DIFERENSIAL PARSIAL
PENDAHULUANPersamaan diferensial berperan penting dalam menyelesaikan berbagai persoalan fisika:(1) untuk memperoleh deret pangkat suatu fungsi(2) memperoleh nilai maksimum minimum suatu kurva(3) menyelesaikan masalah fungsi dengan beberapa variabel
Dalam fisika banyak dijumpai suatu fungsi dengan dua variabel atau lebih. Jika variabel-variabel tersebut saling bebas, maka dapat penyelesaian fungsi tersebut dapat menggunakan diferensial parsial.
DIFERENSIAL PARSIALJika maka notasi diferensial parsial ditulis
ContohJika carilah nilai dariJawab
DIFERENSIAL TOTALJika maka diferensial total didefinisikan sebagai
ContohJika carilah diferensial totalnya!Jawab
ContohHambatan R suatu kawat penghantar homogen sebanding panjang kawat l dan berbanding terbalik dengan kuadrat jari-jari penampang kawat Jika kesalahan relatif pengukuran panjang adalah 5% dan kesalahan relatif pengukuran jari-jari adalah 10%, hitunglah kesalahan relatif paling besar dalam penghitungan hambatan!Jawab DIFERENSIAL TOTAL
Jika maka diferensial total didefinisikan sebagai
Jika dz diturunkan terhadap t, maka dapat dinyatakan
Contoh:1. Jika , carilah dy/dx !2. Diberikan Carilah dz/dt !ATURAN BERANTAIATURAN BERANTAI(CHAIN RULE)
Carilah dari persamaan Jawab:
Carilah dari persamaan
DIFERENSIAL IMPLISIT
Carilah jika di manaJawab:Sehingga
MORE CHAIN RULE
Bandingkan dengan menggunakan chain rule sebelumnyaJawab:
MORE CHAIN RULE
Sebuah tenda kemah tertutup rapat dengan volume V, tanpa penutup lantai. Tenda dibuat dengan kain minimal. Carilah berapa proporsi kain tersebut!Jawab:
Dengan substitusi nilai l ke dalam A, maka diperolehUntuk meminimalisasi nilai A, maka
PROBLEM MAKSIMUM - MINIMUM
Sehingga
PROBLEM MAKSIMUM - MINIMUM
Salah satu kegunaan diferensial parsial adalah untuk mengubah variabel, misalnya dari koordinat persegi ke koordinat polar. Dalam permasalahan vibrasi membran sirkular atau aliran panas dalam silinder sirkular, lebih baik menggunakan koordinat polar. Untuk masalah gelombang bunyi dalam ruangan, koordinat persegi lebih baik.
Contoh:Lakukan perubahan variabel dalam persamaan gelombang,
dan temukan solusinya!
PERUBAHAN VARIABEL
Jawab:
PERUBAHAN VARIABEL
Subtitusikan hasil di atas ke persamaan gelombang
Sehingga
Hal ini tercapai jika tidak bergantung terhadap r, artinya hanya merupakan fungsi s. Sehingga, jika diintegralkan terhadap s akan diperoleh . Const merupakan kostanta yang masih terkait, dapat berupa sebarang fungsi r, misal g(r), karena Solusinya:
PERUBAHAN VARIABEL
Menurut definisi integral sebagai anti-turunan, jikamakaJika persamaan di atas didiferensialkan terhadap x, maka
Dengan cara yang sama, DIFERENSIASI INTEGRAL, ATURAN LEIBNIZ
Contoh: Carilah nilai Jawab:Dengan menggunakan persamaan diferensiasi integral, maka
Perhatikan kembali,
Anggap u dan v merupakan fungsi x. Jika dicari dI/dx, di manadan I merupakan fungsi u dan v, maka
Contoh: Carilah nilai dI/dx jika
Carilah nilai dI/dx jikaJawab:1.
2.
Jika , maka
Contoh:Carilah nilai dI/dx jikaJawab:
ATURAN LEIBNIZ
Top Related