*Logika MatematikaAndrian Rakhmatsyah Teknik Informatika STT Telkom Lab. Sistem Komputer dan JaringanBab 1: Aljabar Boolean

*Aljabar boolean-definisiSistem aljabar dengan dua operasi penjumlahan (+) dan perkalian (.) yang didefinisikan sehingga memenuhi ketentuan berikut ini :aturan A1 sampai dengan A5, M1 sampai M3, M5, D1, dan D2,setiap elemen a, b, c dari S mempunyai sifat-sifat atau aksioma-aksioma berikut ini.

*Aljabar boolean-definisi

*Prinsip dualitasTeorema 2.1Untuk setiap elemen a, berlaku : a + a = a dan a . a = a

Buktia + a = ( a + a ) (1)identitas= ( a + a ) ( a + a )komplemen= a + ( a . a )distributif= a + 0komplemen= aidentitas

a.a = a.a + 0identitas= a.a + a.akomplemen= a. ( a + a )distributif= a.1komplemen= aidentitas

*Prinsip dualitasTeorema 2.2Untuk setiap elemen a, berlaku : a + 1 = 1 dan a.0 = 0

Buktia + 1= a + (a + a)komplemen= (a + a) + aasosiatif= a + ateorema 1a= 1komplemen

a . 0= a.(a.a)komplemen= (a.a) .aasosiatif= a . aidempoten= 0komplemen

*Prinsip dualitasTeorema 2.3 (Hukum Penyerapan)Untuk setiap elemen a dan b, berlaku : a + a . b = a dan a . (a+b) = a

Buktia+ab = a.1 + a.bIdentitas= a . (1 + b)distributif= a . 1teorema 2a= aidentitas

a. (a+b)= a.a + a.bdistributif= a + abidempoten= a.1 + abidentitas= a. ( 1 + b )distributif= a . 1teorema 2a= aidentitasb

*Prinsip dualitasTeorema 2.4 (Hukum de Morgan)Untuk setiap elemen a dan b, berlaku : (a . b) = a + b dan (a+b) = ab

Teorema 2.50 = 1 dan 1 = 0

Teorema 2.6 Jika suatu Aljabar Boolean berisi paling sedikit dua elemen yang berbeda, maka 0 1

*Fungsi booleanMisalkan x1, x2, x3, , xn merupakan variabel-variabel aljabar Boolean. Fungsi Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat dibentuk dari aturan-aturan berikut :fungsi konstanf(x1, x2, x3, , xn) = afungsi proyeksi f(x1, x2, x3, , xn) = xi i = 1, 2, 3, , nfungsi komplemen g(x1, x2, x3, , xn) = (f(x1, x2, x3, , xn))fungsi gabunganh(x1, x2, x3, , xn) = f(x1, x2, x3, , xn) + g(x1, x2, x3, , xn)h(x1, x2, x3, , xn) = f(x1, x2, x3, , xn) . g(x1, x2, x3, , xn)

*Bentuk fungsi booleanSuatu fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk yang berbeda tetapi memiliki arti yang samaContoh :f1(x,y) = x . yf2(x,y) = (x + y)

f1 dan f2 merupakan bentuk fungsi boolean yang sama, yaitu dengan menggunakan Hukum De Morgan.

*Nilai fungsiFungsi Boolean dinyatakan nilainya pada setiap variabel yaitu pada setiap kombinasi (0,1).

Contoh : Fungsi Booleanf(x,y) = xy + xy + y

*Cara RepresentasiAljabarRepresentasi secara aljabar adalah : contoh : f(x,y,z) = xyz

Dengan menggunakan tabel kebenaran

*Konversi fungsi boolean SOP (Sum of product)1). f1(x,y,z) = xyz + xyz + xyz = m1 + m4 + m7

f1(x,y,z)= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

POS (Product of sum)2). f2(x,y,z) = (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z) (x+y+z) = (f1(x,y,z)) = M0 M2 M3 M5 M6F = m1 + m 4 + m7 = M0 . M2 . M3 . M5 . M6SOPSOPSOPPOSPOSPOSContoh 1

*Konversi fungsi boolean1). f1(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz SOP = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m6

f1(x,y,z)= xyz + xyz

2). f2(x,y,z)= (x + y + z)(x + y + z) POS = (f1(x,y,z)) = M5 M7F = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m6 = M5 . M7Contoh 2

*Konversi fungsi boolean1). f1(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz SOP = m2 + m3 + m6 + m7

f1(x,y,z)= xyz + xyz + xyz + xyz

2).f2(x,y,z)= (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z) (x + y + z) POS = (f1(x,y,z)) = M0 M1 M4 M5F = m2 + m3 + m6 + m7 = M0 . M1 . M4 . M5Contoh 3

*Bentuk standar/kanonikJika f adalah fungsi boolean satu variabel maka untuk semua nilai x berlaku :f (x) = f (1) . x + f (0) . x

Jika f adalah fungsi boolean dua variabel maka untuk semua nilai x berlaku :f(x,y) = f(0,0) . xy + f(0,1) . xy + f(1,0) . xy + f(1,1) . xy

Jika f adalah fungsi boolean tiga variabel maka untuk semua nilai x berlaku :

f(x,y,z) = f(0,0,0) . xy z + f(0,0,1) . xyz + f(0,1,0) . xyz + f(0,1,1) . xyz + f(1,0,0) . xyz + f(1,0,1) . xyz + f(1,1,0) . xyz + f(1,1,1) . xyz

Bentuk standar/kanonik*

*Bentuk standar/kanonik3 Variabel :

*Konversi ke bentuk standar/kanonikCari bentuk standar dari f(x,y) = xJawab :f(x,y) = x . 1identitas= x . (y+y)komplemen= xy + xydistributif= m(0, 1)Bentuk Standar : f(x,y) = xy + xy bentuk SOPBentuk Kanonik : f(x,y) = m(0, 1)

dengan mj = Mj f(x,y) = x . 1identitas= x .(y+y)komplemen= xy + xydistributif(f(x,y))= (x+y)(x+y)= M(2, 3)Bentuk Standar : f(x,y) = (x+y)(x+y) bentuk POSBentuk Kanonik : f(x,y) = M(2, 3)

Cari Bentuk standar & kanonik dlm SOP dan POSF(x,y,z) = y*

Cari bentuk standar &kanonik dlm bentuk SOP dan POS dari f(x,y,z) = y + xy + xyz

*

*Konversi ke bentuk standar/kanonikCari bentuk standar dari f(x,y,z) = y + xy + xyzJawab :f(x,y,z) = y + xy + xyz lengkapi literal pada tiap suku= y(x+x)(z+z) + xy(z+z) + xyz= (xy + xy)(z+z) + xyz + xyz + xyzf(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz= m5 + m4 + m1+ m0 + m7 + m6 + m2

SOPBentuk Standar : f(x,y,z)= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyzBentuk Kanonik : f(x,y) = m(0, 1, 2, 4, 5, 6, 7)

atau POSBentuk Standar : f(x,y,z) = x + y + zBentuk Kanonik : f(x,y) = M(3)

*Konversi ke bentuk SOPNyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x + yz dalam SOPJawab :Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(x,y,z) = x . (y+y).(z+z) + (x+x) . yz= (xy+xy)(z+z) + xyz + xyz= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz= m7 + m6 + m5 + m4 + m1= m(1, 4, 5, 6, 7)

*Konversi ke bentuk SOPNyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = xyz + xz + yz dalam SOPJawab :Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(x,y,z) = xyz + xz + yz= xyz + x. (y+y) . z + (x+x) . yz= xyz + xyz + xyz + xyz + xyz= m1 + m3 + m5 + m7 = m(1, 3, 5, 7)

*Konversi ke bentuk SOPNyatakan Fungsi Boolean f(w,x,y,z) = wxy + yz + xy dalam SOPJawab;Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaf(w,x,y,z) = wxy + yz + xy= wxy . (z+z) + (w+w)(x+x) . yz + (w+w) . xy . (z+z)= wxyz + wxyz + (wx+wx+wx+wx)yz + (wxy+wxy)(z+z)= wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz= wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz = m(3, 6, 7, 11, 14, 15)

*Konversi ke bentuk POS1.Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = x y+ xz dalam POSJawab :Bentuk fungsi ke POSf(x,y,z) = xy + xz= (xy + x)(xy + z)distributif= (x + x)(y + x)(x + z)(y + z)distributif= (x + y)(x + z)(y + z)komplemen, identitas

Lengkapi literal untuk setiap suku agar samaSuku-1 x + y = x + y + zz= (x + y + z)(x + y + z)Suku-2 x + z = x + z + yy= (x + y + z)(x + y + z)Suku-3 y + z = xx + y + z = (x + y + z)(x + y + z)

Semua suku dengan literal lengkap :f(x,y,z) = (xy + x)(xy + z)= (x + x)(y + x)(x + z)(y + z)= (x + y)(x + z)(y + z)= (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)= (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z) = M0 . M2 . M4 . M5= M(0, 2, 4, 5)

*2.Nyatakan Fungsi Boolean f(x,y,z) = (x+z)(y+z) dalam POSJawab :Fungsi Boolean asumsi sudah dalam bentuk POSf(x,y,z) = (x+z)(y+z) lengkapi literal pada tiap suku= (x+yy+z)(xx+y+z)Identitas, Komplemen= (x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)(x+y+z)distributif= M0 . M2 . M3 . M7

*Penyederhanaan fungsi booleanAsumsi yang dipakai dalam penyederhanaan :bentuk fungsi boolean paling sederhana adalah SOP,operasi yang digunakan adalah operasi penjumlahan (+), perkalian (.) dan komplemen ().

Terdapat tiga cara dalam penyederhanaan fungsi boolean :cara aljabar,bersifat trial and error tidak ada pegangan,dalam menyederhanakannya menggunakan aksioma-aksioma dan teorema-teorema yang ada pada aljabar boolean,peta karnaugh -> menggunakan bentuk-bentuk peta karnaughmetoda Quine-McCluskeypenyederhanaan didasarkan pada hukum distribusi,eliminasi Prime Implicant Redundant.

*Penyederhanaan-aljabarSederhanakanlah fungsi Boolean f(x,y) = xy + xy + xy

Jawab :f(x,y) = xy + xy + xy= xy + x . (y+y)Distributif= xy + x . 1Komplemen= xy + xIdentitas= (x+x)(x+y)Distributif= 1 . (x+y)Komplemen= (x+y)Identitas

*Penyederhanaan-aljabarSederhanakanlah fungsi Boolean dibawah ini :f(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

Jawab :f(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz= x.(yz+yz+yz+yz) + x . (yz+yz)Distributif= x.((y(z+z) + y(z+z)) + x . ((y+y)z)Distributif= x.(y .1 + y.1) + x(1 . z)Komplemen= x.(y+y) + xzIdentitas= x .1 + xzKomplemen= x + xzIdentitas= (x+x)(x+z)Distributif= 1. (x+z)Komplemen= x + zIdentitas

*Penyederhanaan-aljabarSederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y) = x + xy + y

Jawab :f(x,y) = x + xy + y= x . (1 + y) + yDistributif= x .1 + yTeorema 2= x + yIdentitasatauf(x,y) = x + xy + y= x + (x + 1) . yDistributif= x + 1 . yTeorema 2.= x + yIdentitas

*Penyederhanaan-aljabarSederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y,z) = xy + xyz + y(x+z) + yzJawab :f(x,y,z) = xy + xyz + y(x+z) + yz= x(y+yz) + y(x+z) + yzDistributif= x((y+y)(y+z)) + xy + yz + yzDistributif= x( 1 . (y+z)) + xy + yz + yzKomplemen= x . (y+z) + xy + yz + yzIdentitas= xy + xz + xy + yz + yzDistributif= y(x+x) + xz + yz + yzDistributif= y . 1 + xz + yz + yzKomplemen= y + xz + yz + yzIdentitas= (y+y)(y+z) + xz + yzDistributif= 1.(y+z) + xz + yzKomplemen= y + yz + xz + zIdentitas= y (1 + z) + (x+z)(z+z)Distibutif= y . 1 + (x+z)(z+z)Teorema 2= y + (x+z)(z+z)Identitas= y + (x + z) . 1Komplemen= x + y + zIdentitas

Penyederhanaan-kmap*

Penyederhanaan-kmap*

*Penyederhanaan-kmap

*Penyederhanaan-kmapSederhanakanlah persamaan, f(x,y) = xy + xy + xy = m1 + m2 + m3

Jawab :Sesuai dengan bentuk minterm, maka 3 kotak dalam KMap 2 dimensi, diisi dengan 1 :

*Penyederhanaan-kmapSelanjutnya pengelompokkan semua 1 yang ada dengan membuat kumpulan kotak atau persegi panjang dengan jumlah bujursangkar kecil 2n. Buatlah kelompok yang sebesar-besarnya.

*Penyederhanaan-kmapCara menentukan bentuk sederhana dari hasil pengelompokkan adalah :Carilah variabel yang memiliki nilai yang sama dalam kelompok tersebut, sebagai contoh kelompok A. Pada kelompok A adalah variabel y dengan harga 1 Pada kelompok B adalah variabel x dengan harga 1

Menentukan bentuk hasil pengelompokkan. Kelompok A adalah y, dan Kelompok B adalah x, sehingga Hasil bentuk sederhana dari contoh diatas A + B = y + x

*Penyederhanaan-kmapSederhanakanlah persamaan :f(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz

Jawab :ZX

*Penyederhanaan-kmapSederhanakanlah fungsi Boolean berikut :f(w,x,y,z) = m(0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)Jawab :xzwy

*Penyederhanaan-kmapSederhanakanlah fungsi Boolean : f(x,y,z) = xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz + xyz dengan menggunakan KMapJawab :zyx

*Penyederhanaan-kmapSederhanakanlah fungsi Boolean : f(w,x,y) = m(0, 1, 3, 5, 7)Jawab : wx y

*Penyederhanaan-kmap6. Sederhanakanlah fungsi Boolean : f(w,x,y,z) = wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyz + wxyzJawab :

Kompresi K-MapDua Variabel*

Kompresi K-MapTiga Variabel*

Kompresi K-Map*

Kompresi K-MapEmpat Variabel*14

*Kompresi K-Map

*Kompresi K-MapContoh, BAB

*Kompresi K-MapABCABBCBCABCAB

*Penyederhanaan-McCluskeyMetoda Quine McCluskey digunakan untuk menyederhanakan fungsi Boolean dengan 4 atau lebih variabel

Algoritma : nyatakan variabel komplemen dengan 0, sebaliknya 1,kelompokkan suku-suku berdasarkan jumlah 1,kombinasikan suku-suku tersebut dengan kelompok lain yang jumlah 1-nya berbeda satu, diperoleh bentuk prime yang lebih sederhanamencari prime-implicant, term yang menjadi calon yang terdapat dalam fungsi sederhana,memilih prime-implicant yang mempunyai jumlah literal paling sedikit

*Penyederhanaan-McCluskeyContoh :Sederhanakanlah fungsi Boolean dibawah ini :F = m(0, 1, 2, 8, 10, 11, 14, 15)

kelompokkan representasi biner untuk tiap minterm menurut jumlah digit 1

*Penyederhanaan-McCluskeyDari tabel konversi tersebut dapat dilihat bahwa jumlah digit adalah

*Penyederhanaan-McCluskey2. Kombinasikan minterm dari satu bagian dengan bagian lainnya jika mempunyai nilai bit yang sama dalam semua posisi kecuali satu posisi yang berbeda diganti dengan tanda -.

Misalbagian I : 0000 bagian II : 0001000-

*Penyederhanaan-McCluskey3. Kelompokkan hasil minterm tahap 2) seperti tahap 1) kemudian lakukan seperti pada tahap 2)

*Penyederhanaan-McCluskey4. Memilih Prime-ImplicantABC

*Penyederhanaan-McCluskey5. mencari prime-implicant, term yang menjadi calon yang terdapat dalam fungsi sederhana,ABC

*Penyederhanaan-McCluskey

F = A + B + C= wxy + xz + wy

Penyederhanaan-McCluskeySederhanakanlah fungsi Boolean F = m(0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13)

Jawab,*

Penyederhanaan-McCluskey*

Penyederhanaan-McCluskey*

*Penyederhanaan-McCluskeyABCDE

*Penyederhanaan-McCluskeyABCDE

*Penyederhanaan-McCluskey

f(w,x,y,z)= m(0, 2, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 13)= B + C + D + E= xyz + wxy + wz + xzBCDEA

**Maksudnya M1**a . a= idempotent*******Fungsi yg diekspresikan dlm SOP dan POS disebut Fungsi/bentuk Kanonik.

m = minterm ; M=maxterm

F(x,y,z) = 1 -> SOPF(x,y,z) = 0 -> POS*****Term= Bentuk StandarNilai=Bentuk Kanonik*Langkah utk mencari Bentuk Standar SOP -> lengkapi literal

Langkah utk mencari bentuk standar POS ->

Komplemenkan fungsi f() yg dlm SOP -> fKomplemenkan kembali fungsi f -> (f)Lengkapi literal

Setelah terbentuk bentuk standar, ubah ke kanonik dgn Lihat Tabel hal 17-18

***POS, bisa juga lsg lihat table yg nilainya 0 / selain minterm*Langkah : Lengkapi literalLihat tabel minterm***Fungsi di atas msh dlm bentuk SOP , terlihat dr tanda +

Cara membentuk ke POS :Ga harus di komplemen komplemen, bs dgn menggunakan teoremaLihat tabel maxterm*Fungsi di atas sdh dlm bentuk POS , terlihat dr pemisah perkalianJadi tinggl melengkapi literal terus lihat tabel MAxterm**Aljabar : dgn menggunakan teorema yg ada

*****************************Menentukan hasil bs lihat dr tahap 3*******