi dengan beberapa variabel

Dalam fisika banyak dijumpai suatu fungsi dengan dua variabel atau lebih. Jika variabel-variabel tersebut saling bebas, maka dapat penyelesaian fungsi tersebut dapat menggunakan diferensial parsial.

DIFERENSIAL PARSIALJika maka notasi diferensial parsial ditulis

ContohJika carilah nilai dariJawab

DIFERENSIAL TOTALJika maka diferensial total didefinisikan sebagai

ContohJika carilah diferensial totalnya!Jawab

ContohHambatan R suatu kawat penghantar homogen sebanding panjang kawat l dan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari penampang kawat Jika kesalahan relatif pengukuran panjang adalah 5% dan kesalahan relatif pengukuran jari-jari adalah 10%, hitunglah kesalahan relatif paling besar dalam penghitungan hambatan!Jawab DIFERENSIAL TOTAL

Jika maka diferensial total didefinisikan sebagai

Jika dz diturunkan terhadap t, maka dapat dinyatakan

Contoh:1. Jika , carilah dy/dx !2. Diberikan Carilah dz/dt !ATURAN BERANTAIATURAN BERANTAI(CHAIN RULE)

Carilah dari persamaan Jawab:

Carilah dari persamaan

DIFERENSIAL IMPLISIT

Carilah jika di manaJawab:Sehingga

MORE CHAIN RULE

Bandingkan dengan menggunakan chain rule sebelumnyaJawab:

MORE CHAIN RULE

Sebuah tenda kemah tertutup rapat dengan volume V, tanpa penutup lantai. Tenda dibuat dengan kain minimal. Carilah berapa proporsi kain tersebut!Jawab:

Dengan substitusi nilai l ke dalam A, maka diperolehUntuk meminimalisasi nilai A, maka

PROBLEM MAKSIMUM - MINIMUM

Sehingga

PROBLEM MAKSIMUM - MINIMUM

Salah satu kegunaan diferensial parsial adalah untuk mengubah variabel, misalnya dari koordinat persegi ke koordinat polar. Dalam permasalahan vibrasi membran sirkular atau aliran panas dalam silinder sirkular, lebih baik menggunakan koordinat polar. Untuk masalah gelombang bunyi dalam ruangan, koordinat persegi lebih baik.

Contoh:Lakukan perubahan variabel dalam persamaan gelombang,

dan temukan solusinya!

PERUBAHAN VARIABEL

Jawab:

PERUBAHAN VARIABEL

Subtitusikan hasil di atas ke persamaan gelombang

Sehingga

Hal ini tercapai jika tidak bergantung terhadap r, artinya hanya merupakan fungsi s. Sehingga, jika diintegralkan terhadap s akan diperoleh . Const merupakan kostanta yang masih terkait, dapat berupa sebarang fungsi r, misal g(r), karena Solusinya:

PERUBAHAN VARIABEL

Menurut definisi integral sebagai anti-turunan, jikamakaJika persamaan di atas didiferensialkan terhadap x, maka

Dengan cara yang sama, DIFERENSIASI INTEGRAL, ATURAN LEIBNIZ

Contoh: Carilah nilai Jawab:Dengan menggunakan persamaan diferensiasi integral, maka

Perhatikan kembali,

Anggap u dan v merupakan fungsi x. Jika dicari dI/dx, di manadan I merupakan fungsi u dan v, maka

Contoh: Carilah nilai dI/dx jika

Carilah nilai dI/dx jikaJawab:1.

2.

Jika , maka

Contoh:Carilah nilai dI/dx jikaJawab:

ATURAN LEIBNIZ