Materi 3 - Aljabar Boolean

24
Aljabar Boolean

Transcript of Materi 3 - Aljabar Boolean

Page 1: Materi 3 - Aljabar Boolean

Aljabar Boolean

Page 2: Materi 3 - Aljabar Boolean

• Literal: sebuah variabel atau komplemennya – X, X

• Ekpresi: literals dikombinasikan dengan AND, OR, tanda kurung, komplementasi

• Macam notasi AND : dengan menggunakan titik atau bisa juga ^

• Macam notasi OR : dengan menggunakan tanda + atau bisa juga v

– X+Y– P Q R– A + B C

• Persamaan: variabel = ekspresi– P = (A B C) C

Definisi: Ekspresi Boolean

Page 3: Materi 3 - Aljabar Boolean

Tabel Kebenaran

XX YY X.YX.Y

00 00 00

00 11 00

11 00 00

11 11 11

XX YY X+X+YY

00 00 00

00 11 11

11 00 11

11 11 11

XX X’X’

00 11

11 00

Page 4: Materi 3 - Aljabar Boolean

4

2.1 Teorema Boolean

Page 5: Materi 3 - Aljabar Boolean

Aksioma• Aksioma

– kumpulan definisi dasar (A1 - A5, A1’ - A5’) minimal yang diasumsikan benar dan secara menyeluruh mendefinisikan aljabar boolean

– Dapat digunakan untuk membuktikan teorema aljabar boolean lainnya.

Page 6: Materi 3 - Aljabar Boolean

6

Aksioma

(A1(A1))

X=0, if XX=0, if X11(A1’(A1’))

X=1, if XX=1, if X00

(A2(A2))

If X=0, then If X=0, then X’=1X’=1

(A2’(A2’))

If X=1, then X’=0If X=1, then X’=0

(A3(A3))

0 0 · 0 = 0· 0 = 0 (A3’(A3’))

1 + 1 = 11 + 1 = 1

(A4(A4))

1 1 · 1 = 1· 1 = 1 (A4’(A4’))

0 + 0 = 00 + 0 = 0

(A5(A5))

0 0 · 1 = · 1 = 1 1 · 0 = 0· 0 = 0 (A5’(A5’))

1 + 0 = 0 + 1 = 11 + 0 = 0 + 1 = 1

Page 7: Materi 3 - Aljabar Boolean

Teorema variabel tunggal

Postulate 2 Postulate 2 (P1)(P1)

X + 0 = X + 0 = xx

P1P1’’

X . 1 = XX . 1 = X

Postulate 5 Postulate 5 (P5)(P5)

X + X’ = X + X’ = 11

P5P5’’

X . X’ = 0X . X’ = 0

Theorem 1 Theorem 1 (T1)(T1)

X + X = XX + X = X T1T1’’

X . X = XX . X = X

Theorem 2 Theorem 2 (T2)(T2)

X + 1 = 1X + 1 = 1 T2T2’’

X . 0 = 0X . 0 = 0

Theorem 3 Theorem 3 (T3)(T3)

(X’)’ = X(X’)’ = X

Page 8: Materi 3 - Aljabar Boolean

8

Contoh

• Dibuktikan melalui induksi sempurna – Karena sebuah variabel boolean hanya dapat mempunyai nilai

0 dan 1, kita dapat membuktikan sebuah teorema dengan melibatkan sebuah variabel tunggal X melalui peletakan sederhana:

X = 0 atau X =1

• Contoh: (P1) X + 0 = X– X=0 : 0 + 0 = 0 benar menurut aksioma A4’– X=1 : 1 + 0 = 1 benar menurut aksioma A5’

Page 9: Materi 3 - Aljabar Boolean

Teorema dua dan tiga variabel

P3P3 X+Y = Y+XX+Y = Y+X P3’P3’ X . Y = Y. XX . Y = Y. X KOMUTATIFKOMUTATIF

T4T4 (X+Y)+Z = X+(X+Y)+Z = X+(Y+Z)(Y+Z)

T4’ T4’ (X.Y).Z = X.(Y.Z)(X.Y).Z = X.(Y.Z) ASOSIATIFASOSIATIF

P4P4 X.Y+X.Z=X.(Y+Z)X.Y+X.Z=X.(Y+Z) P4’P4’ (X+Y).(X+Z)=X+Y.Z(X+Y).(X+Z)=X+Y.Z DISTRIBUTIDISTRIBUTIFF

T5T5 (X+Y)’=X’.Y’(X+Y)’=X’.Y’ T5’T5’ (X.Y)’=X’+Y’(X.Y)’=X’+Y’ DE DE MORGANMORGAN

T6T6 X+X.Y=XX+X.Y=X T6’T6’ X.(X+Y)=XX.(X+Y)=X ABSORPSIABSORPSI

Page 10: Materi 3 - Aljabar Boolean

Teorema P4(Distributif)

(P4) X · Y + X · Z = X · (Y + Z)(P4’) (X + Y) · (X + Z) = X + Y · Z

• P4 : penjumlahan dari perkalian (sum of products (SOP))

• P4’ : Perkalian dari penjumlahan (product of sums (POS))

Page 11: Materi 3 - Aljabar Boolean

11

SOP dan POS

(bentuk SOP)

V · W · Y + V · W · Z + V · X · Y + V · X · Z (bentuk POS)

(V + Y) · (V + Z) · (W + Y) · (W + Z) · (X + Y)

Page 12: Materi 3 - Aljabar Boolean

Logical Gate

Page 13: Materi 3 - Aljabar Boolean

Contoh Teorema DeMorgan: NAND (Negated AND or NOT AND)

• (X · Y)’ = (X’ + Y’)– (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND

pada ekspresi gerbang logika

Page 14: Materi 3 - Aljabar Boolean

Contoh Teorema DeMorgan: NAND (Negated AND or NOT AND)

• (X · Y)’ = (X’ + Y’)– (X · Y)’ dirujuk umumnya sebagai gerbang NAND

pada ekspresi gerbang logika

Page 15: Materi 3 - Aljabar Boolean

Contoh Teorema DeMorgan: NOR

• (X + Y)’ = (X’ · Y’)– (X + Y)’ dirujuk sebagai gerbang NOR pada

ekspresi gerbang logika

Page 16: Materi 3 - Aljabar Boolean

16

2.2 Fungsi Boolean

Page 17: Materi 3 - Aljabar Boolean

17

Fungsi Boolean

• Adalah sebuah ekspresi yang terbentuk dari variabel, OR, AND, NOT, tanda kurung dan tanda persamaan.

• Contoh :F = X.Y.Z’

Fungsi F akan bernilai 1 jika X=1, Y=1 dan Z’=0.

Page 18: Materi 3 - Aljabar Boolean

18

Contoh

F1 = X.Y.Z’F2 = X + Y’ZF3 = X’.Y’.Z + X’.Y.Z + X.Y’F4 = X.Y’ + X’Z

XX YY ZZ FF11

FF22

FF33

FF44

00 00 00 00 00 00 00

00 00 11 00 11 11 11

00 11 00 00 00 00 00

00 11 11 00 00 11 11

11 00 00 00 11 11 11

11 00 11 00 11 11 11

11 11 00 11 11 00 00

11 11 11 00 11 00 00

Page 19: Materi 3 - Aljabar Boolean

19

Komplemen Fungsi Boolean

• Pada tabel kebenaran, tukar nilai 0 dengan 1 dan sebaliknya

• Cara cepat: komplemen fungsi dapat ditemukan melalui pertukaran “+” dan “.” serta pengkomplemenan seluruh variabel

XX YY ZZ F1F1’’

F2F2’’

F3F3’’

F4F4’’

00 00 00 11 11 11 11

00 00 11 11 00 00 00

00 11 00 11 11 11 11

00 11 11 11 11 00 00

11 00 00 11 00 00 00

11 00 11 11 00 00 00

11 11 00 00 00 11 11

11 11 11 11 00 11 11

Page 20: Materi 3 - Aljabar Boolean

Manipulasi ekspresi Boolean

• Bagaimana menyatakan (A · B + C) dalam bentuk lain?

• Gunakan teorema DeMorgan …– A · B + C = ( ( A · B + C )’ )’– = ( ( A · B )’ · C’ )’– = ( ( A’ + B’ ) · C’ )’( A · B + C )’ = ( A’ + B’ ) · C’

• Sederhanakan X’Y’Z+X’YZ+XY’ ?

Page 21: Materi 3 - Aljabar Boolean

LATIHAN1. Tunjukkan dengan menggunakan tabel kebenaran hukum

DeMorgan’s(XYZ)’ = X’ + Y’ +Z’

2. Sederhanakan ekspresi boolean berikut :a. x’y’ + xy + x’yb. x’yz + xzc. ( xy’ + a’d )( ab’ + cd’ )

Page 22: Materi 3 - Aljabar Boolean

Latihan

Page 23: Materi 3 - Aljabar Boolean

Tugas 2

• Cari Materi tentang Canonical dan Standard Forms dan kerjakan soal ini:

Ubahlah ekspresi berikut ke dalam bentuk sum of minterms dan product of maxtermsa. F(A, B, C, D) = ∑ (0, 2, 6, 11, 13, 14)b. ( AB + C )( B + C’D )

Page 24: Materi 3 - Aljabar Boolean

Format Pengiriman

• Pengiriman tugas ke email yang disediakan• Dokumen : PDF / Doc• SUBJECT EMAIL : TUGAS 2 SISTEM DIGITAL• Nama file : tugas 2 _ NPM.doc /pdf