Aljabar BooleanBAB 4 · Pada Aljabar Boolean nilai variabel boolean adalah 0 dan 1, B = {0,1}....

Aljabar Boolean 1. PENDAHULUAN

Aljabar Boolean merupakan lanjutan dari matakuliah logika matematika. Definisi aljabar

boolean adalah suatu jenis manipulasi nilai-nilai logika secara aljabar. Contoh

pengaplikasian aljabar boolean adalah pemikiran logika pada saat anda ingin membuat

suatu aplikasi komputer.

2. HUKUM-HUKUM OPERASIONAL

Secara umum aljabar boolean didefinisikan sebagai himpunan yang terdiri dari himpunan

boolean (0,1) dan mengandung operasi OR,AND dan NOT. Yang harus anda ketahui sebelum

memulai materi ini adalah :

NO OPERASI TANDA CONTOH

1 OR + x+y

2 AND . x.y

3 NOT ‚ atau - x‘ atau x

Hukum-hukum operasional :

Matematika Diskrit Oleh . Dwi Nurul Huda, ST

1

1. Hukum Identitas : a. x + 0 = x b. x . 1 = x

2. Hukum Penyerapan : a. x+(x.y) = x b. x.(x+y) = x

3. Hukum Involusi : (x‘)‘ = x

4. Hukum Assosiatif : a. x+(y+z) = (x+y)+z b. x.(y.z) = (x.y).z

5. Hukum De Morgan : a. (x +y)‘ = x‘.y‘ b. (x . y)‘ = x‘+y‘

6. Hukum Komutatif : a. x+y = y+x b. x.y = y.x

7. Hukum Komplemen : a. x + x‘ = 1 b. x . x‘ = 0

8. Hukum Distributuf : a. x+(y.z) = (x+y).(x+z) b. x.(y+z) = (x.y)+(x.z)

9. Hukum Idempoten : a. x + x = x b. x . x = x

10. Hukum Dominasi : a. x.0 = 0 b. x+1=1

BAB 4

3. FUNGSI BOOLEAN

Pada Aljabar Boolean nilai variabel boolean adalah 0 dan 1, B = {0,1}. Dimana dalam aljabar

boolean terdapat beberapa operator didalamnya yaitu :

(1) Operator biner ( OR dan AND)

(2) Operator uner ( komplemen/NOT)

Setiap peubah Boolean termasuk komplemennya disebut sebagai literal. Contoh fungsi

Boolean : f(x,y) = x’y’

4. FUNGSI KOMPLEMEN

Fungsi komplemen dari suatu fungsi f, yaitu f’. Fungsi komplemen dapat dicari dengan cara :

(1) Menggunakan Hukum De Morgan (lihat pada hukum-hukum operasional)

Ex. f(x,y,z) = xyz+x’yz‘

f’(x,y,z) = (xyz+x’yz‘)’

f’(x,y,z) = (x’+y+z’).(x+y’+z)

(2) Menggunakan prinsip dualitas, dengan mendualitaskan f terlebih dahulu kemudian

komplemenkan tiap literalnya.

Ex. f(x,y,z) = xyz+x’yz‘

Mendualitaskan nilai f

f’(x,y,z) = (x+y+z).(x’+y+z‘)

mengkomplemenkan seluruh literalnya

f’(x,y,z) = (x’+y’+z’).(x+y’+z)

5. BENTUK KANONIK

Bentuk kanonik digunakan untuk menyederhanakan suatu fungsi boolean. Bentuk Kanonik

dapat juga di gunakan untuk menentukan apakah dua ekspresi merupakan fungsi yang

sama. Suatu fungsi Boolean yang dinyatakan tabel kebenaran dapat dikonversi menjadi

bentuk aljabar.


2

Bentuk kanonik terbagi menjadi dua macam, yaitu :

1. SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali), dibentuk dari dua atau lebih fungsi

AND yang di OR kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut bisa

terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam SOP disebut sebagai minterm.

Contoh : f (x, y, z) = (x’y’z) + (x’y’z’) + (xyz)

2. POS (Product Of Sum – perkalian dari hasil jumlah), dibentuk dari dua atau lebih fungsi

OR yang di AND kan di dalam tanda kurung, dan di dalam tanda kurung tersebut bisa

terdiri dari dua atau lebih variable. Tiap suku dalam SOP disebut sebagai maxterm.

Contoh : f (x, y, z) = (x’+y’+z)( x’+y’+z’)(x+y+z)

Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS ((Product

Of Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk dua buah variable:

Berikut contoh table SOP (Sum Of Product – Penjumlahan dari hasil kali) dan POS ((Product Of

Sum – perkalian dari hasil jumlah) untuk tiga buah variable:


3

X

Y

Minterm Maxterm

Suku Lambang Suku Lambang

0 0 x’y’ mo x y Mo

0 1 x’y m1 x y’ M1

1 0 xy’ m2 x’y M2

1 1 xy m3 x’y’ M3

1. Diberikan sebuah fungsi boolean berikut :

f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

buat kedalam bentuk kanonik fungsi diatas tersebut.

Penyelesaian :

Langkah 1 : buat tabel kebenarannya


4

X

y

z

Minterm Maxterm

Suku Lambang Suku Lambang

0 0 0 x’y’z’ mo x+y+z Mo

0 0 1 x’y’z m1 x+y+z’ M1

0 1 0 x’yz’ m2 x+y’+z M2

0 1 1 x’yz m3 x+y’+z’ M3

1 0 0 xy’z’ m4 x’+y+z M4

1 0 1 xy’z m5 x’+y+z’ M5

1 1 0 xyz’ m6 x’+y’+z M6

1 1 1 xyz m7 x’+y’+z’ M7

x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

CONTOH SOAL :

Langkah 2 : tentukan SOP dan POS nya


5

x y z x’y’z’ xy‘z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

SOP

SOP

POS

POS

POS

POS

POS

POS

CARA MENCARI SOP :

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1. Contoh

pada table tersebut ada pada :

x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 0 1

0 1 1 1

000 dan 011, maka :

f(x, y, z) = (x’y’z’) + (x’yz)

atau (dengan menggunakan lambang minterm) :

f(x, y, z) = m0 + m5 = (0,5)

mo

M7

M6

M3

M4

m5

M2

M1

Lihat yang hasilnya

bernilai 1

MENYATAKAN SOP & POS DARI FUNGSI BOOLEAN

Untuk menyatakan fungsi boolean SOP atupun POS dapat dilakukan dengan cara melengkapi

literalnya. Terdapat beberapa hukum aljabar boolean yang digunakan dalam melengkapi

literalnya.

1. Hukum Identitas :

(i) a + 0 = a

(ii) a . 1=a

2. Hukum Distributif :

(i) a + (b . c) = (a+b) . (a+c)

(ii) a . (b + c) = a . b + a. C

3. Hukum Komplemen :

(i) a + a‘ = 1

(ii) a . a = 0

4. Hukum De Morgan :

(i) (a + b)‘ = a‘. c‘

(i) (a . b)‘ = a‘ + b‘


6

CARA MENCARI POS :

Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0. Contoh

pada table tersebut ada pada :

x y z f(x,y,z) = (x’y’z‘) + xy‘z

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

001, 010, 100, 101, 110 dan 111, maka :

f(x, y, z) = (x+y+z’) + (x+y’+z) + (x’+y+z) + (x’+y+z’) + (x’+y’+z) + (x’+y’+z’)

atau (dengan menggunakan lambang minterm) :

f(x, y, z) = M1 M2 M3 M4 M6 M7 = π (1,2,3,4,6,7)

Lihat yang

hasilnya bernilai 0

CONTOH

2. Nyatakan fungsi boolean f(a,b,c) = a + b’c dalam bentuk kanonik SOP dan POS !

PENYELESAIAN :

a. SOP (Sum Of Product)

Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :

f(a,b,c) = a + b’c

f(a,b,c) = ab + ab’+ b’c

f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’+ b’c

f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ b’c


7

a = a .1 Hukum Identitas = a . (b + b’) Hukum Komplemen = (a . b) + ( a . b’) Hukum Distributif = ab+ ab’

ab = ab .1 Hukum Identitas = ab . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b. c) + ( a . b . c‘) Hukum Distributif = abc + abc‘

ab‘ = ab‘ .1 Hukum Identitas = ab‘ . (c + c’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a . b‘ . c‘) Hukum Distributif = ab‘c + ab‘c‘

b‘c = b‘c .1 Hukum Identitas = b‘c . (a + a’) Hukum Komplemen = (a . b‘. c) + ( a‘ . b‘ . c) Hukum Distributif = ab‘c + a‘b‘c

CONTOH SOAL :

berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :

f(a,b,c) = abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ ab’c + a’b’c

Sehingga diperoleh SOP :

f(a,b,c) = a + b’c

= abc + abc’ + ab’c + ab’c’+ a’b’c

= m7+m6+m5+m4+m1

= Σ (1,4,5,6,7)

b. POS (Product Of Sum)

Lengkapi literal fungsi booleannya dahulu :

f(a,b,c) = a + b’c

f(a,b,c) = (a+b’)(a+c)

f(a,b,c) = (a+b’+c)(a+b’+c’)(a+c)


8

NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja

a + b’c = a + (b’c)

= (a+b’)(a+c) Hukum Distributif

a+ b’ = a + b’ + 0 Hukum Identitas = a + b‘ + (c .c’) Hukum Komplemen = (a+b’+c) (a+b’+c’) Hukum Distributif

a+ c = a +c + 0 Hukum Identitas = a + c + (b .b’) Hukum Komplemen = (a+b+c) (a+b’+c) Hukum Distributif

berdasarkan pengerjaan melengkapi literal diatas , maka diperoleh :

f(a,b,c) = (a+b’+c)+ (a+b’+c’)+ (a+b+c) + (a+b’+c)

Sehingga diperoleh POS :

f(a,b,c) = a + b’c

= (a+b’+c) + (a+b’+c’) + (a+b+c)

= M2.M3.M0

= π (0,2,3)

6. PENYEDERHANAAN FUNGSI BOOLEAN

Suatu fungsi Boolean seringkali mengandung operasi biner yang tidak perlu ataupun

mengandung literal yang berlebihan, maka dapat dilakukan penyederhanaan dengan

menggunakan :

(1) Secara aljabar, dengan menggunakan aksioma-aksioma/hukum yang berlaku pada

boolean. Penyederhanaan secara aljabar dapat mengurangi penggunaan literal

yang berlebihan.

Contoh (1):

f(x,y) = x‘+xy --------> gunakan hukum distributif

= (x‘+x).(x’+y) ----------> gunakan hukum komplemen

= (1).(x‘+y) = x‘+y

Contoh (2):

f(x,y,z) = x‘yz+xyz+xy --------> gunakan hukum distributif

= yz(x‘+x)+ xy ----------> gunakan hukum komplemen

= yz+xy


9

NB . Jika terdapat satu suku yang bentuk literalnya sama, maka cukup dituliskan satu kali saja

(2) Menggunakan Peta Karnaugh, direpresentasikan menggunakan kmetode pemetaan

dapat meminimisasi fungsi yang kompleks. Karnaugh memperkenalkan Peta

Karnaugh sebagai metode pemetaan untuk meminimasisasi fungsi yang kompleks

seperti suatu rangkaian logika digital yang kompleks. Peta Karnaugh digambarkan

dengan kotak bujur sangkar. Setiap kotak merepresentasikan minterm. Jumlah

kotak bujur sangkar tergantung pada jumlah variabel dari suatu fungsi boolean.

Rumus untuk menentukan jumlah kotak bujur sangkar dapat diketahui dengan

menggunakan rumus :

Peta karnaugh dapat digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean hingga

lebih dari empat variabel,hanya pada modul ini saya hanya akan membahas

penyederhanaan menggunakan peta karnaugh hingga empat variabel saja.

A. PETA KARNAUGH DUA VARIABEL

Peta Karnaugh dua variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean

yang terdiri dari dua buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk dua buah

variabel :

Terdiri dari 4 buah kotak bujur sangkar. Jumlah kotak di peroleh dari rumus 2𝑛 ,

dimana n merupakan jumlah variabel.

B. PETA KARNAUGH TIGA VARIABEL

Peta Karnaugh tiga variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean

yang terdiri dari tiga buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk tiga buah

variabel :


10

2𝑛 , dimana n merupakan jumlah variabel

Apabila : Suatu variabel bernilai 0 maka variable tersebut

diberikan tanda aksen


dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,

aturannya berbeda dengan yang dua buah variabel, sehingga setelah m1

langsung m3 baru kemudian m2. Begitu pula baris selanjutnya m5-m7-m6.

Pengaturan tempat tersebut jangan sampai tertukar.

C. PETA KARNAUGH EMPAT VARIABEL

Peta Karnaugh empat variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean

yang terdiri dari empat buah variabel. Berikut tabel peta karnaugh untuk empat

buah variabel :


dimana n merupakan jumlah variabel. Perhatikan tabel bujur sangkar diatas,

aturannya berbeda dengan yang dua buah tetapi hampir sama dengan tiga buah

variabel.


11

D. PETA KARNAUGH LIMA VARIABEL

Peta Karnaugh lima variabel digunakan untuk menyederhanakan fungsi boolean

yang terdiri dari lima buah variabel. Peta karnaugh untuk lima buah variabel

dibuat dengan anggapan terdapat dua buah peta karnaugh empat variabel yang

disambungkan. Setiap sub-peta ditandai dengan garis tebal/ganda ditengahnya.

Dua buah kotak dianggap bersisian jika secara fisik berdekatan dan merupakan

pencerminan terhadap garis ganda. Berikut tabel peta karnaugh untuk lima buah

variabel :

000 001 110 100011 010 101111

m0 m1 m3 m2

m8 m9 m11 m10

m6 m7 m5 m4

m24 m25 m27 m26

m14 m15 m13 m12

m16 m17 m19 m18

m30 m31 m29 m28

m22 m23 m21 m20

00

01

11

10

Garis pencerminan

Sederhanakan fungsi boolean berikut menggunakan peta karnaugh : (study kasus

3 buah variabel)

f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘


12

CONTOH SOAL

Penyelesaian.

1. Buat Tabel kebenaran dari fungsi boolean tersebut

x y z x’y’z‘ x’yz‘ f(x,y,z) = x’y’z‘ + x’yz‘

0 0 0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0

1 0 1 0 0 0

1 1 0 0 0 0

1 1 1 0 0 0

2. Lihat hasil yang bernilai 1, kemudian konversikan menggunakan tabel bujur

sangkar peta karnaugh 3 buah varaibel

1 0 0 1

0 0 0 0

3. Sederhanakan, dengan melihat tabel 3 buah variabel yang sebelah kanan (konversi

ke tabel tersebut ). Untuk jenis variabel yang bentuknya (a‘ + a), (b+b‘) ataupun

jenis variabel lainnya dapat dihilangkan.

f(x,y,x) = x’y’z‘ + x’yz‘

f’(x,y,x) = x’z‘ + (y+y’)

f’(x,y,x) = x’z‘ (Hasil penyederhanaannya )

(3) Menggunakan Metode Quine-McCluskey, penggunaan peta karnaugh memang

dapat dilakukan hingga untuk penyederhanaan variable sampai dengan 5. Untuk

variable lebih dari 5 akan menjadi sulit untuk diterapkan. Oleh sebab itu dibutuhkan

metode lain yaitu metode Quine McCluskey/ metode tabulasi


13

m0

m2

Konversikan menggunakan table 3

buah variable yang sebelah kanan

Langkah-langkah metode Quine-Mc cluskey adalah :

1. Tuliskan tiap minterm fungsi Boolean menjadi string bit. Bila ada n variable maka

panjang bit adalah n. missal untuk empat buah variable (w,x,y,z) maka angka 11

dituliskan dalam string bit : 1011. Dalam hal ini variable komplemen dinyatakan dengan

‘0’, variable yang bukan komplemen dinyatakan dengan ‘1’

2. Kelompokan tiap minterm berdasarkan jumlah ‘1‘ yang dimiliki. Tujuannya untuk proses

kombinasi antara kelompok minterm pada langkah selanjutnya

3. Kombinasikan minterm dalam n variabel dengan kelompok lain yang jumlah ‘1‘ nya

berbeda 1, sehingga diperoleh bentuk prima yang terdiri dari n-1 variabel. Minterm yang

dikombinasikan diberi tanda “√“. Sebagai contoh untuk 4 buah variabel, bila yang

dikombinasikan adalah kelompok minterm 0(dengan string bit 0000) dan 1(dengan

string bit 0001), maka kombinasinya adalah (0,1):000-, dimana pada bit terakhir dibuat

tanda “-“ karena itulah bit yang berbedanya

4. Ikuti langkah (3) untuk kelompok kombinasi minterm dalam n-1 variabel dengan

kelompok lain yang jumlah ‘1‘ nya berbeda satu, sehingga diperoleh bentuk prima yang

terdiri dari n-2 variabel. Teruskan hingga tidak dimungkinkan lagi proses kombinasi

5. Ambil semua bentuk prima yang tidak bertanda “√“. Bentuk prima yang tidak bertanda

“√“ merupakan hasil penyederhanaan fungsi Boolean tersebut.

Contoh :

Sederhanakan fungsi Boolean f(w,x,y,z) = Σ (1,3,5,7,9,11,13,15)

Penyelesaian :

1. Minterm dalam bentuk SOP dituliskan dalam string bit dengan panjang 4, karena jumlah

variabel adalah 4.hasilnya ditulis pada kolom(a). Pemisahan kelompok minterm

berdasarkan jumlah angka“1“ yang dimiliki string bit ditandai dengan garis

(a)

0 1 3 5 9 7

11 13 15

w x y z 0 0 0 1 √ 0 0 1 1 √ 0 1 0 1 √ 1 0 0 1 √ 0 1 1 1 √ 1 0 1 1 √ 1 1 0 1 √ 1 1 1 1 √


14

2. Pada kolom(b) dimasukan hasil kombinasi antara kelompok minterm. Semua minterm

pada kolom(a) ditandai dengan “√“ karena semuanya masuk dalam kombinasi pada

kolom(b)

3. Pada kolom(c) dimasukan kombinasi dari kelompok minterm pada kolom(b). Semua

minter pada kolom(b) ditandai dengan “√“ karena semuanya masuk dalam kombinasi

pada kolom (c)


15

(b)

Term w x y z

1,3 1,5 1,9

0 0 - 1 √ 0 - 0 1 √ - 0 0 1 √

3,7 3,11 5,7

5,13 9,11 9,13

0 - 1 1 √ - 0 1 1 √

0 1 - 1 √ - 1 0 1 √ 1 0 - 1 √ 1 - 0 1 √

7,15 11,15 13,15

- 1 1 1 √ 1 - 1 1 √ 1 1 - 1 √

(c)

Term w x y z

1,3,9,11 1,5,3,7

1,9,3,11 1,9,5,13

- 0 - 1 √ 0 - - 1 √ - 0 - 1 √ - - 0 1 √

3,7,11,15 5,13,7,15

9,11,13,15 9,13,11,15

- - 1 1 √ - 1 - 1 √ 1 - - 1 √ 1 - - 1 √

4. Pada kolom(d) diberikan hasil kombinasi dari kolom(c) karena semuanya satu jenis yaitu

hanya ada angka “1“ yang dimiliki karena kelompok mintermnya sama, maka tidak

mungkin lagi disederhanakan/dikombinasikan.

(d)

term w x y z

1,3,9,11,5,13,7,15 1,5,3,7,9,11,13,15 1,5,3,7,9,13,11,15 1,9,2,11,5,3,7,15

- - - 1 - - - 1 - - - 1 - - - 1

Inilah hasil metode Quine –McCluskey. String bit “---1“ berarti hanya bit terakhir yang

sisa dengan nilai“1“ yang artinya hanya variable z, sehingga solusi akhir dari f(w,x,y,z) =

Σ (1,3,5,7,9,11,13,15) = z


16

Aljabar BooleanBAB 4 · Pada Aljabar Boolean nilai variabel boolean adalah 0 dan 1, B = {0,1}....

Documents

Transcript of Aljabar BooleanBAB 4 · Pada Aljabar Boolean nilai variabel boolean adalah 0 dan 1, B = {0,1}....