1. Teorema ceva• Teorema Ceva merupakan teorema yang terkenal di geometri

elementer.

Contoh:

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

• Teorema Ceva menyatakan bahwa

• Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika:

• Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut.

Pembuktian teorema ceva

• Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut:1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik, maka

2. Jika , maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik

• Untuk Kondisi Pertama:Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik.

Lihat gambar segitiga ABC di atas.dan memiliki tinggi yang sama.

Oleh karena itu: ... (ia)

• Perhatikan juga bahwa dan juga memiliki tinggi yang sama.Oleh karena itu: . (ib)

Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan:• ....(ic)•

Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk sisi segitiga yang lain:

• ....(ii)

....(iii)Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan:

• Kondisi pertama TERBUKTI

• Untuk Kondisi Kedua:(Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang sama)Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan berikut.

• ... (i)• Karena masih memakai simbol F dalam gambar, maka persamaan

ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama):• ... (ii)• Dengan membandingkan keduanya, maka didapat:• Tambahkan 1 di kedua ruas, maka:

•

• Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik dan titik berhimpit.Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik

• Kondisi Kedua TERBUKTI

• BENTUK TEOREMA CEVA DALAM TRIGONOMETRIUntuk segitiga ABC, dalil Sinus berbunyi sbb:

• Maka, didapatkan ketiga persamaan berikut (lihat gambar paling atas).

... (i)... (ii)... (iii)

• Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut, didapatkan persamaan berikut.

• TERBUKTI

Teorema minellaous• Teorema Menelaus merupakan dual dari teorema Ceva.

• Diberikan sebuah segitiga ABC. Titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis (atau perpanjangan garis) dari AB, BC, dan CA.

• Teorema Menelaus menyatakan bahwa:Titik D, E, dan F segaris jika dan hanya jika:

Tanda negatif disebabkan karena adanya ruas garis yang memiliki arah berlawanan (panjang yang negatif). Logikanya, AD+DB=AB.. Dengan demikian, salah satu dari AD atau DB

• BUKTI TEOREMA MENELAUS

• Jika dilihat pembuktian dari teorema Cevayang sebelumnya, sebenarnya pembuktian teorema ini memiliki proses yang sama.

• Perhatikan kata "jika dan hanya jika" dari teorema tersebut.Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, diharus untukmembuktikan 2 kondisi berikut:1. Jika titik D, E, dan F segaris, maka 2. Jika , maka titik D, E, dan F segaris.

• Untuk Kondisi Pertama:

Kasus 1: jika ada 1 titik yang berada di perpanjangan garis, 2 titik lainnya ada di garis yang bukan merupakan perpanjangan. Artinya, garis ini melewati daerah segitiga ABC. Lihat gambar.

• Sekarang, buktikan dahulu untuk kasus 1:Proyeksikan setiap titik-titik sudut segitiga ke garis DEF.

• Dengan menggunakan prinsip kesebangunan segitiga, kita dapatkan 3 persamaan berikut:

• ... (i)...(ii)...(iii)

• Dengan mengalikan ketiganya, maka akan kita dapatkan teorema Minelaus:

•

• TERBUKTI

• Kasus 2: Jika semua titik berada pada perpanjangan garis. Artinya, garis tidak melewati daerah segitiga ABC. Lihat gambar.

• Sekarang, buktikan kasus 2 dengan cara yang sama seperti kasus 1:Proyeksikan setiap titik-titik sudut segitiga ke garis DEF.

• Dengan menggunakan prinsip kesebangunan segitiga, maka akan didapatkan persamaan berikut.

• ... (i)... (ii)... (iii)

• Dengan mengalikan ketiganya, teorema Menelaus TERBUKTI.

• Untuk Kondisi Kedua:buktikan kalau titik D,E, dan F' segaris jika terpenuhi kondisi berikut:

• Dengan masih mengganggap titik F ada dalam segitiga di mana titik D, E, dan F segaris (sesuai dengan pembuktian kondisi 1), maka persamaan ini juga berlaku:

• Dengan menggabungkan kedua persamaan itu didapatkan:

• Tambahkan 1 di kedua ruas (cara yang sama seperti pembuktian teorema Ceva), maka:

•

• Artinya, titik dan titik berhimpit. Jadi, titik D,E, dan F' segaris. TERBUKTI.