dalil 105-109
-
Upload
pasekbudarsini -
Category
Documents
-
view
245 -
download
0
description
Transcript of dalil 105-109
Dalil 105
Luas bidang lengkung kulit bola = 2 πRt , jika t=¿tinggi kulit
bola, R=¿ jari – jari bola
Dalil106
Luas bidang bola =4 π R2=π d2 , jika R=¿ jari-jari bola dan
d=2R
Bukti :
Jika kita memutarkan setengah lingkaran dengan garis tengahnya sebagai sumbu perputaran,
maka akan kita dapatkan sebuah bola. Karena proyeksi setengah lingkaran pada garis tengahnya
sama dengan garis tengahnya sendiri. Maka jika jari-jari bola ¿ R, luas bidang bola
¿2 πR × 2R=4 π R2.
ISI BOLA DAN BAGIAN-BAGIANNYA
Dalil 107
Isi benda yang terjadi karena perputaran sebuah segitiga dengansebuah sumbu perputaran yang
melalui sebuah titik sudut segitiga, yang terletak dengan sebuah bidang dengan segitiga, tetapi
tidak memotong segitiga pada tempat lain, sama dengan sebuah bidang yang dibuat oleh sisi
segitiga yang adadihadapan titik sudut yang dilalui oleh sumbu perputaran, diperbanyakdengan
sepertiga garis tinggi pada sisi itu.
Perputaran ini dapat terjadi dalam tiga kemungkinan yaitu :
a. Sumbu perputaran berimpit pada sebuah sisi segitiga.
b. Sumbu perputaran itu mempunyaisebuah titik persekutuan dengan segitiga, selang
perpanjangan sisi yang berhadapan memotong sumbu.
c. Sumbu perputaran mempunyai sebuah titik persekutuan sebuah segitiga, sedang sisi yang
berhadapan dengan perpanjangan sejajar dengan sumbu.
Kemiringan pertama :
Isi(∆ ABC )= isi(∆ ACE) + isi (∆ BCE)
= 13
AE× π t c2 +
13
EB × π tc2
= 13
AB× π t c2
= 13
AB× π t c × tc
= 13
BC × π ta ×t c
= 13
a × π t a× t c
= aπ t c ×13
ta
= Luas ( BC ) × 13
t a
Isi (∆ ABC ) = isi (∆ ACE) - isi (∆ BCE)
= 13
AE× π t c2 -
13
BE× π t c2
= 13
AB× π t c2
= 13
t c × AB × π tc
= 13
t a× a × π t c
= 13
aπ t c × ta
= Luas BC ×13
t a
Kemungkinan Kedua :
Isi (∆ ABC ) =Isi(∆ ADC )−¿isi (∆ ABD)
=13
t a π × Luas ( DC )−13
t a π × Luas (BD )
= 13
t a× Luas(BC )
Kemungkinan ketiga : (lihat gb 136)
Isi (∆ ABC ) = is(∆ ABD ) + Isi (∆ ACD ) karena isi
kerucut ( ∆ AB B I ) = 12
Isi tabung ( ADB BI ), maka
untuk isi (∆ ABD ) dapat dituliskan 23
Isi
( ADB BI ). Sesuai dengan ini, untuk isi (∆ ACD) dapat dituliskan 23
Isi ( ADC C I ). Dengan
demikian di dapat :
isi (∆ ABC ) = 23
Isi ( ADB BI ) + 23
Isi ( ADC C I )
= 23
B' A × π t 2a+
23
C ' A × π t2a
= 23(B ' A+C ' A )× π t 2
a
= 23
B' C ' × π t2a
= 23
BC × π t2a
= 13
t a× 2 π t a× BC
= Luas ( BC ) × 13
t a
Isi (∆ ABC ) = Isi (∆ ACD )−¿Isi (∆ ABD )
= 23
isi ( A C ' CD )−23
AB ' × π t2a
= 23
A C ' × π t2−23
AB ' × π t2a
= 23( A C '−A B')× π t2
a
= 23
B' C ' × πt 2
= 23
BC × πt2a
= 13
t a× 2 π t a× BC
= Luas (BC )×13
t a
Dalil 108
Jika sebuah juring polygon berputar dengan garis tengah lingkaran luar sebagai sumbu
perputaran, sedang garis tengah itu tidak memotong sisi-sisi polygon, maka isi benda yang
terjadi karena perputaran itu sama dengan luas bidang yang dibuat oleh garis patah itu di
perbanyak dengan sepertiga apotemanya.
(polygon = segi banyak teratur)
Bukti : (lihat gb.138)
Segi banyak NABCDberputar dengan PQ sebagai sumbu.
Isi (NABCD ) = Isi (NAB) + Isi (NBC ) + Isi
(NCD)
= 13
a × luas ( AB )+ 13
a ×luas ( BC )+¿
13
a × luas (CD )
= 13
a × luas(ABCD) (I)
Luas ( ABCD)=A ' D ' ×2 πa
Harga ini kita gantikan dalam (I), maka dapat diperoleh :
Isi ( NABCD ) = 13
a × 2 πa × A' D'
= 23
π a2 × A ' D ' (II)
Jika sisi-sisi antara A dan D di perbanyak jumlahnya. Maka apotema menjadi lebih besar. Dan
mempunyai limit R, sedangkan proyeksi A ' D ' tetap. Dengan demikian maka isi benda yang
terbentuk karena perputaran juring polygon juga menjadi lebih besar.
Jika jumlah sisi polygon di perbesar terus menerus maka pada keadaan limit garis patah menjadi
sebuah busur AD. Hingga isi (juring NAD) sama dengan limit isi ( ABCD), atau :
Isi (juring NAD) = 23
π R2× A ' D '
Dan Jika A' D'=t Maka :
Isi ( Juring NAD) = 23
π R2t=13
R ×2 πRt
Maka di dapat :
Dalil 109
Isi benda yang terjadi karena perputaran sebuah juring lingkaran dengan garis tengah yang
tidak memotong juring itu sebagai sumbu perputaran, sama dengan sepertiga jari-jari
diperbanyak dengan luas bidang yang terjadi karena perputaran busur.