28

Standar Kompetensi :

Mahasiswa mampu melakukan manipulasi sifat-sifat dalam perbandingan trigonometri

dan inversnya serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar : Mahasiswa memahami dalil De Moivre dengan menggunakan

sifat pada perbandingan trigonometri

1. KOORDINAT POLAR

a2 = r2 sin 2

b2 = r2cos 2

a2 + b 2 = r2

r =

dan

A

Hati hati karena harga karena tergantung dengan letak kuadran dari sudut tsb

(contoh gambar di bawah)

x

P(2,1) P(-2,1)

Y

P(-2,-1)

2. BILANGAN KOMPLEKS

P(a,b)

a

b r

y

x o

OP =r

a = r sin

b = r cos

BAB 3 DALIL DE MOIVRE

29

Bilangan kompleks dinyatakan dalam a + bi dengan a,bЄ R dan i =

Dalam koordinat, bilangan tsb disajikan dalam sumbu x sbg sumbu riil dan sumbu y sbg

sumbu khayal. Sebuah bilangan kompleks digambarkan oleh satu titik pada bidang

kompleks. Bilangan a+bi digambarkan oleh titik P(a,b)

Bilangan kompleks juga dapat disajikan dalam koordinat polar

P (a,b)

r = modulus dan = argumen

3. DALIL DE MOIVRE

Misalkan kita punya bilangan kompleks z1 dan z2 dimana:

Sekarang, kita akan mencoba mengalikan keduanya...

Disingkat menjadi:

Hasil kali di atas dapat kita perluas untuk

.

Jika , maka kita akan menemukan dalil de Moivre:

n bilangan bulat..

Untuk n = 0

Q

a

b r

x

o

a + bi = r cos + ir sin

= r ( cos + isin )

Atau dapat disingkat sebagai

a+bi = rcis

30

( r cis

= 1 (1+0)

= 1

Bagaimana untuk n = bilangan bulat negative………………..n = -m

( r cis Q )n = ( r cis Q )-m

=

=

= .

=

=

=

Bagaimana jika n : bilangan rasional ??apakah masih berlaku?

=

Misal , maka

=

=

=

=

Contoh 1 :

31

Hitunglah cis 15 30 0

cis 15 30 0 = (cis 30 0) 15

= cis (15. 30 0)………… dalil De Moivre

= cis ( 450 0)……………….ingat periodisasi fungsi sinus dan cosinus k.3600

= (cis 90 0)

= cos 90 0+ sin 90 0

= 0 + 1. I = i

Latihan :

1. Jika 1

2. Tentukan sin 5Ѳ, cos 5Ѳ. Gunakan dalail De Moivre

3. Jika diketahui xn = 1, tentukan besar x .

Tentukan :