2 fungsi dan grafik

2 - 1 fungsi kimia fisik, sukai semua ilmu eksakta,mempunyai kaitan dengan ketergantungan dari satu

atau lebih variabel dari satu sistem pada saat variabel lain dari sistem. antara lain, seandainya kita mengingin untuk mengetahui bagaimana volume dari satu gas membedakan dengan suhu. dengan cecah percobaan pada Laboratoria, kita akan menemukan bahwa volume dari satu gas membedakan dengan suhu pada satu sangat spesifik cara. pengukuran saksama akan memperlihatkan bahwa volume dari satu gas V1 di apapun temperatur t pada celcius menskalakan mematuhi hukum spesifik di mana V0 adalah volume dari gas di dalam memasuki ' c dan satu adalah satu telah tetap dikenal sebagai koefisien muai gas. penyamaan ini meramalkan yang terdapat sebuah sesuatu ke satu penyesuaian di antara volume dari satu gas dan ini temperatur. Itu adalah, bagi setiap nilai berharga t mengganti ke dalam penyamaan (2. 1 ), terdapat sebuah nilai sesuai untuk V1.

Mari kita mendefinisikan satu koleksi suhu sebagai satu setelan matematis t = (t1,t2,t3,t4,...) dan volume sesuai sebagai setelan lain v = {v1,v2,v3,v4,...}. Satu setelan matematis didefinisikan sebagai satu koleksi angka, masing-masing anggota dari dipanggil yang cocok satu elemen, sehingga kita melihat bahwa koleksi kita dari angka, masing-masing anggota dari dipanggil yang cocok satu elemen, sehingga kita melihat bahwa koleksi kita dari suhu dan volume memuaskan definisi ini. kalau di situ dihubungkan dengan masing-masing elemen setelan t paling tidak sesuatu unsur di yang lain menyetel v, kemudian asosiasi ini dikatakan untuk mendasari satu fungsi dari t ke v, ditulis f:t -> V1. bahwa adalah, fungsi mengambil tiap-tiap elemen di setelan t ke dalam elemen sesuai di setelan V. kita melihat penyamaan (2 - 1) puaskan kondisi ini. sejak v1 adalah satu fungsi dari t yang adalah, nilai dari v bergantung kepada nilai dari t ekspresi di atas dapat ditulis f:t -> f ( t), di mana V1=f (t ). ingat bahwa f (t ), bacaan "f t," tidak berarti f diperbanyak oleh t, tapi itu f (t ) adalah nilai dari V0 (1 + di)di t. maka, kita dapat tulis (2 - 2)

satu fungsi, kemudian, didefinisikan sebagai satu penyesuaian di antara unsur dua setelan matematis. pada contoh di atas, V1 dipertimbangkan satu fungsi dari hanyalah tunggal demikian t. variabel satu penyamaan, V1 = f (t ), dapat diwakili oleh satu rangkaian titik pada satu dua sistem mengkoordinir cartesian dimensional.

sistem fisiko-kimia, bagaimanapun, biasanya bergantung kepada lebih dari satu variabel. dengan demikian, ini perlu untuk meluas definisi dari fungsi memberikan di atas untuk meliputi fungsi dari lebih dari satu variabel. antara lain, kita menemukan secara eksperimen itu volume dari satu gas akan membedakan dengan suhu sesuai dengan penyamaan (2 - 2) hanya jika desakan dari gas digenggam telah tetap. dengan demikian, volume dari satu gas tidak hanya satu fungsi dari temperatur, tapi juga adalah satu fungsi desakan. pengukuran saksama pada Laboratoria akan memperlihatkan itu untuk paling gas di atau sekitar suhu kamar dan atmosfer sesuatu memaksa hukum berhubungan volume dari satu gas secara serempak ke suhu dan desakan dari satu gas adalah gas ideal terkenal hukum (2 - 3)

di mana r adalah satu telah tetap. penyamaan (2 - 3) siratkan yang terdapat sebuah sesuatu ke satu penyesuaian di antara tiga setelan angka: seperangkat volume, V= {v1,v2,v3,v4,...}; seperangkat suhu pada skala suhu absolut, T= {T1,T2,T3,T4,...}; dan seperangkat desakan, P= {P1,P2,P3,P4,...}. ini tiga setelan dapat diwakili dengan nyata pada satu sistem mengkoordinir

tiga dimensi dengan merencanakan v sepanjang poros sesuatu, T sepanjang satu poros detik, P sepanjang poros ketiga. Grafik demikian dari p, V, dan t biasanya dipanggil diagram Tahap.

2 - 2 penyajian grafis dari fungsi saat kita lihat di atas, salah satu jalan yang paling tepat untuk mewakili ketergantungan

fungsional dari variabel dari sistem oleh penggunaan dari sistem mengkoordinir. ini adalah karena masing-masing setelan angka mudah diwakili oleh satu sumbu koordinat, dan grafik hasil itu memberikan satu penyajian langsung visual dari perilaku. di bagian ini kita harus mengeksplorasi beberapa jenis dengan penyajian grafis dari fungsi. kita berawal dengan fungsi yang mendeskripsikan satu ketergantungan linear di antara variabel.

penyamaan dari harkat pertama. penyamaan yang mendefinisikan fungsi memperlihatkan satu ketergantungan linear di antara variabel dikenal sebagai penyamaan dari harkat pertama, atau penyamaan harkat pertama. fungsi ini mendeskripsikan satu tergantung biasanya dipanggil proporsi langsung, dan penyamaan dipanggil penyamaan harkat pertama karena semua variabel di penyamaan ini dinaikkan hanya untuk yang pertama kekuatan. penyamaan harkat pertama punya bentuk umum (2 - 4)

di mana m dan b adalah tetap. sebagai satu contoh dari satu penyamaan harkat pertama, pertimbangkan penyamaan ' f = 9 / 5 ' c + 32. digambarkan di gambar. 2 - 1 penyamaan terbiasa ini mendeskripsikan suhu dari satu sistem pada Skala Fahrenheit dan hubungan ini ke suhu pada skala suhu celcius. catat tersebut, bahwasanya, penyamaan adalah sebagai satu garis lurus. dari grafik kita dapat menentukan arti dari tetap m dan b di penyamaan (2 - 4). biar kita mempertimbangkan belakangan, b =32. kita dapat melihat yang baris seberangi ' f poros hampir di mana nilai dari ' c adalah nol. kalau kita mengganti nol untuk ' c ke dalam penyamaan ' f=9 / 5 ' c + 32, kita memperoleh ' f=32. tapi ini baru nilai dari b pada persamaan. Karena itu, (0,b ) adalah koordinat dari titik di mana baris seberangi ' f atau poros-y, dan dengan demikian b dipanggil y interupsi. itu juga dari daya tarik untuk mempertimbangkan nilai dari ' c untuk yang mana ' f = f('c ) =0, titik ini mewakili titik di mana baris seberangi ' c atau poros-x, dan dikenal sebagai nol dari fungsi. penyamaan susun ulang (2 - 4) berikan (2 - 5)

(gambarkan 2 - 1) grafik dari ' f = 9 / 5 ' c + 32

untuk nilai dari x, membagi berdua sisi dari penyamaan oleh satu dan susun ulang penyamaan beri (2 - 11)

berikutnya, menambahkan (4a2 b2 /) terhadap keduanya sisi dari penyamaan untuk melengkapi kuadrat berikan (2 - 11) atau pengambilan akar dua dari keduanya sisi dari penyamaan beri (2 - 13) atau (2 - 14)

yaitu rumus kuadrat dikenal baik.

kadang kala nol dari penyamaan, dipanggil akar, dapat ditentukan oleh cara faktor. antara lain, pertimbangkan penyamaan (2 - 15) langkah dapat di faktorkan ke dalam kondisi (2 - 16)

akar dari penyamaan sekarang dapat ditemukan dengan menyelesaikan penyamaan (2 - 17)

berikan yang x = 1 dan x =2. Menggantikan satu =1, b = - 3, dan c=2 ke dalam rumus kuadrat, penyamaan (2 - 14), hasilkan hasil yang sama.

jika di mana penyamaan mendefinisikan satu tertentu keadaan fisik adalah satu detik derajat penyamaan (atau satu saja dari order lebih tinggi), di sana memunculkan satu masalah yang bukan tayang ketika seseorang sekedar mempertimbangkan pemrograman murni, saat kita berbuat di atas. sejak persamaan kuadrat seharusnya mempunyai dua akar, kita harus putuskan, jika di mana berdua akar bukan yang sama, yang akar dengan benar mewakili keadaan fisik, sungguhpun berdua secara matematis benar, pertimbangkan penyamaan keseimbangan

SATU + B=C + D

asumsikan yang pada awalnya konsentrasi dari satu,B,C,dan D adalah masing-masing 1 geraham. seandainya kita berharap menentukan konsentrasi keseimbangan dari satu,B,C, dan D memberikan bahwa tetapan keseimbangan dalam kaitan dengan konsentrasi geraham, Kc, sama 50. kalau kita mengasumsikan itu di keseimbangan konsentrasi pada c adalah (1 + x), geraham, kemudian konsentrasi keseimbangan dari satu,B,C, dan d. harus (1 - x), (1 - x), dan (1 + x) geraham, berturut-turut. mengganti nilai ini ke dalam penyamaan tetapan keseimbangan

kita punya (2 - 18)

Penyamaan susun ulang (2 - 18)berikan persamaan kuadrat (2 - 19)

mengganti nilai satu = 49, b= - 102, dan c =49 ke dalam penyamaan (2 - 14) menghasilkan kedua-duanya solusi x =1.3 dan x 0.75.

kita mengetahui harus memutuskan nilai yang mana dari x secara fisik benar. kalau memilih x = 1.3, konsentrasi keseimbangan dari satu dan b akan angka negatif, yang secara fisik tidak jadi masuk akal. dengan demikian, secara fisik membenarkan nilai untuk x harus 0.75, memberikan untuk konsentrasi keseimbangan dari satu,B,C, dan d.: 0,25M, 0,25M,1,75M, dan 1,75M, berturut-turut. kita paham, kemudian, yang walaupun berdua akar secara matematis benar, hanyalah sesuatu memakukan jadi masuk akal secara fisik.

Bersifat eksponen dan logaritma berfungsi. pangkat berfungsi bersifat berfungsi saat mendefinisikan penyamaan diberi suara dengan menulis nama bentuk umum f (x ) = ax (2 - 20)

Di mana satu > MEMASUKI. satu pangkat berfungsi bersifat penting yang dipergunakan secara ekstensif di kimia fisik, dan tentu saja pada fisik ilmuwan secara keseluruhan, adalah fungsi f (x ) = ex (2 - 21)

Di mana tetap e adalah satu bukan pengakhiran, bukan sistem desimal mengulangi mempunyai nilai, ke lima nyata menggambarkan berpengaruh,

lim e=.....

=2,7183

fungsi ini digambarkan di gambar. 2 - 5. mencatat bahwa semua bersifat pangkat punya titik (0,1 ) secara umum, sejak satu ' =1 untuk apapun a. juga mencatat yang tidak ada nol ke fungsi, sejak fungsi nol mendekati sebagai x pendekatan - (tak terbatas). ekspresi limx ->Memasuki berarti tersebut (1 + x)1 / x pendekatan satu nilai dari 2,7183 sebagai x pendekatan memasuki, dan dibaca "pada pembatas yang x nol pendekatan." arti fisik dari tetap e akan didiskusikan di bab 3.

terdapat sebuah hubungan langsung di antara pangkat berfungsi bersifat dan fungsi logaritma. kekuatan dari eksponen ke mana tetap satu dinaikkan pada penyamaan y=ax dipanggil log dari y. ke dasar satu dan adalah tertulis

bukukan satu y. = x (2 - 23)

fungsi logaritma log2 y. = x digambarkan di gambar. 2 - 6. catatan, seperti pada kasus dari pangkat berfungsi bersifat, itu titik (0,1 ) adalah umum terhadap semuanya fungsi logaritma, sejak bukukan satu 1 = memasuki untuk apapun a. log yang punya banyak hak milik berguna dan adalah satu alat penting pada pembahasan dari kimia fisik. untuk alasan ini hak milik umum dari log ditelaah di bab 3.

gambarkan 2 - 5 grafik dari y. =ex

bagian 2 - 2 penyajian grafis dari fungsi

gambarkan 2 - 6 grafik dari log2 y = x berfungsi lingkar. satu bulatan didefinisikan sebagai lokus batal semua titik pada satu

pesawat itu ada di satu jarak telah tetap dari satu titik tetap. bulatan dideskripsikan oleh penyamaan

(x - 2)2 + (y b)2=r2 (2 - 23) di mana satu dan b adalah koordinat dari pusat dari bulatan (titik tetap) dan r adalah jari-jari. Satu bulatan unit adalah seseorang dengan pusat pada asal dan satu jari-jari sama dengan kesatuan.

x2 + y2=1 (2 - 24) pertimbangkan, sekarang, tiga segi digoreskan pada unit lingkaran memperlihatkan di

gambar 2-7. biar kita mendefinisikan tiga fungsi: sinus (disingkat berdosa), ambil yang sudut (teta) ke dalam koordinat y dari satu titik (x,y ), kosinus (cos singkatan), ambil yang sudut (teta) ke dalam x koordinat dari titik (x,y ), dan garis singgung (disingkat berwarna cokelat), yaitu rasio dari y

gambarkan 2 - 7 grafik dari bulatan unit x2 + y2=1

Tabel 2 - 1 KETERGANTUNGAN DARI r PADA (Ө) Untuk FUNGSI r = satu cos (teta) ke x. dengan demikian, dosai memasuki = y

cos memasuki = x samak kulit memasuki = y. / x berdosa memasuki / cos memasuki

(2 - 25) fungsi ini dipanggil lingkar atau trigonometri berfungsi. catat penyamaan itu (2 - 25) adalah hanya penyamaan alih ragam (1 - 4) dengan r =1. ini tertarik untuk membandingkan grafik dari fungsi, berdosa seperti itu memasuki dan cos memasuki, di koordinat linear (mengoordinir di mana memasuki direncanakan sepanjang poros sesuatu) ke itu di koordinat kutub pesawat. pertimbangkan, antara lain penyamaan r = satu cos memasuki, di mana satu adalah satu telah tetap. demikian satu penyamaan biasanya mendeskripsikan hak milik gelombang dari p orbital atomis jenis pada dua dimensi, ketergantungan fungsional dari r pada saat memasuki dapat dilihat di tabel 2 - 1. ketika r lawan memasuki direncanakan di koordinat linear [di tampilkan dalam gambar 2-8(a)] kosinus khas membengkok hasil. pada sisi lain, ketika r lawan memasuki direncanakan di koordinat kutub [di tampilkan dalam gambar 2-8(b)] lebih bentuk terbiasa dari p orbital dapat dilihat. ini penting untuk mencatat bahwa berdua grafik adalah padanan, bentuk dari kurva menyesuaikan sekadar pada pilihan dari sistem mengoordinir. 2 - 3 AKAR KE PENYAMAAN POLINOMIAL kita dilihat pada bagian sebelumnya itu nol dari fungsi (akar) dapat ditemukan dengan mudah kalau penyamaan yang pertama atau penyamaan derajat kedua. tapi bagaimana yang kita temukan akar kepada penyamaan yang linier atau kuadrat? sebelum umur dari komputer ini adalah tak satu pun tugas sederhana. satu standar cara untuk menemukan akar dengan penyamaan polinomial tanpa penggunaan satu komputer adalah ke grafik fungsi. antara lain, pertimbangkan penyamaan

y=x4 + x3 - 3x2 - x + 1

di koordinat kutub, nilai negatif dari r tidak punya arti, sehingga kita sebenarnya merencanakan |r|= A cos Ө

bagian 2 - 3 Akar Ke Penyamaan Polinomial gambarkan 2.8 Graf dari r = satu cos memasuki plot di (satu ) linear mengoordinir dan (b ) koordinat kutub. kalau kita merencanakan fungsi ini dari x = - 3 ke x = + 3, kita memperoleh grafik yang diperlihatkan di gambar 2 - 9. akar ke penyamaan adalah nilai dari x untuk y yang mana = memasuki, atau titik pada grafik di mana grafik menyeberangi poros-x. pengujian saksama dari grafik akan memperlihatkan bahwa akar adalah x = - 2.09, x = - 0.74, x = + 0.47, dan x = + 1.36. di gambar 2-9 Grafik dari y = x4 + x3 - 3x2 - x + 1. bab 11 kita harus mendiskusikan metode numerik dari akar penemuan ke penyamaan polinomial mempergunakan satu komputer. MENYARANKAN BACAAN 1 2 3 4 MASALAH 1. tentukan nol dari berikut

berfungsi: a b c d e

2. rencanakan fungsi berikut di pesawat dwikutub koordinat dari memasuki ke 2 (phi) (remeber itu di koordinat kutub, negatif nilai dari r tidak punya arti): a b c

3. rencanakan fungsi berikut di cartesian koordinate: a b c d

4. rencanakan fungsi berikut memilih koordinate pantas axes: a

b c d e f

5. Rencanakan fungsi di masalah 4 memilih mengkoordinir sangat itu satu garis lurus hasil.

6. Evaluasi....... untuk berikut: a b

7. Pelapukan radioaktif adalah satu order pertama berjalan dimana konsentrasi dari bahan radioaktif c berhubungan ke waktu r oleh penyamaan

C0e Kt C= dimana Co dan k adalah tetap (e adalah

bersifat exponen). Diberikan data berikut, tentukan nilai dari Co dan k oleh merencanakan data sedemikian itu satu hasil garis lurus.

8. Mempergunakan metode grafis, tentukan akar dari penyamaan berikut:

a b c d