MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN - · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa...

11
STMIK STIKOM BALIKPAPAN 1 Firmansyah, S.Kom Logika Informatika MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN 1. Tema : Aljabar Boolean 2. Fokus Pembahasan Materi Pokok : 1. Aplikasi Aljabar Boole 2. Penyederhanaan Aljabar Boole 3. Penyederhanaan Peta Karnaugh 3. Tujuan Kegiatan Pembelajaran : 1. Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada komputasi digital modern. 2. Mahasiswa mampu melaksanakan matematika aljabar boole pada aplikasi menyederhanakan rangkaian logika 3. Mahasiswa mampu menggunakan karnough map untuk menyederhanakan rangkaian logika. B.URAIAN MATERI POKOK Aljabar boole adalah cabang ilmu Matematika yang diperlukan untuk mempelajari desain logika dari sebuah sistem digital. Aljabar Boole dikembangkan oleh George Boole tahun 1847 untuk memecahkan persoalan logika matematika. 1. APLIKASI ALJABAR BOOLEAN 1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network) Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup. Tiga bentuk gerbang paling sederhana: 1. a x b Output b hanya ada jika dan hanya jika x ditutup x 2. a x y b Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y ditutup xy

Transcript of MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN - · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa...

Page 1: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 1

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN

A. TEMA DAN TUJUAN KEGIATAN PEMBELAJARAN

1. Tema : Aljabar Boolean

2. Fokus

Pembahasan

Materi Pokok

: 1. Aplikasi Aljabar Boole

2. Penyederhanaan Aljabar Boole

3. Penyederhanaan Peta Karnaugh

3. Tujuan

Kegiatan

Pembelajaran

: 1. Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi

aljabar boole pada komputasi digital modern.

2. Mahasiswa mampu melaksanakan matematika aljabar

boole pada aplikasi menyederhanakan rangkaian

logika

3. Mahasiswa mampu menggunakan karnough map

untuk menyederhanakan rangkaian logika.

B. URAIAN MATERI POKOK

Aljabar boole adalah cabang ilmu Matematika yang diperlukan untuk

mempelajari desain logika dari sebuah sistem digital. Aljabar Boole dikembangkan

oleh George Boole tahun 1847 untuk memecahkan persoalan logika matematika.

1. APLIKASI ALJABAR BOOLEAN

1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)

Saklar: objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.

Tiga bentuk gerbang paling sederhana:

1. a x b

Output b hanya ada jika dan hanya jika x ditutup x

2. a x y b

Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y ditutup xy

Page 2: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 2

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

3. a x

c

b y

Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y ditutup x + y

2. Rangkaian Logika

Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter)

Gerbang turunan

Gerbang NAND Gerbang XOR

Gerbang NOR Gerbang XNOR

y

xxy

y

xx+ y x'x

x

y(xy)'

x

y(x+y)'

x

y+x y

x

y+(x y)'

Page 3: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 3

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

2. ALJABAR BOOLE

Hukum aljabar boole pada dasarnya tak jauh berbeda dengan aljabar biasa.

Contohnya pada kepemilikan sifat komutatif, assosiatif, dan distributif.

a. Sifat Komutatif :

A B A+B B+A A.B B.A

0 0 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0

1 0 1 1 0 0

1 1 1 1 1 1

b. Sifat Assosiatif

A B C B+C A+(B+C) A+B (A+B)+C B.C A.B.C A.B A.B.C

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0

0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0

1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

c. Sifat Distributif

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Page 4: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 4

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

Untuk persamaan distributif pertama dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

A B C B+C A.(B+C) A.B A.C A.B+A.C

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0 0

0 1 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 1 1 0 1 1

1 1 0 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1

Untuk persamaan distributif kedua dapat dilihat pada tabel berikut :

A B C D A+B C+D (A+B).(C+D) A.C A.D B.C B.D Y

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1

1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1

1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Sifat komutatif, assosiatif, dan distributif dapat dimiliki juga oleh aljabar biasa.

Hanya saja, pada aljabar boole menggunakan angka 1 dan 0 saja. Ada lagi

Page 5: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 5

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

beberapa aturan yang dimiliki aljabar boole. Kali ini, aturan atau kaidah aljabar boole

memiliki sifat khusus yang tidak dimiliki oleh aljabar biasa. Diantaranya sebagai

berikut :

Kaidah Khusus Aljabar Boole untuk Operasi Gerbang OR

Kaidah Pertama :

A 0 Y

0 0 0

1 0 1

Kaidah Kedua :

A 1 Y

0 1 1

1 1 1

Kaidah Ketiga :

A A Y

0 0 0

1 1 1

Kaidah Keempat :

A Y

1 0 1

0 1 1

Kaidah Khusus Aljabar Boole untuk Operasi Gerbang AND

Kaidah Pertama :

A 0 Y

0 0 0

1 0 0

Page 6: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 6

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

Kaidah Kedua :

A 1 Y

0 1 0

1 1 1

Kaidah Ketiga :

A A Y

0 0 0

1 1 1

Kaidah Keempat :

A Y

1 0 0

0 1 0

HUKUM DE MORGAN

Mari kita buktikan dengan tabel kebenaran berikut :

A B A+B

0 0 0 1 1 1 1

0 1 1 0 1 0 0

1 0 1 0 0 1 0

1 1 1 0 0 0 0

=

=

Page 7: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 7

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

Tabel kebenaran :

A B A.B

0 0 0 1 1 1 1

0 1 0 1 1 0 1

1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 0

Contoh Soal :

1. Diketahui persamaan aljabar Boole . Sederhanakanlah !

( )

3. Sederhanakan aljabar Boole berikut! ( )

( )

( )

3. PETA KARNAUGH (KARNAUGH MAP)

Peta Karnaugh adalah sebuah metode penyederhanaan secara grafis berupa

tabel kebenaran yang menunjukkan level keluaran dari persamaan Boole untuk

setiap kemungkinan masukkan variabel kombinasi yang dikehendaki. Setiap level

keluaran ditempatkan pada sel-sel dari peta karnaugh. Keluaran yang dikehendaki

ditandai dengan 1. Sisanya ditandai dengan 0. Banyak jumlah sel dalam peta

Page 8: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 8

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

B

B B

B

B

C

karnaugh mengikuti aturan biner, yaitu untuk 2 variabel diperlukan 22 = 4 sel. Jika 3

variabel diperlukan 23 = 8 sel.

Peta Karnaugh 2 Variabel

Untuk peta karnaugh 2 variabel, diperlukan 4 sel kotak dengan susunan sebagai

berikut.

Peta Karnaugh 3 Variabel

Untuk peta karnaugh 3 variabel, diperlukan 8 sel kotak dengan susunan sebagai

berikut.

Peta Karnaugh 4 Variabel

Untuk peta karnaugh 4 variabel, diperlukan 16 sel kotak dengan susunan sebagai

berikut.

A

A

C C

A

C

A

D D

Page 9: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 9

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

B B

B

B

Teknik-teknik Penyederhanaan Peta Karnaugh

1. Metode Penyederhanaan dengan Cara Mengelompokkan

a. Sepasang

0 0 0 0

0 0 1 1

Bilangan 1 yang pertama menyatakan sedangkan bilangan 1

yang kedua meyatakan . Dengan menggunakan peta karnaugh ini,

output dapat disederhanakan menjadi A.B.

b. Pasangan Kuad

Pengelompokkan dapat juga dilakukan sebanyak 4 sel yang terisi 1

yang terletak berdekatan, disebut dengan Quad atau Kuad. Dengan adanya

kuad berarti terhapuslah 2 variabel beserta komplemennya dari persamaan

aljabar Boole yang bersangkutan.

1 1 1 1

Dari peta karnaugh ouput disederhanakan menjadi

A

C C

A

A

D D

Page 10: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 10

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

B

B

B

B

1 1

1 1

Dari peta karnaugh ouput disederhanakan menjadi

2. Metode Penyederhanaan dengan Cara Menghapus Kelompok Berlebihan

(Redudant)

1

1 1

1

Persamaan jumlah hasil kalinya adalah

Pasangan yang ditengah merupakan pasangan kelebihan dan dapat dihapus

untuk mengasilkan peta yang lebih sederhana.

D D

A

A

D D

A

A

Page 11: MODUL 6 ALJABAR BOOLEAN -  · PDF fileMODUL 6 ALJABAR BOOLEAN A. TEMA DAN TUJUAN ... Mahasiswa mampu memahami penggunaan aplikasi aljabar boole pada ... Rangkaian Logika Gerbang

STMIK STIKOM BALIKPAPAN 11

Firmansyah, S.Kom Logika Informatika

B

B

1

1 1

1

Sehingga didapat

3. Metode Penyederhanaan dengan Cara Penggulungan (Rolling)

1

1

1 1

Dari tinjauan ini kuad pada gambar di atas memiliki kesamaan

D D

A

A

D D

A

A