dalil 105-109

8
Dalil 105 Luas bidang lengkung kulit bola = 2 πRt , jika t=¿tinggi kulit bola, R=¿ jari – jari bola Dalil106 Luas bidang bola = 4 πR 2 =πd 2 , jika R=¿ jari- jari bola dan d=2 R Bukti : Jika kita memutarkan setengah lingkaran dengan garis tengahnya sebagai sumbu perputaran, maka akan kita dapatkan sebuah bola. Karena proyeksi setengah lingkaran pada garis tengahnya sama dengan garis tengahnya sendiri. Maka jika jari-jari bola ¿ R, luas bidang bola ¿ 2 πR × 2 R=4 πR 2 . ISI BOLA DAN BAGIAN-BAGIANNYA Dalil 107 Isi benda yang terjadi karena perputaran sebuah segitiga dengansebuah sumbu perputaran yang melalui sebuah titik sudut segitiga, yang terletak dengan sebuah bidang dengan segitiga, tetapi tidak memotong segitiga pada tempat lain, sama dengan sebuah bidang yang dibuat oleh sisi segitiga yang adadihadapan titik sudut yang dilalui oleh sumbu perputaran, diperbanyakdengan sepertiga garis tinggi pada sisi itu. Perputaran ini dapat terjadi dalam tiga kemungkinan yaitu : a. Sumbu perputaran berimpit pada sebuah sisi segitiga.

description

georu

Transcript of dalil 105-109

Page 1: dalil 105-109

Dalil 105

Luas bidang lengkung kulit bola = 2 πRt , jika t=¿tinggi kulit

bola, R=¿ jari – jari bola

Dalil106

Luas bidang bola =4 π R2=π d2 , jika R=¿ jari-jari bola dan

d=2R

Bukti :

Jika kita memutarkan setengah lingkaran dengan garis tengahnya sebagai sumbu perputaran,

maka akan kita dapatkan sebuah bola. Karena proyeksi setengah lingkaran pada garis tengahnya

sama dengan garis tengahnya sendiri. Maka jika jari-jari bola ¿ R, luas bidang bola

¿2 πR × 2R=4 π R2.

ISI BOLA DAN BAGIAN-BAGIANNYA

Dalil 107

Isi benda yang terjadi karena perputaran sebuah segitiga dengansebuah sumbu perputaran yang

melalui sebuah titik sudut segitiga, yang terletak dengan sebuah bidang dengan segitiga, tetapi

tidak memotong segitiga pada tempat lain, sama dengan sebuah bidang yang dibuat oleh sisi

segitiga yang adadihadapan titik sudut yang dilalui oleh sumbu perputaran, diperbanyakdengan

sepertiga garis tinggi pada sisi itu.

Perputaran ini dapat terjadi dalam tiga kemungkinan yaitu :

a. Sumbu perputaran berimpit pada sebuah sisi segitiga.

b. Sumbu perputaran itu mempunyaisebuah titik persekutuan dengan segitiga, selang

perpanjangan sisi yang berhadapan memotong sumbu.

c. Sumbu perputaran mempunyai sebuah titik persekutuan sebuah segitiga, sedang sisi yang

berhadapan dengan perpanjangan sejajar dengan sumbu.

Kemiringan pertama :

Page 2: dalil 105-109

Isi(∆ ABC )= isi(∆ ACE) + isi (∆ BCE)

Page 3: dalil 105-109

= 13

AE× π t c2 +

13

EB × π tc2

= 13

AB× π t c2

= 13

AB× π t c × tc

= 13

BC × π ta ×t c

= 13

a × π t a× t c

= aπ t c ×13

ta

= Luas ( BC ) × 13

t a

Isi (∆ ABC ) = isi (∆ ACE) - isi (∆ BCE)

= 13

AE× π t c2 -

13

BE× π t c2

Page 4: dalil 105-109

= 13

AB× π t c2

= 13

t c × AB × π tc

= 13

t a× a × π t c

= 13

aπ t c × ta

= Luas BC ×13

t a

Kemungkinan Kedua :

Isi (∆ ABC ) =Isi(∆ ADC )−¿isi (∆ ABD)

=13

t a π × Luas ( DC )−13

t a π × Luas (BD )

= 13

t a× Luas(BC )

Kemungkinan ketiga : (lihat gb 136)

Isi (∆ ABC ) = is(∆ ABD ) + Isi (∆ ACD ) karena isi

kerucut ( ∆ AB B I ) = 12

Isi tabung ( ADB BI ), maka

untuk isi (∆ ABD ) dapat dituliskan 23

Isi

Page 5: dalil 105-109

( ADB BI ). Sesuai dengan ini, untuk isi (∆ ACD) dapat dituliskan 23

Isi ( ADC C I ). Dengan

demikian di dapat :

isi (∆ ABC ) = 23

Isi ( ADB BI ) + 23

Isi ( ADC C I )

= 23

B' A × π t 2a+

23

C ' A × π t2a

= 23(B ' A+C ' A )× π t 2

a

= 23

B' C ' × π t2a

= 23

BC × π t2a

= 13

t a× 2 π t a× BC

= Luas ( BC ) × 13

t a

Isi (∆ ABC ) = Isi (∆ ACD )−¿Isi (∆ ABD )

= 23

isi ( A C ' CD )−23

AB ' × π t2a

Page 6: dalil 105-109

= 23

A C ' × π t2−23

AB ' × π t2a

= 23( A C '−A B')× π t2

a

= 23

B' C ' × πt 2

= 23

BC × πt2a

= 13

t a× 2 π t a× BC

= Luas (BC )×13

t a

Dalil 108

Jika sebuah juring polygon berputar dengan garis tengah lingkaran luar sebagai sumbu

perputaran, sedang garis tengah itu tidak memotong sisi-sisi polygon, maka isi benda yang

terjadi karena perputaran itu sama dengan luas bidang yang dibuat oleh garis patah itu di

perbanyak dengan sepertiga apotemanya.

(polygon = segi banyak teratur)

Bukti : (lihat gb.138)

Segi banyak NABCDberputar dengan PQ sebagai sumbu.

Isi (NABCD ) = Isi (NAB) + Isi (NBC ) + Isi

(NCD)

= 13

a × luas ( AB )+ 13

a ×luas ( BC )+¿

13

a × luas (CD )

= 13

a × luas(ABCD) (I)

Luas ( ABCD)=A ' D ' ×2 πa

Harga ini kita gantikan dalam (I), maka dapat diperoleh :

Page 7: dalil 105-109

Isi ( NABCD ) = 13

a × 2 πa × A' D'

= 23

π a2 × A ' D ' (II)

Jika sisi-sisi antara A dan D di perbanyak jumlahnya. Maka apotema menjadi lebih besar. Dan

mempunyai limit R, sedangkan proyeksi A ' D ' tetap. Dengan demikian maka isi benda yang

terbentuk karena perputaran juring polygon juga menjadi lebih besar.

Jika jumlah sisi polygon di perbesar terus menerus maka pada keadaan limit garis patah menjadi

sebuah busur AD. Hingga isi (juring NAD) sama dengan limit isi ( ABCD), atau :

Isi (juring NAD) = 23

π R2× A ' D '

Dan Jika A' D'=t Maka :

Isi ( Juring NAD) = 23

π R2t=13

R ×2 πRt

Maka di dapat :

Dalil 109

Isi benda yang terjadi karena perputaran sebuah juring lingkaran dengan garis tengah yang

tidak memotong juring itu sebagai sumbu perputaran, sama dengan sepertiga jari-jari

diperbanyak dengan luas bidang yang terjadi karena perputaran busur.