Bab 3-Aljabar Boolean Dan Teknik Reduksi Bagian 1edit

ANDHI SETIAWAN, S.Pd

BAB 3BAB 3

ALJABAR BOOLEAN DAN TEKNIK REDUKSIALJABAR BOOLEAN DAN TEKNIK REDUKSI

GERBANG LOGIKAGERBANG LOGIKA

Dalam praktek, anda akan menjumpai kenyataan bahwa

gerbang-gerbang dasar seperti AND, OR, NAND, NOR, INVERT, XOR,

DAN XNOR tidak cukup untuk diterapkan pada sistem digital yang

kompleks. Artinya sebuah permasalahan sebenarnya tidak dapat

dipecahkan hanya dengan menggunakan satu gerbang AND saja, satu

gerbang OR saja ataupun gerbang-gerbang yang lain. Hal ini terjadi

mengingat variabel-variabel yang harus diperhitungkan dalam

memecahkan suatu permasalahan jumlahnya banyak dan kompleks.

Gerbang dasar dipakai sebagai building blok untuk gerbang logika

yang lebih kompleks yang diterapkan dengan menggunakan kombinasi

gerbang-gerbang tersebut. Kombinasi gerbang-gerbang dasar yang

membentuk suatu fungsi logika tertentu disebut juga sebagai logika

kombinasi.

Logika kombinasi merupakan suatu rangkaian digital yang

mempergunakan 2 atau lebih gerbang-gerbang logika. Kombinasi

beberapa gerbang logika dapat menjadi suatu rangkaian digital yang

sangat komplek. Pada dasarnya kompleksitas suatu rangkaian digital

dapat diserderhanakan sehingga rangkaian digital tersebut dapat

memanfaatkkan gerbang yang lebih sedikit.

Penyederhanaan rangkaian digital tersebut dikenal sebagai

teknik reduksi. Teknik Reduksi yang akan dibahas dalam bab ini antara

lain : Teknik reduksi menggunakan aljabar Bolean, Teknik reduksi

menggunakan teorema de morgan, dan teknik reduksi menggunakan

peta karnough.


Selain itu, sebelum membahas teknik reduksi lebih mendalam,

dalam bab ini akan dibahas konversi rangkaian digital menjadi suatu

persamaan logika dan konversi suatu persamaan logika menjadi suatu

rangkaian digital.

3.1 Rangkaian Digital dan Persamaan Digital

Dalam sub bab ini, kita akan mempelajari konversi rangkaian

digital menjadi suatu persamaan logika dan konversi suatu persamaan

logika menjadi suatu rangkaian digital. Sebagai dasar menyusun dan

menyederhanakan rangkaian.

Suatu rangkaian digital sebenarnya merupakan realisasi sistem

yang bekerja secara digital, sistem digital secara sederhana dapat

dinyatakan sebagai suatu sistem ON/OFF yaitu sistem yang bekerja

dengan 2 kondisi, yaitu HIDUP atau MATI.

Contoh Soal 3-1:

Suatu sistem alarm rumah, mempunyai sistem kerja sebagai berikut :

Sistem alarm (AL) akan aktif bila:

Jika di dalam rumah ada asap (A) dan suhu naik (S) dari kondisi suhu

rata-rata. Asap di dalam rumah dideteksi oleh sensor asap, sedangkan

suhu dideteksi oleh sensor suhu.

Atau

Jika Sistem kunci rumah aktif (K) dan ada jendela yang terbuka (J).

Penyelesaian:

Dengan mengingat pembahasan simbol dalam bab 2, maka kondisi di

atas dapat diterjemahkan sebagai berikut ;

Kondisi 1 : ada asap (A) DAN suhu naik (S) A . S

Kondisi 2 : Kunci aktif (K) DAN jendela terbuka (J) K . J

Sistem alarm aktif (AL) jika kondisi 1 ATAU kondisi 2 kondisi 1 +

kondisi 2


Jadi AL = kondisi 1 + kondisi 2

AL = A . S + K . J

Jadi pernyataan di atas dapat diterjemahkan menjadi persamaan AL =

A . S + K . J

Persamaan di atas merupakan rangkaian sederhana yang

memanfaatkan 2 gerbang AND dan 1 gerbang OR. Persamaan di atas

dapat digambarkan menjadi :

Gambar 3.1 Rangkaian gerbang untuk penyelesaian contoh 1

3.2 Aljabar Boolean

Salah satu teori dasar teknik reduksi adalah aljabar Boolean.

Seperti halnya matematika aljabar, aljabar boolean mempunyai

hukum-hukum dan aturan-aturan. Dalam aljabar Boolean ada 3 hukum

dan 10 aturan yang digunakan.

3.2.1 Hukum Aljabar Boolean

Hukum aljabar Boolean antara lain :

1. Hukum Komutatif

Pada perkalian

A . B = B . A

A.B.C = B.A. C

A

B

C

ABCX

B

A

C

BACX


=

Gambar 3.2 Ilustrasi implementasi hukum komutatif pada perkalian

Pada penjumlahan

A + B = B + A

=

Gambar 3.3 Ilustrasi implementasi hukum komutatif pada penjumlahan

Urutan variabel yang dimasukkan ke gerbang AND atau gerbang

OR tidak masalah. Gerbang akan mengeluarkan level logika yang

sama meskipun urutan variabel inputnya diubah-ubah.

2. Hukum Assosiatif

Pada perkalian

A . ( B . C ) = ( A . B ) . C

=

Gambar 3.4 Ilustrasi implementasi hukum Asosiatif pada perkalian

Pada penjumlahan

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

A

BBAX

B

AABX

A

B

C

)(BCAX

CABX )(

A

B

C

A

B

C

)( CBAX

CBAX )(

A

B

C


=

Gambar 3.5 Ilustrasi implementasi hukum Asosiatif pada penjumlahan

Urutan pengelompokan beberapa variabel yang diORkan atau

diANDkan tidak masalah. Gerbang akan mengeluarkan level logika

yang sama meskipun urutan pengelompokan tersebut diubah-ubah.

3. Hukum Distributif

Distributif 1

A(B+C) = AB + A C

=

Gambar 3.6 Ilustrasi implementasi hukum distributif 1

Distributif 2

( A + B ) . ( C + D ) = A . C + A . D + B . C + B . D

A

B

C

)( CBAX

A

B

C

AB

AC

ACABX

A

C

A

D

B

C

B

D

X

BDBCADACX

B

D

BA

DC

X

C

))(( DCBAX

A


=

Gambar 3.7 Ilustrasi implementasi hukum distributif 1

3.2.2 Aturan – aturan Aljabar Boolean

Aturan- aturan dalam aljabar Boolean antara lain:

1. A . 0 = 0 (sinyal apapun yang diANDkan dengan 0 hasilnya = 0)

Gambar 3.8 Ilustrasi aturan 1 aljabar Boolean

2. A . 1 = A (sinyal apapun yang diANDkan dengan 1 hasilnya =

sinyal itu sendiri).


3. A+0=A (sinyal apapun yang diORkan dengan 0 hasilnya =


A 0 X0 0 01 0 0

A 1 X0 1 01 1 1

A 0 X0 0 01 0 1

A

000. AX

X = 0

X = A

A

0AAX 0 X = A



4. A+1=1 (sinyal apapun yang diORkan

dengan 1 hasilnya = 1)


5. A .A = A (sinyal apapun yang diANDkan

dengan dirinya sendiri hasilnya = sinyal itu sendiri)


6. A+A=A (sinyal apapun yang diORkan

dengan dirinya sendiri, hasilnya = sinyal itu

sendiri)


7. . =0 (sinyal apapun yang diANDkan

dengan komplemennya hasilnya = 0)


8. + =1 (sinyal apapun yang diORkan

dengan komplemennya hasilnya = 1).

A 1 X0 1 11 1 1

X0 0 01 1 1

A A X0 0 01 1 1

A X0 1 01 0 0

A X0 1 11 0 1

X = A

0. AAXX = 0

A

111AX X = 1

A

AAAAX

X = A

A

A1 AAX



9. = (sinyal apapun yang dikomplemenkan dua kali hasilnya =



10. a. =

b. =

jika dijumpai suatu ekspresi Boolean seperti ,

ekspresi tersebut dapat diubah atau disederhanakan menjadi

. Demikian juga jika dijumpai ekspresi , ekspresi

tersebut dapat diubah atau disederhanakan menjadi .

Tabel 3.1 membuktikan kebenaran teori tersebut.

Tabel 3.1 Tabel kebenaran untuk membuktikan aturan 10

aljabar Boolean

0 0 0 0 0 0 1 10 1 1 1 0 1 1 11 0 1 1 1 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1

Contoh soal 3-2:

Dengan menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan rangkaian

logika seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.17.

A X0 1 0 01 0 1 1

X = 1

X = A


Gambar 3.17 Rangkaian logika untuk contoh soal 3-2

Penyelesaian:

Persamaan boolean rangkaian logika tersebut adalah

Untuk menyederhanakan, pertama terapkan hukum ke 3 Aljabar

boolean [ = ]:

Terapkan aturan 5 aljabar boolean

Faktorkan berdasarkan hukum ke-1 dan ke-2 aljabar boolean:

Terapkan aturan 4 aljabar boolean :


Dengan demikian hasil penyederhanaan akhir persamaan boolean

rangkaian tersebut adalah:


Rangkaian gerbang logika setelah penyederhanaan tersebut

ditunjukkan dalam Gambar 3.18

Gambar 3.18. Hasil Penyederhanaan gerbang contoh soal 3-2

Contoh soal 3-3:

Dengan menggunakan aljabar Boolean, sederhanakan rangkaian logika

seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.19.

Gambar 3.19 Rangkaian logika untuk contoh soal 3-3

Penyelesaian:

Persamaan boolean rangkaian logika tersebut adalah

A

B

C

B

BA

BC

BBA )(

X


Untuk menyederhanakan, pertama terapkan hukum ke 3 Aljabar

boolean [ = ]:

Terapkan aturan 7 aljabar boolean


Faktorkan berdasarkan hukum ke-1 dan ke-2 aljabar boolean:



Terapkan aturan 10 (b) aljabar boolean :

Dengan demikian hasil penyederhanaan akhir persamaan boolean

rangkaian tersebut adalah:

Rangkaian gerbang logika setelah penyederhanaan tersebut

ditunjukkan dalam Gambar 3.20

Gambar 3.20. Hasil Penyederhanaan gerbang contoh soal 3-3

3.3 Teorema De Morgan


Pada bagian sebelumnya, kita masih belum menggunakan

gerbang gerbang-gerbang NAND dan NOR dalam rangkaian logika

yang kita sederhanakan. Untuk menyederhanakan rangkaian yang

mengandung gerbang NAND dan NOR, kita membutuhkan teorema

yang dikembangkan oleh ahli matematika yang bernama Augustus De

Morgan. Teorema ini memungkinkan kita untuk mengubah ekspresi

boolean yang mempunyai dua atau lebih variabel yang terinvers

bersama-sama dalam suatu gerbang logika menjadi variabel yang

terinvers tunggal. Lebih jelasnya teorema De Morgan dituliskan

sebagai berikut:

Untuk tiga atau lebih variabel, berlaku:

Sederhananya, untuk menggunakan teorema tersebut, pisahkan tanda

inversi yang melingkupi semua variabel, kemudian jangan lupa ubah

ekspresi AND menjadi OR atau sebaliknya ekspresi OR menjadi

ekspresi AND.

Untuk mempermudah pemahaman anda terhadap teorema

tersebut, perhatikanlah penerapan teorema tersebut pada gerbang

NAND yang akan dipaparkan berikut. Seperti ditunjukkan dalam

Gambar 3.21, untuk menerapkan teorema De Morgan pada gerbang

NAND, pertama-tama pisahkan tanda inversi yang berada di atas

ekpresi , kemudian ubahlah ekpresi AND menjadi ekspresi OR.

Persamaan yang baru akan menjadi . Perhatikan bahwa

lingkaran kecil (tanda inversi) yang digunakan pada gerbang OR


mewakili gerbang inverter. Dengan melihat tabel kebenaran kedua

persamaan tersebut, dapat dibuktikan bahwa kedua persamaan

tersebut menghasilkan output yang sama.

=0 0 1 0 0 10 1 1 0 1 11 0 1 1 0 11 1 0 1 1 0

Gambar 3.21 Penerapan teorema De Morgan pada gerbang NAND

Dari Gambar 3.21 dapat diketahui juga bahwa sebuah gerbang

AND yang outputnya diinvert (gerbang NAND) adalah sama dengan

gerbang OR yang masing-masing inputnya diinvert, demikian pula

sebaliknya. Dengan demikian, gerbang OR yang masing-masing

inputnya diinvert adalah lambang lain dari gerbang NAND.

Dengan menerapkan teorema De Morgan pada gerbang NOR,

kita peroleh dua buah tabel kebenaran identik seperti ditunjukkan

dalam Gambar 3.22. Dari gambar tersebut dapat diperoleh kesimpulan

bahwa sebuah gerbang NOR dapat digantikan oleh sebuah gerbang

AND yang masing-masing inputnya diinvert. Sebuah gerbang AND

yang masing-masing inputnya diinvert adalah lambang lain dari

gerbang NOR.

=0 0 1 0 0 10 1 0 0 1 01 0 0 1 0 01 1 0 1 1 0

A

BBAX

A

BBAX


Gambar 3.22 Penerapan teorema De Morgan pada gerbang NOR

Contoh soal 3-4

Tulislah persamaan boolean untuk rangkaian yang ditunjukkan dalam

Gambar 3.23. Gunakan Teorema De Morgan dan aljabar boolean untuk

menyederhanakan persamaan tersebut. Gambar rangkaian hasil

penyederhanaan tersebut.

Gambar 3.23 Rangkaian untuk contoh soal 3-4

Penyelesaian:

Persamaan Boolean di X adalah:

Penerapan teorema De Morgan menghasilkan:

(Penggunaan tanda kurung dimaksudkan untuk mengelompokkan

gerbang yang sama)

Dengan menggunakan aturan aljabar Boolean diperoleh:


Hasil penyederhanaan akhir adalah:

Rangkaian hasil penyederhanaan ditunjukkan dalam Gambar 3.24

Gambar 3.24 Rangkaian hasil penyederhanaan contoh soal 3-4

Ingat kembali penerapan teorema De Morgan dari Gambar 3.22 bahwa

sebuah gerbang AND dengan masing-masing inputnya diinvert sama

dengan sebuah gerbang NOR. Oleh karena itu penyelesaian yang sama

untuk contoh soal 3-4 dapat juga digambarkan sebagai sebuah

gerbang NOR dengan B dan C sebagai input seperti ditunjukkan dalam

Gambar 3.25

=

Gambar 3.25 Rangkaian yang setara untuk penyelesaian contoh soal 3-4

B

CCBX

B

CCBCBX

Bab 3-Aljabar Boolean Dan Teknik Reduksi Bagian 1edit

Documents

Transcript of Bab 3-Aljabar Boolean Dan Teknik Reduksi Bagian 1edit