1

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN

APLIKASI

MINGGU 3

Persamaan Terpisah

2

• PD yang dapat dituliskan dalam bentuk :𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 −→ 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

disebut PD terpisah.

• Penyelesaian : Pisahkan Variabel terikat dan Variabel bebas lalu integralkan kedua ruas

Persamaan Terpisah

3

• Contoh : tentukan solusi PD

1.(x ln x) y' = y

2.y’ = x3e-y ; y(2)=0

Persamaan Terpisah

4

1. (x ln x) y' = y

ydx

dyxx ln

xx

dx

y

dy

ln

cxy lnlnlnln

xcy lnlnln

xcy ln

Integralkan kedua ruas

Pisahkan Variabel x dan y

xx

dx

y

dy

ln

Solusi Umum

Persamaan Terpisah

5

y' = x3 e-y

Integralkan kedua ruas

Pisahkan Variabel x dan y

Solusi Umum

yexdx

dy 3

dxxe

dyy

3

dxxdye y 3

cxe y 4

4

1

cxy 4

4

1ln

Diketahui y(2) = 0

c4)2(

4

1ln0

3

4

1ln 4xy

341 cc

Solusi Khusus

Persamaan Terpisah

6

• Latihan Soal

Persamaan Linier

7

• PD yang dapat dituliskan dalam bentuk :

𝑎1 𝑥𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔 𝑥

atau dalam bentuk :𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑟 𝑥

Dimana 𝑃 𝑥 =𝑎0 𝑥

𝑎1 𝑥dan r 𝑥 =

𝑔 𝑥

𝑎1 𝑥

• Persamaan ini disebut PD linier

Persamaan Linier

8

• Penyelesaian :

1. kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi

2. kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑃 𝑥 𝑦𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑟(𝑥)𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥

Dengan memanfaatkan aturan turunan (uv)’=u’v+v’u

Maka didapatkan bentuk

(𝑦𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥)′= 𝑟(𝑥)𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥

dxxP

ex)(

)(

Persamaan Linier

9

• Penyelesaian :

3. Integralkan kedua ruas

න(𝑦𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥)′𝑑𝑥 = න𝑟(𝑥)𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥

𝑦𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = න𝑟(𝑥)𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐

→ 𝑖𝑛𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑢𝑚𝑢𝑚 𝑃𝐷

Persamaan Linier

10

Cari Solusi Untuk xy’ – 2y = x3 ex

xexyx

y 22' (bagi kedua ruas dgn x)

2lnln2

22

xeee xxdxx

Faktor Integrasi

xeyx

yx

32

2'

1

Kalikan faktor integrasi ke keda ruas

xeyx

1

2

1cey

x

x 2

1

Solusi Umum 22 xcexy x

Persamaan Linier

11

Cari solusi untuk y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3Faktor Integrasi

Kalikan faktor integrasi ke kedua ruas

xdxee 1

21' xeyeye xxx

)1()'( 2 xeye xx

dxxeye xx 2)1(

dxexexye xxx )1(212

ceexexye xxxx 2)1(212

Persamaan Linier

12

Sehingga, solusi umum

xcexxy 21212

xcexy 12

c13

2c

Diketahui y(0) = 3

Sehingga, solusi khusus xexy 212

Persamaan Linier

13

Persamaan Linier

14

Catatan :• Bila r(x) = 0 disebut PDBL Homogen sehingga solusi nya disebut

solusi homogen, sebaliknya jika r(x) ≠ 0 disebut PDBL tak homogen sehingga solusinya disebut solusi non homogen

• Adakalanya PD orde 1 tidak linier pada satu variabel tapi linier terhadap variabel lain, contohnya

𝑑𝑦

𝑑𝑥=

1

𝑥 + 𝑦2

Persamaan ini tidak linier terhadap y, tetapi dapat diubahbentuknya menjadi

𝑑𝑥

𝑑𝑦= 𝑥 + 𝑦2 →

𝑑𝑥

𝑑𝑦− 𝑥 = 𝑦2

Setelah diubah bentuknya, diselesaikan dengan PD linier yang diintegralkan terhadap variabel y

Persamaan Eksak

15

• PD yang dapat dituliskan dalam bentuk :𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0

• Persamaan ini disebut PD Eksak jika bagian di ruas kiriadalah diferensial eksak

• Persamaan dikatakan diferensial eksak jika :– M(x,y) dan N(x,y) kontinyu dan memiliki turunan

pertama parsial nya kontinyu di daerah R, maka

𝜕𝑀

𝜕𝑦=𝜕𝑁

𝜕𝑥

Persamaan Eksak

16

• Penyelesaian :

1. Tentukan apakah syarat diferensial eksakterpenuhi. Jika terpenuhi, maka

𝜕𝑓

𝜕𝑥= 𝑀(𝑥, 𝑦)

2. Integralkan kedua ruas terhadap x, dengan y adalah konstanta.

𝑓 𝑥, 𝑦 = න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦

g(y) adalah ‘konstanta’ integrasi

Persamaan Eksak

17

3. Turunkan persamaan f terhadap y dan asumsikan𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑁 𝑥, 𝑦

Sehingga didapatkan𝜕𝑓

𝜕𝑦=

𝜕

𝜕𝑦න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑔′ 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦

→ 𝑔′ 𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 −𝜕

𝜕𝑦න𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥

4. Integralkan kedua ruas terhadap y dan substitusidengan hasil di tahap 2. Solusi implisit daripersamaan tersebut adalah f(x,y)=c

Persamaan Eksak

18

• Catatan :

1. Prosedur integrasi saat memulainya bisa diubah, dapatdimulai juga dengan asumsi

𝜕𝑓

𝜕𝑦= 𝑁 𝑥, 𝑦

Selanjutnya diselesaikan dengan integrasi terhadap y, barumelakukan diferensiasi terhadap x, sehingga didapatkan

𝑓 𝑥, 𝑦 = න𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 + ℎ 𝑥

→ ℎ′ 𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 −𝜕

𝜕𝑥න𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦

Persamaan Eksak

19

• Catatan :

Cara lain untuk menyelesaikan persamaan non eksakadalah dengan menggunakan cara penyelesaian PD eksak dengan mengubah faktor integrasi 𝜇 𝑥 .

Jika (My-Nx)/N hanya menghasilkan fungsi x, makafaktor integrasinya adalah

𝜇 𝑥 = 𝑒𝑀𝑦−𝑁𝑥

𝑁𝑑𝑥

-jika (Nx-My)/M hanya menghasilkan fungsi y, makafaktor integrasinya adalah

𝜇 𝑦 = 𝑒𝑁𝑥−𝑀𝑦

𝑀𝑑𝑦

Persamaan Eksak

20

Cari solusi untuk 2xy dx + (x2-1) dy = 0

Buktikan apakah eksak

xy

xy

y

M2

)2(

x

y

x

x

N2

)1( 2

EKSAK

)()(

)(]2[)(

)(]),([)(

2 ygyxxyf

ygxyxyf

ygdxyxMxyf

Cari nilai f(x,y) Turunkan nilai f(x,y) terhadap y

)(),(

))((),(

2

2

ygxy

yxf

y

ygyx

y

yxf

Persamaan Eksak

21

Cari nilai g(y)

1)(

),(),(

22

xygx

yxNy

yxf

Sehingga

yyg

yg

)(

1)(

yyxyxf 2),(

Solusi eksplisit

Solusi implisit

cyyx 2

)1( 2x

cy

Meng-eksak-kan PD non-eksak

22

• PD non eksak jika 𝜕𝑀

𝜕𝑦≠

𝜕𝑁

𝜕𝑥dapat diubah menjadi

persamaan eksak

• Mengubah PD non-eksak menjadi PD eksak dilakukan dengan mengalikan PD dengan faktor integrasi.

dxxQ

dxxP

ex

atau

ex

)(

)(

)(

)(

Meng-eksak-kan PD non-eksak

23

• Dengan nilai P(x) dan Q(x) adalah

M

x

N

y

M

xQ

N

x

N

y

M

xP

)(

)(

)(

)(

Meng-eksak-kan PD non-eksak

24

yy

M

yx

N

2

2

Cari solusi untuk (4x3+x2-y2) dx + 2xy dy = 0

TIDAK EKSAK

Cari nilai P(x)

xxP

xy

yyxP

2)(

2

)22()(

Cari nilai faktor integrasi

x

dxx

dxxP

ex

ex

ex

ln2

2

)(

)(

)(

)(

2

)1

ln(

1)(

)(2

xx

ex x

Meng-eksak-kan PD non-eksak

25

Kalikan faktor integrasi ke PD non eksak

0)2()14(

0)2(1

)4(1

2

2

2

223

2

dyx

ydx

x

yx

dyxyx

dxyxxx

PD. EKSAK

Pembuktian

2

2

2

2

x

y

y

M

x

y

x

N

PD. EKSAK

Setelah itu diselesaikan

dengan langkah-langkah yang

sudah dijelaskan diatas

Persamaan Eksak

26

Pemodelan PD orde 1 pada Rangkaian Listrik

27

• Rangkaian listrik dengan loop >1 dapat diselesaikan dengan PD

• Contoh dari gambar di atas didapatkan :

)()()( 321 tititi

Pemodelan PD orde 1 pada Rangkaian Listrik

28

• Untuk loop i1 dan i2 didapatkan

• Untuk loop i1 dan i3 didapatkan

222

111)( Ridt

diLRitE

dt

diLRitE 3

11 2)(

Pemodelan PD orde 1 pada Rangkaian Listrik

29

• Menggunakan persamaan slide 28 untuk mengeliminasi nilai i1 pada persamaan slide 29 maka didapat 2 PD linear untuk i2 dan i3

)(

)()(

31213

2

312212

1

tEiRiRdt

diL

tEiRiRRdt

diL