Binomial Dan bernoulli

Bab 5ADistribusi Probabilitas 1

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------

Bab 5ADISTRIBUSI PROBABILITAS 1

A. Pendahuluan

1. Distribusi Probabilitas

Probabilitas yang berjumlah 1 dibagi-bagikan (didistribusikan) ke semua unsur probabilitas

Probabilitas pada setiap unsur probabilitas tidak harus sama

Ketidaksamaan penyebaran probabiltas pada unsur probabilitas menghasilkan densitas dan menjadi fungsi densitas pada distribusi probabilitas

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------

2. Besaran pada Distribusi Probabilitas

Fungsi densitas merupakan salah satu besaran pada distribusi probabilitas

Beberapa besaran pada distribusi probabilitas mencakup

Fungsi densitasDerajat kebebasanBanyaknya parameter penentuRerataVariansi dan simpangan bakuFungsi distribusi

Statistika terapan banyak menggunakan fungsi distribusi sehingga untuk distribusi probabilitas tertentu disediakan tabel fungsi distribusi (ada kalanya disediakan juga tabel fungsi densitas)

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------3. Fungsi Densitas

Ada kalanya, fungsi densitas suatu distribusi probabilitas disertai derajat kebebasan dan informasi

Fungsi densitas suatu distribusi probabilitas dapat ditampilkan dalam beberapaa bentuk

Bentuk tabelBentuk grafik (biasanya histogram)Bentuk rumus

Pada statistika terapan, kita memerlukan tabel untuk menentukan nilai pada distribusi probabilitas

Bentuk grafik memberikan gambaran visual tentang distribusi probabilitas

Bentuk rumus merupakan dasar dari suatu distribusi probabilitas dan berguna untuk proses matematika pada statistika-matematika (mathematical statistics)

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh fungsi densitas dalam bentuk tabel, grafik histogram, dan rumus

TabelX b(X ; 6, 1/6) 0 0,3349 1 0,4019 2 0,2009 3 0,0536 4 0,0080 5 0,0006 6 0,0001

Grafik

Rumus b(X ; 6, 1/6) = ( )( )X ( )6 - X

0,10,20,30,4123456Xb6X16560

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------4. Fungsi Distribusi

Fungsi distribusi sering digunakan pada statistika terapan sehingga tersedia tabel fungsi distribusi

Ada kalanya tersedia dua macam tabel fungsi distribusi

Dari unsur probabilitas ke fungsi distribusiDari fungsi distribusi ke unsur probabilitas

Di sini, unsur probabilitas diberi notasi sesuai dengan jenis distribusi probabilitas (misalnya, z, t, dan sejenisnya)

Di sini, fungsi distribusi bawah diberi notasi abjad Yunani

Misal: tabel z dan tabel z

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------

Fungsi distribusi bawah z yang ditabelkan

Fungsi distribusi bawah z yang ditabelkanz diketahuiDitabelkan z ditabelkanDiketahui

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------5. Jenis Distribusi Probabilitas

Di sini dibahas distribusi probabilitas teoretik

Hanya beberapa jenis distribusi probabilitas yang dibahas yakni yang banyak digunakan pada statistika terapan

Distribusi probabilitas yang dibahas mencakup

Distribusi probabilitas diskrit

Distribusi probabilitas seragamDistribusi probabilitas binomialDistribusi probabilitas multinomialDistribusi probabilitas hipergeometrik

Distribusi probabilitas kontinu

Distribusi probabilitas normalDistribusi probabilitas t-StudentDistribusi probabilitas khi-kuadratDistribusi probabilitas F Fisher-Snedocor

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------6. Alat Bantu

Statistika banyak digunakan di berbagai bidang kegiatan termasuk di berbagai bidang ilmu

Alat bantu yang dapat kita gunakan mencakup

Kalkulator elektronik ilmiahTabel statistikaProgram komputer

Tabel statistika dapat digunakan untuk mencari nilai pada fungsi densitas dan fungsi distribusi

Program komputer seperti Statgraph dan Minitab menyediakan menu untuk mencari nilai pada fungsi densitas dan fungsi distribusi

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------B. Distibusi Probabilitas Diskrit Seragam

1. Fungsi Densitas

Pada distribusi probabilitas seragam, semua unsur probabilitas memiliki probabilitas yang sama

Contoh distribusi probabilitas seragam adalah lemparan dadu

Setiap sisi dadu memiliki probabilitas yang sama yakni p = 1 / 6 untuk keluar

Fungsi densitasnya menjadi

f (X) = 1 / 6

X123456f(X)16

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Kalau unsur probabilitas diperluas dari 6 ke N, maka fungsi densitas distribusi probabilitas seragam menjadi

f (X) =

Distribusi probabilitas seragam tidak disertai derajat kebebasan

Semua unsur probabilitas dari 1 sampai N mempunyai probabilitas yang sama (karena itu disebut seragam) sebesar p = 1 / N

Nilai probabilitas bergantung kepada N

Tidak memerlukan derajat kebebasan dan tidak memerlukan parameter penentu1NX123N1Nf (X)

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------2. Rerata, Variansi, dan Simpangan Baku

Rerata

Variansi

Simpangan baku

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 1

Pada distribusi seragam lemparan satu dadu

X p X2 pX pX21 1/6 1 1/6 1/62 1/6 4 2/6 4/63 1/6 9 3/6 9/64 1/6 16 4/6 16/65 1/6 25 5/6 25/66 1/6 36 6/6 36/6 21/6 91/6

x = pX = 21 / 6 = 3,5

2X = pX2 (pX)2 = 91 / 6 (3,5)2 = 2,92

X = 2,92 = 1,71


Tabel fungsi densitas dan fungsi distribusi bawah

X p FDB 1 1/N 1/N 2 1/N 2/N 3 1/N 3/N . . . . . . . . . k 1/N k/N . . . . . . . . . N 1 1/N (N1)/N N 1/N 1

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 2

Pada lemparan dadu

X p FDB 1 1/6 1/6 2 1/6 2/6 3 1/6 3/6 4 1/6 4/6 5 1/6 5/6 6 1/6 1

(a) P (X 4) = 4/6(b) P (X = 4) = P (X 4) P (X 3) = 4/6 3/6 = 1/6(c) P (X 3) = 1 P (X 2) = 1 2/6 = 4/6(d) P (X 5) =(e) P (X < 3) =(f) P (X = 5) =(g) P (X 4) =(h) P (2 X 5) = P (X 5) P (X 1) = (i) P (2 < X 5) =(j) P (2 X < 5) =(k) P (2 < X < 5) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------C. Distribusi Probabilitas Diskrit Binomial

1. Peristiwa untuk Distribusi Probabilitas Binomial

Kita melihat satu contoh sebagai berikut

Satu dadu dilempar 6 kaliBerapa probabilitas 0 kali keluar mata 41 kali keluar mata 42 kali keluar mata 43 kali keluar mata 44 kali keluar mata 45 kali keluar mata 46 kali keluar mata 4

Di sini, cobaan diulang sampai 6 kali peristiwa keluar mata 4 independen hanya ada dua peristiwa, mata 4 atau bukan mata 4 probabilitas peristiwa adalah tetap

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------ 2. Cobaan Bernoulli

Cobaan lemparan dadu ini dikenal sebagai cobaan Bernoulli

Pada cobaan Bernoulli

Cobaan dapat diulang (misalkan sampai N kali)Peristiwa pada cobaan adalah independenHanya ada dua macam peristiwa (misalkan A dan bukan A)Probabilitas dari kedua-dua peristiwa adalah tetap (misalkan probabilitas mereka adalah P(A) = p dan P(bukan A) = q serta p + q = 1)

Distribusi probabilitas untuk X kali terjadi peristiwa A dikenal sebagai distribusi probabilitas binomial

Fungsi densitas distribusi probabilitas binomial diberi notasi b (X ; N, p)

Notasi b untuk binomial serta N dan p adalah keterangan tentang banyaknya cobaan dan probabilitas peristiwa

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------3. Fungsi Denstias Distribusi Probabilitas Binomial

N = banyak cobaan (misalkan N cobaan satu dadu atau satu cobaan N dadu)p = probabilitas terjadinya peristiwa A (nilai tetap)q = 1 pX = banyaknya peristiwa A = bukan A

Membentuk binomium Newton sehingga disebut distribusi probabilitas binomial

Tidak ada derajat kebebasn

Memerlukan satu parameter penentu yakni p (m = 1)

AXN X

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 3

Pada 6 kali lemparan satu dadu, distribusi probabilitas untuk keluarnya mata 4

N = 6 p = 1 / 6 q = 5 / 6X = banyaknya keluar mata 4

Fungsi densitas

X b (X ; 6, ) 0 0,3349 1 0,4019 2 0,2009 3 0,0536 4 0,0080 5 0,0006 6 0,0001

161234560,4Xb0

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------4. Tabel Fungsi Densitas Distribusi Probabilias Binomial

Ada tabel fungsi densitas distribusi probabilitas binomial

Pada tabel terdapat b (X ; N, p) untuk berbagai macam nilai p (biasanya dari 0,05 sampai 0,95)

Pada umumnya tersedia tabel untuk nilai N =1 sampai N = 20 atau N = 25 (terlampir)

Untuk N yang besar, distribusi probabiltas binomial mendekati distribusi probabilitas normal sehingga perhitungannya didekatkan ke distribusi probabilitas normal

Contoh 4

b (3 ; 4, 0,65) = 0,3105b (7 ; 9, 0,95) = 0,0629

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 5

b (4 ; 4, 0,80) =

b (1 ; 6, 0,05) =

b (7 ; 8, 0,55) =

b (5 ; 10, 0,30) =

b (14 ; 15, 0,75) =

b (2 ; 20, 0,15) =

b (19 ; 25, 0,85) =

b (1 ; 1, 0,70) =

b (2 ; 3, 1/3) =

b (0 ; 5, 0,35) =


Rerata X = Np

Variansi 2X = Npq

Simpangan baku X = Npq

Contoh 6

Dari contoh 3, lemparan dadu 6 kali

Rerata X = Np = (6)(1/6) = 1

Variansi 2X = Npq = (6)(1/6)(5/6) = 0,833

Simpangan baku X = Npq = 0,913


Fungsi distribusi bawah dari distribusi probabilitas binomial merupakan jumlah pada fungsi densitas dan diberi notasi B

Fungsi distribusi bawah ini dapat juga dinyatakan melalui q = 1 p

B (X ; N, p) = B (N X 1 ; N, 1 p)

Fungsi densitas dapat juga dihitung melalui fungsi distribusi bawah

b (X ; N, p) = B (X ; N, p) B (X 1 ; N, p)

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------7. Tabel Fungsi Distribusi Bawah

Tersedia tabel fungsi distribusi bawah untuk berbagai p dan N (terlampir)

Di sini, nilai p adalah dari p = 0,05 sampai p = 0,50, sehingga di atas p = 0,50, gunakan rumus 1 p

Pada umumnya N terletak di antara N = 0 sampai N = 20 atau N = 25

Untuk N yang lebih besar, distribusi probabilitas binomial didekatkan ke distribusi probabilitas normal

Contoh 7

B (5 ; 14, 0,40) = 0,4859B (3 ; 8, 0,60) = B (8 3 1 ; 8, 0,40) = B (4 ; 8, 0,40) = 0,8263 b (3 ; 9, 0,45) = B (3 ; 9, 0,45) B (2 ; 9, 0,45) = 0,3614 0,1495 = 0,2119

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 8

B (8 ; 15, 0,40) =

B (9 ; 10, 0,60) =

B (7 ; 20, 0,45) =

B (8 ; 9, 0,95) =

B (11 ; 17, 0,85) =

b (8 ; 15, 0,40) =

b (4 ; 20, 0,45) =

b (5 ; 9, 0,75) =

b (12 ; 18, 0,90) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 9

Seorang mahasiswa menempuh 8 mata kuliah. Probabilias lulus pada setiap mata kuliah adalah sama yakni p = 0,80

(a) Probabilitas lulus pada semua mata kuliah

B ( ) =

(b) Probabilias tidak lulus satu mata kuliah

B ( ) =

(c) Probabilitas tidak lulus dua mata kuliah

B ( ) =

(d) Probabilitas tidak lulus tiga mata kuliah

B ( ) =

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------D. Distribusi Probabilitas Diskrit Multinomial

1. Fungsi Densitas

Pada distribusi probabilias binomial hanya terdapat dua macam peristiwa masing-masing dengan probabilitas p dan q

Pada distribusi probabilias multinomial, boleh terdapat lebih dari dua peristiwa, masing-masing dengan probabilitasnya

Misalkan pada distribusi probabilitas multinomial terdapat peristiwa dan probabilitas

Peristiwa A1 A2 A3 . . . AkProbabilitas p1 p2 p3 . . . Pk p = 1

Kali terjadi X1 X2 X3 Xk

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 10

Pada suatu ujian, nilai ujian adalah A dengan probabilitas p serta banyaknya peristiwa adalah X

A 4 5 6 7 8 9 Jumlah p 0,06 0,10 0,20 0,30 0,22 0,12 1,00 X 3 5 10 15 11 6 50

Banyak peristiwa di sekitar kita yang berbentuk distribusi probabilias multinomial

Contoh 11

Cari lima contoh yang menunjukkan distribusi probabilitas multinomial atau mendekati distribusi probabilitas multinomial

-----------------------------------------------------------------------------Bab 5A-----------------------------------------------------------------------------2. Rumus fungsi densitas distribusi probabilitas multinomial

X = frekuensi setiap peristiwap = probabilitas setiap peristiwak = banyaknya peristiwaN = frekuensi seluruh peristiwa

Distribusi probabilitas multinomial tidak memiliki derajat kebebasan dan memerlukan parameter penentu probabilitas p

Perhitungan pada distribusi probabilitas multinomial cukup rumit

Pada statistika terapan, pada umumnya, distribusi probabilitas multinomial dipecahkan melalui pendekatan ke distribusi probabilitas lain

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 12

Probabilitas siswa untuk memperoleh nilai C adalah 0,5, nilai B adalah 0,25, dan nilai A adalah 0,25. Dari 8 siswa, perobabilitas untuk 5 siswa memperoleh nilai C, 2 siswa nilai B, dan 1 siswa nilai A adalah

Nilai C B A Probabilitas 0,5 0,25 0,25 X 5 2 1

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Distribusi probabilitas multinomial dapat didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat

Pada statistika terapan, pada umumnya, distribusi probabilitas multinomial didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat

Di sini ingin ditunjukkan bahwa

Distribusi probabilitas multinomial terdapat pada banyak peristiwa yang kita temukan

Penyelesaian distribusi probabilitas multinomial dilaksanakan melalui pendekatan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat

Distribusi probabilitas khi-kuadrat akan dibahas secara tersendiri

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------E. Distribusi Probabilitas Diskrit Hipergeometrik

1. Ciri Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Pada distribusi probabilitas binomial dan multinomial, probabilitas setiap peristiwa adalah tetap

Pada distribusi probabilitas hipergeometrik, probabilitas peristiwa berubah (bertambah) setelah peristiwa terjadi

Distribusi probabilitas hipergeometrik mengenal populasi dan sampel

p = tetapp berubahDistribusi probabilitas binomial dan multinomialDistribusi probabilitas hipergeometri

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------2. Fungsi Densitas untuk Dua Peristiwa

Ada dua peristiwa yakni peristiwa A dan peristiwa (bukan A) dengan frekuensi keseluruhan atau populasi sebesar N

Di antaranya ada k peristiwa A serta N k peristiwa (bukan A)

Ditarik sampel sebesar n, di dalamnya terdapat X peristiwa A dan n X peristiwa (bukan A)

Probabilitas untuk berbagai nilai X membentuk distribusi probabilitas hipergeometrik

Fungsi densitas distribusi probabilitas hipergeometrik dinyatakan dengan h

h (X ; N, n, k)

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Rumus fungsi densitas untuk dua peristiwa

Populasi ukuran populasi N k peristiwa A N k peristiwa

Sampel ukuran sampel n X peristiwa A n X peristiwa

A(k)(N k) (X)(n X)

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 13

Secara acak ditarik 5 orang dari suatu kelompok 3 mahasiswi dan 5 mahasiswa. Probabilitas tertarik 2 mahasiswi adalah

N = 8 k = 3 N k = 5 n = 5 X = 2 n X = 3

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------3. Fungsi Densitas untuk Banyak Peristiwa

Ada r peristiwa yakni peristiwa A1, A2, sampai Ar dengan frekuensi keseluruhan atau populasi N

Frekuensi peristiwa adalah k1 kali A1, k2 kali A2, sampai kr kali Ar

Ditarik sampel sebesar n, di dalamnya, terdapat X1 kali A1, X2 kali A2, sampai Xr kali Ar

Probabilitas untuk berbagai nilai X1, X2, , Xr membentuk distribusi probabilitas hipergeometrik

Fungsi densitas distribusi probabilitas hipergeometrik dinyatakan dengan h

h (X1,X2,,Xr;N,n,k1,k2,,kr)

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Rumus fungsi densitas untuk r peristiwa

Populasi Sampel ukuran N ukuran n k1 peristiwa A1 X1 peristiwa A1 k2 peristiwa A2 X2 peristiwa A2

kr peristiwa Ar Xr peristiwa Ar

(k1)(k2)(k3)(kr)(X1)(X2)(X3)(Xr)Nn

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Contoh 14

Ada 10 mahasiswa yang terdiri atas 3 mahasiswa tingkat I, 4 mahasiswa tingkat II, dan 3 mahasiswa tingkat III. Secara acak ditarik 5 mahasiswa. Probabilitas tertarik 1 mahasiswa tingkat I, 2 mahasiswa tingkat II, dan 2 mahasiswa tingkat III adalah

N = 10 n = 5 k1 = 3 k2 = 4 k3 = 3X1 = 1 X2 = 2 X3 = 2


Rerata

Variansi

Simpangan baku

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------F. Perbedaan pada Distribusi Probabilitas Binomial dan Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

1. Distribusi Probabilitas Binomial

Distribusi probabilitas binomial dan juga multinomial menggunakan probabilitas tetap

Rerata dan Variansinya adalah

X = Np

2X = Npq = Np(1 p)

X = Npq = Np(1 p)

Probabilitas p adalah tetap

Kasus dengan probabilitas tetap terdapat pada penarikan sampel acak dengan pengembalian

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------2. Penarikan Sampel Acak dengan Pengembalian

Dikembalikan sebelum sampel berikut ditarik sehingga probabilitas untuk tertarik adalah

Sampel 1 sebesar 1 / NSampel 2 sebedar 1 / NSampel 3 sebesar 1 / N dan seterusnya

Probabilitas adalah tetap sebesar 1 / N seperti pada distribusi probabilitas binomialpopulasiSampel acak(N)Sampel 1Sampel 2Sampel 3

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------3. Distribusi Probabilitas Hipergeometrik

Distribusi probabilitas hipergeometrik menggunakan probabilitas berubah

Rerata dan Variansinya adalah

Probabilitas k / N berubah dari tarikan sampel ke tarikan sampel

Kasus dengan probabilitas berubah terdapat pada penarikan sampel tanpa pengembalian

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------4. Penarikan Sampel Acak tanpa Pengembalian

Sampel yang ditarik tidak dikembalikan sehingga probabilitas untuk tertarik adalah

Sampel 1 sebesar 1 / NSampel 2 sebesar 1 / (N 1)Sampel 3 sebesar 1 / (N 2) dan seterusnya

Probabilitas berubah seperti pada distribusi probabilitas hipergeometrikPopulasi(N)Sampel acakSampel 1Sampel 2Sampel 3

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------5. Perbedaan pada Distribusi Probabilitas

Distribusi probabilitas Distribusi probabilitas Binomial Hipergeometrik

p = tetap = berubah

(seperti pada penarikan (seperti pada penarikan sampel dengan sampel tanpa pengembalian) pengembalian)

X = Np

2X = Np(1 p)

X = Np(1 p)

Faktor Pembeda adalah

kNN nN 1

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------6. Faktor Pembeda

Faktor pembeda ini akan membedakan variansi dan simpangan baku pada

Pensampelan dengan pengembalianPensampelan tanpa pengembalian

Hal ini akan dibahas kemudian

Letak perbedaan pada variansipada simpangan baku

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------Sampel Kecil atau Populasi Besar

Sampel kecil atau populasi besar adalah dua kata yang sama artinya

Pada sampel kecil atau pada populasi besar digunakan kriteria empirik

sehingga di dalam perhitungan

Dalam hal ini, nilai variansi dan simpangan baku pada pensampelan tanpa pengembalian sama saja dengan nilai pada pensampelan dengan pengembalian

------------------------------------------------------------------------------Bab 5A------------------------------------------------------------------------------

Penggunaan distribusi hipergeometrik lebih ditujukan kepada perbedaan di antara penarikan sampel dengan pengembalian dan penarikan sampel tanpa pengembalian

Di sini, ingin ditunjukkan juga bahwa perbedaan pada penarikan sampel ini terletak pada variansi dan simpangan baku

Perbedaan tersebut berbentuk faktor

Dan untuk sampel kecil (atau populasi besar), nilai faktor ini mendekati 1, sehingga variansi dan simpangan baku untuk penarikan sampel itu adalah sama saja

N n N 1

*******************

Binomial Dan bernoulli

Documents

Transcript of Binomial Dan bernoulli