GEOMETRI BIDANG

Akhmad Rusbani

Ela Susilawati

Gita Rizki Fardillah

Hilma Fauziah

MENGENAL TITIK, GARIS,

SUDUT, DAN BIDANG.

Next

TITIK

Apa yang dimaksud dengan titik?

Titik adalah suatu satuan dasar dari geometri. Titik bukan

merupakan suatu benda melainkan sebuah simbol yang

menunjukkan suatu lokasi. Oleh karena itu, titik hanya

memiliki posisi tetapi tidak memiliki ukuran seperti panjang,

lebar, atau ketebalan.

Titik dinyatakan dengan huruf capital (huruf besar) sesudahtanda titik/dilukiskan dengan noktah (∙A). Sekumpulan titik-titik yang terletak pada suatu garis lurus disebut “collinear”.Sedangkan sekumpulan titik-titik yang terletak pada suatubidang disebut “coplanar”.

Dalam bidang Koordinat Geometri lokasi titik-titik padasuatu bidang ditunjukkan oleh koordinat mereka pada suatusistem koordinat. Sistem koordinat yang umum digunakanadalah sistem koordinat Kartesius yang memiliki duasumbu koordinat (sumbu-X, sumbu-Y) yang saling tegaklurus.

Bagaimana cara penulisan titik?

TITIK

TITIK

Pada gambar di atas, ditunjukkan titik A, B, dan C yang berturut-turut

memiliki koordinat A(-2, -4), B(3, 5), dan C(7, -3).

TITIK

Garis adalah sederetan titik-titik yang jumlahnya tidak

terhingga dan memanjang pada dua arah yang berlawanan

tanpa ujung. Dengan demikian garis adalah dimensi satu,

yang memiliki panjang tak terhingga dan tidak memiliki

ketebalan. Suatu garis bisa lurus, melengkung, atau

keduanya. Namun, yang dimaksud garis di sini adalah tidak

melengkung dan tidak berbelok.

Apa yang dimaksud dengan Garis?

GARIS

Garis bisa diberi nama dengan menggunakan nama dua titik

yang dilalui oleh garis, dan di atasnya diberi tanda setrip

dengan dua arah panah yang berlawanan yang ditunjukkan

garis AB . Karena garis memanjang pada kedua arah

yang berlawanan maka garis AB juga dapat diberi nama BA.Sebuah garis juga dapat ditulis dengan menggunakan

sebuah huruf kecil, yang ditulis di atas atau di bawah garis

tersebut. Seperti garis a pada gambar di bawah.

GARIS

Bagaimana cara penulisan garis?

a

●

●A

B

GARIS

Segmen adalah sebagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik

ujung yang berbeda, dan memuat semua titik pada garis di antara

ujung-ujungnya. Segmen tidak memiliki ketebalan, namun pajang

segmen dapat diukur.

Apa yang dimaksud dengan segmen?

SEGMEN

Segmen dapat diberi nama dengan dua huruf besar, pada

bagian atas huruf diberi tanda setrip 𝐴𝐵

SEGMEN

Sinar adalah suatu bagian dari garis yang berpangkal dari sebuah

titik dan terpanjang tak hingga ke suatu arah tertentu. Sinar berawal

dari titik tertentu yang kita sebut sebagai titik pangkal. Contoh : 𝐴𝐵

atau 𝐴𝑌.

Apa yang dimaksud dengan sinar?

SINAR

Sudut dibentuk oleh dua sinar dengan titik pangkal yang sama. Titik pangkal

yang sama disebut titik sudut (vertex). Sudut kecil disebut sudut inferior dan sudut besar

disebut sudut refleks. Jumlah sudut inferior dan sudut refleks sama dengan 360°, karena

keduanya membentuk satu putaran. Jika pada gambar tidak ada keterangan, maka yang

dimaksud dengan sudut selalu sudut yang kecil (sudut inferior).

Apa yang dimaksud dengan sudut?

SUDUT

Sudut memiliki berbagai macam ukuran, pada kali ini hanya akan

membahas sudut inferior yang besarnya mulai dari 0° sampai dengan

180°. Berdasarkan ukurannya sudut dapat diklasifikasikan sebagai

berikut:

Sudut Lancip

Mulai dari 1° s.d 89°

Sudut Siku-Siku

Tepat 90°

Sudut Tumpul

Mulai dari 91° s.d179°

Sudut Lurus

Tepat 180°

SUDUT

Bidang datar adalah suatu permukaan datar yang diperpanjang tak

terhingga ke segala arah.bidang memiliki panjang dan lebar atau

disebut dengan luas, namun bidang tidak memiliki ketebalan.

𝛼

Bidang 𝛼 Bidang ABCDB

CD

A

Apa yang dimaksud dengan bidang?

B

CD

A

R

QP

Segitiga adalah sebuah segibanyak (polygon) yang memiliki tiga sisi. Segitiga

memiliki tiga titik sudut. Nama sebuah segitiga bergantung pada nama ketiga

titik sudutnya. Contoh:

Pada gambar segitiga di atas, dapat kita namai segitiga PQR atau ∆PQR.

Lambing ∆ adalah lambing segitiga. Sisi-sisi ∆PQR pada gambar diatas

adalah 𝑃𝑄, 𝑄𝑅, dan 𝑃𝑅. Sedangkan sudut-sudutnya adalah

∠𝑃, ∠𝑄, dan ∠R.

Dalil 1: Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga adalah 180°.

SEGITIGA

Segitiga

Segitiga dapat diklasifikasikan ke dalam dua bagian, yaitu:

1. Berdasarkan Panjang Sisinya

Segitiga Samakaki Segitiga Samasasi Segitiga Sembarang

c

IIc

a

B

a

b

B

b

ab

c

C

A

C

B A

C

A

CC

Segitiga

2. Berdasarkan besar sudutnya

Dalil-Dalil PadaSegitiga

Dalil Titik Tengah Segitiga

“Segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga adalah sejajar dengan sisi ketiga dan panjangnya adalah setengahkali panjang sisi ketiga tersebut”.

Bukti :

Diketahui : <ACB = <DCE

CA : CD = CB : CE = 2

Jadi, ∆ACB∆DCE (dibaca sebangun)

Karena ∆ACB∆DCE, maka ACB = DCE

Jadi, <CAB dan <CDE adalah pasangan sudut sehadap, dan menurutpostulat haruslah DE sejajar AB.

Karena ∆ACB∆DCE, maka berlaku juga perbandingan sisi berikut

• AB : DE = AC : DC

• AB : DE = 2 : 1DE . 2 = AB . 1⟷ DE = 1/2 AB (terbukti)

A B

C

E D

Diberikan AB = 12 satuan, CD = DA, CE = EB, CEB adalah garis

lurus. Hitunglah DE !

Penyelesaian :

Dik : D tengah-tengah AC (CD = DA)

E tengah-tengah BC (CE = EB)

AB = 12 satuan

Dit : DE ?

Jawab : berdasarkan dalil titik tengah segitiga maka DE//AB

DE =1/2 AB

= ½ (12) = 6 satuan Dalil Intercept Segitiga

Soal

Dalil Intercept

“ jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga ABC

(misalnya garis sejajar sisi BC) memotong dua sisi lain dari segitiga

ABC (yaitu sisi AB dan AC ) di titik D dan E, maka persamaan

berikut benar AD : DB = AE : EC untuk dalil intercept”.

Bukti :

Diketahui ∆ABC memiliki DE//BC, dengan DE dipotong oleh AB di

D dan AC di E

AED

B C

A

Perhatikan DE//BC yang dipotong oleh garis transversal AB. ∠ADE dan ∠ABC

adalah pasangan sudut sehadap sehingga ∆ADE ∆ABC berarti

AB/AD = AC/AE

AB/AD - AD/AD = AC/AE - AE/AE (kedua ruas dikurangi pecahan bernilai 1)

AB-AD/AD=AC-AE/AE↔BD/ADEC/AE atau AD/BD=AE/AC

AD : BD = AE : EC (terbukti)

AED

B C

A

Dalil Intercept

Perhatikan gambar di samping ini!

DE//BG. BH : HG = 9 : 5.

Tentukan panjang CE dan buktikan bahwa

AF : FB = 5 : 9.

Jawab :

Diketahui: BE = 27

CD = 10

DG = 18

BH : HG = 9 : 5

Ditanyakan: Tentukan panjang CE dan

buktikan bahwa AF : FB = 5 : 9

D

C

27

18

10

H

G

E

BFA

Soal

Penyelesaian.

• CE/EB = GD/DG

CE = CD/DG x EB = 10/18 x 27= 15

• DE/BG = CD/CG = 10/10+18 = 5/5+9

BH : HG = 9 : 5 ⟹ HG/BG = 5/5+9 berarti DE = HG.

DE//HG, akibatnya GD//EH.

AF : FB = CE : EB = 15 : 27= 5 : 9. (terbukti)

Dalil Menelaus

Sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis dimana dua sisi segitiga

berpotongan dalam segitiga dan satu sisi berpotongan pada

perpanjangan sisi itu. Pemotongan segitiga dengan garis tersebut

menghasilkan segmen-segmen garis yang perbandingannya dirumuskan

pada dalil Menenlaus sebagai berikut.

AF/CF x CE/BE x BD/AD = 1

A

F

E

D

C

B

Bukti:

Tarik garis dari B sejajar AC dan memotong garis DE di titik P

Perhatikan ∆BPD dan ∆AFD

BP/BD = AF/AD →BP = AF/AD x BD .... (1)

Perhatikan ∆BPE dan ∆CFE

BP/BE = CF/CE →BP = CF/CE x BE .... (2)

Persamaan (1) sama dengan persamaan (2)

↔ AF/AD x BD = CF/CE x BE

↔ AF/AD.BE = CF/CE.BD

↔ AF.CE.BD/AD.BE.CF = 1

↔ AF/CF x CE/BE x BD/AD = 1

( Terbukti )

F

C

E

DA B

P

Diketahui ∆ABC dengan AB = 7, BC = 5, dan AC = 6. Titik D terletak pada AC

dengan AD : DC = 5 : 1. Titik E pada garis BC dengan BE : EC = 2 : 3.Segmen

garis DE diperpanjang dan memotong perpanjangan garis AB di titik D, Jika

panjang BD = 3, tentukanlah panjang AF!

Penyelesaian.

Dalil Menelaus: AD/AC x CE/BE x BF/AF = 1

5/1 x 3/2 x BF/7+BF =1

→ 15/2 x BF/7+BF = 1 → BF/7+BF = 2/115

→ 15BF = 14 + 2BF → 13BF = 14 → BF =14/13

5

13D

2

E

7

F

B

C

ASoal

Dalil De Ceva

Dalil Ceva berkaitan dengan tiga garis yang memotong ketiga sisi

segitiga dan ketiga garis tersebut berpotongan pada satu titik. Jika

garis yang ditarik dari tiap titik sudut segitiga berpotongan pada satu

titik dan memotong sisi-sisi yang berhadapan di titik dengan titik-titik,

maka berlaku dalil de Ceva, yaitu:

AF/FB.BD/DC.CE/EA = 1

Bukti.

Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik, yaitu

titik P. ∆APF dan ∆BPF memiliki tinggi yang sama sehingga:

luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF.tinggi / FB.tinggi

luas ∆APF/ luas ∆BPF = AF/FB...(1)

∆ACF dan ∆BCF juga memiliki tinggi yang sama sehingga dengan cara yang

sama diperoleh:

luas ∆ACF/ luas ∆BCF = AF/BF...(2)

A

P

E D

C

BF

Karena persamaan (1) dan persamaan (2) sama, maka:

luas ∆ACF - luas ∆APF = luas ∆APF

AF/BF (luas ∆BCF) - AF/BF (luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF

AF/FB (luas ∆BCF - luas ∆BPF) = luas ∆ACF - luas ∆APF

AF/FB = luas ∆ACF - luas ∆APF/ luas ∆BCF - luas ∆BPF

AF/FB = luas ∆ACF / luas ∆BCF ... (3)

Dengan cara yang sama diperoleh persamaan untuk kedua sisi lainnya :

BD/DC = luas ∆ABP/ luas ∆ACP ... (4)

CE/EA = luas ∆BCP/ luas ∆ABP ... (5)

Kalikan persamaan (3), persamaan (4), dan persamaan (5).

AF/BF. BD/DC. CE/EA = luas ∆ACF / luas ∆BCF. luas ∆ABP/ luas ∆ACP. luas ∆BCP/

luas ∆ABP

AF/BF. BD/DC. CE/EA (Terbukti)

Pada gambar di bawah ini, hitunglah nilai x!

Tiga garis yang ditarik dari tiap titik sudut ∆ABC dan ketiganya berpotongan pada

suatu titik O.dengan demikian berlaku dalil de Ceva.

2

3

𝑎

2𝑎

4

𝑥= 1 → 4/3x = 1 → 3x = 4 → x = 4/3

Soal

Dalil – Dalil Segmen Garis Pada Segitiga

Garis SumbuYaitu segmen garis yang melalui titik tengah sisi segitiga dan

tegak lurus pada sisi tersebut.

C

Dm E

O

BA F

l

k

ll

Ketika garis sumbu berpotongan pada satu titik,

yang disebut titik sumbu.

Titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik

sudut segitiga.

Titik sumbu segitiga adalah titik pusat lingkaran

luar segitiga.

Dalil 1:

Dalil 3:

Dalil 2:

Bukti dalil 1:

∆ABC adalah segitiga sembarang dengan k garis sumbu 𝐴𝐵, l

garis sumbu 𝐵𝐶. Titik O adalah titik potong garis k dan l. kita

diminta membuktikan bahwa titi O adalah titik potong garis k, l,

dan m (dalil 1).

C

Dm E

O

BA F

l

k

ll

Perhatikan ∆AFO dan ∆BFO.

AF = FB (sisi)

∠𝐴𝐹𝑂 = ∠𝐵𝐹𝑂 = 90°

FO = FO (sisi)

Jadi, sesuai postulat (sisi-sudut-sisi) ,

untuk membuktikan dua segitiga kongruen, maka ∆AFO ≅ ∆BFO.

Karena ∆AFO ≅ ∆BFO, maka AO = BO…(1)

• Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan bahwa ∆BDO ≅ ∆CDO,

sehingga didapat: BO = CO …(2)

• Dari(1) AO = BO dan (2) BO = CO maka AO = BO = CO…(3)

• Dari (3) karena AO = CO maka ∆ACO samakaki. Karena AE = CE, m⊥ 𝐴𝐶dan m melalui E, maka m pasti melalui O. Jadi, k,l, dan m melalui O (dalil 1

terbukti)

C

Dm E

O

BAF

l

k

ll

Bukti Dalil 2Perhatikan ∆AFO dan ∆BFO.

AF = FB (sisi)

∠𝐴𝐹𝑂 = ∠𝐵𝐹𝑂 = 90°

FO = FO (sisi)

Jadi, sesuai postulat (sisi-sudut-sisi) untuk membuktikan dua segitiga kongruen,

maka ∆AFO ≅ ∆BFO.

Karena ∆AFO ≅ ∆BFO, maka AO = BO…(1)

• Dengan cara yang sama kita bisa membuktikan bahwa ∆BDO ≅ ∆CDO, sehingga

didapat: BO = CO …(2)

• Dari(1) AO = BO dan (2) BO = CO maka AO = BO = CO…(3)

• Dari (3) AO = BO = CO, yang berarti titik sumbu O berjarak sama ke titik A, B,

dan C. Jadi, titik sumbu segitiga berjarak sama ke tiap titik sudut segitiga (dalil 2

dipenuhi)

C

Dm E

O

BAF

l

k

ll

Bukti dalil 3:

Telah dibuktikan AO = BO = CO, yang berarti jarak titik

sumbu O ketitik-titik sudut A,B, dan C adalah sama. Jika

kita tetapkantitik sumbu O sebagai pusat lingkaran dan

panjang OA = OB = OC sebagai jari-jari R, maka kita

peroleh sebuah lingkaran dengan pusat O dan melalui titik-

titik sudut A, B, C. Lingkaran ini kita sebut sebagai

lingkaran luar ABC (dalil 3 terbukti)

Garis tinggi

Yaitu garis yang melalui sebuah titik sudut dan tegak lurus pada

sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. Dalil-dalil yang

berlaku adalah sebagai berikut:

Dalil 1: Ketiga garis tinggi berpotongan pada satu titik,

yang disebut titik tinggi.

Dalil 2: Pada segitiga siku-siku, garis tinggi ke hipotenusa

(sisi terpanjang) membagi segitiga siku-siku menjadi dua

segitiga yang sebangun, dan juga sebangun dengan

segitiga awal.

Dalil 3: Jika pada ∆ABC, 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵 dan panjang

proyeksi 𝐴𝐶 pada 𝐴𝐵 adalah p, maka 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 −2𝑎𝑐. 𝑝.

Dalil 3 ini disebut juga dalil proyeksi.

C

D

BF

A

E

o

L

C

A B

ab

c

p

A B

C

D

Bukti dalil 3.

Diketahui ∆ABC dengan 𝐶𝐷 ⊥ 𝐴𝐵Dalam ∆BDC siku-siku, BD = (c – p) , dan BC = a. Sehinggadalil Phytagoras memberikan 𝐶𝐷2 = 𝐵𝐶2 − 𝐵𝐷2 ↔ 𝐶𝐷2 =𝑎2 − 𝑐 − 𝑝 2…(1)

Dalam ∆ADC siku-siku, AC = b dan AD = p sehingga dalilPhytagoras memberikan 𝐶𝐷2 = 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐷2 ↔ 𝐶𝐷2 = 𝑏2 −𝑝2…(2)Ruas kiri [persamaan (1)] dan ruas kanan [persamaan (2)] sama. Sehingga dengan menyamakan ruas kanannya diperoleh:

𝑎2− 𝑐 − 𝑝 2 = 𝑏2 − 𝑝2

𝑎2 − 𝑐2 − 2𝑐𝑝 + 𝑝2 = 𝑏2 − 𝑝2

𝑎2 − 𝑐2 + 2𝑐𝑝 − 𝑝2 = 𝑏2 − 𝑝2

𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑐𝑝(dalil 3 terbukti)

Sebuah segitiga ABC dengan AB = 7 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5

cm. AD dan BE adalah garis tinggi. Hitunglah panjang AD dan

luas ∆ABC!

Soal

Penyelesaian :

Proyeksi AC pada BC adalah CD, sehingga dalil proyeksi

memberikan

72 = 52 + 62 – 2 . 6 . p

p = 52+62−72

12= 1 cm

Sekarang panjang garis tinggi AD bisa dihitung dengan dalil

phytagoras dalam ∆ADC siku-siku.

AD2 = AC2 – CD2 ↔ AD = 52 – 12 = 25 – 1 = 24

AD = 24 = 4(6) = 2 6 cm

Luas ∆ABC = 𝐵𝐶∙𝐴𝐷

2

= 6∙2 6

2= 6 6 cm2

Dalil Stewart

Pada ∆ABC, dari titik C ditarik garis hingga memotong AB

di titik D. Misal AC = b, BC = a, AB = c, AD =c1, BD = c2,

dan CD = d, maka dalil Stewart menyatakan:

𝑑2 ∙ 𝑐 = 𝑐1 ∙ 𝑎2 + 𝑐2 ∙ 𝑏

2 − 𝑐1 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑐

Bukti.

Dari titik C ditarik garis tinggi CE. Pada ∆ACD berlaku dalil proyeksi segitiga

tumpul, yaitu:

𝐴𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐴𝐷2 + (2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸)… (1)

Pada ∆BCD berlaku dalil proyeksi segitiga lancip yaitu:

𝐵𝐶2 = 𝐶𝐷2 + 𝐷𝐵2 − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷)… (2)

Kalikan persamaan (1) dengan BD dan persamaan (2) dengan AD, diperoleh:

𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 = (𝐶𝐷2× 𝐵𝐷) + (𝐴𝐷2× 𝐵𝐷) + (2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷)𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = (𝐶𝐷2× 𝐴𝐷) + (𝐷𝐵2× 𝐴𝐷) − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷)

Kedua persamaan di atas dijumlahkan dan diperoleh

• 𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = (𝐶𝐷2× 𝐵𝐷) + (𝐴𝐷2× 𝐵𝐷) + 2 × 𝐴𝐷 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 +(𝐶𝐷2× 𝐴𝐷) + (𝐷𝐵2× 𝐴𝐷) − (2 × 𝐷𝐸 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷)

• 𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷2 𝐵𝐷 + 𝐴𝐷 + 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷

• 𝐴𝐶2 × 𝐵𝐷 + 𝐵𝐶2 × 𝐴𝐷 = 𝐶𝐷2 × 𝐴𝐵 + 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐵

• 𝐶𝐷2 × 𝐴𝐵 = 𝐴𝐷 × 𝐵𝐶2 + 𝐵𝐷 × 𝐴𝐶2 − 𝐴𝐷 × 𝐵𝐷 × 𝐴𝐵

• 𝑑2 ∙ 𝑐 = 𝑐1 ∙ 𝑎2 + 𝑐2 ∙ 𝑏

2 − 𝑐1 ∙ 𝑐2 ∙ 𝑐

(terbukti)

Pada ∆ABC panjang sisi-sisinya dinyatakan a, b, dan c. Panjang garis berat

dari titik sudut A dinotasikan dengan mA. Buktikan bahwa: mA =

2b2+2c2−a2

4.

Jawab: Pada ∆ABC panjang sisi-sisinya dinyatakan a, b,

dan c. Panjang garis berat dari titik sudut A

adalah mA =2b2+2c2−a2

4.

Bukti.

mA2 ∙ a = a1 ∙ c

2 + a2 ∙ b2 − a1 ∙ a2 ∙ a

mA2 ∙ a =

1

2a ∙ c2 +

1

2a ∙ b2 −

1

2a ∙

1

2a ∙ a

mA2 =

1

2c2 +

1

2b2 −

1

4a2

mA2 =

2c2 + 2b2 − a2

4

mA2 =

2c2 + 2b2 − a2

4(𝒕𝒆𝒓𝒃𝒖𝒌𝒕𝒊)

A B

C

Dab

a1

c

Soal

Garis Bagi

Yaitu garis yang ditarik dari titik sudut segitiga sedemikian

sehingga membagi sudutnya menjadi dua bagian yang sama besar

karena segitiga mempunyai tiga sudut, maka segitika mempunyai

tiga garis bagi. Ketiga garis bagi tersebut akan berpotongan pada

satu titik.

Dalil: Garis bagi sudut suatu segitiga membagi sisi yang

dihadapannya menjadi dua bagian dengan perbandingan sebagai

sisi-sisi yang berdekatan.

Pada gambar di bawah, AM adalah garis bagi, maka:

I. BM : CM = AB : AC

II. BM : BC = AB : (AB + AC)

Bukti :

Tarik garis BD sejaar garis AM.

∠𝐵2 = ∠𝐴2 = 𝛼 𝑏𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑟𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛∠𝐷1 = ∠𝐴1 = 𝛼 𝑠𝑒ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝

Dengan demikian ∠𝐵2 = ∠𝐷1, berarti ∆ABD

adalah segitiga sama kaki, yang akibatnya AD =

AB.

Perhatikan bahwa:

• BM : CM = AB : AC

Karena AD = AB, maka BM : CM = AB : AC.

(terbukti)

• BM : BC = AB : (AB + AC)

Karena AD = AB maka

BM : CM = AB : (AC + AB) (terbukti)

BC

A

D

α

1 2

α

Bukti

Diketahui ∆ABC dengan AB = 4, AC = 5 dan BC = 6. Titik D terletak

pada BC, sedemilian sehingga AD adalah garis bagi. Tentukan panjang

BD, CD dan AD.

Jawab :

Karena AD adalah garis bagi, maka dalam ∆ABC berlaku

BD : CD = AB : AC .

BD : CD = 4 : 5

CD = 5

4 +5x BC =

5

9x 6 =3

1

3

BD = 4

4 +5x BC =

4

9x 6 =2

2

3

Panjang AD dapat ditentukan dengan menggunakan dalil Stewart.

AD2 x 6 = 3 1

3x 42 + 2

2

3x 52 - 3

1

3x 2

2

3x 6 → AD = 3

1

3 Soal

Garis Bagi

Garis berat sebuah segitiga adalah segmen garis yang melalui

sebuah titik sudut dan titik tengah sisi di hadapan titik sudut

tersebut. Dalil-dalil yang berlaku bagi garis berat segitiga adalah

sebagai berikut.

• Dalil 1: ketiga garis berat berpotongan pada satu titk,

yang disebut titik berat.

• Dalil 2: ketiga garis berat dalam sebuah segitiga

berpotongan di titik berat dengan perbandingan panjang

bagian-bagiannya adalah 2 : 1, dengan bagian terpanjang

dekat dengan titik sudut.

• Dalil 3 : jika 𝑡𝑎 adalah panjang garis berat yag ditarik dari

titik sudut A ke sisi dihadapannya a, maka berlaku

𝑡𝑎2 =

1

2𝑏2 +

1

2𝑐2 −

1

2𝑎2

Bukti dalil 2

∆ABC adalah segitiga sembarang dengan 𝐴𝐸adalah garis berat pada sisi

BC = a 𝐵𝐹 adalah garis berat pada sisi AC = b, dan 𝐶𝐷 adalah garis

berat pada sisi AB = c, kita diminta untuk membuktikan dalil 2, yaitu

rasio panjang bagian garis berat AE adalah AO : OE = 2 : 1

Dari dalil tengah segitiga yang telah dibahas dalam sub sub bab B.2a

diperoleh bahwa EF // AB dan EF : AB = 1 :2 atau AB : EF = 2 : 1 …

(1)

Perhatian ∆ABC dan ∆EFO

∠BAO = ∠FEO (sudut dalam berseberangan)

∠AOB = ∠EOF (sudut bertolak belakang)

∠ABO = ∠EFO (sudut dalam beseberanagn)

Jadi, ∆ABO ~ ∆AFO, maka berlaku kesebandingan

AO : OE = AB : EF ... (2)

Substitusi (1) ke (2) diperoleh

AO : OE = 2 : 1 (dalil 2 terbukti)

Bukti dalil 3:

Dalil 3 akan kita buktikan denga menggunakan dalil

Stewart. Dalil stewart pada ∆ABC memberikan

𝐴𝐸2.BC = BE.𝑏2 + CE. 𝐴𝐵2 – BE.CE.BC

𝑡𝑎2.a =

1

2𝑎 . 𝑏2 +

1

2𝑎 . 𝑐2 -

1

2𝑎 .

1

2𝑎 . a

𝑡𝑎2 =

1

2𝑏2 +

1

2𝑐2 -

1

4𝑎2 (dalil 3 terbukti)

Pada sebuah segitiga DEF, FG merupakan sebuah garis berat

dimana DE=12cm, EF=8cm, dan DF=10. maka berapakah

panjang FG?

Jawab :

FG2 = 1/2 x 82 + 1/2 x 102 - 1/2 x 122

FG2 = 1/2 x 64 + 1/2 x 100 - 1/2 x 144

FG2 = 32 + 50 - 72

FG2 = 82 - 72

FG2 = 10

FG = √10 cmSoal

Terima Kasih