ALJABAR BOOLEAN II
description
Transcript of ALJABAR BOOLEAN II
ALJABAR BOOLEAN II
Sistem digitalSistem digital
TEKNIK INFORMATIKATEKNIK INFORMATIKA
UNIVERSITAS UNIVERSITAS TRUNOJOYOTRUNOJOYO
Slamet Dodik Eko Setyawan, S.KomSlamet Dodik Eko Setyawan, S.Kom
Oktober 2010Oktober 2010 22
PembahasanPembahasan Fungsi BooleanFungsi Boolean Komplemen FungsiKomplemen Fungsi Bentuk Kanonik Bentuk Kanonik
SOPSOP POSPOS
Aplikasi Aljabar BooleanAplikasi Aljabar Boolean
Oktober 2010Oktober 2010 33
Fungsi BooleanFungsi Boolean Fungsi BooleanFungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) (disebut juga fungsi biner)
adalah pemetaan dari adalah pemetaan dari BnBn ke ke BB melalui melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagaisebagai
ff : : BnBn BByang dalam hal ini yang dalam hal ini BnBn adalah himpunan yang adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-beranggotakan pasangan terurut ganda-nn ((ordered n-tupleordered n-tuple) di dalam daerah asal ) di dalam daerah asal BB. .
Setiap ekspresi Boolean tidak lain Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean. merupakan fungsi Boolean.
Oktober 2010Oktober 2010 44
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
ff((xx, , yy, , zz) = ) = xyz xyz + + xx’’yy + + yy’’zz
Fungsi Fungsi ff memetakan nilai-nilai pasangan memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3 (terurut ganda-3 (xx, , yy, , zz) ke himpunan {0, 1}.) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti xx = 1, = 1, yy = 0, = 0, dan dan zz = 1 = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 0 1 + 1’ 1 + 1’ 0 + 0’ 0 + 0’ 1 1 = 0 + 0 + 1 = 1 . = 0 + 0 + 1 = 1 .
Oktober 2010Oktober 2010 55
ff((xx) = ) = xx ff((xx, , yy) = ) = x x ’’yy + + xy xy ’+ ’+ y y ’’ ff((xx, , yy) = ) = x x ’’ y y ’’ ff((xx, , yy) = () = (xx + + yy)’ )’ ff((xx, , yy, , zz) = ) = xyz xyz ’ ’
Contoh-contoh fungsi Boolean yang Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:lain:
Oktober 2010Oktober 2010 66
Setiap peubah di dalam fungsi Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut komplemennya, disebut literalliteral. .
Contoh: Fungsi Contoh: Fungsi hh((xx, , yy, , zz) = ) = xyzxyz’ pada ’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu literal, yaitu xx, y, dan , y, dan zz’. ’.
Oktober 2010Oktober 2010 77
Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Contoh.
Penyelesaian: x y z f(x, y, z) = xy z’
00001111
00110011
01010101
00000010
Oktober 2010Oktober 2010 88
Cara pertama: menggunakan hukum Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, peubah, xx1 dan 1 dan xx2, adalah 2, adalah
Komplemen Fungsi
Oktober 2010Oktober 2010 99
Misalkan Misalkan ff((xx, , yy, , zz) = ) = xx((yy’’zz’ + ’ + yzyz), maka), maka ff ’( ’(xx, , yy, , zz) = () = (xx((yy’’zz’ + ’ + yzyz))’))’ = = xx’ + (’ + (yy’’zz’ + ’ + yzyz)’)’ = = xx’ + (’ + (yy’’zz’)’ (’)’ (yzyz)’)’ = = xx’ + (’ + (yy + + zz) () (yy’ + ’ + zz’)’)
Contoh.
Oktober 2010Oktober 2010 1010
Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan merepresentasikan ff, lalu komplemenkan , lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut. setiap literal di dalam dual tersebut.
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), makadual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)
Oktober 2010Oktober 2010 1111
Bentuk KanonikBentuk Kanonik Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau
SOP)Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau
POS)
Oktober 2010Oktober 2010 1212
Contoh Contoh ::1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP Setiap suku (term) disebut minterm2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) (x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
Oktober 2010Oktober 2010 1313
Minterm Maxterm
x y Suku Lambang Suku Lambang
0011
0101
x’y’x’yxy’x y
m0
m1
m2
m3
x + yx + y’x’ + yx’ + y’
M0
M1
M2
M3
Oktober 2010Oktober 2010 1414
Minterm Maxterm
x y z Suku Lambang Suku Lambang
00001111
00110011
01010101
x’y’z’x’y’zx‘y z’x’y zx y’z’x y’zx y z’x y z
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x + y + z x + y + z’x + y’+zx + y’+z’x’+ y + zx’+ y + z’x’+ y’+ zx’+ y’+ z’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Oktober 2010Oktober 2010 1515
Contoh Soal:Contoh Soal: Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini
dalam bentuk kanonik SOP dan POS.dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
x y z f(x, y, z)
00001111
00110011
01010101
01001001
Oktober 2010Oktober 2010 1616
PenyelesaianPenyelesaian::
SOPSOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalahadalah
ff((xx, , yy, , zz) = ) = xx’’yy’’zz + + xyxy’’zz’ + ’ + xyzxyz
atau (dengan menggunakan lambang atau (dengan menggunakan lambang mintermminterm),),
ff((xx, , yy, , zz) = ) = mm1 + 1 + mm4 + 4 + mm7 = 7 = (1, 4, (1, 4, 7)7)
Oktober 2010Oktober 2010 1717
Contoh:Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.Penyelesaian:(a) SOPx = x(y + y’) = xy + xy’ = xy (z + z’) + xy’(z + z’) = xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ y’z = y’z (x + x’) = xy’z + x’y’zJadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z = x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)
Oktober 2010Oktober 2010 1818
(b) POS f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z) x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’) x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z) Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ +
z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’) atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)
Oktober 2010Oktober 2010 1919
Aplikasi Aljabar BooleanAplikasi Aljabar BooleanNyatakan fungsi Nyatakan fungsi ff((xx, , yy, , zz) = ) = xyxy + + xx’’yy ke ke dalam rangkaian logika.dalam rangkaian logika.
Jawab: (a) Cara pertama
x'
x
yxy
x
yx'y
xy+x'y
Oktober 2010Oktober 2010 2020
(b) Cara kedua
x '
xyxy
x 'y
xy+x 'y
Oktober 2010Oktober 2010 2121
x'
xy
x y
x'y
xy+x'y
(c) Cara ketiga
Oktober 2010Oktober 2010 2222
Penyederhanaan Fungsi Penyederhanaan Fungsi BooleanBoolean
Penyederhanaan Secara Aljabar Penyederhanaan Secara Aljabar Contoh:
f(x, y) = x + x’y = (x + x’)(x + y) = 1 (x + y ) = x + y
Oktober 2010Oktober 2010 2323
f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’ = x’z(y’ + y) + xy’ = x’z + xz’
f(x,y,z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz = xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
Oktober 2010Oktober 2010 2424
TUGASTUGAS
Oktober 2010Oktober 2010 2525
Daftar PustakaDaftar Pustaka