24

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pendahuluan

Ilmu pengetahuan tentang bentuk antrian, yang sering disebut sebagai

teori antrian (queueing theory) merupakan sebuah bagian penting operasi dan

juga alat yang sangat berharga bagi manajer operasi. Menurut Render dkk.

(2005, p418) antrian (waiting line / queue) diartikan sebagai orang-orang atau

barang dalam barisan yang sedang menunggu untuk dilayani, sebagai contoh

pasien yang sedang menunggu di ruang praktik dokter, mesin bor yang sedang

menunggu di bengkel untuk diperbaiki, dll.

Antrian merupakan aktivitas yang tidak lepas dari kehidupan manusia

sehari-hari. Suka atau tidak suka, manusia tetap harus melakukan aktivitas

antrian tersebut. Menurut Taha (1997, p176), fenomena menunggu atau

mengantri merupakan hasil langsung dari keacakan dalam operasional

pelayanan fasilitas. Secara umum, kedatangan pelanggan ke dalam suatu

sistem dan waktu pelayanan untuk pelanggan tersebut tidak dapat diatur dan

diketahui waktunya secara tepat, namun sebaliknya, fasilitas operasional dapat

diatur sehingga dapat mengurangi antrian.

Aminudin (2005, p169) juga menyatakan terdapat beberapa ukuran kinerja

dari sistem antrian. Ukuran-ukuran kinerja tersebut antara lain:

25

Lama waktu pelanggan harus menunggu sebelum dilayani.

Persentase waktu fasilitas pelayanan yang tidak digunakan atau

menganggur karena tidak ada pelanggan.

Ukuran-ukuran kinerja tersebut merupakan parameter yang menentukan

kinerja dari suatu fasilitas. Semakin singkat waktu bagi pelanggan untuk

menunggu dan semakin sedikit waktu menganggur fasilitas pelayanan berarti

kondisi sistem akan semakin optimal.

Penyusunan teori antrian dipelopori oleh A. K. Erlang, seorang insinyur

berkebangsaan Denmark, pada tahun 1909. Ia bekerja di sebuah perusahaan

telepon dan melakukan percobaan yang melibatkan fluktuasi permintaan

sambungan telepon serta pengaruhnya pada peralatan switching telepon.

Sebelum Perang Dunia II, studi awal antrian ini telah berkembang di

lingkungan antrian yang lebih umum.

2.2 Elemen Dasar Model Antrian

Faktor penting dalam sistem antrian ini adalah pelanggan dan pelayan, di

mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan untuk

mendapatkan pelayanan. Pelanggan akan segera mendapatkan pelayanan bila

ia dapat datang tepat pada waktu di antara waktu tunggu dengan waktu

pelayanan berikutnya. Menurut Kakiay (2004, p4) yang harus diingat dan

diperhitungkan adalah bahwa baik pelayan maupun pelanggan yang ada di

26

dalam sistem antrian tersebut adalah manusia yang berprilaku (human

behaviour). Sebagai manusia pelayan (human server), pelayan dapat melayani

dengan kecepatan tinggi sehingga mengurangi waktu menunggu, atau juga

melayani dengan lambat sehingga akan memperlama waktu tunggu.

2.2.1 Sifat Pemanggilan Populasi

Populasi yang dimaksud di dalam teori antrian merupakan seluruh target

pelanggan yang sedang dan akan menggunakan fasilitas pelayanan, sedangkan

yang dimaksud dengan pelanggan tidak selalu berupa manusia, melainkan

dapat berupa produk dan benda lainnya yang melakukan aktivitas mengantri

untuk dilayani atau diproses oleh satu atau lebih fasilitas pelayanan.

2.2.2 Ukuran Pemanggilan Populasi

Aminudin (2005, p173) mengemukakan bahwa terdapat dua ukuran

pemanggilan populasi, yaitu terbatas (finite) dan tidak terbatas (infinite). Bila

populasi relatif besar dan probabilitas seorang pelanggan tidak dipengaruhi

oleh jumlah pelanggan yang telah berada pada suatu fasilitas pelayanan, maka

dapat diasumsikan bahwa populasi tersebut tidak terbatas. Populasi yang tidak

terbatas (infinite) misalnya mobil yang tiba di gerbang tol, pasien yang datang

ke rumah sakit, calon mahasiswa yang mendaftar ke sebuah perguruan tinggi,

dan lain-lain. Populasi terbatas (finite) biasanya memiliki ukuran populasi

yang kecil dan memiliki probabilitas kedatangan yang berubah secara drastis

27

ketika ada angota populasi yang sedang menerima pelayanan. Contohnya

antara lain tiga buah mesin pada sebuah pabrik yang memerlukan pelayanan

operator secara terus menerus, lima buah mobil milik sebuah perusahaan yang

secara berkala mengunjungi fasilitas reparasi kendaraan, permainan-

permainan dalam sebuah arena bermain yang memerlukan inspeksi secara

berkala, dan lain-lain.

2.2.3 Pola Kedatangan dari Pemanggilan Populasi

Subjek pemangilan populasi bisa tiba pada sebuah fasilitas pelayanan

dalam beberapa pola tertentu, bisa juga secara acak. Aminudin (2005, p173)

menyatakan bahwa analisis riset operasi telah mendapati bahwa tingkat

kedatangan acak paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tentu

saja tidak semua kedatangan memiliki pola distribusi Poisson, oleh karena itu,

sebelumya perlu dipastikan terlebih dahulu pola distribusi kedatangan tersebut

sebelum diolah. Untuk menentukan apakah suatu pola distribusi tertentu

Beberapa pola distribusi lainnya akan dibahas kemudian.

2.2.4 Tingkah Laku Pemanggilan Populasi

Terdapat tiga istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk

menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi (Aminudin, 2005, p174).

Ketiga istilah tersebut antara lain:

28

1. Renege

Merupakan tingkah laku pemanggilan populasi dimana seseorang

bergabung dalam antrian dan kemudian meninggalkannya.

2. Balking

Merupakan tingkah laku pemangilan populasi dimana seseorang tidak

mau bergabung dalam antrian.

3. Bulk

Merupakan tingkah laku pemanggilan populasi dimana kedatangan

terjadi bersama-sama (berkelompok) ketika memasuki sistem.

2.3 Sifat Fasilitas Pelayanan

2.3.1 Perilaku Sistem Antrian

Terdapat tiga macam perilaku sistem antrian yang mungkin dapat terjadi

dalam suatu sistem antrian (White et al., 1975, p90), yaitu:

1. Single waiting line

Merupakan perilaku sistem antrian dimana terdapat satu buah jalur

antrian. Pelanggan yang ingin menggunakan fasilitas pelayanan

menunggu dalam sebuah antrian sampai gilirannya untuk dilayani oleh

salah satu server.

2. Multiple waiting line without jockeying

Merupakan perilaku sistem antrian dimana masing-masing server

memiliki jalur antriannya masing-masing dan setiap pelanggan yang

29

menunggu di masing-masing jalur antriannya tersebut tidak dapat

pindah jalur ke jalur lainnya.

3. Multiple waiting line with jockeying

Merupakan perilaku sistem antrian dimana masing-masing server

memiliki jalur antriannya masing-masing dan setiap pelanggan yang

menunggu di masing-masing jalur antriannya dapat pindah jalur ke

jalur lainnya jika terdapat jalur lain yang antriannya lebih sedikit.

Gambar 2.1-2.3 berikut ini menunjukkan ketiga perilaku sistem antrian

yang telah dibahas diatas.

Gambar 2.1 Single Waiting Line

30

Gambar 2.2 Multiple Waiting Line without Jockeying

Gambar 2.3 Multiple Waiting Line with Jockeying

31

2.3.2 Disiplin Antrian

Disiplin antrian merupakan urutan bagaimana suatu subjek pemanggilan

populasi akan dilayani. White et al. (1975, p9) mengemukakan bahwa terdapat

lima jenis disiplin antrian yang sering digunakan dalam teori antrian, yaitu:

1. First Come First Served (FCFS)

FCFS merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang

dilayani terlebih dahulu adalah pelanggan yang datang lebih awal.

2. Last Come First Served (LCFS)

LCFS merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang

datang paling akhirlah yang akan dilayani terlebih dahulu.

3. Service in Random Order (SIRO)

SIRO merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelayanan

dilakukan dengan urutan acak.

4. Shortest Processing Time (SPT)

SPT merupakan salah satu disiplin antrian dimana pelanggan yang

memiliki waktu pelayanan atau pemrosesan yang paling singkatlah

yang akan dilayani atau diproses terlebih dahulu.

5. General Service Discipline (GD)

GD digunakan jika disiplin antrian tidak ditentukan dan hasil yang

diperoleh akan sama dengan disiplin antrian yang lain, misalnya FCFS

dan LCFS.

32

2.3.3 Pola Distribusi Waktu Pelayanan

Waktu pelayanan bisa konstan, bisa pula acak. Apabila waktu pelayanan

didistribusikan secara acak, maka harus ditentukan distribusi probabilitas yang

paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Aminudin (2005, p175)

menyatakan bahwa biasanya jika waktu pelayanannya acak, analisis antrian

menggunakan distribusi probabilitas Eksponensial. Pola distribusi lainnya

juga akan dibahas kemudian.

2.4 Struktur Antrian Dasar

Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi empat struktur dasar

menurut fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004, p13). Keempat struktur antrian

dasar tersebut adalah:

1. Single Channel Single Phase

Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani

akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran

pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas

pelayanan. Contoh dari struktur antrian ini adalah sebuah kantor pos

yang hanya mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian.

Gambar 2.4 berikut ini akan menunjukkan struktur antrian single

channel single phase.

33

Gambar 2.4 Antrian Single Channel Single Phase

2. Single Channel Multiple Phase

Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani

akan datang, masuk dan membentuk antrian pada beberapa aliran

pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan satu fasilitas

pelayanan sampai pelayanan selesai. Contoh dari struktur antrian ini

adalah seorang pasien yang berobat ke rumah sakit, mereka harus antri

untuk mendaftar di loket pendaftaran terlebih dahulu, setelah selesai

mendaftar, pasien masuk ke ruangan pemeriksaan awal, dan setelah

menerima catatan diagnosa dari perawat maka pasien akan antri

kembali untuk diperiksa olah dokter. Gambar 2.5 berikut ini akan

menunjukkan struktur antrian single channel multiple phase.

Gambar 2.5 Antrian Single Channel Multiple Phase

34

3. Mulitple Channel Single Phase

Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani

akan datang, masuk dan membentuk antrian pada satu baris/aliran

pelayanan dan selanjutnya akan berhadapan dengan beberapa fasilitas

pelayanan identik yang paralel. Contoh dari struktur antrian ini adalah

sebuah kantor pos yang mempunyai beberapa loket pelayanan dengan

satu jalur antrian. Gambar 2.6 berikut ini akan menunjukkan struktur

antrian multiple channel single phase.

Gambar 2.6 Antrian Multiple Channel Single Phase

4. Multiple Channel Multiple Phase

Pada struktur antrian ini, subjek pemanggilan populasi yang dilayani

akan datang dan masuk ke dalam sistem pelayanan yang dioperasikan

oleh beberapa fasilitas pelayanan paralel yang identik menuju ke

fasilitas pelayanan setelahnya sampai pelayanan selesai. Contoh dari

struktur antrian ini adalah seorang pasien yang berobat ke rumah sakit,

35

dimana terdapat beberapa perawat dan beberapa dokter. Gambar 2.7

berikut ini akan menunjukkan struktur antrian multiple channel

multiple phase.

Gambar 2.7 Antrian Multiple Channel Multiple Phase

2.5 Pola Distribusi Antrian

White et al. (1975, pp26-30) menyatakan bahwa terdapat beberapa pola

distribusi diskret yang terdapat dalam teori antrian antara lain:

1. Distribusi Bernoulli

Distribusi Bernoulli digunakan jika percobaan hanya menghasilkan

salah satu dari dua kemungkinan hasil. Berikut ini merupakan

probability mass function dari distribusi Bernoulli:

xx ppxP 1)1()( , x = 0,1, 0 < p < 1

2. Distribusi Binomial

Distribusi Binomial digunakan jika sebuah percobaan terdiri dari

36

beberapa sub-percobaan Bernoulli yang independen, dan setiap sub-

percobaan juga menghasilkan salah satu dari dua kemungkinan hasil.

Setelah melakukan beberapa sub-percobaan tersebut, dihitung jumlah

terjadinya kejadian yang diteliti. Berikut ini merupakan probability

mass function dari distribusi Binomial:

xnx ppxnx

nxP

)1()!(!

!)( , x = 0,1,2,…,n, 0 < p < 1

3. Distribusi Poisson

Suatu distribusi mengikuti pola distribusi Poisson jika mengikuti

aturan berikut ini:

a. Tidak terdapat dua kejadian yang terjadi bersamaan.

b. Proses kedatangan bersifat acak.

c. Rata-rata jumlah kedatangan per interval waktu sudah

diketahui dari pengamatan sebelumnya.

d. Bila interval waktu dibagi ke dalam interval yang lebih kecil,

maka pernyataan-pernyataan berikut ini harus dipenuhi:

- Probabilitas tepat satu kedatangan adalah sangat kecil dan

konstan.

- Probabilitas dua kedatangan atau lebih selama interval

waktu tersebut angkanya sangat kecil sehingga mendekati

nol.

37

- Jumlah kedatangan pada interval waktu tersebut tidak

tergantung pada kedatangan di interval waktu sebelum

dan sesudahnya.

Berikut ini merupakan probability mass function dari distribusi

Poisson:

ex

xPx

!)( , x = 0,1,2,…. , λ > 0

4. Distribusi Geometric

Sama seperti distribusi Binomial, variabel acak distribusi Geometric

juga terkait dengan variabel acak Bernoulli. Perbedaannya,

probabilitas pada distribusi Geometric hanya menentukan peluang

terjadinya kejadian pertama setelah beberapa kali percobaan. Berikut

ini merupakan probability mass function dari distribusi Geometric:

1)1()( xppxP , x = 0,1,2,… , 0 < p < 1

5. Distribusi Negative Binomial

Variabel acak Negative Binomial dapat diinterpretasikan sebagai

jumlah percobaan Bernoulli yang diperlukan untuk memperoleh hasil

dengan jumlah tertentu. Berikut ini merupakan probability mass

function dari distribusi Negative Binomial:

nxn ppnxn

xxP

)1(

)!()!1()!1()( , x = n, n+1, … n = 1,2,…

38

Selain mengikuti pola distribusi diskret, teori antrian juga menggunakan

beberapa pola distribusi kontinyu untuk data-data kontinyu (White et al.,

1975, pp33-39). Pola distribusi kontinyu yang lazim digunakan antara lain:

1. Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi yang paling dikenal dalam

teori probabilitas karena kemampuannya untuk mendeskripsikan

fenomena kejadian acak. Kurva normal berbentuk lonceng dengan

nilai rata-ratanya berada pada titik tengah kurva yang berarti

jumlahnya paling banyak. Berikut ini merupakan probability density

function dari distribusi Normal:

2

2

2/1 2)(exp

)2(1)(

xxP

2. Distribusi Exponential

Distribusi eksponensial biasanya berguna untuk mendeskripsikan

waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan dalam teori antrian.

Distribusi eksponensial memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

a. Waktu antar kejadian bersifat acak.

b. Waktu antar kejadian berikutnya independen terhadap waktu

antar kejadian sebelumnya.

c. Waktu pelayanan dalam antrian tergantung dari unit yang

dilayani.

39

Berikut ini merupakan probability density function dari distribusi

Exponential:

xexP )( , λ > 0

3. Distribusi Gamma

Distribusi Gamma hanya digunakan jika jumlah jumlah kejadian yang

berhasil berupa integer. Jika jumlah kejadian berhasil bukan integer,

maka variabel acak Gamma tidak dapat direpresentasikan dengan

menggunakan jumlah variabel acak eksponensial yang identik.

Distribusi Gamma biasanya memiliki kurva berbentuk kurva normal

yang menjulur positif. Berikut ini merupakan probability density

function dari distribusi Gamma:

xnn

exn

xP

1

)()( , λ > 0 , n > 0

4. Distribusi Weibull

Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi data kontinyu yang

paling berguna untuk memodelkan kegagalan (failure) dari sebuah

produk. Berikut ini merupakan probability density function dari

distribusi Weibull:

xxxP exp)( 1

40

5. Distribusi Erlang

Distribusi Erlang berkaitan erat dengan variabel acak eksponensial dan

Gamma. Distribusi Erlang digunakan jika pelayanan dalam suatu

sistem antrian sifatnya sama dan rutin serta waktu pelayanannya

cenderung menurun. Berikut ini merupakan probability density

function dari distribusi Erlang:

xkkk

exkkxP

1

)!1()()( , λ > 0 , integer k > 0

6. Distribusi Hyperexponential

Distribusi Hyperexponential terjadi dalam teori antrian ketika waktu

pelayanan untuk satu unit berdistribusi eksponensial dengan jumlah

parameter lebih dari satu. Berikut ini merupakan probability density

function dari distribusi Hyperexponential:

xx epepxP 2121 )1()(

7. Distribusi Uniform

Distribusi Uniform memiliki nilai variabel acak yang berada di antara

dua buah nilai. Distribusi ini penting dalam simulasi karena mampu

menghasilkan banyak variabel acak lainnya. Berikut ini merupakan

probability density function dari distribusi Uniform:

abxP

1)(

41

2.6 Notasi Model Sistem Antrian

Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk

notasi. Notasi standar yang digunakan menurut White et al. (1975, p8) adalah

sebagai berikut:

( x | y | z ) : ( u | v | w )

Berikut ini adalah keterangan dari setiap simbol notasi standar di atas:

x, menyatakan distribusi kedatangan (atau antar kedatangan).

y, menyatakan distribusi waktu pelayanan.

z, menyatakan jumlah fasilitas pelayanan paralel dalam sistem.

u, menyatakan disiplin antrian yang digunakan.

v, menyatakan jumlah maksimum unit dalam sistem (yang dilayani

dan yang menunggu)

w, menyatakan ukuran pemanggilan populasi

Notasi standar untuk simbol x dan y sebagai distribusi kedatangan dan

waktu pelayanan dapat digantikan dengan simbol-simbol dalam Tabel 2.1

berikut ini:

42

Tabel 2.1 Tabel Simbol Distribusi Kedatangan dan Waktu Pelayanan

Simbol z, v, dan w digantikan dengan angka nominal yang sesuai dengan

sistem antrian. Jika jumlah maksimum unit dalam sistem dan populasi tidak

terbatas (infinite), maka simbol v dan w dapat digantikan dengan simbol ∞.

Notasi standar untuk simbol u sebagai jenis disiplin antrian yang

digunakan dapat digantikan dengan simbol-simbol dalam Tabel 2.2 berikut

ini:

Simbol Keterangan

M

Distribusi kedatangan Poisson atau sama dengan distribusi eksponensial untuk waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan. M menunjukkan properti Markov pada distribusi eksponensial.

GI Tingkat kedatangan atau waktu antar kedatangan berdistribusi General Independent.

G Tingkat pelayanan atau waktu pelayanan berdistribusi General.

D Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi deterministik (konstan).

Ek

Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Erlang atau Gamma dengan fase k.

Kn

Waktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Chi-Square dengan n derajat bebas.

HEkWaktu antar kedatangan atau waktu pelayanan berdistribusi Hyperexponential dengan fase k.

43

Tabel 2.2 Tabel Simbol Disiplin Antrian

Simbol KeteranganFCFS First Come First ServedLCFS Last Come First ServedSIRO Service in Random OrderSPT Shortest Processing (Service) TimeGD General Service Discipline

2.7 Identifikasi Distribusi

Identifikasi distribusi data kedatangan dilakukan untuk mengetahui

apakah data kedatangan tersebut mengikuti suatu pola distribusi teoritik

tertentu sehingga formula untuk mengestimasikan parameter dapat

disesuaikan dengan distribusinya. Menurut White et al. (1975, p298),

pengujian ini terdiri dari tiga tahap, yaitu:

1. Data Collection

Merangkum data dan menyimpulkan secara kasar pola distribusi data

tersebut berdasarkan bentuk grafiknya.

2. Parameter Estimation

Mengestimasikan berbagai parameter dari distribusi yang

dihipotesiskan.

3. Goodness of Fit Test

Menentukan apakah data yang dikumpulkan mengikuti pola distribusi

yang dihipotesiskan dengan menggunakan Uji Kebaikan Suai.

44

2.8 Uji Kebaikan Suai (Goodness of Fit)

Menurut Walpole (1995, p325), Uji Kebaikan Suai digunakan untuk

mengetahui apakah suatu populasi memiliki suatu distribusi teoritik tertentu.

Uji ini didasarkan pada seberapa baik kesesuaian antara frekuensi yang

teramati dalam sampel dengan frekuensi harapan pada distribusi yang

dihipotesiskan.

Chi-Square Test

Pengujian yang biasa dilakukan pada Chi-Square Test antara lain

distribusi Binomial, distribusi Poisson, dan distribusi Normal. Adapun

langkah-langkah dalam pengujian tersebut yaitu:

1. Tentukan interval kelas k.

2. Tentukan nilai χ2 dengan rumus:

k

i i

ii

EEO

1

22 )(

3. Tentukan taraf nyata (α).

4. Tentukan nilai derajat bebas (d).

d = ( k – 1 ) – [jumlah parameter pada distribusi yang dihipotesiskan]

5. Tentukan nilai kritis 21 pada tabel distribusi Chi-Square.

6. Jika χ2 > 21 , tolak hipotesis bahwa data mengikuti pola distribusi

yang dihipotesiskan.

45

Kolmogorov-Smirnov Test

Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk menentukan seberapa baik

sebuah sampel data acak mengikuti pola distribusi teoritis tertentu (normal,

uniform, poisson, atau eksponensial). Uji ini didasarkan pada perbandingan

fungsi distribusi kumulatif sampel dengan fungsi distribusi kumulatif

hipotesis. Langkah-langkah dalam uji Kolmogorov-Smirnov adalah:

1. Tentukan frekuensi distribusi kumulatif sampel Sn(x) dan distribusi

kumulatif hipotesis F(x).

2. Hitung | F(xi) – Sn(xi) | dan | F(xi) – Sn(xi-1) | jika F(x) kontinyu. Jika

F(x) diskret, hanya perlu menghitung | F(xi) – Sn(xi) |.

3. Tentukan nilai maksimum Dmax dari perhitungan nomor 2.

4. Tentukan taraf nyata (α).

5. Tentukan nilai kritis n

Dn

dari tabel nilai kritis perbedaan absolut

maksimum antara distribusi kumulatif sampel dan populasi.

6. Jika Dmax n

Dn

, tolak hipotesis bahwa data mengikuti pola distribusi

yang dihipotesiskan.

Pada prakteknya, hanya satu jenis uji kebaikan suai yang perlu

dilakukan. White et al. (1975, p338) mengemukakan bahwa sebaiknya

menggunakan Kolmogorov-Smirnov Test karena secara statistik terbukti

lebih baik daripada Chi-Square Test.

46

2.9 Model M/M/1/FCFS/∞/∞

Model M/M/1/GD/∞/∞ ini adalah model yang paling umum dan sering

dibahas dalam masalah antrian. Model ini adalah model antrian yang paling

sederhana dengan mengasumsikan bahwa input kedatangan mengikuti

distribusi Poisson dan pelayanan mengikuti distribusi Eksponensial.

Menurut Harris et al. (1998, p53), fungsi densitas untuk waktu antar

kedatangan dan waktu pelayanan untuk model M/M/1 adalah :

a(t) = λe-λt ,

b(t) = μe-μt

Dimana 1/λ adalah rata-rata waktu antar kedatangan dan 1/μ adalah waktu

pelayanan, sebaiknya waktu pelayanan diasumsikan secara statistik berdiri

sendiri. Berikut adalah rumus-rumus penghitungan karakteristik operasional

dalam model antrian M/M/1 :

1. Po =

1

n

, Po adalah probabilitas tidak ada individu dalam

sistem.

2. Lq =)(

2

, Lq adalah rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit).

3. Ls =

, Ls adalah rata-rata jumlah individu dalam sistem (antrian

dan pelayanan) (unit).

47

4. Wq = )(

, Wq adalah rata-rata waktu tunggu dalam antrian (jam).

5. Ws =

1 , Ws adalah rata-rata waktu dalam sistem (antrian dan

pelayanan) (jam).

6. λ adalah tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).

7. μ adalah tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu).

2.10 Model M/Ek/1/FCFS/∞/∞

Distribusi Erlang adalah merupakan satu keluarga dengan distribusi

Gamma dan distribusi Eksponensial. Menurut Harris et al. (1998, p128-129)

eksponensial itu adalah kasus khusus dari Erlang yang dinamakan tipe 1

(k = 1), sedangkan untuk Erlang (k > 1). Hubungan antara Erlang dengan

Eksponensial dapat dijelaskan dengan model antrian dimana bentuk pelayanan

suatu sistem memiliki bentuk seri fase-fase yang identik.

Dengan mempertimbangkan jika sebuah model dengan waktu

pelayanannya memiliki distribusi Erlang tipe-k, itu lebih mudah untuk di

analisa model seperti ini dengan melihat bahwa Erlang dipecah dari k fase-

fase untuk Eksponensial dengan rata-rata menjadi 1/kμ.

Menurut Budihardjo et al. (1999, p866) suatu skema dari bentuk pola

yang digambarkan di jurnal tersebut menjelaskan suatu model hipotesa

48

dimana jika terdapat fase yang berbentuk Erlang waktu menunggu akan

terjadi peningkatan dimana k > q, dan menurun jika k < q.

Gambar 2.8 Skema One Maverick Stage

Dimana → A : Erlang (k) fase = 1, Bi : Erlang (q) fase > 1.

Berikut adalah rumus-rumus penghitungan karakteristik operasional

dalam model antrian M/Ek/1 :

1.

, adalah tingkat kegunaan fasilitas sistem atau utilitas (rasio)

2. Lq = Wq, Lq adalah rata-rata jumlah individu dalam antrian (unit).

3. Ls = Lq + , Ls adalah rata-rata jumlah individu dalam sistem (antrian

dan pelayanan) (unit).

4. Wq = )1(2

1

k

k , Wq adalah rata-rata waktu tunggu dalam antrian

(jam).

5. Ws = Wq + 1 , Ws adalah rata-rata waktu tunggu sistem (antrian dan

pelayanan) (jam).

6. λ adalah tingkat rata-rata kedatangan per satuan waktu (unit/waktu).

7. μ adalah tingkat rata-rata pelayanan per satuan waktu (unit/waktu).